Serie de Balmer Final

7/25/2019 Serie de Balmer Final

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Serie de Balmer

Eduardo C. Martnez.1

1Departamento de Fsica, ESFM-IPN, Mxico D.F., Mxico.

(Entrega 12 de enero de 2016)

La Fsica Moderna, plagada de un importante nmero de aplicaciones en materia de espectroscopia partedel anlisis experimental asociado a la absorcin o emisin de radiacin electromagntica. Mediante laadaptacin de una lmpara de hidrogeno en un arreglo ptico, estudiamos el espectro de emisin del gas endos diferentes etapas experimentales; en ambas hacemos incidir la luz emitida en una red de difraccin parala primera etapa y sobre un monocromador en la segunda etapa. En la primera etapa al observar las lneasde emisin proyectadas sobre una pantalla determinamos las longitudes de onda para cada banda de acuerdoal anlisis geomtrico y la relacin entre la red y el ngulo de difraccin. Para la segunda etapa medimosla seal de salida respecto a la intensidad de corriente como funcin de la longitud de onda, incorporandoun tubo fotomultiplicador al arreglo.

Como segundo objetivo calculamos el valor de la constante de Rydberg a partir de la frmula propuesta por

Balmer y la frecuencia originada por parte de las bandas de emisin. Finalmente para encontrar la constantede Rydberg determinamos la pendiente despus de graficar los parmetros mencionados.

I. INTRODUCCIN

Desde la antigedad se ha especulado sobre la naturalezade la luz; tal es el caso de Isaac Newton quien demostr quecualquier haz de luz blanca incidente no necesariamente

procedente del Sol se descompone en un espectro nico el cualgenera bandas de colores que van desde rojo al violeta. Elexperimento de Newton abri las puertas del conocimiento alo que ahora forma parte de nuestra comprensin moderna dela naturaleza de la luz. Curiosamente antes de hablar sobre lasaportaciones que la mecnica cuntica ha proporcionado a losestudios en materia de espectroscopia, Newton tuvo queesforzarse en demostrar que los colores no eran inducidos porel prisma, sino que realmente eran los que conformaban la luz

blanca hecho que posteriormente, se pudo comprobar a partirdel anlisis respecto al clculo de las energas de emisin oabsorcin donde cada color corresponde a un nico intervalode frecuencias o longitudes de onda.

En los siglos XVIII y XIX, el prisma usado paradescomponer la luz fue reforzado con rendijas y lentestelescpicas con lo que se consigui as una herramienta ms

potente y precisa para examinar la luz procedente de distintasfuentes. Joseph von Fraunhofer, astrnomo y fsico, utiliz esteespectroscopio inicial para descubrir que el espectro de la luzsolar estaba dividido por una serie de lneas oscuras, cuyaslongitudes de onda se calcularon con extremo cuidado.

Por el contrario, la luz generada en laboratorio mediante elcalentamiento de gases, metales y sales mostraba una serie delneas estrechas, coloreadas y brillantes sobre un fondo oscuro.La longitud de onda de cada una de estas bandas eracaracterstica del elemento que haba sido calentado. Porentonces, surgi la idea de utilizar estos espectros como huelladigital de los elementos observados. A partir de ese momento,se desarroll una verdadera industria dedicada exclusivamentea la realizacin de espectros de todos los elementos ycompuestos conocidos.

En lo que respecta a la espectroscopia, se puededefinir como una tcnica fundamentada en el estudio de lainteraccin entre la radiacin electromagntica y la materia,respecto a al nivel de absorcin o emisin de energa radiante;misma que permite conocer la naturaleza de una sustancia deacuerdo con la identificacin de las bandas de colores que segeneran a travs del espectro de emisin o absorcin. Es unaciencia en la que diferentes disciplinas cientficas como la

astronoma, fsica, qumica incluso la biologa, encuentrangran aplicacin.

Por tanto el anlisis espectral se basa en la deteccin de laslneas de absorcin o emisin de radiacin electromagntica aciertas longitudes de onda las cuales se relacionan conlos niveles de energa implicados en una transicin cuntica.(Funes)


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La espectroscopia tuvo gran auge en el siglo XIX debido aello se dedicaron grandes esfuerzos para poder medir con

precisin el espectro atmico. De los resultados obtenidossurgieron resultados de gran inters para la comunidadcientfica, de ah se obtuvo que en contraste con la complejidadque mostraban los espectros atmicos de diversas sustancias

estudiadas, se encontr que el espectro del hidrogeno esrelativamente sencillo y regular. Por ejemplo para la regin delvisible es posible detectar una serie muy particular para laslongitudes de onda de las bandas observadas entre el lmite quecorre desde los 364 nm hasta los 680 nm.

