UNIVERZITET U SARAJEVUFARMACEUTSKI FAKULTET

Seminarski rad iz Matematike OSNOVNI POJMOVI SAVREMENE MATEMATIKE

Deljkovi Amina

Sarajevo, decembar, 2014. godine

Sadraj1.UVOD22.POJAM BROJA42.1.Polje realnih brojeva43.OSNOVI MATEMATIKE LOGIKE53.1.Iskazne formule64.OSNOVNI POJMOVI TEORIJE SKUPOVA74.1.Operacije sa skupovima84.2.Aksioma o praznom skupu.104.3.Aksioma o beskonanom skupu105.ZAKLJUAK126.LITERATURA13

1. UVOD

Matematika stvarno korisna danas- to je moderna matematika. G. Papy Matematika je logika nauka i kao takva ona insistira na matematikim dokazima. Te je razumijevanje dokaza put do shvatanja sutine matematike. Matematika poiva na konceptu pojma broja, pa je i osnovna svrha ovog rada da priblii i objasni pojam broja. Dakle, neophodno je prethodno pravilno shvatanje sistema prirodnih, realnih, racionalnih i kompleksnih brojeva. Odgovor na pitanje ta su to zapravo brojevi ? karakterizira matematiku kao apstraktnu nauku pa je to jedan od osnovnih problema u razumijevanju iste. Postoji, u sutini, pet brojnih sistema: prirodni brojevi, cijeli brojevi, racionalni brojevi, realni i kompleksni brojevi. O njima e ovdje biti govoreno sa aspekta osnovnih algebarskih struktura, a to su: grupe, prsteni i polja. Te strukture, u stvari, predstavljaju uopenje brojeva. Istaknimo odmah i vaan pojam varijable. Ako bi se samo jedan dogaaj morao zvati poetkom savremene matematike onda bi to mogao biti moment uvoenja pojma varijable u matematiku. Smatra se da je to izum francuskog matematiara Vieta-a. Varijable omoguuju da se komplikovane osobine mogu izraziti na jednostavan nain. Jo jedan od problema koji oteavaju razumijevanje matematike je jezik kojim se ona slui. Matematike injenice se uglavnom izriu preko iskaza. Iskaz je smislena reenica koja je ili tana (istinita) ili netana (lana). Iskazi se obino oznaavaju malim latininim slovima p, q, r, . Ako je iskaz p taan onda to zapisujemo (p) = T, a ako je netaan (p) = . Bogatstvo pojmova u matematici se pojavljuje zbog mogunosti da se, po strogim pravilima, od osnovnih pojmova prave sloeniji. Savremena matematika zasnovana je u znaajnoj mjeri na dvije vane oblasti: matematikoj logici i teoriji skupova.

