SHQYRTIMI DHE PARAQITJA GRAFIKE E FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE

F.Hyseni www.maths2017.wordpress.com Faqe 1

Të shqyrtohet dhe të paraqitet grafikisht funksioni

( ) sinf x x

Zgjidhje

1°) Intervali i përkufizimit

Funksioni i dhënë është i përkufizuar për çdo vlerë reale

( , )x .

2° ) Perioda e funksionit

sin( 2 ) sin , sin( 2 ) sin , ,x x x k x x R k Z

D.m.th. perioda themelore e sinusit është 2 , kurse perioda e

përgjithshme është 2k .

3° ) Zerot e funksionit

( ) 0 sin 0f x x 0x , x , 2x ,... x k ( )k Z

d.m.th. zerot e funksionit janë x k k Z ( pikat prerëse me

boshtin Ox ).

0 (0) sin 0 0x y f 0y ( pika prerëse me Oy ).

4° ) Shenja e funksionit

Nga tabela vërejmë se funksioni sinus është pozitiv për 0,x ,

ndërsa negativ pë ,2x . Në përgjithësi për 2 (1 2 )k x k ,

funksioni është pozitiv, kurse për (1 2 ) 2(1 )k x k , funksioni

është negativ.

x 0 x 2x

( ) sinf x x + -

SHQYRTIMI DHE PARAQITJA GRAFIKE E FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE

F.Hyseni www.maths2017.wordpress.com Faqe 2

5° ) Simetria e funksionit

( ) sin( ) sin ( ) ( ) sinf x x x f x f x x është tek.

6° ) Monotonia e funksionit

x 02

x

2

x

3

2x

32

2x

( ) sinf x x rritës zvogëlues zvogëlues rritës

7° ) Vlerat ekstreme

Funksioni sinus është i kufizuar pasi vlenë

sin 1 1 sin 1x ose x .

Vlera maksimale arrihet për sin 1x , d.m.th. për 2

x

, ndërsa

vlera minimale arrihet për sin 1x , d.m.th. për 3

2x

. Në

përgjithësi vlerat maksimale arrihen për 22

x k

, ndërsa vlerat

minimale arrihen për 3

22

x k

.

8° ) Grafiku i funksionit

SHQYRTIMI DHE PARAQITJA GRAFIKE E FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE

F.Hyseni www.maths2017.wordpress.com Faqe 3

Grafiku i funksionit ( ) cosf x x

Grafiku i funksionit ( ) tanf x x

SHQYRTIMI DHE PARAQITJA GRAFIKE E FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE

F.Hyseni www.maths2017.wordpress.com Faqe 4

Grafiku i funksionit ( ) cotf x x

Grafiku i funksionit ( ) cf x se x

SHQYRTIMI DHE PARAQITJA GRAFIKE E FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE

F.Hyseni www.maths2017.wordpress.com Faqe 5

Grafiku i funksionit ( ) cscf x x

SHQYRTIMI DHE PARAQITJA GRAFIKE E FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE

F.Hyseni www.maths2017.wordpress.com Faqe 6

Të shqyrtohet dhe të paraqitet grafikisht funksioni

1( ) 2sin

2 6f x x

Zgjidhje

1°) Intervali i përkufizimit

Funksioni i dhënë është i përkufizuar për çdo vlerë reale

( , )x .

2° ) Perioda e funksionit

1 1

2sin 2sin2 6 2 6

1 1 1 1sin sin 2 4

2 6 2 2 6 2

f x T f x x T x

x T x T T

D.m.th. perioda themelore e funksionit të dhënë është është 4 ,

kurse perioda e përgjithshme është 4k .

3° ) Zerot e funksionit

1 1 1( ) 0 2sin 0 sin 0

2 6 2 6 2 6

2 , ( )3

f x x x x k

x k k Z

d.m.th. zerot e funksionit janë 23

kx k k Z

( pikat

prerëse me boshtin Ox ).

SHQYRTIMI DHE PARAQITJA GRAFIKE E FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE

F.Hyseni www.maths2017.wordpress.com Faqe 7

1

0 (0) 2sin 0 2sin 12 6 6

x y f

1y ( pika

prerëse me Oy ).

4° ) Shenja e funksionit

Nga tabela vërejmë se funksioni i dhënë është negativ për

5,

3 3x

, ndërsa pozitiv për 5 11

,3 3

x

. Në përgjithësi

për 5

2 23 3

k x k

, funksioni është negativ, kurse për

5 112 2

3 3k x k

, funksioni është pozitiv.

5° ) Simetria e funksionit

1 1

( ) 2sin ( ) 2sin2 6 2 6

f x x x

është asimetrik.

6° ) Monotonia e funksionit

x 2

3 3x

2 8

3 3x

8 11

3 3x

1( ) 2sin

2 6f x x

zvogëlues rritës zvogëlues

x 5

3 3x

5 11

3 3x

1( ) 2sin

2 6f x x

- +

SHQYRTIMI DHE PARAQITJA GRAFIKE E FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE

F.Hyseni www.maths2017.wordpress.com Faqe 8

7° ) Vlerat ekstreme

Funksioni i dhënë e ka ampliuden 2, kështu që është i kufizuar

pasi vlenë 1

2 2sin 22 6

x

Vlera maksimale arrihet për 1

2sin 22 6

x

, d.m.th. për

84

3x k

, ndërsa vlera minimale arrihet për

12sin 2

2 6x

,

d.m.th. për 2

43

x k

.

8° ) Grafiku i funksionit