La aparente regularidad encontrada en el espectro deemisin del hidrgeno motivo el trabajo de diversos cientficos

para encontrar una serie de formulaciones que les permitieradescribir la longitud de onda de las lneas espectrales. En 1885Johann Jacob Balmer un maestro de escuela suizo, logroestablecer una sencilla frmula matemtica que relaciona laslongitudes de onda de las lneas prominentes en el espectro

visible y en el cercano al ultravioleta del gas hidrgeno.

= 364.56

4 1Con medida en , donde es un nmero natural

correspondiente a cada lnea espectral, comenzando con labanda de mayor longitud de onda.

El alcance de la formulacin emprica de Balmer permitipredecir la longitud de onda de las hasta entonces conocidas

lneas del hidrogeno con una precisin de 1 1000 . El

descubrimiento de Balmer marco el inicio de un proyecto conmayor proyeccin; diversos cientficos se dieron a la tarea dedesarrollar formulas similares que identificaran la serie de loscomplejos espectros surgidos a partir del anlisis de otroselementos. Seguido a estas investigaciones, en 1890 el fsico deorigen sueco Johannes Rydberg encontr que se obtienenresultados de mayor precisin utilizando el nmero de onda:

= 1 2Correspondiente a la lnea estudiada en lugar de la longitud

de onda. Rydberg a partir de la gran cantidad de datos

disponibles, encontr varias series espectrales que se ajustabana la frmula emprica desarrollada por Balmer; dando pie aproponer una reformulacin; la cual puede escribirse paraproducir el recproco de la longitud de onda de la luz emitidacomo: (Bueche, 1998)

1 =

1

1 < 3

Si partimos del hecho en el que Balmer fue quien porprimera vez propuso una forma de calcular la serie espectral; alas lneas correspondientes que se observan en el espectrovisible del hidrgeno se denominan Series de Balmer. Elobjetivo principal del experimento mostrado es describir elmtodo empleado para determinar la constante de Rydberg, a

partir del anlisis espectroscpico de la serie de Balmer.

II. DESARROLLO TERICO

Se sabe que la luz blanca proveniente del Sol se puededescomponer en un espectro visible a travs de un prisma comoalguna vez lo hizo Isaac Newton; la forma que del espectroresultante es continuo. Fig. 1.

Por otro lado cuando se calienta un gas, la luz emitidadurante este proceso se hace incidir sobre un prisma; el espectroque produce no es continuo sino discreto, es decir, slo se

pueden observar ciertas lneas. En el caso del hidrgenopodemos ver la siguiente serie de bandas correspondiente a laregin del visible. Fig. 2

Fig. 1. El espectro continuo, tambin llamado trmico o de cuerpo

negro, es emitido por cualquier objeto que irradie calor es decir, quetenga una temperatura distinta de cero absoluto = -273 gradosCelsius. Cuando su luz es dispersada aparece una banda continua conalgo de radiacin a todas las longitudes de onda. Por ejemplo, cuandola luz del sol pasa a travs de un prisma, su luz se dispersa en los sietecolores donde cada color es una longitud de onda diferente.

Fig. 2. Denominamos espectro del hidrgeno a la emisinelectromagntica propia del elemento, en este caso hidrgeno. Las

bandas que componen el espectro del hidrgeno se conocen desde lostrabajos en materia de espectroscopia realizados porKirchhoff, Bunsen y Fraunhofer.


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El resultado espectral nos introduce a uno de los misteriosms profundos vinculados con el tomo, introducindonos enuna de las teoras ms revolucionarias de la fsica cuyocomienzo ocurri a principios del siglo pasado, La fsicacuntica. En este contexto sabemos que el espectro atmicoconocido ms sencillo es el del tomo de hidrgeno; en la

regin del visible aparecen solo cuatro bandas, cuyas longitudesde onda fueron medidas con gran precisin en 1884 por el fsicosueco Anders ngstrm. Por tanto cuando Balmer entr aescena en 1885 con objeto de expresar la relacin entre estaslneas an no haba explicacin fsica para los espectros que seobservaban. (Hernndez, 2012)

A. El espectro de hidrgeno

Series espectrales del tomo de hidrgeno

En la seccin anterior hablamos sobre la formulacin

emprica de Balmer, donde se muestran las relaciones entre lasdiferentes lneas de emisin del hidrgeno, en este contexto el

profesor suizo no logro explicar por qu motivo fsico lasemisiones siguen este patrn.