2. POJAM BROJA

Brojje matematiki objekat koji se koristi za brojanje imjerenje. Opisni simbol koji predstavlja broj se takoer naziva broj ili brojka, ali u opoj upotrebi rije broj moe znaiti apstraktni objekat, simbol ilirijeza broj. Umatematici, definicija broja je vremenom proirena da bi ukljuila i takve brojeve kao to sunula,negativni brojevi,racionalni brojevi,iracionalni brojevi,kompleksni brojevi.Odreene procedure koje imaju jedan ili vie brojeva kao ulazne vrijednosti i proizvode neki broj kao rezultat zovu se numerikeoperacije.Unarne operacije koriste jedan ulazni broj i proizvode jedan izlazni broj kao rezultat. Na primjer, operacija raunanja sljedbenika dodaje 1 cijelom broju, tako da je broj 5 sljedbenik broja 4.Binarne operacijeuzimaju dva ulazna broja i proizvode jedan izlazni broj. Primjeri binarnih operacija susabiranje,oduzimanje,mnoenje,dijeljenjeipotenciranje. Studij raunskih operacija sa brojevima se zovearitmetika.Uz pojam broja usko su vezani pojmovibrojanih sistemai brojki (znamenki). Danas se u pisanoj ljudskoj komunikaciji uglavnom koristearapski brojevi, a u specifinim situacijama (npr. prikaz godine) se koristerimski brojevi.Skupovi brojeva su:1. Prirodni 2. cijeli 3. racionalni 4. iracionalni(oni koje ne moemo predstaviti u obliku razlomaka)5. realni= obuhvataju racionalne i iracionalne brojeve6. kompleksni= obuhvataju realne i imaginarne 2.1. Polje realnih brojeva Najvaniji skup na kojem se razvija diferencijalni i integralni raun je skup realnih brojeva R. Prije toga upoznajemo se prvo sa skupom prirodnih brojeva N , zatim skupom cijelih brojeva Z ,skupom racionalnih Q, iracionalnih brojeva. Skup prirodnih brojeva N je najmanji podskup skupa R Najmanji prirodni broj je 1,a ostali brojevi se dobijaju iz osobine da ako je n u N tada je i njegov sljedbenik n+1 takoer iz N. Na osnovu ove injenice vai princip matematike indukcije koji se koristi za dokazivanje tanosti formula za sve prirodne brojeve.

Princip matematike indukcije : ako je podskup E skupa prirodnih brojeva N takav da je 1 E ,nN tada i n+1 E , tada je N =E tj skup E se poklapa sa N Skup cijelih brojeva Z, ine 0, svi prirodni brojevi i njima suprotni brojevi , dakle negativni cijeli brojevi.Racionalni brojevi su oni koje moemo napisat u obliku kolinika p/q, gdje je p cijeli broj , a q prirodan. Skup racionalnih brojeva sadri sve elemente p*q-1. operacija oduzimanja je dobro definisana u skupu Q. Dok je skup Q komutativna grupa u odnosu na sabiranje. Iracionalnim brojevima pripadaju svi brojevi koji nisu racionalni dakle ne mogu se napisati u obliku kolinika p/q. Npr. 2Realan broj napisan u decimalnom obliku je iracionalan ako ima beskonano mnogo decimala iza nule koje se ne ponavljaju periodino.Realni brojevi se predstavljaju na brojnoj osi tj. Pravoj liniji na kojoj su odreene dvije take. Taka O kojoj odgovara vrijednost 0 i druga taka, desno od take O, kojoj odgovara vrijednost 1. Ako posmatramo skup R = {x,y,z... }koji je zatvoren za operacije mnoenja i sabiranja (tj. Zbir i proizvod svaka dva elementaiz skupa R je element skupa R) Na osnovu aksioma : Asocijativnost sabiranja Postojanje neutralnog elementa za sabiranje Postojanje inverznog elementa za sabiranje Komutativnost sabiranja Asocijativnost mnoenja Postojanje neutralnog elementa za mnoenje Postojanje inverznog elementa za mnoenje Komutativnost mnoenja Distributivnost mnoenja u odnosu na sabiranje

3. OSNOVI MATEMATIKE LOGIKE

Matematika logika je neophodna radi korienja savremene matematike simbolike kojom se postie preciznost, konciznost i jasnoa u izlaganju. Osnovni pojam u matematikoj logici je iskaz ili sud.Definicija. Iskaz je potvrdna reenica koja ima smisla i koja ima svojstvo da je tana ili netana.

