Semana 2 Circuitos RLC Fasorial

5/25/2018 Semana 2 Circuitos RLC Fasorial

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ING. RAL G. MATOS ACUA

CICLO 2013-III Mdulo: II

Unidad: 2 Semana: 2

ELECTRICIDAD INDUSTRIAL


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CIRCUITOS RLC - FASORIAL

Circuito: , R, L, C. tt cos)( max

RMK

Fasor

Nmero

complejoEcuacin Diferencial de 2 orden:

dt

dICdt

dIRdt

IdL

12

2

Solucin con dos

parmetrosSolucin 1 Solucin 2

)cos()(max

tItIC, impedancia

ZZ

CA=CC+C

NO SI

Fasor

Ley de Ohm

Valores eficaces

Nmero

complejo

: Defasaje ZI maxmax

ZI

Ohm

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ORIENTACIONES

El tutorial est dividido en varios puntos. Cada punto est explicadoen el tutorial mediante una primera parte en la que se hace unaintroduccin terica y una segunda parte en la que se presenta alusuario un breve test o autoevaluacin que le servir para evaluarsus conocimientos. A lo largo del tema aparecen una serie deaplicaciones interactivas que van a permitir al alumno aplicar susconocimientos y variar diversos parmetros para ver los efectos que

se producen.

El estudiante para lograr los objetivos especficos de la unidad 2debe conocer y estar entrenado en temas previos, unidad 1.

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CONTENIDOS TEMTICOS

CIRCUITO RLC - FASORES

1.-IMPEDANCIA

2.-EL CIRCUITO RLC EN SERIE3.-FASORES

4.-RESONANCIA EN UN CIRCUITO RLCSERIE

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INTRODUCCIN

En este tutorial, estudiamos los circuitos RC y RL en alterna, y elcomportamiento de un circuito RLC conectado en serie a una

fuente de voltaje alterno. Calcularemos las corrientes, voltajes y desfasajes entrediferentes puntos de los circuitos utilizando la representacinfasorial de las impedancias.

En este captulo se estudiar el fenmeno de la resonancia, quees la condicin que existe en todo sistema fsico cuando una

excitacin de amplitud constante produce una respuesta deamplitud mxima. Comenzaremos analizando la resonancia para el caso del

circuito RLC en paralelo, luego analizaremos el caso en serie yobservaremos que existen algunas relaciones que son vlidaspara ambas configuraciones de circuitos.

El estudiante para lograr los objetivos especficos de la unidad 2debe conocer y estar entrenado en temas previos, unidad 1.

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MOTIVACION 1

www.youtube.com/watch?v=Pv85cEEDJYc

cmo se genera la corriente alterna?

http://www.youtube.com/watch?v=rjH0bSf5uMU

Ing. Ral Matos Acua
http://www.youtube.com/watch?v=Pv85cEEDJYchttp://www.youtube.com/watch?v=rjH0bSf5uMUhttp://www.youtube.com/watch?v=rjH0bSf5uMUhttp://www.youtube.com/watch?v=Pv85cEEDJYc


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Real

Imag.

JXL

JXC

z

z

Inductiva

Henrios

Capacitiva

Faradios

IMPEDANCIA

R = resistencia hmica ()XL (bobina) = inductancia o reactanciainductiva = .L ()XC (condensador) = capacitancia oreactancia capacitiva = 1/ .C ()Z = impedancia ()

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Circuito RC en serie (repaso)

Todos los elementos tienen la misma corriente elctrica: I = Ip Cos(wt)

R

C

I

)()( tIpCosRVr

)2/()( tIpCosXcVc

Impedancias RZ

)/1( CXcZ

Xr

XC

Fasores de Impedancias

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Circuito RL en serie (repaso)

Todos los elementos tienen la misma corriente elctrica: I = Ip Cos(wt)

R

L

I

)()( tIpCosRVr

ImpedanciasRZ

LXZ L

)2/()( tIpCosXV LLXR

XL


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R

C

I

)(. tIpCosRVr

)2/()( tIpCosXcVc

)2/()( tIpCosXV LL

R

XC

XL


)/1( CXc

LXL

Impedancias

Todos los elementos tienen la misma corriente elctrica: I = Ip Cos(t)

Circuito de corriente alterna RLC en serie

V

L

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CIRCUITO RLC

Tensiones Parciales. ImpedanciaDe los estudios de los circuitos R, L y C, se tiene:

Ing.

