Semana 2 - Lecciones

2 CIRCUITOS COMBINACIONALES2 .1Elena ValderramaUniversidad Autnoma de Barcelona

2 .11. Circuitos combinacionales

Circuitos digitales que implementan una o varias funciones de conmutacin, y tales que las salidas del circuito en cada instante de tiempo dependen nica y exclusivamente de las seales de entrada en aquel mismo instanteseales de entrada en aquel mismo instante.

CircuitoCircuitoCircuito combinacional

Circuito combinacional

2

2 .11. Circuitos combinacionales

Sumador de nmeros de nmeros de 4 cifras binarias (4 bits)

Sumador nmerosSumador nmeros de 4 bits

s 1111 then Z

2.1 Sntesis a partir de una tabla: Memoria ROM2 .1

Sumador nmeros de 4 bits

s

TABLA DE VERDAD 2 .1

..

5

TABLA DE VERDAD

d

e

5

b

i

t

s

l

a

b

r

a

s

(

5

1

2

)

O

M

d

e

2

9

p

a

l..

R

O

2.1 Sntesis a partir de una tabla: Memoria ROM2 .1

CC de n entradas y m salidas ROM de 2n palabras de m bits por palabra

ROM 2n palabras de

Circuito

ROM 2 palabras de m bits

combinacional

habitualmente ineficiente ! habitualmente ineficiente !

7

2 .1PREGUNTA

Cul debera ser el tamao mnimo (nmero de palabras y nmero de bits por palabra de una ROM que implementase un circuito combinacional de 8 entradas y 16 salidas?q p y

1. 23 palabras de 16 bits2 28 l b d 16 bit2. 28 palabras de 16 bits3. 24 palabras de 8 bits4. 216 palabras de 8 bits

8

2.2 Sntesis a partir de una tabla: Puertas lgicas2 .1

xi yi

Sumador 1 bit acarreoINacarreoOUT


zi

x3 y3 x2 y2 x1 y1 x0 y0

Sumador 1 bitacarreoOUT

Sumador 1 bit

Sumador 1 bit

Sumador 1 bit acarreoIN

z3 z2 z1 z0

9

2 .1

Sumador 1 bit

xi yi

acarreoIN(c )

acarreoOUT(c )

s < x + y + c ;

(ci) (co)

zi

s


Sumador

xi yi

1 bit cico

zi

xi yi ci co zi 0 0 0 0 0

0 0 1 0 1

0 1 0 0 10 1 0 0 1

0 1 1 1 0

1 0 0 0 1

1 0 1 1 0

1 1 0 1 0

1 1 1 1 111


x xSumador 1 bi

xi yi

cicoy z

xy

z x z1 bitcico

zix y z x y z x y

INV

xi yi ci co zi0 0 0 0 0

0 0 1 0 1

0 1 0 0 1

0 0

0 1

1 0

0 0

0 1

1 0

0

1

AND OR

INV0 1 0 0 10 1 1 1 0

1 0 0 0 1

1 0 1 1 0

1 1 1 1

1 1 0 1 0

1 1 1 1 1

12


Sumador 1 bi

xi yi

cico 1 bit cico

zi


0 0 1 0 1

0 1 0 0 10 1 0 0 1

0 1 1 1 0

1 0 0 0 1

1 0 1 1 0

1 1 0 1 0

1 1 1 1 1

13


Sumador 1 bi

xi yi

cico 1 bit cico

zi


0 0 1 0 1

0 1 0 0 10 1 0 0 1

0 1 1 1 0

1 0 0 0 1

1 0 1 1 0

1 1 0 1 0

1 1 1 1 1

14

2 .1

Necesitamos una herramienta que nos permita implementar cualquier circuito digitalNecesitamos una herramienta que nos permita implementar cualquier circuito digital utilizando el menor nmero posible de puertas

LGEBRA DE BOOLELGEBRA DE BOOLE

15

(Ejercicio)2 .1

( j )

Disear con puertas lgica la salida zi del sumador de 1 bitSumador

xi yi

1 bit cico

zi


0 0 1 0 1

0 1 0 0 10 1 0 0 1

0 1 1 1 0

1 0 0 0 1

1 0 1 1 0

1 1 0 1 0

1 1 1 1 116

(Solucin del ejercicio propuesto)2 .1

( j p p )