Iskaze oznaavamo slovima: p, q, r, . . Ako je iskaz p taan onda to zapisujemo (p) = T, a ako je netaan (p) = .Iskazi se povezuju logikim operacijama i time se dobijaju novi iskazi: Negacija () iskaza p je iskaz koji je taan ako i samo ako je iskaz p netaan: p - ne p, Konjunkcija iskaza p i q je iskaz p q, koji je taan ako i samo ako su oba iskaza p i q tani. Disjunkcija iskaza p i q je iskaz p V q koji je taan, ako i samo ako je bar jedan od iskaza p ili q taan. Implikacija iskaza p i q je iskaz p q, koji je netaan ako i samo ako je iskaz p taan, a iskaz q netaan. Ekvivalencija iskaza p i q je iskaz p q je iskaz koji je taan ako i samo ako su iskaz p i q iste tanosti. 3.1. Iskazne formule Definicija : Iskazne formule su sloene reenice formirane od iskaza povezanih logikim operacijama.Iskazne formule ine : Iskazna slova p,q.. A V B, A B, A B, A B,A, pri emu su A i B iskazne formule; iskazne formule dobijene konanom primjenom prethodnih iskaznih formula

Tautologija je iskazna formula koja ima vrijednost T za bilo koje vrijednosti iskaznih slova u iskaznoj formuli.

Lako se provjerava da operacije , i nad iskazima p, q, r, . . . zadovoljavaju sljedee uslove : p p p, p p p

p q q p, p q q p (p q) r p (q r), (p q) r p (q r)

p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r) p , p p p > p, p > T p p , p p T p (p q) p p (p q) p.Logikim zakonom ili tautologijom nazivamo iskaz sastavljen od iskaza p, q, r, . . . i veza , , , , koji je uvijek taan, bez obzira na tanost ili netanost iskaza p, q, r, . . . od kojih je formiran. Neke od najznaajnijih tautologija:

[(p q) (q r)] (p r), zakon silogizma, p p, zakon iskljuenja treeg; p p, zakon dvojne negacije; (p q) (p q), (p q) (p q) De Morganovi zakoni; (p (q q)) p, svoenje na apsurd; (p q) (q p), zakon kontrapozicije; p (p) , kontradikcija; (p q) (p q). Navedene tautologije predstavljaju principe po kojima se formiraju dokazi. Teorema 1. Postoji beskonano mnogo prostih brojeva. Dokaz. Dokaz provodimo kontradikcijom. Pretpostavimo suprotno, da su p1, p2, . . . pn svi prosti brojevi. Posmatrajmo broj N = p1 pn + 1. Na osnovu injenice da svaki cijeli broj vei od 1 mora biti djeljiv nekim prostim brojem, zakljuujemo da postoji i takav da pi |N, a iz toga slijedi da pi |1, to je kontradikcija injenici da je pi prost broj.

4. OSNOVNI POJMOVI TEORIJE SKUPOVA

Skup je osnovni pojam u matematici. Do pojma skupa moe se lahko doi empirijskim putem, posmatrajui razne grupe, skupine, stvari, ivih bia i sl. Tvorac teorije skupova je George Kantor, njemaki matematiar koji je prvi dao definiciju skupa. Danas, po savremenom shvatanju, pojam skupa se ne definie ve se usvaja intuitivno kao cjelina razliitih objekata. Predmeti iz kojih se skup sastoji zovu se elementi skupa. Postoje skupovi sa konano mnogo elemenata i nazivamo ih KONANI SKUPOVI.Pored njih postoje i skupovi sa beskonano mnogo elemenata i njih zovemo BESKONANIM SKUPOVIMA.Skupove oznaavamo velikim slovima, dok elemente skupa oznaavamo malim slovima. Pa ako je neki broj x element skupa A (Raselov paradoks: Skup svih skupova! ) xA, a ako ne pripada skupu A, oznait emo sa xA. Skup je poznat ako je poznato pravilo, ogranienje ili osobina na osnovu koje moemo odrediti njegove elemente.U teoriji skupova koriste se kvalifikatori : Univerzalni - za svako Egzistencijalni kvalifikator -postoji

4.1.Operacije sa skupovima- UNIJA - PRESJEK - RAZLIKA - SIMETRICNA RAZLIKA - PARTITIVNI SKUP - DEKARTOV PROIZVOD - KOMPLEMENT SKUPA