RalMa

tosAcua


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Lo que permite realizar el diagrama vectorial de tensiones del circuito, y el tringulocorrespondiente, del que se obtiene dividiendo sus lados por la intensidad I, el tringulode impedancias, y multiplicando sus lados por la intensidad I el tringulo de potencias.

Ing.

RalMa

tosAcua


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Circuito RLC en serie

dtdILRI

Cqtcoso

Derivando con respecto al tiempo

2

2

o

dt

IdL

dt

dIR

C

Itens

ngulo de faseR

tg CL

Corrientemxima ZR

I o2

CL2

oo

CL Reactancia total

2CL

2RZ Impedancia

Esta ecuacin es una ecuacin diferencial,con dos constantes de integracin, cuyasolucin se puede escribir de la forma

)tcos(II o constantes:,Io

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Notacin fasorialLa relacin entre corriente y voltaje en una bobina o en un condensador puede

representarse mediante vectores bidimensionales llamados fasores.

Podemos representar la cada de potencial enuna resistencia como un vector de mdulo IoR,que forma un ngulo con el eje X

El valor instantneo de la cada de tensin es lacomponente x del vector VR, que gira en sentidoantihorario con una velocidad .

A cos( t- ) Fasor A A

B cos( t- ) Fasor B B

BAC

Uso de los fasoresCualquier funcin A cos( t- ), ser la componente xde un fasor que forma un ngulo ( t- ) con el eje x

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La representacin fasorial la llevamos en elplano complejo

r

a

b

Re

Im

Coordenadas cartesianas jbaz

Coordenadas polares rz

Frmula de Euler senjrcosrre j

Cambio de

coordenadas

Cartesianas a polares

a

btgarc

bar 22

Polares a cartesianassenrb

cosra

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Nmeros Complejos

Img.

Realx

y

Rectangular: x +jy

PolarMagnitud

ngulo

22 yxz

x

ytg

1

zz

z

Para convertir de polar a rectangular:

ysenzxz

.cos. (Real)

(Imaginarios)

Para sumar o restar deben estar en rectangulares.

Para multiplicar o dividir deben estar en polares

)()(

)(

)())((

21

2

1

22

11

21212211

z

z

z

z

zzzz

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Dominio del tiempo Dominio de la Frecuencia

)cos( tA

)( tAsen

A

2A

Convertir a fasores

AtsentiVttv

)120377(12)()45377cos(24)(

901202/12

452/24

I

V

75102016

IV

del dominio de la frecuencia al dominio deltiempo si la frecuencia es de 1k Hz.

)752000cos(210)(

)202000cos(216)(

tti

ttv

2000

)2(1kHz

Convertir los fasores a f(t)

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Representacin compleja de elementos de CAVamos a reproducir las corrientes encontradas en circuitos de corriente alterna

utilizando el formalismo de los nmeros complejos. Representaremos por e ilas tensiones y corrientes, teniendo en cuenta que las magnitudes de intersfsico sern Re( ) y Re(i). As, los circuitos de corriente alterna se puedenresolver considerando la ley de Ohm con el formalismo de los nmeroscomplejos.

Fuente de tensin o )cos()Re( to)t(j

oe

Resistencia RZRCorriente y tensin estn enfase.

CondensadorC

jZC

Corriente adelantada /2respecto de la tensin.

Induccin jLZLCorriente atrasada /2respecto de la tensin.

