UNIVERSIDAD NACIONAL TECNOLOGICA DEL CONO SUR DE LIMA UNTECS

• CARRERA PROFESIONAL: ING.MECANICA Y ELECTRICA

• CURSO: ESTATICA Y DINAMICACICLO:IV

SEMANA : 14

TEMA :COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL

PROFESOR : ING. JORGE CUMPA MORALES

2012-I

COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMALOBJETIVOS

• Determinar las componentes normal y tangencial de la velocidad y la aceleración de una partícula que se encuentra moviéndose en una trayectoria curva.

COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMALAPLICACIONES

Cuando un auto se mueve en una curva experimenta una aceleración, debido al cambio en la magnitud o en la dirección de la velocidad. ¿Podría Ud. preocuparse por la aceleración del auto?.

Si el motociclista inicia su movimiento desde el reposo e incrementa su velocidad a razón constante. ¿Cómo podría determinar su velocidad y aceleración en la parte más alta de su trayectoria.

COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMALPOSICIÓN

Cuando la trayectoria de una partícula es conocida, a veces es conveniente utilizar las coordenadas normal (n) y tangencial (t) las cuales actúan en las direcciones normal y tangencial a la trayectoria.En un movimiento plano se utilizan las vectores unitarios ut y un

El origen se encuentra ubicado sobre la trayectoria de la partícula.

El eje t es tangente a la trayectoria y positivo en la dirección del movimiento y el eje n es perpendicular al eje t y esta dirigido hacia el centro de curvatura

COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMALPOSICIÓN

En un movimiento plano las direcciones n y t se encuentran definidas por los vectores unitarios ut y un

El radio de curvatura ρ, es la distancia perpendicular desde la curva hasta el centro de curvatura en aquel punto.La posición es la distancia S medida sobre la curva a partir de un punto O considerado fijo

COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMALVELOCIDAD

Debido a que la partícula se esta moviendo, la posición S está cambiando con el tiempo.

La velocidad v es un vector que siempre es tangente a la trayectoria y su magnitud se determina derivando respecto del tiempo la posición S = f(t). Por lo tanto se tiene

/tv vu

v s dS dt

COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMALACELERACIÓN

Consideremos el movimiento de una partícula en una trayectoria curva plana

En el tiempo t se encuentra en P con una velocidad v en dirección tangente y una aceleración a dirigida hacia la concavidad de la curva. La aceleración puede descomponerse en una componente tangencial at (aceleración tangencial) paralela a la tangente y otra paralela a la normal an (aceleración normal)

La aceleración tangencial es la responsable del cambio en el modulo de la velocidadLa aceleración normal es la responsable del cambio en la dirección de la velocidad

COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMALACELERACIÓN

Tracemos en A un vector unitario . La aceleración será

Si la trayectoria es una recta, el vector sería constante en magnitud y dirección, por tanto

Pero cuando la trayectoria es curva la dirección de cambia por lo tanto

ˆ ˆ( )ˆt tt

d ve dedv dva e v

dt dt dt dt

ˆ0tde

dt

t̂e

t̂e

t̂e

ˆ0tde

dt

COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMALACELERACIÓN

Introduzcamos el vector unitario normal a la curva y dirigido hacia el lado cóncavo de la curva. Sea β el ángulo que forma la tangente en A con el eje x. Entonces se tiene

La derivada del vector unitario tangente será

ˆne

ˆˆ cos

ˆˆ cos( ) ( )2 2

ˆˆ cos

t

n

n

e i sen j

e i sen j

e sen i j

ˆ ˆ( ) cos

ˆˆ

t

tn

de d dsen i j

dt dt dtde d

edt dt

COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMALACELERACIÓN

• Por otro lado se tiene que

• Donde dS es el pequeño arco a lo largo del movimiento en un dt.