Komplement skupa A u odnosu na univerzalni skup U je skup : CA = {a|a U a / A} Partitivni skup P(X) datog skupa X je skup svih podskupova skupa X Primer: Ako je A={1,2,3) , onda je P(A)={ , {1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}, {1,2,3}} Simetrina razlika Skup (A\B) (B\A) naziva se simetrina razlika i najee se obiljeava sa . A B= (A\B) (B\A). Razlika Skup svih elemenata koji su elementi skupa A ali nisu elementi skupa B zove se razlika redom skupova A i B u oznaci A\B. A\B={ x xA xB } Naravno moemo posmatrati i skup B\A, to bi bili svi elementi skupa B koji nisu u A. Presjek Skup svih elemenata koji su elementi skupa A i skupa B zove se presjek skupova A i B i obiljeava se sa A B. {xx A x B } Unija Skup svih elemenata koji su elementi bar jednog od skupova A ili B , zove se unija skupova A i B i oznaava se sa A B. {xx A x B } Dekartov proizvod uveni francuski filozof i matematiar Dekart je u matematiku uveo pojam pravouglog koordinatnog sistema, koji se i danas, u njegovu ast, naziva Dekartovim koordinatnim sistemom. U tom sistemu svakoj taki ravni odgovara jedan ureeni par realnih brojeva (x,y) i, obrnuto, svakom paru brojeva (x,y) odgovara tano jedna taka u koordinatnoj ravni. Prvi broj x u tom paru nazivamo prvom koordinatom (apscisom) , a drugi y , drugom koordinatom (ordinatom). Za ureene parove je karakteristina osobina: (x,y)=(a,b) ako i samo ako x=a y=b Dekartov proizvod skupova je skup: AxB= { (a,b) a A, b B } Treba voditi rauna da A B B A

Osnovni pojmovi teorije skupova, na kojim poiva cjelokupna matematika su element skupa i pripadnost elementa a skupu A to se oznaava sa a A. Smatrati emo da nam je skup poznat ako moemo odrediti sve njegove elemente. Ako a nije element skupa A, to piemo a A. Dva skupa A i B smatramo jednakim i piemo A = B, ako oni imaju iste elemente. Jednakost dva skupa: A = B (x)(x A x B) A je podskup skupa B: A B (x)(x A x B)Ovdje nam se prvi put pojavljuje znak jednakosti. Taj se znak upotrebljava i u nekim drugim kontekstima. Uopte se izraz a = b naziva jednakost. To moemo shvatiti kao iskaz koji je taan ako je a zaista isto to i b, a netaan ako to nije sluaj. Ako a i b zavise od istog skupa x i ako je a = b za svaki element tog skupa, onda se prethodna jednakost naziva identitet na skupu X. Skup koji nema elemenata oznaavamo sa i nazivamo prazanim skupom. esto se oko pojma praznog skupa moe stvoriti zabuna. Prije svega se to tie pitanja: Postoji li zapravo prazan skup ?

4.2.Aksioma o praznom skupu. Postoji skup koji nema elemenata. Za matematiare, dakle, prazan skup postoji. A onda se moe dokazati da je on jedinstven i da je podskup svakog skupa. Ako je A skup tada se sa P(A) oznaava skup svih podskupova od A i naziva partitivnim skupom od A. Prazan skup je skup koji nema elemenata. Vai (A) A. U matematici se esto koriste rijei svaki, neki i postoji. Definicija 1.1 Ako svi elementi skupa A imaju neku osobinu P onda se to zapisuje na sljedei nain: (a A),P(a). Ako samo neki od elemenata iz A imaju osobinu P, ili, preciznije, ako postoji bar jedan element skupa A koji ima tu osobinu onda se to zapisuje ovako: (a A),P(a). Simbol se naziva univerzalni, a egzistencijalni kvantifikator.