Sumador

xi yiDisear con puertas lgica la salida zi del sumador de 1 bit

1 bit cico

zi


0 0 1 0 1

0 1 0 0 10 1 0 0 1

0 1 1 1 0

1 0 0 0 1

1 0 1 1 0

1 1 0 1 0

1 1 1 1 117


Sumador 1 bi

xi yi

cico 1 bit cico

zi


0 0 1 0 1

0 1 0 0 10 1 0 0 1

0 1 1 1 0

1 0 0 0 1

1 0 1 1 0

1 1 0 1 0

1 1 1 1 1

18

RESUMEN2 .1

Circuitos combinacionales Diseo de circuitos combinacionales utilizando memorias ROM (tablas)Diseo de circuitos combinacionales utilizando memorias ROM (tablas) Primer intento de diseo utilizando puertas lgicas

19

2 .1

20

2 LGEBRA DE BOOLE2 .2Elena ValderramaUniversidad Autnoma de Barcelona

2 .21. lgebra de Boole

Un lgebra de Boole un conjunto finito de elementos sobre el cual se han definido dos operaciones (suma y producto) que cumplen 5 postulados que veremos a continuacin

g

operaciones (suma y producto) que cumplen 5 postulados que veremos a continuacin.

El lgebra de conmutacin(*) es un lgebra de Boole en el que el conjunto de elementos se limita a {0,1}

}{ += operacinoperacinB ,,1,0

(*) En el mbito de los sistemas digitales se trabaja con lgebras de conmutacin, aunque se utiliza el nombre genricos de lgebra de Boole.

22

2 .21. lgebra de Booleg

P 1 - Las operaciones + y . son internas, BbayBbaBba + ,,

P 2 Existe un elemento neutro para cada operacin aaaaBa ==+ 10P 2 - Existe un elemento neutro para cada operacin, aaaaBa ==+ 1,0,

P 3 Existencia del elemento inverso, 0,1|, ==+ aaaaBaBa

P 4 - Las operaciones son conmutativas, abbaabba =+=+ ,

P 5 - Las operaciones son distributivas, )()(,)( cabacbacabacba ++=++=+

23


La nica manera de definir las operaciones suma_lgica y producto_lgico de forma que cumplan los 5 postulados es

a b a+b a.ba b a b a.b0 0 0 0

0 1 1 0

1 0 1 01 0 1 0

1 1 1 1

24


)()(,)( cabacbacabacba ++=++=+

25

2 .22. Propiedades tiles del lgebra de Boolep g

1 - Elemento inverso, 01,10 ==

2 - Idempotencia, aaaaaa ==+ ,p , ,

BbBbBb +P1 BbayBbaBba + ,,

aaaaBa ==+ 1,0,

0,1|, ==+ aaaaBaBa

P1 -

P2 -

P3 -

abbaabba =+=+ ,


P4 -

P5 -

26

2 .2(Ejercicio)(Ejercicio)

Demuestra que aaa =

Pista: Utiliza la segunda parte de los postulados 2 3 y 5 de manera similar a cmo lo hemos hecho

BbBbBb +P1

Pista: Utiliza la segunda parte de los postulados 2,3 y 5 de manera similar a cmo lo hemos hecho anteriormente

BbayBbaBba + ,,

aaaaBa ==+ 1,0,

0,1|, ==+ aaaaBaBa

P1 -

P2 -

P3 -

abbaabba =+=+ ,


P4 -

P5 -

27

2 .2(Resolucin del ejercicio)(Resolucin del ejercicio)

Demuestra que aaa =

Pista: Utiliza la segunda parte de los postulados 2 3 y 5 de manera similar a cmo lo hemos hecho

BbBbBb +P1

Pista: Utiliza la segunda parte de los postulados 2,3 y 5 de manera similar a cmo lo hemos hecho anteriormente

BbayBbaBba + ,,

aaaaBa ==+ 1,0,

0,1|, ==+ aaaaBaBa

P1 -

P2 -

P3 -

abbaabba =+=+ ,


P4 -

P5 -

28

2 .22. Propiedades tiles del lgebra de Boolep g

1 - Elemento inverso, 01,10 ==

2 - Idempotencia, aaaaaa ==+ ,p , ,

3 - Involucin, aa =

4 - Asociatividad, cbacbacbacba )..().(,)()( =++=++

5 - Absorcin, abaaabaa =+=+ )(,.

