1

Galileo (1564-1642)

1

2

En tydlig bild av relativ rörelse var utvecklad: *Detta kallas nu den “ Galileiska transformationen” där man kan utföra experiment med identiska utfall om man står stilla eller är i konstant rörelse.

2

3

Genom att tänka på rörelsen som sammansatt av en komponent neråt som utsätts för konstant acceleration och en rörelse åt sidan som är en konstant, får Galileo en parabolisk rörelseför en kropp som både faller och rör sig åtsidan.

3

4

80m

0s 1s 2s 3s4s

0m 20m 40m 60m 80m

0m

5m

20m

45m

4

5

5

6

6

Newton 1643-1727

• Lite biografi om Newton

• Härleding av planeternas rörelse

• Översikt av “Principia”

• Diskussion av mekanikens grundlagar

7

Newton i Woolsthorpe

8

• Föddes 1642 när Galileo dog• Hans far, som var analfabet, dog innan Isac

föddes• Han fick en präst till styvfar• Han hade ett dåligt förhållande med familjen.

Han hotade att “bränna ner huset”• Från 1653 togs han ur skolan för att sköta

gården, då skolan inte gick något vidare.• Hans farbror fick in honom i skolan igen 1660• Han erkände synder :”mer intresserad av

pengar, lärdom och nöje än Gud”• Började på Trinity College 1661

Isac Newton

9

• Vid Trinity ville han bli jurist• Till slut blev han mer intresserad av

naturfilosofi och läste Aristoteles, Platon, Descartes

• Han blev sedan intresserad av Copernicus och Kepler, Galileo

• Intresserade sig för matematik 1663 när han upptäckte att han inte behärskade geometri, vilket behövdes för att förstå astrologi. Då läste han Euklides.

• Blev till slut magister i april 1665

10

• Pesten tvingade skolan att stänga sommaren 1665 varvid Newton flyttade hem

• Under två år (23-25 års ålder) utvecklade han där diffrentialkalkylen (fluxions) samtidigt med Leibnitz och rörelselagarna som sedan definierade kroppars rörelser på jorden och planeternas rörelser i rymden.

• Han återvände till Trinity och fick stipendium

• Utvecklade senare ljusets sammansättning i färger

• Blev “fellow” efter att ha donerat ett reflektor-teleskop till Trinity

11 12

• Newton beskrivs som äregirig men också någon som undvek konflikter. Han utkämpade en fejd med Hooke “if I have seen further, it’s because I have stood on the shoulders of giants.” (Hooke var väldigt kort)

13

• Opticks som kom ut 1671 undersökte fenomenet refraktion

14

15

Newton var en mångsysslare

Alkemi, religion, vissa idéer som han helsthöll i hemliga.

Vi återgår nu till huvudämnet, vilket ärinnehållet i Principia

16

1665 - Newton åker hem och förbereder vad som kom att bli en total omställing

av den naturfilosofiska världsbilden

• Skapade teorin för fluxioner (De Methodis Serierum et Fluxionium, 1671)

• Tänkte igenom Principia

• Funderade igenom vitt ljus som sammansatta färger

Väl borta från universitet kunde han vara kreativ.

17

Det finns ev. sanning i historien om Newton och äpplet ..

Medan Newton reflekterade

över livet föll ett äpple och enligt

historien inspirerade det honom till

argumentet illustrerad på följande

sida vilket, enligt min mening, är ett

av de tre mest eleganta fysikaliska

argumenten överhuvudtaget.

18

En projektil som skjuts med

högre och högre fart har

banorna D,E,F, ... till den

blir tillräckligt snabb för att

kretsa runt jorden (30.000

km/t)

Han beskriver sina idéer mycket senare (1680) i A

treatise of the system of the world.