4.3.Aksioma o beskonanom skupuSkup A nazivamo beskonanim ako je ekvipotentan nekom svom pravom podskupu. Skupove koji nisu beskonani nazivamo konanim. Vidjeli smo, iz aksiome o praznom skupu, da postoji skup . Skup {} ima jedan element, i prema tome {} . Sada postoji skup {, {}}, koji se razlikuje od oba prethodna skupa. Aksioma o beskonanom skupu nam kae da se ovaj proces moe produiti neogranieno. Dakle postoji skup oblika : N = {, {}, {, {}}, {, {}, {, {}}, . . .}.Sada je lako vidjeti da je preslikavanje {}, {} {, {}}, {, {}} {, {}, {, {}}, . . .} bijekcija gornjeg skupa na pravi podskup {{}, {, {}}, {, {}, {, {}}, . . . } pa je taj skup beskonaan. Sa druge strane skup {a} je konaan, jer on nema pravih podskupova, pa ne moe ni postojati bijekcija tog skupa na pravi podskup.

Definicija 1.1.Za skup B kaemo da je podskup skupa A i piemo B A ,ako je svaki element skupa B i element skupa A.Definicija 1.2.Ako su A i B skupovi tada se skup AB = {x : x Ax B} naziva unijom skupova A i B. Unija se moe definisati i za proizvoljnu familiju skupova (Ai)iI sa iIAi = {a : i I, a Ai}.

Definicija 1.3.Ako su A i B skupovi tada se skup AB = {x : x Ax B} naziva unijom skupova A i B. I presjek se moe definisati i za proizvoljnu familiju skupova (Ai)iI sa iIAi = {a : i I, a Ai}.

Definicija 1.4. Skup A \ B = {x : x A (x B) nazivamo razlikom skupova A i B. Ako je jo i B A onda A \ B nazivamo komplementom skupa B u skupu A i oznaavamo sa A0 . Za dva skupa A i B kaemo da su disjunktni, ako A B = . Definicija 1.5.Neka je Ai A, (i I) neka familija podskupova skupa A. Tada za tu familiju kaemo da ini particiju skupa A ako je A = iIAi , Ai Aj = , (i 6= j). Uobiajeno je da se elementi Ai particije nazivaju blokovima. Za skupove A, B, C, . . . , koji su podskupovi nekog (univerzalnog) skupa.

5. ZAKLJUAK

Matematika je nauka o veliinama sa njihovim oiglednim osobinama koje imaju konkretan smisao i vrijednost, svaki odnos izmeu matematikih simbola odgovara odnosu izmeu realnih stvari, matematiko rasuivanje je jednako eksperimentu besprijekorne tanosti koji je ponovljen neogranien broj puta i treba da vodi do logiki i materijalno tanih zakljuaka. Dakle, cjelokupna matematika, kao apstraktna nauka zasniva se na pojmu broja, skupa i na logikom rasuivanju i dokazima iskaza. Dakle, svi stavovi, savremene matematike, dokazani su naunim eksperimentima odnosno, potvrdom iskaza, reenica koje imaju smisla, a mogu biti tane ili istinite, kao i netane. Matematika je kako u savremenom drutvu , tako i od antikog doba implementirana u svaku poru drutva, privredu, obrazovanje, ekonomiju, medicinu, te je razumijevanje matematike i njenih osnovnih pojmova zapravo i osnov za funkcionisanje u savremenom drutvenom sistemu.

6.LITERATURA

1. . Takai, S.Radenovi, Matematika I za ininjere, Akademska misao, Beograd, 2002.2. E.Stipani: Istorija i filozofija matematike, Dijalektika 4, Beograd 19773. .Ljubovi, S.Kalabui, Matematika za brucoe, Univerzitet u Sarajevu, umarski fakultet, Sarajevo, 2007.4. https://www.sfsb.hr/nastava/esadrzaji5. https://tozadragovic.files.wordpress.com/2012/02/o_skupovim.pdf

13