6 - (sin nombre), babaababaa .)(,. =++=+

7 - de Morgan,

8 - de Morgan generalizada,

babababa +==+ .,.)(

nnnn aaaaaaaaaaaa +++==+++ .......,....)...( 21212121

29

2 .2PREGUNTA

A qu expresin booleana es equivalente la siguiente: bacdba .)( ++

Pista: Utiliza los postulados y las propiedades del lgebra de BoolePista: Utiliza los postulados y las propiedades del lgebra de Boole

1. dcbba ++ ..

2.3.4. dbcbba ... ++

ba.dcbba ++ ..

30

2 .23. Funciones booleanas y tablas de verdady

a) Toda funcin booleana puede representarse explcitamente por una tabla de verdad

bbbf )( bacbcbaf ..),,( +=

a b c f(a,b,c)

0 0 0 00 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 1

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 0

1 1 0 1

1 1 1 0

31


b) Dada una tabla de verdad podemos encontrar una funcin booleana equivalente?... La respuesta es SI

LITERAL

Cualquier variable o su elemento inverso bbCualquier variable o su elemento inverso : ...,,,,,, ccbbaa

MINTERM de n variables

Cualquier producto de n literales tal que cada variable aparece una sola vez. Para n=3, los siguientes trminos son minterms :

cbacbacbacba ...,..,..,..,.. cbacbacbacba

32


MINTERM de n variables : Cada minterm toma el valor 1 para una nica combinacin de valores

a b c

0 0 0

0 0 11cba=1.. cba cbam ..0 =

b0 0 10 1 0

0 1 1

=1.. cba=1.. cba=1.. cba

cbam ..1 =cbam ..2 =cbam ..3 =

1 0 0

1 0 1

1 1 0

=1.. cba=1.. cba=1.. cba

cbam ..4 =cbam ..5 =cbam ..6 =

1 1 1=1.. cba6

cbam ..7 =33

PREGUNTA

Indica cul de las siguientes expresiones corresponde al minterm-5 (m5 )en n=4:

1. dcba ...2.3.4. dcba ...

cba ..dcba ...

34


MINTERM de una funcin booleana de n variables

Son aquellos minterms que coinciden con los 1s de la funcin

a b c f(a,b,c)

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 1

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 0

1 1 0 11 1 0 1

1 1 1 0

35


Representacin cannica en suma de productos de una funcin booleana de n variables

Toda funcin booleana puede representarse de una manera nica como la suma de sus minterms

a b c f(a,b,c)

0 0 0 0

0 0 1 0cbam ..2 =cbam ..3 =cbacbacbacbaf

mmmcbaf

......),,(

),,(),,( 632++=

=

0 0 1 0

0 1 0 1

0 1 1 1

cbam ..6 =

f )(1 0 0 0

1 0 1 0

1 1 0 1

1 1 1 0

36


if ((b=1 and c=0) or (a=0 and b=1)) then f=1; else f=0;

end if;end if;

a b c f(a,b,c)

cbbaaacbccba

cbacbacbacbaf

..).(.)(.

......),,(

+=+++=

=++=

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 1

0 1 1 1

cbacbacbacbaf

mmmcbaf

......),,(

),,(),,( 632++=

=

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 0

1 1 0 1

1 1 1 0

37

2 .24. Ejemplo: Sumador binario de ns de 4 bitsj p

xi yi

Sumador 1 bit acarreoINacarreoOUT


zi

x3 y3 x2 y2 x1 y1 x0 y0

Sumador 1 bitacarreoOUT

Sumador 1 bit

Sumador 1 bit

Sumador 1 bit acarreoIN

z3 z2 z1 z0

38

2 .24. Ejemplo: Sumador binario de ns de 4 bitsj p

Sumador

xi yi xi yi ci co zi 0 0 0 0 0

0 0 1 0 11 bit cico

zi

0 0 1 0 1

0 1 0 0 1

0 1 1 1 0

1 0 0 0 1

1 0 1 1 0

1 1 0 1 0

1 1 1 1 1

.

