Semantica per formule di un linguaggio proposizionale p.9 della dispensa.
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Semantica per formule di un linguaggio proposizionale
p.9 della dispensa
![Page 2: Semantica per formule di un linguaggio proposizionale p.9 della dispensa.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062319/5542eb58497959361e8c3f62/html5/thumbnails/2.jpg)
Per stabilire la verità di una formula proposizionale, fissiamo innanzitutto il fatto che accettiamo di avere solo due possibili valori di verità: il vero e il falso
(si dice che la nostra logica proposizionale è “bivalente”)
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Poi definiamo l’attribuzione del valore di verità ad una formula “per gradi”, a partire dalle formule più semplici (le atomiche, costituite dalla sola lettera proposizionale P, Q, R…) fino a quelle sempre più complesse (che contengono uno o più connettivi).
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Si parte, quindi, assegnando valori di verità
alle formule atomiche. Tale assegnamento è “libero”: non ha nessun carattere di necessità.
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• Se si vuole usare una terminologia matematica, questo atto di assegnamento può essere rappresentato come una funzione (cioè un’operazione) che va dall’insieme delle formule atomiche all’insieme dei valori di verità, in quanto è un’operazione che, ricevendo in entrata formule atomiche, dà in uscita il verdetto, cioè il valore di verità di ciascuna (che, appunto, è preso dall’insieme dei due valori, vero/falso).
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Per rappresentare tutto ciò con una scrittura simbolica, chiamiamo:
V l’assegnamento,
L l’insieme delle formule atomiche,
2 l’insieme dei due valori “vero” e “falso”
(non storcete il naso: “2” è un simbolo come un altro, che può essere utilizzato come nome di un insieme – perché no?- specialmente se l’insieme contiene due sole cose!)
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• Il “vero” e il “falso” possono essere rappresentati, ciascuno, con “V” e “F”, oppure con “T” (true) e “F”, oppure con “1” e “0”.
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• Quindi, quanto appena detto a proposito dell’assegnamento dei valori di verità alle formule atomiche può essere scritto così:
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V: L2
che esprime il fatto che la funzione V prende in entrata formule atomiche e dà in uscita un valore di verità
(I due punti dopo la “V” stanno a significare, appunto, che si sta per esplicitare come lavora quella funzione con quel nome)
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La scritta 2:= {1,0}è la definizione dell’insieme che ha come
nome 2. Si tratta, appunto, dell’insieme che contiene i due membri “1” e “0” che vengono utilizzati per rappresentare il “vero” e il “falso”
(“:=“ è un simbolo che significa che si sta per definire il simbolo scritto alla sua sinistra)
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• Una volta assegnato il valore di verità alle formule atomiche, il valore delle formule composte resta fissato automaticamente sulla base delle tavole di verità per i connettivi, che sono state date alle pp. 7 e 8.
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• Quelle tavole possono anche essere espresse in maniera abbreviata come segue:
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Tavola di veritàdella negazione
A ¬A
1 0
0 1
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Può essere espressa come:
V(¬A) := 1-V(A)che significa che:[V(¬A )] l’assegnamento di valore di verità a ¬A [:= ] è definito con l’operazione 1-V(A), cioè togliendo a 1 il valore di verità di A
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Infatti
Osservando la tabella, vediamo che:
Se V(A) è 1, (cioè, se nella colonna di sinistra c’è il valore 1),
Allora
V(¬A) è 1-1, cioè 0 (cioè, nella colonna di destra c’è valore 0).
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Se V(A) è 0, (cioè, se nella colonna di sinistra c’è il valore 0),
V(¬A) è 1-0, cioè 1 (cioè, nella colonna di destra c’è valore 1).
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Tavola di verità della disgiunzione
A B A B
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
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può essere espressa come:
V(A B) := max (V(A), V(B))che significa che:
V(A B)l’assegnamento di valore di verità a AB [:= ] è definito con l’operazione che sceglie max (V(A), V(B)), cioè il maggiore tra i valori di verità attribuiti, volta per
volta, ad A e a B:
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Infatti,
Osservando la tabella, vediamo che:
• alla prima riga, dove abbiamo come valore di A (cioè come V(A)) 1 e come valore di B (cioè come V(B)) ancora 1,
abbiamo come valore di A B (cioè come V(A B)) 1, che è il massimo tra 1 e 1.
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• alla seconda riga, dove abbiamo come valore di A (cioè come V(A)) 1 e come valore di B (cioè come V(B)) 0,
abbiamo come valore di A B (cioè come V(A B)) 1, che è il massimo tra 1 e 0.
![Page 21: Semantica per formule di un linguaggio proposizionale p.9 della dispensa.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062319/5542eb58497959361e8c3f62/html5/thumbnails/21.jpg)
• alla terza riga, dove abbiamo come valore di A (cioè come V(A)) 0 e come valore di B (cioè come V(B)) 1,
abbiamo come valore di A B (cioè come V(A B)) 1, che è il massimo tra 0 e 1.
![Page 22: Semantica per formule di un linguaggio proposizionale p.9 della dispensa.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062319/5542eb58497959361e8c3f62/html5/thumbnails/22.jpg)
• alla quarta riga, dove abbiamo come valore di A (cioè come V(A)) 0 e come valore di B (cioè come V(B)) ancora 0,
abbiamo come valore di A B (cioè come V(A B)) 0, che è il massimo tra 0 e 0.