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I. Corriente alterna compleja en una resistencia

RZ

e

R

tjo

Aplicando la ley de Ohm

tjo

ReRZi tcosR)iRe(I o

II. Corriente alterna compleja en un condensador

C

jZ

e

C

tjo


)/t(jotjo

C

e

C/

e

C/jZ

i 2

1

)/tcos(

C/

)iRe(I o 2

1

Ing.

RalMatosAcua


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III. Corriente alterna compleja en una bobina

jLZ

e

L

tjo


)/t(jotjo

L

eL

ejLZ

i 2 )/tcos(

L)iRe(I o 2

0RZ 2/CXXc2/LXXL

Z = R XL = jL XC = -j/C

Impedancias complejas (fasorial):

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Diagramas fasoriales

Los fasores pueden representarse en el plano complejo.

A menudo su representacin es til en la resolucin deproblemas.

En un circuito serie tomamos la corriente como origen defases (comn a todos los elementos).

En un circuito paralelo tomamos la tensin como origen de

fases (comn a todos los elementos).

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Aplicacin 1: Circuito RL de corriente alterna

Hallar el voltaje pico Vab en funcin de L , R , e Ip

L

Vab

i

VL Vab= Ip Zab

VR

a

b

ZabXL

XL = L ; ZR = R

R

XL

Vab= Ip [R2

+ (L)2

]1/2

R

22

LXRz

R

Xtg L1

LJXRz zz

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C

Vab

i

VC

VR

a

b

XC

XC = 1/C ; ZR = R

R

XC

Vab= Ip [R2

+ (1/C)2

]1/2

R

Vab= Ip Zab

Aplicacin 2: Circuito RC de corriente alterna

Hallar el voltaje pico Vab en funcin de C , R , e Ip

Zab

22

LXRz

R

Xtg L

1

LJXRz zz

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Circuito RLC en serie

)XX(jR)C

L(jRZ

e

CLT

tjo

1

tj

CL

o

T e)XX(jRZi

R

XXtan CL

22 )XX(RI

CL

oo

)tcos(I)iRe(I o

Multiplicando numerador ydenominador por el conjugado,se obtiene :

)t(j

CL

o

T

e)XX(RZ

i22

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Para una impedancia cualquiera y un circuito que no sea RLC en serie,

tendremos, suponiendo que el voltaje no tiene fase inicial, magnitudes deltipo:

j

tjo

eZZ

eVv

Para calcular la corriente compleja aplicamos la ley de Ohm de forma que,operando con fasores podemos escribir:

)t(jo eZ

V

Z

vi

)tcos(Z

V)iRe(I oCon lo cual:

)ZRe(

)ZIm(tan

Z

VI oo

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Diagramas en un Circuito en Serie R-L-C

Diagrama de Tensn e Intensidad Diagrama de Impedancias

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La Impedancia total Z como fasores de R, XL y XC

R

C

L

I

Impedancia total : Z

XL - XC

XL = L ;

XC = 1/C

2/LX

2/CX

0R

0R

Z

90C

X

90L

X

V

22 )(CL

XXRz

R

XXtg CL

1

)( CL XXJRz zz

Aplicacin 3: Circuito RLC en serie de corriente alterna

ZIV .

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Diagrama de Tensiones

Diagrama de Potencias

Observando la figura tambin se verifica que:P = V I Cos ; Q = V I sen

Ing.

RalM

atosAcua


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Diagrama de los Valores Instantneos

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Ing. Ral Matos Acua


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Ing. Ral Matos Acua


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Ing. Ral Matos Acua


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Operaciones con Impedancias

Ing.

RalMatosAcua


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Resonancia en serie

En un circuito RCL en serie, tanto la corriente mxima como la diferencia de

fase dependen de la frecuencia angular .

