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Seminar Parametrisierte Algorithmen furNP-schwere Probleme
Reinhard Bauer, Marcus Krug, Ignaz Rutter, Dorothea Wagner
Lehrstuhl fur Algorithmik IInstitut fur Theoretische Informatik
Universitat Karlsruhe (TH)
8. Mai 2009
Lehrstuhl fur Algorithmik IInstitut fur theoretische Informatik
Universitat Karlsruhe (TH)Forschungsuniversitat · gegrundet 1825
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Ubersicht
Themen
� Parametrisierung / FPT
� Charakterisierung von FPT
� Approximierbarkeit und FPT
� Beschrankte FPT
� Parametrisierte Komplexitatstheorie
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Literatur
� Parameterized Complexity Theory, J. Flum, M. Grohe, 2006
� An Invitation to Fixed-Parameter Algorithms, R. Niedermeier,2006
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Disclaimer
� viele Definitionen, Lemmata und Theoreme
� wenige Beweise
� einiges etwas trocken, aber wichtig, die Dinge mal sauberdefiniert zu haben
� N = {1, 2, . . .}
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Parametrisierung
Definition (Parametrisierung / Parametrisiertes Problem)
Sei Σ ein endliches Alphabet.
� Eine Parametrisierung ist eine Abbildung κ : Σ∗ → N, die inPolynomialzeit berechenbar ist.
� Ein Parametrisiertes Problem (uber Σ) ist ein Tupel (Q, κ)mit Q ⊆ Σ∗ und einer Parametrisierung κ.
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Beispiel: Parametrisierung
Problem p-SAT
� Q := {α | α erfullbare aussagenlogische Formel}� Parametrisierung: α 7→ κ(α) := Anzahl der Variablen von α
Problem p-SAT
Instanz: Aussagenlogische Formel α
Parameter: Anzahl der Variablen von α
Problem: Entscheide, ob α erfullbar ist
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Beispiel: Parametrisierung
Problem p-Colorability
Instanz: Graph G = (V ,E ), k ∈ NParameter: k
Problem: Entscheide, ob G k-farbbar ist.
Parametrisierung
� (G , k) 7→ k
� Laufzeit O(|(G , k)|)
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Definition (NP-Optimierungsproblem (Wdh.))
Ein NP-Optimierungsproblem uber Σ ist ein TripelO = (sol, cost, goal), so dass
(1) sol ist berechenbare Funktion Σ∗ → 2Σ∗ , so dass die Relation
R := {(x , y) | x ∈ Σ∗, y ∈ sol(x)}
polynomiell balanciert ist
(2) cost : R → N ist polynomiell berechenbar
(3) goal ∈ {max,min}
Optimum:
optO(x) := goal{cost(x , y) | y ∈ sol(x)}
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Standardparametrisierung
Definition
Sei O = (sol, cost, goal) ein NP-Optimierungsproblem.
Problem p-OInstanz: x ∈ Σ∗, k ∈ NParameter: k
Problem: Entscheide, ob optO(x) ≥ k , falls goal = max oderoptO(x) ≤ k , falls goal = min
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Fixed-Parameter Tractability
Definition (FPT)
Sei Σ endliches Alphabet, κ Parametrisierung
� Ein Algorithmus A heißt FPT-Algorithmus bzgl. κ, fallsf : N→ N berechenbar und ein Polynom p existieren, sodass die Laufzeit von A fur alle x ∈ Σ∗ beschrankt ist durch
f (κ(x)) · p(|x |)
� Ein Parametrisiertes Problem (Q, κ) ist fixed-parametertractable (FPT), falls es einen FPT-Algorithmus (bzgl. κ)gibt, der Q entscheidet.
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Beispiel: p-SAT
Lemma
p-SAT ist FPT bzgl. Parametrisierung “Anzahl der Variablen”
Beweis
� Brute-Force Algorithmus (Suchbaum) hat LaufzeitO(2k · p(|α|)).
