Señales y Sistemas - Capitulo I
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Seales y Sistemas
Ing. Ricardo Cajo
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Introduccin
Ing. Ricardo Cajo
Palabras que las utilizamos ordinariamente. Seales: TV, radio, celular. Sistemas: multimedia, telecomunicaciones. Qu son? Cules son sus aplicaciones?
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Seales
Ing. Ricardo Cajo
Cmo definen Uds. a las seales? Definiciones: Patrn de variaciones de una cantidad fsica que representa o codifica algn tipo de informacin. Descripcin de cmo un parmetro vara en funcin de otro u otros parmetros Variables que llevan informacin Funciones de variables independientes
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Ejemplo de seales
Ing. Ricardo Cajo
Ejemplos: seales de voz, video, fotos, imgenes mdicas, radar, ssmicas, temperatura corporal, etc.
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Aplicaciones- Telecomunicaciones
Ing. Ricardo Cajo
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Aplicaciones Telemedicina
Ing. Ricardo Cajo
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Aplicaciones Otras
Ing. Ricardo Cajo
Msica Medicina Astronoma (radioastronoma) Biometra
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Sistemas
Ing. Ricardo Cajo
Cmo definen Uds. los sistemas? Definiciones: Algo que puede manipular, modificar, almacenar y transmitir seales. Proceso que produce una seal de salida en respuesta a una seal de entrada. Caja negra que transforma una seal de entrada en una seal de salida
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Ejemplos de Sistemas
Ing. Ricardo Cajo
Ejemplo: Grabador de CD Transforma una seal musical como una secuencia de nmeros (sistema binario) y lo almacena.
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Representacin de Seales
Ing. Ricardo Cajo
Introduccin
Cmo representarlas? Como ingenieros, la manera mas adecuada de representarlas es matemticamente como funciones de una o mas variables independiente . En este curso nos concentraremos en seales que dependan de una variable independiente ,que asumiremos que es el tiempo aunque en ciertas aplicaciones puede ser otra magnitud. Las representamos de la siguiente forma: s(t) El tiempo es la variable independiente.
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Ejemplo: Seal de voz
Ing. Ricardo Cajo
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Ejemplo: Seal de voltaje
Ing. Ricardo Cajo
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Ejemplo: Seal de video
Ing. Ricardo Cajo
Es una imagen que cambia en el tiempo
Es una seal tridimensional
Tres variables independientes:
v(x,y,t)
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Ing. Ricardo Cajo
Seales en Tiempo Continuo
y Tiempo Discreto
La manera de clasificar las seales es observando la naturaleza de la variable independiente. Si la variable independiente es continua, la correspondiente seal se denomina seal en tiempo continuo y esta definida para los valores continuos de la variable independiente. Ejemplo:
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Ing. Ricardo Cajo
Seales en Tiempo Continuo
y Tiempo Discreto
Una seal x(t) es continua si es continua para cada valor de t. Una seal que presente un numero finito o infinito numerable de discontinuidades se dice que es continua por tramos, siempre que el salto de amplitud que se produce en la discontinuidad sea finito. Ejemplos:
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Ing. Ricardo Cajo
Seales en Tiempo Continuo
y Tiempo Discreto
Funcin pulso rectangular:
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Ing. Ricardo Cajo
Seales en Tiempo Continuo
y Tiempo Discreto
Tren de pulsos:
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Ing. Ricardo Cajo
Seales Peridicas y Aperidicas
Peridicas: Cualquier seal en tiempo continuo que satisfaga la condicin
x(t) = x(t+nT) n=1,2,3, Siendo T>0 una constante denominada periodo fundamental. Aperidica: Si la seal no es peridica
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Ing. Ricardo Cajo
Seales Peridicas y Aperidicas
Ejemplo: Las seales sinusoidales son ejemplos de seales peridicas que se puede expresar matematicamente de la siguiente forma. Con periodo fundamental Donde:
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Ing. Ricardo Cajo
Seales Peridicas y Aperidicas
La frecuencia fundamental, en radianes (frecuencia angular) de la seal periodica se relaciona con el periodo fundamental mediante la siguiente expresin. Donde el armnico k-esimo a la seal sinusoidal de frecuencia angular Ejemplo: Sinusoides armnicamente relacionadas
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Ing. Ricardo Cajo
Seales Peridicas y Aperidicas
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Ing. Ricardo Cajo
Seales Peridicas y Aperidicas
La suma de 2 seales peridica es peridica, solo si el cociente de sus respectivos peridos se puede expresar como un numero racional. o Donde k y l son valores enteros positivos (0,1,2,3,). Si se realizan operaciones no lineales sobre seales peridicas (ejem: multiplicacin), se producen seales peridicas con peridos fundamentales diferenetes.