Respues ta mxim a del cir cu ito

Frecuencia natural de oscilacinLa frecuencia de la fuerza impulsora(fem alterna) coincide con estafrecuencia natural

R

XXtan CL

22

oo

C

1LR

I

En este caso la impedanciaalcanza su valor mnimo y lacorriente su valor ms alto

Circuito en resonancia

vale cero y el factor depotencia vale 1

Io ser mxima cuando CL XX Frecuencia de

resonanciao

LC

1

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Curvas de resonancia Representan la potencia media suministrada porel generador al circuito en funcin de lafrecuencia del generador.

La potencia media es mxima cuando = o.Cuando R es pequea, la anchura de la curvatambin lo es, mientras que se ensancha amedida que R aumenta.

Anchura deresonancia

= Diferencia entre losdos puntos de la curva enque la potencia es lamitad de su valor mximo

Factor de calidad

R

LQ o Q alto implica curva de

resonancia estrechaoQ

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Resonancia en paralelo

La admitancia Y de este circuito es :

Una red esta en resonancia cuando el voltaje y la corriente de entrada de lared estn en fase, es decir cuando la admitancia Y es no reactiva; as, laresonancia se da cuando el trmino imaginario es cero.

(rad/s)

Factor de Calidad Q. es una medida de la capacidad de almacenamiento deenerga de un circuito en relacin con su capacidad de disipacin de energa

Para el caso de resonancia en paralelo:

Ing.

RalMa

tosAcua


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Circuitos de una sola malla

V(t)

i(t)

+ V1 - +

V2

-

21

11

21

2

2

zz

zVV

zz

zVV

voltajedeDivisorSuma fasorial

Circuitos de un solo par de nodos

i(t)21

21

zzzzzeq

21

21

VVV

III

21

12

21

21

zz

zII

zz

zII

CorrientedeDivisor1I 2I+

-

+

-

1z 2z

1z

2z 21 zzzeq

21 VVV

21 III

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V(t)

6

mH8?)(

)301000cos(200)(

ti

ttV

8

)1000)(8(

JX

mHJX

LJX

L

L

L

302/200

13.531086ImRe

V

zJz

agalz

AI

I

z

VI

13.232/20

5310

302/200

Atti )13.231000cos(20)(

Ejemplos1. Sea un circuito RL en serie, cuyos datos se muestran en el grfico.

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FcmHL

R

250108 ).1000cos(120)( ttV

4)10*250)(10(

10)10*10)(10(

63

33

JJ

X

JJX

C

L

68

)410(8

Jz

Jz

JXRz

02/120

87.3610

V

z

87.362/12

87.3610

02/120

I

z

VI

Atti )87.361000cos(12)(

Ejemplos2. Sea un circuito RLC en serie, cuyos datos son:

; calcular la corriente I en forma fasorial y en el tiempo.

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a) Representar el circuito en el dominio de la frecuencia.b) Calcular i(t)

Ejemplos

3.

Ing. Ral Matos Acua


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Calculando i(t):

.

.

Ing. Ral Matos Acua


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Ejemplos

4. Utilizar los diagramas vectoriales para encontrar el valor de laresistencia R, de forma que la corriente a travs de la resistencia Ir estretrasada 45 respecto a la corriente de la fuente Is.

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En el diagrama fasorial se puede ver comola longitud de IR debe ser igual a 3Vm.

Por lo tanto:3/1R

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Ejemplos

a) Representar el circuito en el dominio de la frecuencia.b) Calcular v(t), i1(t), i2(t) e i3(t)

5.

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Calculando v(t) y las corrientes:

.

.

Ing. Ral Matos Acua


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CONCLUSIONES Y/O ACTIVIDADES DE INVESTIGACINSUGERIDAS

En la clase practica se desarrollarn aplicaciones de circuitos decorriente alterna con RLC. El estudiante debe revisar los problemaspropuestos.

Se sugiere que el alumno revise los links y/o videos del tutorial.

La prxima tutora tratar sobre potencia compleja, factor depotencia y circuito estrella tringulo. El estudiante debe revisar lostutoriales de la semana 3.

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GRACIAS

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