![Page 23: Semantica per formule di un linguaggio proposizionale p.9 della dispensa.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062319/5542eb58497959361e8c3f62/html5/thumbnails/23.jpg)
Tavola di verità della congiunzione
A B A B
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
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può essere espressa come
V(A B) := min (V(A), V(B))che significa che:
V(A B)l’assegnamento di valore di verità a A B [:= ] è definito con l’operazione che sceglie min(V(A), V(B)), cioè il minimo tra i valori di verità attribuiti, volta per
volta, ad A e a B:
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Infatti
Osservando la tabella, vediamo che:
• alla prima riga, dove abbiamo come valore di A (cioè come V(A)) 1 e come valore di B (cioè come V(B)) ancora 1,
abbiamo come valore di A B (cioè come V(A B)) 1, che è il minimo tra 1 e 1.
![Page 26: Semantica per formule di un linguaggio proposizionale p.9 della dispensa.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062319/5542eb58497959361e8c3f62/html5/thumbnails/26.jpg)
• alla seconda riga, dove abbiamo come valore di A (cioè come V(A)) 1 e come valore di B (cioè come V(B)) 0,
abbiamo come valore di A B (cioè come V(A B)) 0, che è il minimo tra 1 e 0.
![Page 27: Semantica per formule di un linguaggio proposizionale p.9 della dispensa.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062319/5542eb58497959361e8c3f62/html5/thumbnails/27.jpg)
• alla terza riga, dove abbiamo come valore di A (cioè come V(A)) 0 e come valore di B (cioè come V(B)) 1,
abbiamo come valore di A B (cioè come V(A B)) 0, che è il minimo tra 0 e 1.
![Page 28: Semantica per formule di un linguaggio proposizionale p.9 della dispensa.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062319/5542eb58497959361e8c3f62/html5/thumbnails/28.jpg)
• alla quarta riga, dove abbiamo come valore di A (cioè come V(A)) 0 e come valore di B (cioè come V(B)) ancora 0,
abbiamo come valore di A B (cioè come V(A B)) 0, che è il minimo tra 0 e 0.
![Page 29: Semantica per formule di un linguaggio proposizionale p.9 della dispensa.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062319/5542eb58497959361e8c3f62/html5/thumbnails/29.jpg)
Tavola di verità dell’implicazione
A B A B
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
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può essere espressa come
V(A B) := max (1-V(A), V(B))che significa che:
V(A B)l’assegnamento di valore di verità a A B [:= ] è definito con l’operazione che sceglie max (1-V(A), V(B))cioè il massimo tra :
(1-V(A)), ossia ciò che si ottiene sottraendo da 1 il valore di verità di A e
V(B) il valore di verità di B.
![Page 31: Semantica per formule di un linguaggio proposizionale p.9 della dispensa.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062319/5542eb58497959361e8c3f62/html5/thumbnails/31.jpg)
Infatti
Osservando la tabella, vediamo che:
• alla prima riga, dove abbiamo come valore di A (cioè come V(A)) 1 e come valore di B (cioè come V(B)) ancora 1,
• abbiamo come valore di A B (cioè come V(A B)) 1, che è il massimo tra:
1-V(A) [cioè 1-1] , che è 0
e V(B) che è 1.
![Page 32: Semantica per formule di un linguaggio proposizionale p.9 della dispensa.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062319/5542eb58497959361e8c3f62/html5/thumbnails/32.jpg)
• alla seconda riga, dove abbiamo come valore di A (cioè come V(A)) 1 e come valore di B (cioè come V(B)) 0,
• abbiamo come valore di A B (cioè come V(A B)) 0, che è il massimo tra:
1-V(A) [cioè 1-1] , che è 0 e V(B) che è 0.
![Page 33: Semantica per formule di un linguaggio proposizionale p.9 della dispensa.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062319/5542eb58497959361e8c3f62/html5/thumbnails/33.jpg)
• alla terza riga, dove abbiamo come valore di A (cioè come V(A)) 0 e come valore di B (cioè come V(B)) 1,
• abbiamo come valore di A B (cioè come V(A B)) 1, che è il massimo tra:
1-V(A) [cioè 1-0] , che è 1
e V(B) che è 1.
![Page 34: Semantica per formule di un linguaggio proposizionale p.9 della dispensa.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062319/5542eb58497959361e8c3f62/html5/thumbnails/34.jpg)
alla quarta riga, dove abbiamo come valore di A (cioè come V(A)) 0 e come valore di B (cioè come V(B)) ancora 0,
• abbiamo come valore di A B (cioè come V(A B)) 1, che è il massimo tra:
1-V(A) [cioè 1-0] , che è 1
e V(B) che è 0.
![Page 35: Semantica per formule di un linguaggio proposizionale p.9 della dispensa.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062319/5542eb58497959361e8c3f62/html5/thumbnails/35.jpg)
Tavola di verità della biimplicazione
A B A B
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
![Page 36: Semantica per formule di un linguaggio proposizionale p.9 della dispensa.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062319/5542eb58497959361e8c3f62/html5/thumbnails/36.jpg)
Per cui si capisce subito che:
• V (A B)=1 se e solo se V(A)=V(B).
• Infatti, il valore di verità di è 1 solo alla prima e ultima riga, dove, rispettivamente, A e B hanno entrambi valore 1 e valore 0.
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Ultime definizioni
• A questo punto, si possono introdurre le seguenti definizioni relative ad una formula A:
• 1) è una TAUTOLOGIA (o VERITA’ LOGICA) se risulta VERA secondo OGNI ASSEGNAMENTO di verità;
• 2) è una CONTRADDIZIONE (o è REFUTABILE) se risulta FALSA secondo OGNI ASSEGNAMENTO di verità;
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• 3) è SODDISFACIBILE se e solo se è vera per almeno un assegnamento.