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Spezielle Parametrisierungen
Betrachte Parametrisierung
κsize(x) := max{1, |x |}
Beobachtung
� Q entscheidbar ⇒ (Q, κsize) ist FPT
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Spezielle Parametrisierungen
Betrachte Parametrisierung
κone(x) := 1 fur alle x ∈ Σ∗
Beobachtung
� Q ⊆ Σ∗ ⇒ (Q, κone) ist FPT genau dann, wenn Q inPolynomialzeit entscheidbar ist
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Spezielle Parametrisierungen
Lemma
Sei g : N→ N berechenbar, monoton steigend und unbeschrankt,Σ endl. Alphabet, κ Parametrisierung mit
κ(x) ≥ g(|x |) fur alle x ∈ Σ∗.
Sei Q ⊆ Σ∗ entscheidbar. Dann ist (Q, κ) FPT.
� Jedes parametrisierte Problem, bei dem der Parametermonoton mit der Eingabelange wachst, ist FPT
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Slice
Definition (`-Slice)
Sei (Q, κ) ein parametrisiertes Problem. Die `-te Slice von (Q, κ)ist definiert als
(Q, κ)` := {x ∈ Q | κ(x) = `} .
Lemma
Sei (Q, κ) ein parametrisiertes Problem und ` ∈ N. Falls (Q, κ)FPT ist, dann ist (Q, `) ∈ P.
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Folgerung fur p-Colorability
Problem p-Colorability
Instanz: Graph G = (V ,E ), k ∈ NParameter: k
Problem: Entscheide, ob G k-farbbar ist.
Lemma
Falls P 6= NP gilt, ist p-Colorability nicht FPT.
Beweis
� 3-Slice von p-Colorability (3-Color) ist NP-schwer
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Kernbildung
Definition (Kernbildung)
Sei (Q, κ) ein parametrisiertes Problem uber Σ.
Eine polynomiell berechenbare Funktion K : Σ∗ → Σ∗ heißtKernbildung, falls es eine berechenbare Funktion h : N→ N gibt,so dass
(i) x ∈ Q ⇔ K (x) ∈ Q und
(ii) |K (x)| ≤ h(κ(x))
� triviales Beispiel?: x 7→ x ist Kernbildung fur (Q, κsize)
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Beispiel p-Vertx-Cover
Problem p-Vertex Cover
Gegeben: Graph G = (V ,E ), k ∈ NParameter: k
Problem: Entscheide, ob es ein Vertex Cover V ′ mit k Knotengibt
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Reduktion von Buss fur p-Vertx-Cover
Beobachtung
� deg(v) ≥ k + 1 ⇒ v muss ins Vertex Cover
� maxv∈V deg(v) ≤ k und G hat Vertex Cover der Große k⇒ G hat hochstens k2 Kanten
Kernbildung
� (G , k) 7→ (G ′, k ′) := Reduce(G , k)
⇒ |(G ′, k ′)| = O(k2)
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Reduktion von Buss
Algorithmus 1 : Reduce(G , k)
Input : Graph G = (V ,E ), k ∈ Nif k = 0 then1
if E = ∅ then return (G +, 1) else return (G−, 1)2
else3
if ∃v ∈ V : deg(v) > k then4
return Reduce(G − v , k − 1)5
else6
if |E | ≤ k2 then return (G , k) else return (G−, 1)7
(G +, 1) ist triviale Ja-Instanz, (G−, 1) ist triviale Nein-Instanz
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FPT und Kernbildung
Theorem
Sei (Q, κ) ein Parametrisiertes Problem. Dann sind aquivalent
(1) (Q, κ) ∈ FPT
(2) Q ist entscheidbar und es existiert eine Kernbildung fur (Q, κ)
Beweis
� Tafel
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Alternative FPT-Charakterisierungen
Definition
(Q, κ) ist in P nach einer Vorberechnung auf dem Parameter, fallses ein Alphabet Π, eine berechenbare Funktion π : N→ Π∗ undein Problem X ⊆ Σ∗ × Π∗ gibt, so dass X ∈ P liegt und
x ∈ Q ⇔ (x , π(κ(x))) ∈ X
fur alle x ∈ Σ∗ gilt.