19

De vände sig till Newton som sade att han hade bevisat detta några år tidigare och framförde ett bevis en kort tid därpå. Han gick också steget längre och visade att det skulle bli ellipser enligt Keplers teori. Det var en för tiden mycket avancerad beräkning. Halley förmådde Newton att skriva ihop beviset

Vid ett möte 1684 diskuterade Christoffer Wren och Edmund Halley möjligheten att gravitationskraften var omvänt proportionell mot kvadraten på radien från gravitationscentrum. Hooke påstod att han kunde bevisa det, men kundetill slut inte prestera något bevis.

20

Beviset accepterades i England men inte påkontinenten.

Newton protesterade, men 18 månadersenare hade han skrivit ihop Principia och bevisatdessa slutsatser.

Royal Society hade inte pengar att publicerapga budgeten för “History of Fishes.” Så Halleybetalade publikationen själv 1687.

21

1687

22

Efter Principia blev Newon tjänsteman, kändis och därefter hade han inte några fler vetenskapliga framgångar.

23

Newtons Principia: härledning av planeternas

rörelser och dess konsekvenser för astromin

24

Stjärnor och äpplen som faller

En projektil som skjuts med

högre och högre fart har

banorna D,E,F, ... till det blir

tillräckligt fort för att kretsa

runt jorden (30.000 km/t)

Detta kan göras kvantitativt.

25

at

!

!

R

vt

v

vt

R=

at

v

Dessa två uttryck löses enkelt till a =

v2

R

Vi följer en kropp som följer en cirkulär banaunder ett kort tidsintervall:

26

Genom att stoppa in det kända a=10 m /s och R=6370 km blir det v = 30.000 km/t för att åstadkomma omloppsbana vid jordens yta.

Med kunskap om avståndet till månen, och månens omloppstid visste han månens hastighet och därigenom visste han också att “a” motsvarande månens acceleration var cirka g/3600. Eftersom avståndet till månen var på 60 ggr jordens radius visade han att kraften var proportionell till 1/R2

2

27

Newtons observation att accelerationen är

a =

v2

R

tillsammans med hans observation att månens rotation motsvarar en accelerationproportionell mot månens avstånd i kvadratger utan större svårighet Keplers lag.

28

Detta gav Keplers rörelselagar:

v2/R = K/R2

v2R = K

Newtons gravitationslag

(2πR/T )2R = K

R3/T 2 = K/(4π)2

v = (2πR/T )

Multiplicera båda led med R2

Denna beräkning är förhållandevis enkel.

29

Det svåra, som Newton ägnade mångamånader åt och som också presenteradesi Principia var att planeternas banorfaktiskt blev ellipser. För att räkna ut detta fick han skapa ny matematik.

Newton “förenade” rörelser i himlenoch på jorden och visade att samma rörelse-ekvationer beskrev de båda.

30

Avvikelser från perfekta ellipser hos planeternaanvändes sedan för att hitta nya planeter:

• Neptunus blev nästan upptäckt av Galileo* men sedan identifierad genom avvikelser från Uranus bana.

• Avvikelser hos Neptunus ledde till slut till upptäckten av Pluto 1930.

Uranus upptäcktes 1781 av Herschel med teleskop

Nästa OH bild*

31

Neptunus råkade vara i Galileos kikarenär han studerade Jupiter. Han noteradeen “stjärna” som rörde sig men följdealdrig upp denna observation.

Intressant notering: ... Galileo såg Neptunus men hade fullt upp med annat!

32

Newtons ekvationer ger en fullständigförklaring till väsentligen alla uppmättaastronmiska rörelser från 1670-talet till1882 när Newcombe mätte avvikelser frånperfekta ellipser hos Merkurius.

33

Avvikelsen är endast 1/1000 grad per

hundra år! Och en konsekvens av

Einsteins allmänna relativitetsteori.

Bilden ovan är väldigt överdriven

34

Newtons Principia:rörelselagar

Principia är uppenbarligen inspirerad avEuklides med definitioner och logiskaresonemang.

Först definierar Newton massa, och är noggrann att peka ut att den verkar sammanfalla med vikt

35

DEFINITION I

The quantity of matter is the measure of the same, arising from its density and bulk conjointly.