No fue hasta el desarrollo del modelo atmico de Bohr quese pudo dar respuesta a esta incgnita. En el modelo propuesto,el tomo se describe como un ncleo con carga positivaformado por protones y neutrones donde los electrones orbitana su alrededor en rbitas circulares. Este modelo fue elresponsable de introducir el trabajo sobre mecnica cuntica enel tomo. Con ello se logra dar una explicacin satisfactoriasobre las emisiones electromagnticas del hidrgeno, mediantetransiciones de electrones entre las diferentes rbitas

permitidas. Fig. 3. (Resnick, 1985)

Es importante mencionar que la serie de Balmer, compuestapor 4 lneas discretas, es la nica de estas series cuyaslongitudes de onda caen dentro del espectro visible.

Para la construccin de un espectro de emisin delhidrgeno, se debe hacer incidir una radiacin electromagnticasobre una muestra de hidrgeno gaseoso. Esto producir laexcitacin del electrn en hidrgeno, lo cual se refiere al pasodel estado fundamental, n=1, a estados excitados, por ejemplo:El primer estado excitado (n=2), segundo estado excitado(n=3), tercer estado excitado (n=4) Cuando dejamos de

aportar dicha energa externa, dado a que que los estadosexcitados son muy inestables, el electrn excitado retorna alestado fundamental o a otros estados energticos inferiores.

En el experimento se asume que se tiene una gran cantidadde tomos de hidrgeno en la muestra, por tantoestadsticamente se producen todas las transiciones energticas

posibles (de n=2 a n=1, de n=3 a n=2 y a n=1, de n=4 a n=3, an=2 o a n=1). Estas lneas a longitudes de onda discretas sonlas que se registran mediante la aplicacin deun espectrofotmetro, y constituyen el espectro de emisin delhidrgeno. Fig. 4. (QuimiTube, 2015)

B. Deduccin de la Serie de Balmer

A partir de los valores medidos para cada una de las cuatrolongitudes de onda:

656,21 nm Rojo

486,07 nm Azul

434,01 nm ndigo

410,12 nm Violeta

Fig. 3. El xito ms notable del modelo de Bohr es que permiti lainterpretacin satisfactoria del espectro de emisin del hidrgeno,el cual haba sido determinado experimentalmente sin tener unaexplicacin para la aparicin de lneas discretas. As, mediante elmodelo de Bohr se explica el porqu de las series de Lyman,Balmer, Paschen, Bracket y Pfund, y se calculan tericamente lasenergas de las transiciones, que coinciden con las energasexperimentales.


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Dividimos entre el valor de menor magnitud, el cualcorresponde a 410,12 nm; para la operacin propuestanicamente tomaremos tres decimales, es decir:

656.21410.12 = 1.600

486.07410.12 = 1.185 434.01410.12 = 1.058 410.12410.12 =1

Ahora los resultados obtenidos se expresan en formaracional, por tanto:

1.600= 85 ; 1.185=237200 ; 1.058=

529500 ; 1

Para buscar una equivalencia entre los cuatro valores,

multiplicamos cada factor por y simplificamos el nmero

racional resultante, entonces:

95 ;

43 ;

2521 ;

98

Para que los denominadores de cada elemento se escriban

en orden ascendente, multiplicamos por 1 = para no altera

los factores, el segundo y ltimo resultado:

95 ;

1612 ;

2521 ;

3632

Balmer observo una relacin entre los numeradores de cadafactor, se dio cuenta que se pueden expresar como cuadrados denmeros enteros sucesivos (3,4,5,6); adems de que cadadenominador se obtiene restando al numerador 2unidades; portanto, podemos escribir los factores anteriores de la siguiente

forma:

33 2 ;

44 2 ;

55 2 ;

66 2

Entonces, si a cada banda espectral est asociada a unnmero entero , las longitudes de onda son proporcionales alcociente donde toma valores a partir de 3, 4, etc. por tanto:

2 4

Ahora para determinar el valor de la constante deproporcionalidad, retomamos los valores asociados a cadalongitud de onda; de tal forma que:

95 =656.21 =364.56

16

12 =486.07 =364.56

2125 =434.01 =364.56

98 =410.12 =364.56

Fig. 4. Este espectro fue producido por la excitacin de gas hidrgenoen un tubo de vidrio, mediante un voltaje de 5000 voltios procedente deun transformador. El haz de luz producido se hizo incidir sobre unarejilla de difraccin con 600 lneas/mm. Los colores no tienen mucha

precisin debido a diferencias en los dispositivos de pantalla.


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La expresin (4) no contiene ninguna informacin fsica, essimplemente una deduccin netamente numrica. El hechointeresante es la extensin que Balmer conjetur, a otras lneasespectrales al reemplazar2 por los cuadrados de lossiguientes enteros. Necesariamente si se requiere considerar lasfrecuencias en lugar de la longitud de onda, dado que son

inversamente proporcionales, se obtiene: (Hernndez, 2012)

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III. DESARROLLO EXPERIMENTAL

El experimento se desarroll en dos etapas, en cada unautilizamos equipo diferente ya que los arreglos pticos para elcontexto en el que se est trabajando son muy especficos.

A. Primera etapa experimental

Se utiliz el siguiente instrumental: Lmpara de Balmerdeuterizada Leybold 451 14, riel ptico Leybold Vshape 31177 de 2 m de longitud, lente de +50 mm de longitud focal, lentede +100 mm de longitud focal, obturador 460 14, red dedifraccin de 600 lneas por mm, pantalla de acrlico traslucida441 53.

El montaje utilizado en la etapa experimental descrita semuestra en el siguiente diagrama. Fig. 5.

El haz de luz emitido por medio de la Lmpara de Balmeratraviesa el arreglo ptico, para finalmente llegar con la mayorintensidad a la red de difraccin donde se descompone encuatro bandas de diferente longitud de onda. Debido a que enesta fase del experimento nos enfocamos en la observacindirecta de las bandas proyectadas sobre la pantalla nicamente

empleando nuestra visin, solo fue posible visualizar lasprimeras tres, correspondientes a los colores: Rojo, azul endigo, el violeta no fue posible detectarlo a pesar del nmerode mediciones realizadas.

Sobre la proyeccin mostrada, se dibujaron las lneascorrespondientes a cada color, a fin de obtener las distanciasentre ellas. Fig. 6.

La geometra del arreglo vinculado con las distancias entrelas bandas y la razn entre el nmero de lneas por milmetrode la red de difraccin con el ngulo de dispersin; permite

determinar la longitud de onda correspondiente a las bandasdel espectro del hidrgeno Fig. 7.

a

b c ed

f

Fig. 5. Arreglo ptico correspondiente a la primera fase experimental.

a) Lmpara de Balmer d) Lente f = +100 mmb) Lente f = +50 mm e) Red de difraccinc) Obturador f) Pantalla

Central

Fig. 6. Distancia entre las bandas del espectro del hidrgeno respectoa la lnea central proyectada por la fuente.

Donde , y son las distancias medidas desde la bandacentral hasta la banda correspondiente, para ambos lados.

d

Fig. 7. Difraccin de primer orden; donde es la distancia entrelas lneas que componen la red de difraccin, es la longitud deonda correspondiente a cada banda proyectada, es el ngulo dedispersin, (a) la distancia entre la red de difraccin y la pantalla.

a


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De acuerdo con la geometra expuesta en la figura anterior,se tiene:

sin =

sin = + Entonces:

= s i n = + 6

Las distancias medidas para cada banda y suscorrespondientes longitudes de onda calculadas mediante laaplicacin de (6), se muestran en la Tabla I.

B. Segunda etapa experimental

Utilizamos el instrumental que a continuacin se describe:Lmpara de Balmer deuterizada Leybold 451 14, lentecolimador convergente, riel ptico de alienacin,monocromador Instruments S.A., tubo fotomultiplicadorHamamatsu Photomultiplier tube 1P28, fuente de alto voltajevariable, Electrmetro Keithley Instruments 610C Solid State.

El equipo empleado en la presente etapa experimental fuemontado como se muestra a continuacin: Fig. 8.