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Alternative FPT-Charakterisierungen
Definition
(Q, κ) ist irgendwann in P, falls es eine berechenbare Funktionh : N→ N und einen Polynomialzeit-Algorithmus A gibt, der furalle x ∈ Σ∗ mit |x | ≥ h(κ(x)) entscheidet, ob x ∈ Q gilt.
(Das Verhalten fur x mit |x | ≤ h(κ(x)) ist nicht spezifiziert.)
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Alternative FPT-Charakterisierungen
Theorem
Sei (Q, κ) ein parametrisiertes Problem. Dann sind aquivalent:
(1) (Q, κ) ist FPT
(2) (Q, κ) ist in P nach einer Vorberechnung auf dem Parameter
(3) (Q, κ) ist irgendwann in P
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Approximierbarkeit und FPT
Definition (PTAS (Wdh.))
Sei O = (sol, cost, goal) ein NP-Optimierungsproblem uber Σ.
Ein Polynomialzeit-Approximationsschema (PTAS) A fur O ist einAlgorithmus mit folgenden Eigenschaften:
� Eingabe: (x , k) ∈ Σ∗ ×N� Ausgabe: 1
k -Approximation y ∈ Σ∗ mit
cost(x , y)
optO(x)≤
(1 +
1
k
)bzw.
optO(x)
cost(x , y)≤
(1 +
1
k
)� fur festes k ist Laufzeit polynomiell
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Approximierbarkeit und FPT
Definition (EPTAS)
Sei O = (sol, cost, goal) ein NP-Optimierungsproblem uber Σ.
Ein effizientes PTAS (EPTAS) fur O ist ein PTAS A, dessenLaufzeit beschrankt ist durch f (k) · p(|x |), wobei f : N→ N eineberechenbare Funktion und p ein Polynom sind.
FPTAS ⊆ EPTAS ⊆ PTAS
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Approximierbarkeit und FPT
Theorem
Sei O = (sol, cost, goal) ein NP-Optimierungsproblem, fur das esein EPTAS A gibt. Dann ist die Standardparametrisierung p-OFPT.
Beweis
� Tafel
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Beschrankte Fixed-Paramter Tractability
Definition (F -FPT)
Sei F Menge von Funktionen f : N→ N.
Ein parametrisiertes Problem (Q, κ) ist F-FPT, falls es eineFunktion f ∈ F , ein Polynom p und einen Algorithmus A gibt, derin hochstens f (κ(x)) · p(|x |) Zeitschritten entscheidet, ob x ∈ Qliegt.
Beispielklassen
� 2kO(1)-FPT= EXPT
� 2O(k)-FPT= EPT
� 2oeff(k)-FPT= SUBEPT
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Parametrisierte Komplexitatstheorie
Definition (FPT-Reduktion)
Seien (Q, κ) und (Q ′, κ′) Parametrisierte Problem uber Σ bzw. Σ′.
Eine FPT-Reduktion von (Q, κ) nach (Q ′, κ′) ist eine AbbildungR : Σ∗ → (Σ′)∗ mit folgenden Eigenschaften:
� x ∈ Q ⇔ R(x) ∈ Q ′
� R kann in FPT-Zeit (bzgl. κ) berechnet werden
� es existiert eine berechenbare Funktion g : N→ N, so dassκ′(R(x)) ≤ g(κ(x)) fur alle x ∈ Σ∗ gilt.
� Notation: (Q, κ) ≤FPT (Q ′, κ′), (Q, κ) ≡FPT (Q ′, κ′)
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Eigenschaften von FPT-Reduktionen
Lemma
Die Relation ≤FPT ist reflexiv und transitiv.
Lemma
FPT ist abgeschlossen unter FPT-Reduktionen, d.h.(Q, κ) ≤FPT (Q ′, κ′) und (Q ′, κ′) ∈ FPT⇒ (Q, κ) ∈ FPT.
