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Séquence
FONCTION DE VARIABLE(S) REELLE(S) :LIENS AVEC EQUATIONS, INEQUATION ET SYSTEME
D’EQUATIONS AU PROGRAMMEClasse professionnelle et technologique (supports
visuels et approfondissements des notions étudiés en Classes de Seconde et Première pour élèves de
Terminale)
Prémices:
Pourquoi parler de variable(s) réelle(s) ?
Pourquoi ne peut-on pas définir une variable par un chiffre ?
Pourquoi peut-on faire cette association pour une constante ?
Notions à différencier et à comprendre
1. Fonction (opérateur virtuel)2. Antécédent (élément du « passé », un nombre réel: la
variable notée x)3. Domaine de départ (en particulier domaine de
définition ou domaine antécédent : « passé »)4. Image (élément du : « futur »)5. Domaine d’arrivée (domaine image « futur », un
nombre réel)6. Repère orthonormé (orthogonal et normé pour une
représentation du « présent », perpendiculaire dans le plan et même déplacement unitaire)
7. Projection axe des abscisses ou axe des antécédents (cosinus)
8. Projection axe des ordonnées ou axe des images (sinus)
9. Représentation graphique (élément du présent, couple (antécédent, image), couple (passé, futur))
10. Mesure angle en radian (par rapport au rayon)
SCHEMA SYNTHESE
Domaine de départ Domaine Arrivée
Fonction f
Antécédent x Image f(x)
O (0,0) I (1,0)
J (0,1)
Axe des abscisses (passé)
Axe des ordonnées (futur)
Sinus
Cosinus
Remarque: un repère s’apparente à un viseur
d’une arme de sniperx
f(x)
TangenteMesure angle en radian
Prémices:
Pourquoi étudier la fonction sur un intervalle de R (ensemble des nombres réels) ?
pourquoi la dénomination domaine de définition ?
pourquoi étudier les variations de la fonction f ?
Variations et Monotonie d’une fonction
Fonction croissante respectivement strictement croissante
Soient deux réels a et b sur un intervalle I, la fonction f est dite croissante si pour a < b , f(a) ≤ f(b)
Fonction décroissante :Soient deux réels a et b sur un intervalle I, la fonction f
est dite décroissante si pour a < b , f(a) ≥ f(b)
Remarque: pourquoi a < b et non a ≤ b ? Est-ce incorrect ou inutile ?
l’hypothèse choisie a < b importe t-elle ou est-ce le rôle de la
fonction sur l’antécédent qui prédomine ?
La stricte croissance et la
stricte décroissance ne
sont pas étudiées ici.
Représentation graphique
Fonction affine f d’image f(x) = a x + bf(x) est la somme de l’image d’une fonction
linéaire et de l’image d’une fonction constante
Fonction « trinôme » g d’image g(x) = a x^2 + b x + c
g(x) est la somme de l’image d’une fonction de type « carré » c’est-à dire que la variable est au carré (côté fictif x d’un carré d’aire x^2) et de l’image d’une fonction affine
Proportionnalité et
Fonction linéaire
L’image d’une fonction linéaire f de la forme
f(x) = a x, avec a non nul renvoie à une situation de proportionnalité entre
l’image et l’antécédent dont le coefficient de proportionnalité est le
coefficient directeur a.
Variations proportionnelles et
Fonction Affine
L’image d’une fonction affine f de la forme f(x) = a x + b, fait intervenir la notion de
variations proportionnelles, proportionnalité entre la variation
d’image et la variation des antécédent, ce qui n’est autre que le coefficient directeur a lorsque a est non nul.
Coefficient directeur a, projections et ordonnée à
l’origine bLe coefficient directeur : ce quotient de
la différence des images par la différence des antécédents correspond d’après le schéma synthèse au rapport de deux projections
cosinus / sinus = tangenteL’ordonnée à l’origine est l’image f(0) =
b pour lequel l’antécédent est le même que celui de l’origine du repère O (0,0)
x
f(x)
g(x)
x
Exemple de représentation graphique pour
f(x) = (-2) x + 3/2 et g(x) = (-5) x^2 + 2 x + 1
sur I = l’ensemble des réels
O (0,0)
I(1,0)
J(0,1)
Que remarque t-on pour la représentation graphique de g par rapport à celle de la fonction de type « carré » d’image (-5) x^2 ?
Minimum et Maximum
Les minimum et maximum d’une fonction sont respectivement s’ils existent les valeurs minimale et maximale de l’image de la fonction en question.
Minimum : pour tout x, f(x) ≥ min f(x)
Maximum: pour tout x, f(x) ≤ max f(x)Remarque: On parle ici de maximum ou de minimum global à différencier de
maximum ou de minimum local non étudiés ici.
Equation et inéquationà une variable x du premier degré
De telles équation et inéquation renvoient à des égalités et à des inégalités d’image de fonctions affines.
Ex: trouver l’ensemble des valeurs de x tels que
3 x + 5 = 5 x + 4 puis tels que 2 x + 7 ≤ 6 x + 2 Trouver en d’autres termes la ou
les projections suivant l’axe antécédent
Système de deux équations à deux variables x et y du
premier degré
De tels systèmes d’équation et inéquation renvoient-ils directement à des égalités d’image de fonction affine ?
Ex: trouver l’ensemble des valeurs de x et y tels que
3 x + 5 y = 2
8 x + 7 y = 6
Trouver en d’autres termes la ou les projections suivant l’axe antécédent x et l’axe image
générale notée yRemarque: le système d’inéquations à deux variables x et y du premier degré ne sera pas ici traité.
PREMIERE APPROCHE FONCTIONS A DEUX VARIABLES REELLES : CAS PARTICULIERS
EQUATION PLAN
Chaque équation du système précédent peut être vu comme l’intersection de deux plans non parallèles, une droite en somme.
On retrouve ainsi les égalités d’image de fonction affine.