UNIVERZITET U SARAJEVU

EKONOMSKI FAKULTET U SARAJEVU

SKUPOVI I OPERACIJE SA SKUPOVIMA

DEKARTOV PROIZVOD SKUPOVA

RELACIJE I FUNKCIJE

SEMINARSKI RAD

Predmet: Matematika za ekonomiste

Mentor: dr Lejla Smajlović

Studentice (broj indexa):

Bećković Irma (68541)

Gribajčević Anja (68596)

Sarajevo, decembar 2009. godine

SADRŽAJ:

1. SKUPOVI...........................................................................................................................3

2. OPERACIJE SA SKUPOVIMA.........................................................................................4

2.1. UNIJA.....................................................................................................................4

2.2. PRESJEK................................................................................................................4

2.3. RAZLIKA...............................................................................................................5

2.4. SIMETRIČNA RAZLIKA......................................................................................5

2.5. PARTITIVNI SKUP...............................................................................................6

2.6. DISJUNKTNI SKUPOVI.......................................................................................6

2.7. KOMPLEMENT SKUPA.......................................................................................6

3. DEKARTOV PROIZVOD.................................................................................................7

4. RELACIJE, OSOBINE BINARNIH RELACIJA, VRSTE BINARNIH RELACIJA.......8

5. FUNKCIJA:........................................................................................................................9

5.1. OSOBINE FUNKCIJE...........................................................................................9

6. LITERATURA.................................................................................................................12

2

1. SKUPOVI

Posmatrajući razne grupe, skupine, mnoštvo raznih objekata, stvari, živih bića i dr.

možemo doći do pojma skupa. Tako imamo skup klupa u učionici, skup stanovnika nekog

grada, skup knjiga u biblioteci, itd. Tvorac teorije skupova je Georg Kantor, njemački

matematičar, koji je prvi dao “opisnu” definiciju skupa. Mnogi drugi matematičari su također

pokušavali da definišu skup. Danas, po savremenom shvatanju, pojam skupa se ne definiše,

već se usvaja intuitivno kao cjelina nekih različitih objekata.

Predmeti iz kojih je skup sastavljen zovu se elementi skupa. Postoje skupovi sa konačno

mnogo elemenata, koje nazivamo konačnim skupovima, i skupovi sa beskonačno mnogo

elemenata, odnosno beskonačni skupovi. Tako, na primjer, skup stanovnika na zemlji

predstavlja jedan konačan skup, dok skup svih cijelih brojeva sadrži beskonačno mnogo

elemenata.

Skupove najčešće obilježavamo velikim slovima A, B ,...X, Y,... a elemente skupa malim

slovima a,b,...,x,y…

Ako je x element skupa X , tu činjenicu ćemo označavati sa x X, a ako ne pripada skupu

X, označićemo sa x X. Oznake ćemo čitati: “x pripada skupu X” ili “x je element skupa X”.

Oznaku x X ćemo čitati “ x ne pripada skupu X” ili “ x nije element skupa X”

Postavimo sada pitanje: “ Koliko elemenata ima skup prirodnih brojeva većih od jedan a

manjih od dva” ? Jasno je da takav skup nema ni jednog elementa. Za takav skup kažemo da

je prazan i obilježava se sa . Svaki skup je ili prazan ili neprazan. Ne postoji skup koji je

istovremeno i prazan i neprazan.

Međutim, desiće nam se nekad da nije zgodno, a ni moguće, da neposredno navedemo

sve elemente nekog skupa. Stoga se koristi i ovakvo zapisivanje skupova:

{x|S(x)} ili, isto{x| x ima svojstvo S}, što bi značilo “skup svih x koji imaju svojstvo S”.

Na primjer skup X={7,8,9,10,11,12} možemo zapisati i na sljedeći način:

X={x| x N 6< x <13 }.

Za neka dva skupa kažemo da su jednaki ako su svi elementi jednog skupa ujedno

elementi drugog skupa, i obrnuto, svi elementi drugog skupa su elementi prvog skupa.