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Ing. Ricardo Cajo
Seales Peridicas y Aperidicas
Ejemplo
Determinar si la seal x(t) es peridica.
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Ing. Ricardo Cajo
Seales Peridicas y Aperidicas
Ejercicio
Deseamos determinar cual de las siguientes seales es peridica.
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Ing. Ricardo Cajo
Seales Peridicas y Aperidicas
Seales Pares
Si x(t) = x(-t) Para todo t Ejemplo: Funcin Coseno Seales Impares
Si x(t)= -x(-t) Para todo t Ejemplo: Funcin Seno
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Ing. Ricardo Cajo
Seales de Energia y Seales de Potencia
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La energa de una seal durante un intervalo temporal de duracin 2L se define as:
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Ing. Ricardo Cajo
Seales de Energia y Seales de Potencia
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La Potencia media puede definirse as:
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Ing. Ricardo Cajo
Seales de Energia y Seales de Potencia
.
La potencia media para seales peridicas de periodo T viene dado por:
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Ing. Ricardo Cajo
Seales de Energia y Seales de Potencia
.
Ejercicio 1
Deseamos determinar si se trata de seales de energa finita o potencia finita.
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Ing. Ricardo Cajo
Seales de Energia y Seales de Potencia
.
Resolucin Ejercicio 1
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Ing. Ricardo Cajo
Seales de Energia y Seales de Potencia
Resolucin Ejercicio 1
P=
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Ing. Ricardo Cajo
Seales de Energia y Seales de Potencia
.
Ejercicio 2
Consideremos la seal sinusoidal
que es peridica de periodo
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Ing. Ricardo Cajo
Seales de Energia y Seales de Potencia
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Ejercicio 3
Calcule la energia y potencia de la siguiente seal
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Ing. Ricardo Cajo
Transformaciones de la Variable
Independiente
Existe un tipo de operaciones importantes que se realizan a menudo sobre las seales. La mayora de estas transformaciones tiene que ver con la variable independiente. Las tres operaciones que se presentan en esta seccin son: Desplazamiento Reflexin Escalamiento
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Ing. Ricardo Cajo
Transformaciones de la Variable
Independiente
Desplazamiento
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Ing. Ricardo Cajo
Transformaciones de la Variable
Independiente
Ejercicio 1
Considera la seal x(t) que se muestra a continuacin Encuentre y grafique la seales x(t+3) y x(t-2)
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Ing. Ricardo Cajo
Transformaciones de la Variable
Independiente
Voltea a la seal sobre el eje vertical Lo logramos haciendo: x(t) en x(-t)
Reflexin
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Ing. Ricardo Cajo
Transformaciones de la Variable
Independiente
Adems esta operacin es til para examinar las propiedades de simetra que poseen las seales. Se dice que una seal posee simetra par, si es idntica a su reflexin en el origen es decir x(t)=x(-t) Si posee simetra impar -x(t)=x(-t) Una seal arbitraria x(t) se la puede representar como la suma de una seal par y una impar
Reflexin
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Ing. Ricardo Cajo
Transformaciones de la Variable
Independiente
Reflexin
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Ing. Ricardo Cajo
Transformaciones de la Variable
Independiente
Ejercicio 1
Considera la seal x(t) que se muestra a continuacin Encuentre y grafique las seales x(-t) y x(3-t)
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Ing. Ricardo Cajo
Transformaciones de la Variable
Independiente
Ejercicio 1
Ntese que si desplazamos primero x(t) tres unidades y despus reflejramos la seal desplazada, el resultado seria x(-t-3),Por lo tanto las operaciones de reflexin y deplazamiento no son conmutativas.