• Las normales a la curva en A y A´ se intersecan en C. Entonces

• La razón de cambio del vector unitario tangencial es

d d dS dv

dt dS dt dS

1

dS d

d

dS

ˆ 1ˆtn

dee

dt

COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMALACELERACIÓN

Remplazando esta ecuación en la aceleración se tiene

Es decir las aceleraciones tangencial y normal se escriben

• La magitud de la aceleración total será

2

ˆˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ

tt

t n

t t n n

dedva e v

dt dt

dv va e e

dt

a a e a e

2

ˆ ˆ: t t t n

dv va e a e

dt

2 2t na a a

CASOS ESPECIALES1. La partícula se mueve a lo largo de una línea recta

r => an = v2/ = 0 =>r a = at = v

La componente tangencial representa la razón de cambio de la magnitud de la velocidad

2. La partícula se mueve en la curva a velocidad constante

at = v = 0 => a = an = v2/ r

La componente normal representa la razón de cambio de la dirección de la velocidad

3) La componente tangencial de la aceleracón es constante, at = (at)c.

So and vo son la posición y la velocidad de la partícula en t = 0

4. La partícula se mueve a lo largo de la trayectoria dada por y = f(x). Entonces el radio de curvatura es

20 0

0

2 20 0

1( )

2( )

2( ) ( )

c c

c c

c c

s s v t a t

v v a t

v v a s s

2 3/ 2

2 2

[1 ( / ) ]

/

dy dx

d y dx

CASOS ESPECIALES

Ejemplo 01• Un esquiador viaja con una rapidez de 6 m/s la que se está

incrementando a razón de 2 m/s2, a lo largo de la trayectoria parabólica indicada en la figura. Determine su velocidad y aceleración en el instante que llega al punto A . Desprecie en los cálculos el tamaño del esquiador.

Solución • Estableciendo los ejes n y

t mostrados se tiene.• La velocidad de 6 m/s es

tangente a la trayectoria y su dirección será

• Por lo tanto en A la velocidad forma 45° con el eje x

1,201

10

2 xdx

dyxy

Solución • La aceleración se determina

aplicando la ecuación

• Para ello se determina el radio de curvatura

2

ˆ ˆt n

dv va e e

dt

2 3/ 2

2 2

2 3/ 2

[1 ( / ) ]

/

[1 ( /10) ]

1/10

28.28

dy dx

d y dx

x

m

2

2

ˆ ˆ

6ˆ ˆ2

28,3

ˆ ˆ2 1,27

A t n

A t n

A t n

dv va e e

dt

a e e

a e e

Solución • La magnitud y la dirección de la

aceleración serán

2 2 2

1

2 1.237 2.37 /

2tan 57.5

1.327

a m s

Ejemplo 02

• Un carro de carreras C viaja alrededor de una pista horizontal circular que tiene un radio de 90 m. Si el carro incrementa su rapidez a razón constante de 2,1 m/s2 partiendo desde el reposo, determine el tiempo necesario para alcanzar una aceleración de 2,4 m/s2. ¿Cuál es su velocidad en ese instante.

Solución• Se sabe que la aceleración

tangencial es constante e igual a

• La aceleración normal será

• La aceleración total será

• La velocidad en este instante será

2

0

2,1 /

0 2,1

t

t

a m s

Entonces

v v a t

v t

2 22 2(2,1 )

0.049 /90n

v ta t m s

2

2

2 2 2 2

2 2 2 2

ˆ ˆ

ˆ ˆ2,1 0.049

2,1 [0.049 ]

2,4 2,1 [0.049 ]

4,87

t t n

t n

va a e e

a e t e

a t

t

t

2.1 10.2 /v t m s

Ejemplo 03

Una caja parte del reposo en A e incrementa su rapidez a razón de at = (0.2t) m/s2 y viaja a lo largo de la pista horizontal mostrada. Determine la magnitud y dirección de la aceleración cuando pasa por B

Ejemplo 03

La posición de la caja en cualquier instante es S medida a partir del punto fijo en A.

La velocidad en cualquier instante se determina a partir de la aceleración tangencial, esto es

0 0

2

0.2 (1)

0.2

0.1 (2)

t

v t

a v t

dv tdt

v t

Ejemplo 03

Para determinar la velocidad en B, primero es necesario determinar S = f(t), después obtener el tiempo necesario para que la caja llegue a B. es decir

De la geometría se tiene sB = 3 + 2π(2)/4 = 6.142 m.