THUS AIR of a double density, in a double space, is quadruple in quantity;

in a triple space, sextuple in quantity. The same thing is to be understood of

snow, and fine dust or powders, that are condensed by compression or

liquefaction, and of all bodies that are by any causes whatever differently

condensed. I have no regard in this place to a medium, if any such there is,

that freely pervades the interstices between the parts of bodies. It is this

quantity that I mean hereafter everywhere under the name of body or mass.

And the same is known by the weight of each body, for it is proportional to

the weight, as I have found by experiments on pendulums, very accurately

made, which shall be shown hereafter.

36

Därefter definierar Newton impulse som produkten av massan och hastigheten p = mv

37

DEFINITION II

The quantity of motion is the measure of the same, arising from the velocity and quantity of matter conjointly.

The motion of the whole is the sum of the motions of all the parts; and

therefore in a body double in quantity, with equal velocity, the motion

is double; with twice the velocity, it is quadruple.

38

Sedan definieras tröghet dvs “inertia” och Newtonredovisar att den motsvarar massa

39

DEFINITION III

The vis insita, or innate force of matter, is a power of resisting, by which every body, as much as in it lies, continues in its present state, whether it be of rest, or of moving uniformly forwards in a right line.

This force is always proportional to the body whose force it is and differs nothing from the inactivity

of the mass, but in our manner of conceiving it. A body, from the inert nature of matter, is not without

difficulty put out of its state of rest or motion. Upon which account, this vis insita may, by a most

significant name, be called inertia (vis inertiae) or force of inactivity. But a body only exerts this force

when another force, impressed upon it, endeavours to change its condition; and the exercise of this

force may be considered as both resistance and impulse; it is resistance so far as the body for

maintaining its present state, opposes the force impressed; it is impulse so far as the body, by not

easily giving way to the impressed force of another endeavours to change the state of that other.

Resistance is usually ascribed to bodies at rest, and impulse to those in motion; but motion and rest,

as commonly conceived, are only relatively distinguished; nor are those bodies always truly at rest,

which commonly are taken so

40

Sedan följer definitionen av en kraft som någontingsom ändrar en kropps bana från rät.

41

DEFINITION IV

An impressed force is an action exerted upon a body, in order to change its state, either of rest, or of uniform motion in a right line.

This force consists in the action only, and remains no longer in the body when the action is

over. For a body maintains every new state it acquires by its inertia only. But impressed

forces are of different origins, as from percussion, from pressure, from centripetal force.

42

Sedan följer en noggrann formuleringav centrifugalkraft, dvs kraft sompåverkar en kropp i riktning lodrätt motrörelsen

F

v

43 44

Sedan följer en mycket noggrann diskussion av vad som nu kallas inertialsystem (ett “laboratorium” som står absolut still eller är i konstant rörelse) och absolut tid och rum. Notera att exemplet om relativ och absolut rörelse tycks vara hämtat från Oresme

45

IV. Absolute motion is the translation of a body from one

absolute place into another; and relative motion, the

translation from one relative place into another. Thus in a

ship under sail, the relative place of a body is that part of

the ship which the body possesses; or that part of its cavity

which the body fills, and which therefore moves together

with the ship: and relative rest is the continuance of the

body in the same part of the ship, or of its cavity. But real,

absolute rest, is the continuance of the body in the same

part of that immovable space, in which the ship itself, its

cavity, and all that it contains, is moved.

46

Wherefore if the earth is really at rest, the body, which

relatively rests in the ship, will ... move with the same

velocity which the ship has on the earth. But if the earth

also moves, the ... motion of the body will arise, partly

from the true motion of the earth, in immovable space;

partly from the relative motion of the ship on the earth;

and if the body moves also relatively in the ship; its true

motion will arise, partly from the true motion of the earth,

in immovable space, and partly from the relative motions

as well of the ship on the earth, as of the body in the ship;

and from these relative motions will arise the relative

motion of the body on the earth. ...