Zapisujemo: A=B ako i samo ako ( x) (x A x B ), na primjer po definiciji bit će

{a,a,a,b,b,c}={a,b,b,c,c,c}={a,b,c}.

Dakle , svaki član skupa je prisutan jednim pojavljivanjem, a sva ostala njegova

pojavljivanja, ukoliko ih ima, nisu važna, i, uz to, ni redoslijed navođenja članova nije bitan.

3

Kažemo da je skup B podskup skupa A, što označavamo B A, ako su svi elementi

skupa B takođe i elementi skupa A, tj. B A ako i samo ako ( x) (x B x A)

Relacija uvedena ovom definicijom se zove relacija inkluzije. Ovdje moramo voditi

računa da se svi skupovi ne mogu upoređivati. Prazan skup je podskup svakog skupa.

2. OPERACIJE SA SKUPOVIMA

Unija

Presjek

Razlika

Simetricna razlika

Partitivni skup

Dekartov proizvod

Komplement skupa

1. UNIJA

Skup svih elemenata koji su elementi bar jednog od skupova A ili B , zove se unija

skupova A i B i označava se sa A B

A B = {x|x A x B}

Na dijagramu bi to izgledalo ovako:

Primjer: Ako je A={1,2,3} i B={2,3,4} A B={1,2,3,4}

1. PRESJEK

Skup svih elemenata koji su elementi skupa A i skupa B zove se presjek skupova A i B

i obilježava se sa A∩B.

4

A B = {x| x A x B}

5

Grafički prikaz bi bio:

Primjer: Ako je A={1,2,3} i B={2,3,4} A∩B={2,3}

1. RAZLIKA

Skup svih elemenata koji su elementi skupa A ali nisu elementi skupa B zove se razlika

redom skupova A i B u oznaci A\B.

A\B={x| x A x∧ B}

Naravno možemo posmatrati i skup B\A, to bi bili svi elementi skupa B koji nisu u A.

Na dijagramima to bi izgledalo ovako:

Za naš primjer je A\B={1} Za nas primjer je B\A={4}

1. SIMETRIČNA RAZLIKA

Skup (A\B) (B\A) naziva se simetrična razlika i najčešće se obilježava sa Δ.

A Δ B= (A\B) (B\A).

6

Na dijagramu je:

Za naš primjer je A Δ B={1,4}

1. PARTITIVNI SKUP

Skup svih podskupova skupa A naziva se partitivni skup skupa A i obilježava se sa

P(A). Primjer:

Ako je A={1,2,3) , onda je P(A)={ , {1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}, {1,2,3}}

1. DISJUNKTNI SKUPOVI

Za skupove A i B kažemo das u disjunktni ako im je presjek prazan skup A∩B=

1. KOMPLEMENT SKUPA

Unija, presjek i razlika su binarne skupovne operacije, dok je komplement skupa unarna

operacija. To je skup svih elemenata koji nisu sadržani u posmatranom skupu.

Komplement najčešće obilježavamo sa Ā

Na slici bi bilo:

Ā={x| x A}

Primjer: Ako je A={1,3,7} i B={1,2,3,4,5,6,7} onda je:

Ā ={6,5,4,2}

7

3. DEKARTOV PROIZVOD

U matematici, Dekartov proizvod je direktni proizvod skupova. Ime je dobio po

francuskom matematičaru Dekartu, zahvaljujući čijem zasnivanju analitičke geometrije je

postavljen temelj za ovaj koncept. On je uveo pojam pravouglog koordinatnog sistema koji se

naziva Dekartov koordinatni system. U tom sistemu svakoj tački ravni odgovara jedan uređeni

par realnih brojeva (x,y) i, obrnuto, svakom paru brojeva (x,y) odgovara tačno jedna tačka u

koordinatnoj ravni.