Entonces tenemos

2

2

0 0

3

0.1

0.1

0,0333 (3)

S t

dsv t

dt

ds t dt

S t

36,142 0,0333

5,69

t

t s

Ejemplo 03

Remplazando el tiempo en las ecuaciones (1) y (2) resulta

En el punto B el radio de curvatura es ρ = 2 m, entonces la aceleración será

La aceleración total será

Su modulo y dirección serán

2

2

( ) 0.2(5.69) 1.138 /

0.1(5.69) 3.238 /

B t B

B

a v m s

v m s

22( ) 5.242 /B

B nB

va m s

2

, ˆ ˆ

ˆ ˆ1,138 5,242

BB t B t n

B t n

va a e e

a e e

2 2 2

2

1,138 [5,242]

5,36 /

a

a m s

1 5.242[ ] 77,751,138

tg

Ejemplo 04

Una partícula se mueve en una trayectoria curva de tal manera que en cierto instante tiene una velocidad v y una aceración a. Demuestre que el radio de curvatura puede obtenerse a partir de la ecuación

3

1 vxa

v

Ejemplo 04Sabemos que la aceleración en cualquier instante es

Multiplicando ambos miembros por la velocidad v tenemos

Debido a que la aceleración tangencial son colineales su producto vectorial es nulo. Entonces tenemos

Remplazado la aceleración normal tenemos

t na a a

t n

t n

t n

a a a

vxa vx a a

vxa vxa vxa

0

90

n

n n

n

n

vxa vxa

vxa vxa

vxa vxa va sen va

2

3

( )

1

vvxa v

vxa

v

Ejemplo• Partiendo desde el reposo, un bote a motor viaja

alrededor de una trayectoria circular de radio r = 50 m con una velocidad . Determine la magnitud de la velocidad y de la aceleración del bote en t = 3 s.

Ejemplo• Un avión viaja a lo largo de

una trayectoria parabólica vertical . En el punto A el avión tiene una velocidad de 200 m/s la cual se incrementa a razón de 0,8 m/s2. Determine la magnitud de la aceleración del avión cuando pase por A.

20,4y x

Ejemplo • El jugador de béisbol lanza una pelota con una

velocidad inicial de v0 = 30 m/s a un ángulo θ = 30° como se muestra en la figura. Hallar el radio de curvatura de la trayectoria: (a) inmediatamente después del lanzamiento y (b) en el vértice. Calcular en cada caso, la variación de celeridad por unidad de tiempo.

ANALISIS DEL MOVIMIENTO RELATIVO DE DOS PARTICULAS USANDO EJES EN TRASLACIÓN

Hasta ahora se ha estudiado el movimiento absoluto de una partícula usando un marco de referencia fijo.

Sin embargo, existen ejemplos en el que la trayectoria del movimiento de una partícula es complicada, de modo que es más factible analizar el movimiento en partes usando dos o más marcos de referencia.

Por ejemplo, el movimiento de una partícula localizada en la hélice de un avión , mientras éste está en vuelo , es más fácil describirlo si observamos primero el movimiento del avión a partir de un sistema de referencia fijo y después se superpone vectorialmente el movimiento circular de la partícula medida a partir de un marco de referencia móvil unido al aeroplano.

ANALISIS DEL MOVIMIENTO RELATIVO DE DOS PARTICULAS USANDO EJES EN TRASLACIÓN

En esta sección nos ocuparemos del estudio del movimiento solo a marcos de referencia en traslación. El análisis del movimiento relativo de partículas usando marcos de referencia en rotación se tratará en el curso de Dinámica.

MOVIMIENTO RELATICO: POSICIÓN• Consideremos dos partículas A y B

moviéndose en las trayectorias mostradas

• Las posiciones absolutas de A y B con respecto al observador fijo en el marco de referencia OXYZ serán

• El observador B sólo experimenta traslación y se encuentra unidos al sistema de referencia móvil Oxyz

• La posición relativa de A con respecto al observador B , es

Ar OA��������������

Br OB��������������

/A B A Br r r

Movimiento relativo: Velocidad • Derivando la ecuación de la posición relativa se tiene

/A B A Bv v v

Movimiento relativo: Aceleración • Derivando la ecuación de la velocidad relativa se tiene

/A B A Ba a a

Ejemplo 01• Un tren T, viajando a una velocidad constante de 90 km/ h, cruza

una carretera, como se muestra en la figura. Si el automóvil A está viajando por la carretera con una velocidad de 67,5 km/h. Determine la magnitud y dirección de la velocidad relativa del tren con respecto al auto.