47

Sedan följer en diskussion om tid och absoluta tidsmätningar: en tes som står sig 220 år fram till Einsteins relativitetsteori.

48

Absolute time, in astronomy, is distinguished from

relative, by the equation or correlation of the vulgar

time. For the natural days are truly unequal, though

they are commonly considered as equal and used for a

measure of time; astronomers correct this inequality

for their more accurate deducing of the celestial

motions.

All motions may be accelerated and retarded, but the

true, or equable, progress of absolute time is liable to

no change. perseverance of the existence of things

remains the same, whether the motions are swift or

slow, or none at all. ...

49

Dessa diskussioner definierar vad som kallas en Galileisk tranformation, dvs man kan förflytta sig i tid eller med konstant hastighet utan att någon mätbar förändring av någonting lokalt uppstår. Dessa naturlagar var en fullständig beskrivning av alla kända naturfenomen i 200 år.

Sedan följer de tre ”Newtonska rörelselagarna:”

50

I Varje kropp i ett inertialsystem förblir i sitt tillstånd

av vila eller likformig och rätlinjig rörelse om den inte

påverkas av någon kraft.

II Accelerationen a hos en kropp är proportionell mot

den totala sammanlagda kraft F som verkar på

kroppen, och inverterad proportionell mot trögheten

(”massan”) m. dv.s F = ma.

III Varje kropp som påverkar en annan kropp med en

kraft F påverkas i sin tur av den andra kroppen med

en lika stor men motriktad kraft !F .

Newtons rörelselagar:

51

I Varje kropp i ett inertialsystem förblir i sitt tillstånd

av vila eller likformig och rätlinjig rörelse om den inte

påverkas av någon kraft.

Exempel 1: Hockeypuck

Exempel 2: När man rycker en toalettpappersrulle

52

53 54

II Accelerationen a hos en kropp är proportionell mot

den totala sammanlagda kraft F som verkar på

kroppen, och inverterad proportionell mot massan m.

dvs F = ma.

Vilket block utsätts för den största påfrestningen?

55

200

100100

50 50

100 100

100

Svar enligt Newton ... lägg ihop alla kraftermed pilar!

100 = 50 + 50 200 = 100 + 100

56

Ett mera komplicerat exempel ...räkna bara antal snören så fårman utväxlingen i ett block

10 + 10 + 10 + 10 = 40 = kraft i nedre blocket

50 = 10+ 10 + 10 + 10 + 10 = kraft på fästet

57

• III Varje kropp som påverkar en annan kropp med en

kraft F påverkas i sin tur av den andra kroppen med

en lika stor men motriktad kraft !F .

Exempel 1:

Exempel 2: alla molekylerna i din kropp!

Summan av alla små bidrag +F och -F blir noll, annars

skulle vi inte hålla ihop!

58

Ballong som flyger eller en jet-motor

59

månen jorden/vattnetmånen

kvartsmåne

nymåne fullmåne

SOLEN

Två tidvatten per dag bekräftar Newtons teori

60

61

Nu kommer man till det mest abstrakta ochviktiga ... skillnaden mellan tröghet ochvikt

62

Newton diskuterar skillnaden mellanvikt och tröghet (massa) ...

Om vi förflyttar oss är massan alltiddensamma men vikten ändrar sig.

F = Ma

Gravitationskraften är

proportionell mot vikten

Kraften för att åstadkomma given

acceleration är proportionell mot

trögheten

Fg = Mgg

63

Tom

Trögheten M motsvarar 1000 g i alla dessa fall:

ekvatorn Kiruna

1000 g 1003 g

månen

150gvikt Mg =

Vikten är dock olika64

(1) Kan du kasta en kula snabbare på månenän på jorden?

(2) Kan du kasta kulan längre på månen?

svar: (1) nej (2) ja

65

Vi analyserar Galileos “Pisa-experiment” (somantagligen är en skröna) som visar den principiella skillnaden mellan tröghet och vikt ...

