Series divergentes en Matemática y Física
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Series divergentes enmatematica y fısica
Pedro Morales-Almazan
Department of MathematicsThe University of Texas at Austin
Puebla, Mexico, 5 de marzo de 2014
Pedro Morales-Almazan Math Department
Series Divergentes
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“Las series divergentes son la invencion del demonio, y es unaverguenza basar cualquien demonstracion en ellas.”
N. H. Abel
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Un numero infinito de . . .
Un numero infinito de matematicos, que entran a un bar. Elprimero pide una cerveza. El segundo pide media cerveza. Eltercero pide un cuarto de cerveza . . .A lo que responde el camarero: ¡¡ idiotas !!Les pone dos cervezasSe retira y piensa: No saben sus lımites.
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Zenon
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Series convergentes
1
2+
1
4+
1
8+ · · · = 1
∞∑n=0
(1
2
)n
= 1 +1
2+
1
4+
1
8+ · · · = 2
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Series geometricas
Suma de una serie geometrica∞∑n=0
rn =1
1− r, |r | < 1
∞∑n=0
(1
2
)n
=1
1− 12
= 2
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¿Series geometricas?
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + · · · =? r = 2
1− 1 + 1− 1 + 1− 1 + · · · =? r = −1
Radio de convergencia
∞∑n=0
rn =1
1− r, para |r | < 1
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• Las series divergen (no tienden a un numero)
• Los valores de r estan fuera de la region de convergencia(ilegal)
• ¿ Y ahora, quien podra ayudarnos?
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Regularizacion
Tomar otro punto de vista
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Ver el significado, no el lımite
El valor de una serie es el valor de la expresion algebraica de lacual proviene.
Valor de una serie divergente
“.. la nueva definicion de la palabra suma coincide con elsignificado usual cuando la serie converge; y puesto que las seriesdivergentes no dan una suma en el sentido propio de la palabra, noexiste ninguna ambiguedad con esta terminologıa.”
Leonhard Euler
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¡Series geometricas!
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + · · · =∞∑n=0
2n =1
1− 2= −1
1− 1 + 1− 1 + 1− 1 + · · · =∞∑n=0
(−1)n =1
1− (−1)=
1
2
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Metodos de regularizacion
• Continuacion analıtica
• Sumas de Cesaro (Promedios de Nørlund )
• Promedios de Abel (Metodo del nucleo de calor)
• Promedios de funciones enteras
• Metodos de momentos
• Sumas de Ramanujan
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Energıa del vacıo
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + · · · = − 1
12
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Energıa del vacıo
E ∼ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + . . .
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Energıa del vacıo
Funcion zeta de Riemann
ζ(s) = 1 +1
2s+
1
3s+
1
4s+ . . .
Converge para <s > 1
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Energıa del vacıo
Continuacion analıtica de ζ(s)
E ∼ ζ(−1)= − 1
12
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Aproximacion semiclasica de sistemas cuanticos
• Aproximar un sistema cuantico por medio de un sistemaclasico
• Considerar correcciones cuanticas
• Γ[φ] = S [φ] + Γ(1)[φ]
Determinante funcional
Γ(1)[φ] ∼ e−ζ′(0)
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Aproximacion semiclasica de sistemas cuanticos
e−ζ′(0) = 1 · 2 · 3 · 4 · · · =
√2π
Formula de Stirling
n! ∼√
2π
(nn+1/2
en
)para n→∞
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Ecuaciones diferenciales
1− 1 + 2− 6 + 24− 120 + 720− . . .
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Ecuaciones diferenciales
x2y ′ + y = x
Metodo de Frobenius
y(x) =
∫ ∞0
e−t/x
1 + tdt
∞∑n=0
(−1)nn! = y(−1) = eE1(1) ∼ 0.596347 . . .
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Propabilidad de ser primo
1− 1
2− 1
3+
0
4− 1
5+
1
6− 1
7+ . . .
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Probabilidad de ser primo
Principio de Inclusion-Exclusion
1
2+
1
3+ · · ·+ 1
p
− 1
2 · 3− 1
3 · 5− · · · − 1
2 · p
+1
2 · 3 · 5+
1
3 · 5 · 7. . .
. . .
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Probabilidad de ser primo
Funcion µ de Mobius
µ(n) =
{0 n es divisible por un cuadrado
(−1)k k es el numero de factores primos distintos en n
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Probabilidad de ser primo
p∑n=1
µ(n)
n
1
ζ(s)=∞∑n=1
µ(n)
nspara <s > 1.
Densidad de primos
∞∑n=1
µ(n)
n=
1
ζ(1)= 0
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Preguntas
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