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Ing. Ricardo Cajo
Transformaciones de la Variable
Independiente
Reflexin
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Ing. Ricardo Cajo
Transformaciones de la Variable
Independiente
Ejercicio 2
Considera la seal x(t) que se muestra a continuacin Encuentre la seal par e impar de x(t) y grafique su respuesta
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Ing. Ricardo Cajo
Transformaciones de la Variable
Independiente
Lo logramos haciendo multiplicando un escalar a la variable independiente es decir : x(t) -> x(at) Si |a| 1 x(at) sera una version comprimida
Escalamieto
Nota: a debe ser mayor a cero
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Ing. Ricardo Cajo
Transformaciones de la Variable
Independiente
Ejercicio 1
Considera la seal x(t) que se muestra a continuacin Encuentre y dibuje la seal x(3t-6)
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Ing. Ricardo Cajo
Seales Bsicas en Tiempo Continuo
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Existen varias seales elementales importantes que aparecen frecuentemente en las aplicaciones y que sirven de base para representar otras seales. Estas nos permitira entender mejor las propiedades de las seales y los sistemas. Es mas muchas de esas senales tienen caracteristicas que las hacen particularmente utiles en la solucin de problemas de ingenieria y, por tanto, son de importancia para nuestros estudios posteriores.
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Ing. Ricardo Cajo
Seales Bsicas en Tiempo Continuo
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Funcin Escaln Unitario
Note que la seal es continua para todo t excepto en t=0, en donde existe una discontinuidad. u(0)=1/2 para maximizar la simetria. Un ejemplo de funcin escaln unitario es la salida de una fuente de tensin de 1 V en serie con un interruptor que se cierra cuando t=0.
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Ing. Ricardo Cajo
Seales Bsicas en Tiempo Continuo
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Ejemplo 1
La seal pulso rectangular que se muestra a continuacin , o en general un pulso rectangular que se extiende desde -a hasta +a con amplitud A, se la puede expresar como la diferencia de dos seales escalones desplazadas apropiadamente.
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Ing. Ricardo Cajo
Seales Bsicas en Tiempo Continuo
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Ejemplo 2
La funcin signo (que denotaremos con sgn(t) se muestra a continuacin.
La funcin signo se puede expresar en trminos de la funcin escaln como
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Ing. Ricardo Cajo
Seales Bsicas en Tiempo Continuo Funcin Rampa Unitaria
La funcin rampa se la define de la siguiente forma:
La funcin rampa se la puede obtener mediante la integral de la seal escaln.
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Ing. Ricardo Cajo
Seales Bsicas en Tiempo Continuo Funcin Rampa
El dispositivo que realiza esta operacin se denomina integrador. A diferencia de las funciones escaln y signo , la funcin rampa es continua en t=0. El escalado temporal de una rampa unitaria por un facto a genera una rampa con pendiente a (la funciona rampa unitaria tiene pendiente 1).
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Ing. Ricardo Cajo
Seales Bsicas en Tiempo Continuo
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Ejemplo 1
Sea x(t)=u(t+2)-2u(t+1)+2u(t)-u(t-2)-2u(t-3)+2u(t-4). Sea y(t) la integral. Entonces
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Ing. Ricardo Cajo
Seales Bsicas en Tiempo Continuo Funcin de muestreo
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Ing. Ricardo Cajo
Seales Bsicas en Tiempo Continuo Funcin de muestreo
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Ing. Ricardo Cajo
Seales Bsicas en Tiempo Continuo Funcin de muestreo
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Ing. Ricardo Cajo
Seales Bsicas en Tiempo Continuo Funcin Impulso Unitario
Propiedades
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Ing. Ricardo Cajo
Seales Bsicas en Tiempo Continuo Propiedades
Funcin Impulso Unitario
Desplazamiento
Muestreo: Si x(t) as continua en t0, entonces
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Ing. Ricardo Cajo
Seales Bsicas en Tiempo Continuo Propiedades
Funcin Impulso Unitario
Escalado
=
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Ing. Ricardo Cajo
Seales Bsicas en Tiempo Continuo Ejercicio 1
Supongamos que deseamos evaluar las siguientes integrales
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Ing. Ricardo Cajo
Seales Bsicas en Tiempo Continuo Derivada de la Funcin Impulso
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Ing. Ricardo Cajo
Seales Bsicas en Tiempo Continuo Derivada de la Funcin Impulso
Propiedades
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Ing. Ricardo Cajo
Seales Bsicas en Tiempo Continuo Ejercicio 1
Supongamos que deseamos evaluar las siguientes integrales
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Ing. Ricardo Cajo
Seales Bsicas en Tiempo Continuo Ejercicio 2