66

F = Ma

Gravitationskraften är

proportionell mot vikten

Kraften för att åstadkomma given

acceleration är proportionell mot

trögheten

För en kropp som faller blir

Mgg = Ma

Fg

F = Mgg

67

Mgg = Ma

Om inte gravitationsmassan och tröghetenvar identiska skulle olika kroppar accelererasolika fort i vårt gravitionsfält!

68

Detta är en mycket viktig fråga. Om inte gravitationsmassan och tröghetsmassan visar sig vara exakt densamma måste man överge Einsteins relativitetsteori. Därför har detta förhållande mätts med mycket stor precision:

Senaste mätningarna (1999) visar

Mg

M= 1 ± 10

−13

69

Härledning av den universella gravitationslagen och Cavendish (1798) mätning av jordens massa

70

Newtons observation att accelerationen är

a =

v2

R

tillsammans med hans observation att månens rotation motsvarar en accelerationproportionell mot månens avstånd i kvadratger utan större svårighet Keplers lag.

71

.. all matter attracts all other matter

with a force proportional to the

product of their masses and inversely

proportional to the square of the

distance between them.

Att väga jorden

F1 = m1g

F2 = m2g

F1 = −F2

F = Km1m2

R2

. – p.1/1

Newtons formulering

Modern formulering

72

Krafterna måsta vara likaenligt 3:e lagen och omvänt proportionellt mot

Att väga jorden

F1 = m1g

F2 = m2g

F1 = −F2

F = Km1m2

R2

. – p.1/1

Att väga jorden

F1 = m1g

F2 = m2g

F1 = −F2

F = Km1m2

R2

. – p.1/1

enligt Kepler och mätningar

Låt oss ta två godtyckliga kroppar och undersökakraften på vardera. Enligt Newton, är kraften på en kropp pga gravitationen proportionell mot massan

R

Att väga jorden

F1 = m1g

F2 = m2g

F1 = −F2

F = Km1m2

R2

. – p.1/1

F1 ∝ m1 F2 ∝ m2

73

Cavendish experiment, 1798

Text

74

Genom att mäta kraften F med sådanapparat, och kännedom om

Att väga jorden

F1 = m1g

F2 = m2g

F1 = −F2

F = Km1m2

R2

. – p.1/1

Att väga jorden

F1 = m1g

F2 = m2g

F1 = −F2

F = Km1m2

R2

. – p.1/1

Att väga jorden

F1 = m1g

F2 = m2g

F1 = −F2

F = Km1m2

R2

. – p.1/1

och R var det bara att räkna ut K

Nu tillämpar vi det på en kropp som ärpå jorden

75

Nu tillämpar vi detta på en kropp vid jordensyta.

Att väga jorden

F1 = m1g

F2 = m2g

F1 = −F2

F = Km1m2

R2

. – p.1/1

m1 = kroppens massam2 = jordens massa (okänd)

K = gravitations-konstant, mätt av CavendishR = jordens radie, vilken var känd. F = kroppens vikt ( g ) m1

Vi kan därigenom räkna ut jordens massa!

76

Detta experiment gjordes av Cavendish,som fick

K = 6.63 × 10−11m3s2/kg

och därigenom

Me = 6.6 × 1021

ton

77

Sammanfattning: 1700

Man hade en fullständigt korrekt och kvantitativbild av det som var känt av de mekaniska grundlagarna som sedan höll i 200 år. Utvecklingen imatematiken fortsatte i en rasande takt och manhade en grundsten för en vidare utveckling av denklassiska fysiken. Man hade till slut, efter 2000 år,lagt den gamla grekiska naturfilosofin bakom sig.

78

Newtons snilleblixt var en enkel grundidé, som utvecklades fullständigtmed logiska och matematiska resonemang och som testades med ytterligareexperiment.

79 80

81 82

83 84