TABLA I. Datos obtenidos de la primera etapa experimental. Longitud de ondacalculada en mediante la aplicacin de la ec. (6), donde = 1 . 6 7 10, = 0.275 .

Hacemos incidir el haz de luz proveniente de la lmpara deBalmer sobre la lente convergente, a fin de producir un rayode luz con la mayor intensidad posible sobre la rendija deentrada en el monocromador. Posteriormente calibramos el

tubo fotomultiplicador como razn de la respuesta dependientedel cambio en la longitud de onda del monocromador.

Observamos la respuesta del fotomultiplicador mediante elcambio en la corriente medida en el electrmetro, conforme sefue variando la longitud de onda de forma gradual en elmonocromador; se propuso hacer un barrimiento de la longitudde onda en el intervalo:

350 750 Los valores para la corriente obtenidos de la metodologa

seguida se muestran en la Tabla II.

Con la informacin presentada en la tabla II, construimosel grfico correspondiente para corriente []contra [].

Fig. 8. Montaje referente a la segunda etapa experimental.

a) Lmpara de Balmer d) Tubo fotomultiplicadorb) Lente f = +50 mm e) Fuente de Voltajec) Monocromador f) Electrmetro

a

b

c

e

d

f

Grafica I. Respuesta espectral del fotomultiplicador; intensidad decorriente contra longitud de onda.

41

0n

410n

433n

486

656n


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[nm] i [A] [nm] i [A] [nm] i [A] [nm] i [A] [nm] i [A]

350 0 426 1,00E-06 472 0 524 0 652 0

355 0 427 1,00E-06 473 0 527 0 653 0

360 0 428 1,00E-06 474 0 530 0 654 0

365 0 429 1,00E-06 475 0 533 0 655 2,50E-05

370 0 430 1,00E-06 476 0 536 0 656 3,00E-04

375 0 431 1,00E-06 477 1,00E-06 539 0 657 8,20E-05

380 0 432 1,40E-06 478 1,00E-06 542 0 658 2,50E-06

385 0 433 2,85E-05 479 1,00E-06 545 0 660 0

390 0 434 6,50E-06 480 1,00E-06 548 0 662 0

395 0 435 6,20E-06 481 1,00E-06 551 0 664 0

400 0 436 4,20E-06 482 1,00E-06 554 0 666 0

401 0 437 4,00E-06 483 1,00E-06 557 0 668 0

402 0 438 1,20E-06 484 5,00E-06 560 0 670 0

403 0 439 1,00E-06 485 5,50E-05 565 0 672 0

404 0 440 1,00E-06 486 3,55E-04 570 0 674 0

405 0 441 1,00E-06 487 5,60E-05 575 0 676 0

406 1,00E-06 442 1,00E-06 488 1,20E-06 580 0 678 0

407 1,00E-06 443 1,00E-06 489 1,00E-06 585 0 680 0

408 1,20E-06 444 1,00E-06 490 1,00E-06 590 0 685 0

409 2,30E-06 445 1,00E-06 491 1,00E-06 595 0 690 0

410 5,30E-06 446 0 492 1,00E-06 600 0 695 0

411 2,50E-06 447 0 493 1,00E-06 605 0 700 0

412 1,20E-06 448 0 494 1,00E-06 610 0 705 0

413 1,00E-06 449 0 495 1,00E-06 615 0 710 0

414 1,00E-06 450 0 496 1,00E-06 620 0 715 0

415 0 452 0 497 1,00E-06 625 0 720 0

416 0 454 0 498 1,00E-06 630 0 725 0

417 0 456 0 499 1,00E-06 635 0 730 0

418 0 458 0 500 0 640 0 735 0

419 0 460 0 503 0 645 0 740 0

420 0 462 0 506 0 646 0 745 0

421 0 464 0 509 0 647 0 750 0422 0 466 0 512 0 648 0 755 0

423 0 468 0 515 0 649 0 760 0

424 0 470 0 518 0 650 0 765 0

425 1,00E-06 471 0 521 0 651 0 770 0

TABLA II. Datos derivados de la segunda etapa experimental; donde se muestra la respuesta del tubo fotomultiplicador a razn del cambio en lalongitud de onda en la luz que atraviesa el monocromador.