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Schwere / Vollstandigkeit
Definition (C-schwer / C-vollstandig unter FPT-Reduktionen)
Sei C eine Klasse von parametrisierten Problemen und (Q, κ) einparametrisiertes Problem.
� (Q, κ) ist C-schwer unter FPT-Reduktionen, falls(Q ′, κ′) ≤FPT (Q, κ) fur alle (Q ′, κ′) ∈ C
� (Q, κ) ist C-vollstandig unter FPT-Reduktionen, falls(Q, κ) ∈ C gilt und (Q, κ) C-schwer ist
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Beispiel
� p-Clique ≡fpt p-Independent-Set
� FPT-Reduktion
R(x) :=
{enc(G , k), falls x = enc(G , k)x , sonst
� enc bildet Graph und Parameter auf Kodierung uber Σ∗ ab
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Para-NP
Definition (FPTpara-NP)
Sei (Q, κ) parametrisiertes Problem uber Σ .
(Q, κ) ist in FPTpara-NP, falls
� es eine berechenbare Funktion f : N→ N, ein Polynom psowie
� einen nicht-deterministischen Algorithmus A gibt, der x ∈ Qfur x ∈ Σ∗ entscheidet und
� in hochstens f (κ(x)) · p(|x |) Schritten terminiert.
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Para-NP Eigenschaften
Proposition
Sei (Q, κ) ein parametrisiertes Problem uber Σ. Dann sindaquivalent:
(1) (Q, κ) ist in para-NP(2) (Q, κ) ist “in NP nach einer Vorberechnung auf dem
Parameter”
(3) Q ist entscheidbar und (Q, κ) ist “irgendwann in NP”
Corollary
FPT = para-NP genau dann, wenn P = NP.
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Para-NP Eigenschaften
Theorem
Sei (Q, κ) ein nicht-triviales parametrisiertes Problem in para-NP.Dann sind Aquivalent:
(1) (Q, κ) ist para-NP-vollstandig unter FPT-Reduktionen
(2) Die Vereinigung von endlich vielen Slices ist NP-vollstandig
Corollary
p-Colorability ist para-NP-vollstandig unterFPT-Reduktionen.
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Para-NP Diskussion
Eigenschaften
� FPT ⊆ para-NP (klar)
Problem
� zu viele Probleme sind para-NP-schwer: eineNP-vollstandige Slice genugt
� hauptsachlich negative Resultate
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XPnu
Definition (XPnu)
Ein parametrisiertes Problem (Q, κ) ist in XPnu (nicht-uniformesXP), wenn die Slices (Q, κ)` fur alle ` ≥ 1 in P sind.
Probleme
� non-uniform: Algorithmus kann fur jedes ` unterschiedlich sein
� XPnu enthalt unentscheidbare Probleme: (Q, κsize) mitQ ⊆ {1}∗ unentscheidbar
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XP
Definition (XP)
Ein parametrisiertes Problem gehort zur Klasse XP, falls es eineberechenbare Funktion f : N→ N und einen Algorithmus A gibt,die fur alle x ∈ Σ∗ in hochstens
|x |f (κ(x)) + f (κ(x))
Schritten entscheidet, ob x in Q liegt.
Beobachtung
� Schranke |x |f (κ(x)) + f (κ(x)) kann durch berechenbareFunktion pκ(x)(|x |) ersetzt werden
� fur festes k arbeitet A in Polynomialzeit
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Komplexitatsklassen
para-NP XP
FPT
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Zusammenfassung
� Parametrisierung
� monoton in |x | wachsende, unbeschr. Parametrisierung ⇒ FPT
� Charakterisierung von FPT
� Kernbildung� in P nach Vorberechnung auf dem Parameter� irgendwann in P� Zusammenhang mit Approximationsalgorithmen
� Parametrisierte Komplexitatsklassen
� para-NP� XPnu, XP
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