SOLUCIÓN

• La velocidad relativa es medida desde el observador ubicado en el auto al cual se le asocial el sistema de referencia OX’Y’,

• Como las velocidades de T y A son conocidas, entonces la velocidad relativa se obtiene de

/

/

/

90 (67.5cos 45 67.5sin 45 )

{42.3 47.7 ) /

T A T A

T A

T A

v v v

i i j v

v i j km h

solución

• La magnitud de la velocidad relativa será

• La dirección de la velocidad • relativa es

2 2 2/ (42.3 47.7 ) 63.8 /T Av km h

/

/

47.7tan

42.3

48.40

T A y

T A x

v

v

solución• Dos aviones están volando horizontalmente a la misma elevación, como

se indica en la figura. El avión A está volando en una trayectoria recta, y en el instante mostrado desarrolla una velocidad de 700 km/h y una aceleración de 50 km/h2. El avión B está volando en una trayectoria curva circular de 400km de radio con una rapidez de 600 km/h y está decreciendo su rapidez a razón de 100 km/h2. Determine la velocidad y la aceleración relativa de B medida por el piloto A

Solución• Al avión A esta moviéndose

rectilíneamente y se asocia un marco de referencia móvil Ox’y’.

• La velocidad relativa de B respecto de A es

• El avión B tiene aceleración normal y tangencial pues se mueve en una curva.

• La aceleración normal será

• Aplicando la ecuación para determinar la aceleración relativa se tiene

/

/

/

600 700

100 / 100 /

B A B A

B A

B A

v v v

v

v km h km h

2

2900 /BB n

va km h

/

/

2/

900 100 50

900 150 /

B A B A

B A

B A

a a a

i j j a

a i j km h

Solución• En un determinado instante los

carros A y B están viajando con velocidades de 18m/s y 12m/s, respectivamente. Además en dicho instante la velocidad de A está disminuyendo a razón de 2m/s2 y B experimenta un incremento de su velocidad a razón de 3 m/s2. Determine la velocidad y la aceleración de B con respecto de A

Solución• El sistema de referencia fijo está

en tierra y el marco móvil en el auto A. Por tanto se tiene

• La dirección de la velocidad relativa será

• La aceleración normal será

• La aceleración relativa será

• Su dirección será

/

/

/

2 2/

12 18cos60 18sin 60

9 3.588 /

9 3.588 9.69 /

B A B A

B A

B A

B A

v v v

j i j v

v i j m s

v m s

/

/

3.588tan

9

21.7

B A y

B A x

v

v

2

21.440 /BB n

va m s

/

/

2/

1.440 3 2cos 60 2sin 60

2.440 4.732 /

B A B A

B A

B A

a a a

i j i j a

a i j m s

2/ 5.32 /

62.7

B Aa m s

Ejemplo

• Los pasajeros que viajan en el avión A que vuela horizontalmente a velocidad constante de 800 km/h observan un segundo avión B que pasa por debajo del primero volando horizontalmente. Aunque el morro de B está señalando en la dirección en la dirección 45°noreste, el avión B se presenta a los pasajeros de A como separándose de éste bajo el ángulo de 60° representado. Halle la velocidad verdadera de B

Solución• El marco móvil está asociado al

avión A donde se efectúan las observaciones relativas

• La velocidad de A es conocida en módulo y dirección, el ángulo de 60° de la velocidad relativa de B respecto de A es conocido y la velocidad verdadera de B tiene una dirección de 45°. Entonces tenemos.

• Aplicando estas ecuaciones en la velocidad relativa se tiene

• Resolviendo estas ecuaciones se obtiene

/B A B Av v v

/ / /

ˆ(800 ) /

ˆ ˆ[ cos 45 45 ]

ˆ ˆ[ cos60 60 ]

A

B B B

B A B A B A

v i km h

v v i v sen j

v v i v sen j

/

/

ˆ :

cos 45 800 cos60

ˆ :

45 60

B B A

B B A

componente i

v v

componente j

v sen v sen

/ 586 / ; 717 /B A Bv km h v km h