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IV. ANLISIS DE RESULTADOS

En la primera etapa calculamos los valores para laslongitudes de onda correspondientes a cada banda espectral delhidrgeno (; ; ). Haciendo una comparacin de losresultados obtenidos con los valores reportados Tabla III,

tenemos:Por otro lado, para la segunda etapa experimental, a

diferencia de la primera donde no se logr observar la lnea cuya longitud de onda es igual a = 410.12 ; mediante elanlisis grfico fue posible su deteccin. Grafica I.

Adems es claro que los mximos correspondientes a lamayor intensidad de corriente adquieren valores con mrgenesde error de menor magnitud. Tabla IV.

Al inicio del reporte experimental se plante como parte de

los objetivos esenciales, la obtencin de la constante deRydberg. Por tanto el valor de la constante se calcula a partir

de la pendiente resultante de graficar frecuencia = contrala funcin de Balmer

. Tabla V.

TABLA III. Datos calculados, reportados; desviacin estndar y errorporcentual longitud de onda calculada contra valor reportado.

TABLA IV. Segunda etapa experimental, Comparacin de datos graficados,reportados; desviacin estndar y error porcentual longitud de onda calculadacontra valor reportado.

Una vez realizados los clculos necesarios para laconformacin de la grfica, procedemos realizar su trazado.Grafica II.

TABLA V. Parmetros empleados en el grfico de la frecuencia contra lafuncin de Balmer, donde los valores que adquiere corresponden alnmero de lnea que se requiera calcular. =3,4,5,6

Grafica II. Frecuencia contra funcin de Balmer. La pendiente de laconstruccin grfica es igual a la constante de Rydberg.

[]

12

1

.= 1.078410 7.966

=1.0988510 4.143010


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De la grfica se observa que el valor de la pendiente esigual a 1.0988510 4.143010el cual corresponde a laconstante de Rydberg. Haciendo una comparacin con el valorreportado:

=1.097373156853910CODATA Committee on Data for Science and Technology

El error porcentual en el clculo es de apenas el0.13457 %; una muy buena aproximacin.

V. CONCLUSIONES

A travs del estudio realizado en este trabajo respecto alespectro electromagntico del hidrgeno, podemos sealar laimportancia que tiene la incorporacin y aplicacin de

instrumental adecuado para los diferentes casos en los que sehace espectroscopia en el visible.

Durante el tratamiento experimental nos dimos a la tareade comprender el significado y la importancia del desarrollode Balmer. En este contexto la informacin obtenida en cadauna de las etapas descritas demuestra la efectividad que tienela incorporacin de elementos tecnolgicos, especficamenteimplementos electrnicos para la observacin eficaz delespectro. En la seccin correspondiente a la fase inicial delexperimento, nos dimos cuenta que el ojo humano aunque

perfectamente bien adaptado al espectro generado en el Sol,

presenta cierta limitacin en el sentido explicito que no fueposible captar la banda de longitud de onda en la regin delvioleta.

Por otro lado, el instrumental utilizado en la segunda etapadel desarrollo experimental, demostr la eficiencia buscada al

principio del desarrollo. Mediante la incorporacin delfotomultiplicador y del electrmetro fuimos capaces deobservar aunque indirectamente las cuatro bandas quecomponen el espectro del hidrgeno.

Gran parte de la Fsica experimental que en la actualidadse desarrolla esta ampliamente vinculada con la

espectroscopia; de ah la importancia que tiene el trabajoexperimental sobre la serie de Balmer en la formacin de losestudiantes de Fsica.

VI. REFERENCIAS

[1] Bueche, F. (1998). Ciencias Fsicas.Reverte.

[2] Funes, G. G. (s.f.). Serie de Balmer.Fsica ExperimentalIV.

[3] Hernndez, L. (Noviembre de 2012). Ciencia Online.Obtenido dehttp://www.cienciaonline.com/2012/11/02/%C2%BFcomo-llego-balmer-a-la-ecuacion-de-las-lineas-del-espectro-de-hidrogeno/

[4] QuimiTube. (Diciembre de 2015). Obtenido deEstructura de la Materia - Interpretacin del espectro deemisin del hidrgeno segn el modelo de Bohr:http://www.quimitube.com/videos/estructura-de-la-materia-interpretacion-del-espectro-de-emision-del-hidrogeno

[5] Resnick, E. a. (1985). Quantum Physics.John Wiley and

Sons.

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