Dekartov proizvod dva konačna skupa može se predstaviti tabelom, tako da su elementi

jednog skupa raspoređeni u redove, a drugog u kolone. Tada se uređeni parovi mogu shvatiti

kao ćelije u tabeli, gdje je svaka određena svojim redom i kolonom.

Prvi broj x u tom paru nazivamo prvom koordinatom (apscisom) , a drugi y, drugom

koordinatom (ordinatom).

Za uređene parove je karakteristična osobina:

(x,y)=(a,b) ako i samo ako x=a y=b

Dekartov proizvod skupova je skup: A B={(a, b) | a A, b B}

Treba voditi računa da A×B≠B×A

Primjer:

Ako je M={1,2,3} i N={A,B} onda je:

M×N={(1,A),(1,B),(2,A),(2,B),(3,A),(3,B)}. Na slici:

8

4. RELACIJE, OSOBINE BINARNIH RELACIJA, VRSTE BINARNIH RELACIJA

Definicija: n-arna relacija ρ nad skupovima A1,A2,..An je podskup Dekartovog

proizvoda tih skupova:

Nama najbitnije su binarne relacije, naprimjer ako imamo skup informatičara

I={i1,i2,i3,i4} , i skup programa P={p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7}, odno možemo definisati relaciju

koja opisuje koji je informatičar radio na kom programu:

ρ = {(i1,p1),(i2,p1),(i3,p2),(i4,p2),(i3,p3),(i4,p3)}

najbitnije su binarne relacije na jednim skupom A tj:

Osobine binarnih relacija na jednom skupu (A):

(R) Refleksivnost: ako je svaki element u relaciji sa samim sobom:

ili drugačije pišemo samo

(AR) Antirfefleksivnost:

(S) Simetričnost: ako je a u relaciji sa b, onda je i b u relaciji sa a

Antisimetričnost:

Asimetričnost:

(T) Tranzitivnost :

Vrste binarnih relacija:

Relacija ekvivalencije je relacija koja je refleksivna, simetrična, i tranzitivna (RST).

Ovakve relacije dijele skup na više disjunktnih podskupova koji se nazivaju klase

ekvivalencije.

9

Naprimjer, relacija biti kongruentan po modulu n je relacija ekvivalencije na skupu

prirodnih brojeva (dva broja iz skupa prirodnih brojeva su ekvivalentna po ovoj relaciji ako

daju isti ostatak pri cjelobrojnom dijeljenju sa n). Recimo, relacija biti kongruentan po

modulu 3, dijeli skup N na tri disjunktne klase brojeva, onih koji pri cjelobrojnom dijeljenju

sa 3 daju ostatak 0,1 ili 2).

Relacija parcijalnog poretka je relacija koja je refleksivna, antisimetrična i tranzitivna.

Ovakve su, naprimjer relacije manje ili jednako i veće ili jednako

Relacije totalnog poretka je relacija koje je antirefleksivna, asimetrična, i tranzitivna.

Ovakve su relacije manje od i veće od ( '<' i '>' )

5. FUNKCIJA:

Relacija F sa skupa A u skup B f:AB koja svakom elementu x iz A po nekom pravilu

pridružuje tačno jedan element y iz B zove se FUNKCIJA ili PRESLIKAVANJE (

skup A - domena, skup originala, skup nezavisno promjenljivih,

skup B - kodomena, skup slika ili kopija, skup zavisno promjenljivih.

x-nezavisne promjenljive ili originali

y-zavisno promjenljive ili slike, kopije

Za dvije f-je f i g kažemo da su jednake ako imaju iste domene, iste kodomene i isto

pravilo preslikavanja f(x)=y

FUNKCIJA: f:AB ( f(x)=y

1. OSOBINE FUNKCIJE

Injektivnost (ako različitim originalima pripadaju različite slike)

Sirjektivnost (kad svaka slika u B ima svoj original u A)

Bijektivnost (ako je istovremeno i injektivna i sirjektivna)

Inverzna funkcija: Neka je funkcija f inverzna f:AB-bijekcija, za funkciju f-1 iz BA

kažemo da je inverzna funkcija funkcije f ako ona svaki element y iz B vraća u onaj element x

iz A koji je funkcijom f prešao u y.