39

RESUMEN2 .2

lgebra de Boole. Postulados y propiedades. Representacin tabular de funciones booleanasRepresentacin tabular de funciones booleanas Concepto de minterm y forma cannica de suma de productos Cmo obtener el circuito que implementa una descripcin funcional particular

(d i i f i l t bl d d d f i / b l / i it )(descripcin funcional tabla de verdad funcin/es booleana/s circuito)

40

2 NAND, NOR, XOR, NXOR, TRI-STATE2 .3Elena ValderramaUniversidad Autnoma de Barcelona

2 .31. NAND, NOR,

Smbolos algebraicos:

a b ab ab

0 0 1 1 NAND(a, b) = a b,NOR(a, b) = a b.

0 1 1 0

1 0 1 0

1 1 0 0

42

2 .31. NAND, NOR,

Las puertas lgicas NAND y NOR son mdulos universales

43

2 .3(quiz)(quiz)

Cmo implementaras una AND con puertas NOR e inversores?

1.

2.

3.

44

2 .3(Ejercicio)(Ejercicio)

Cmo implementaras el circuito siguiente utilizando slo puertas NAND?

45

2 .3(Resolucin del ejercicio)(Resolucin del ejercicio)

Cmo implementaras el circuito siguiente utilizando slo puertas NAND?

46

2 .32. XOR, NXOR,

Smbolos algebraicos:a b XOR XNOR

Smbolos algebraicos:

XOR(a, b) = a b,

XNOR(a, b) = (a b)

0 0 0 1

0 1 1 0

1 0 1 0

1 1 0 11 1 0 1

XOR = OR exclusiva

47

Las puertas lgicas XOR y NXOR no son mdulos universales

2 .32. XOR, NXOR Las puertas lgicas XOR son asociativas, p g

a b c z

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 1

1

0

0 1 0 1

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 1 0

abc

zab

cz

bc

az

0

1

0

1

1 1 0 0

1 1 1 1n) n) n)

1

0

Las puertas lgicas NAND y NOR no son asociativas

48

2 .32.1. XOR, NXOR Ejemplos de uso: Comparador de igualdad,

If ((x3=y3) and (x2=y2) and (x1=y1) and (x0=y0)) then z=1; else z=0; end if;

49

2 .32.2. XOR, NXOR Ejemplos de uso: Bits de paridad (par),

50

2 .32.3. XOR, NXOR Ejemplos de uso: Sumador de nmeros de 4 bits,

Sumador 1 bit

x3 y3

acarreoOUTSumador

1 bit

x2 y2

Sumador 1 bit

x1 y1

Sumador 1 bit

x0 y0

acarreoIN1 bitOUT

z3

1 bit

z2

1 bit

z1

1 bit IN

z0

51


52

2 .32.3. XOR, NXOR Ejemplos de uso: Sumador de nmeros de 4 bits

xy

,

Suma 1 bitSuma 1 bitco ci

x y

z

coci

53

z


Sumador 1 bit

x3 y3

acarreoOUTSumador

1 bit

x2 y2

Sumador 1 bit

x1 y1

Sumador 1 bit

x0 y0

acarreoIN1 bitOUT

z3

1 bit

z2

1 bit

z1

1 bit IN

z0

54

2 .33. BUFFER TRI-STATE, INVERSOR TRI-STATE,

x

cc x z

0 0 0x z

c

0 1 1

1 0 H

1 1 H

x z

c x z

0 0 1

0 1 0

1 0 H

1 1 H

55


x

cc x z

0 0 0x z

c

0 1 1

1 0 H

1 1 H

x z

c x z

0 0 1

0 1 0

1 0 H

1 1 H

56


x

c c x z 0 0 H

0 1 Hx z

c

1 0 0

1 1 1

x z

c x z

0 0 H

0 1 H

1 0 1

1 1 0

57


C1 C2 CK

x1 x2 x3 .. xn y1 y2 y3 .. yn z1 z2 z3 .. zn

Si C1=0 Xbus; si C2=0 Ybus; ... Cn=0 ZbusSl l C i (C 0) d i d iSlo una seal Ci est activa (Ci =0) en cada instante de tiempo

58

2 .3AND

nombre smbolo funcin

AND

OR

INV

NAND

NOR

XORXOR

XNOR

Tri-state

59

RESUMEN2 .3

NAND, NOR. Concepto e mdulo universal. XOR,NXORXOR,NXOR Buffers tri-state. Bus.

60

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