10

Zadaci:

1. Odrediti skupove A, B, C, ako je poznato:

A = {1, 3, 4, 6, 9}

B = {x | |x| < 3}

C = {x | 2|x Λ x < 10}, a zatim odrediti elemente sljedećih skupova:

1. A C

2. A B

3. (A \ B) (C \ A)

Prvo ćemo odrediti skupove A, B i C:

A = {1, 3, 4, 6, 9}

B = {x | |x| < 3} = {−2,−1, 0, 1, 2}

C = {x | 2|x Λ x < 10} = {2, 4, 6, 8}

Odredimo sada tražene skupove.

a) A C je skup koji sadrži one elemente koji se nalaze ili u skupu A ili u skupu C, pa je

A C = {1, 3, 4, 6, 9} {2, 4, 6, 8} = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9}

b) A B je sup koji sadrži one elemente koji se nalaze i u skupu A u u skupu B, pa je

A B = {1, 3, 4, 6, 9} {−2,−1, 0, 1, 2} = {1}

11

c) A \ B je skup koji sadrži one elemente koji se nalaze u skupu A, a ne nalaze u skupu

B. Slično je i sa skupom C \ A, pa imamo

(A \ B) (C \ A) = {3, 4, 6, 9} {2, 8} = {2, 3, 4, 6, 8, 9}

2. Dati su skupovi A={1,2,3,4,5} i B={4,5,6,7}. Odrediti skup X tako da bude:

X\B= i A\X ={1,2,3}

Izgleda da ćemo ovdje imati više mogućnosti za traženi skup X.

Kako je X\B= , to nam govori da su svi elementi skupa B potencijalni elementi skupa X jer

nema takvih elemenata da su u X a nisu u skupu B.

A\X ={1,2,3} nam govori da u skupu X sigurno nisu elementi {1,2,3}. Dakle:

X={4,5} ili X={4,5,6}ili X={4,5,7}ili X={4,5,6,7}

3. Na jednom kursu stranih jezika svaki slušalac uči bar jedan od tri strana jezika

(engleski, francuski i njemački) i to: 18 slušalaca uči francuski, 22 uči engleski, 15 slušalaca

uči njemački, 6 slušalaca uči engleski i francuski, 11 slušalaca engleski i njemački, 1 slušalac

uči sva tri jezika. Koliko ima slušalaca na tom kursu i koliko od njih uči samo dva jezika?

Prvo zapišimo podatke:

18 slušalaca uči francuski

22 uči engleski

15 slušalaca uči njemački

6 slušalaca uči engleski i francuski

11 slušalaca engleski i njemački

1 slušalac uči sva tri jezika

Najbolje je upotrebiti Venov dijagram sa tri skupa (njega popunjavamo tako što

popunimo presjek sva tri skupa, pa presjeke po dva skupa, i na kraju, elemente koji pripadaju

samo po jednom skupu).

Prvo upišemo 1 u presjeku sva tri skupa. Zatim presjek Francuzi i Englezi, ali tu ne

pišemo 6, vec 6-1=5, onda presjek Englezi i Njemci 11-1=10.

12

Dalje je ostalo 18-5-1=12 koji uče samo francuski, 22-10-5-1=6 koji uče engleski i na

kraju 15-10-1=4 koji uče njemački.

Broj slušaoca je 12+5+6+1+10+4=38, a broj onih koji uče samo dva jezika je

10+5=15

13

6. LITERATURA

1) Elmir Čatrnja, Oktobar 2007., “Matematika 1 – Skupovi”, Nastavnički fakultet

Mostar

2) Blagota Lučić, Ljubo Pejić, 2005., Zbirka zadataka iz matematike, I dio,

Sarajevo,

3) http :// wikimediafoundation . org / wiki / Support _ Wikipedia 2

14