Sem3-Distribuciones de Variable Discreta
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DEFINICIONES PRELIMINARES: I. VARIABLE ALEATORIA: • Se denota por una X.• Es aquella que puede tomar diferentes valores a
través del tiempo o de sujeto a sujeto.• Si una variable, es una una variable aleatoria,
entonces tiene una distribución de probabilidad.
• X: Nº de casas vendidas en Trujillo.• X: Nº de ingenieros reconocidos a nivel nacional.• X: Ventas diarias de una empresa.• X: Nº de clientes que llegan diariamente a Plaza Vea.• X: Nº de automóviles que llegan a una Estación de Servicio.• X: Nº de llamadas telefónicas que recibe una secretaria.• X: Edad de las personas.• X: Tiempo de vida de un neumático.• X: Nº de artículos defectuosos de un proceso productivo.
EJEMPLOS:
xnxqpx]P[X
x
n
x!
λex]P[X
xλ
II. FUNCION DE PROBABILIDAD: • Es una fórmula matemática que nos permite calcular
probabilidades. • Una función de probabilidad, calcula la probabilidad para
cada valor individual de la variable aleatoria X.• Se denota por:
f (x) = P[ X = x ]
Distribución Binomial:
Distribución Poisson:
EJEMPLOS:
III. FUNCION DE PROBABILIDAD ACUMULADA:
• Llamada también función de distribución que se denota por F(x).
• Es aquella que nos permite calcular probabilidades acumuladas.
• Se denota por:
F(x) = P[ X ≤ x ]Por ejemplo:
• F(1) = P[X≤1]=P(X=0) + P(X=1)
• F(2) = P[X≤2]=P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)
• F(3) = P[X≤3]=P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)+P(X=3)
Distribución Binomial
Distribución Poisson
Distribución Hipergeometrica
Distribución Binomial Negativa
Distribución de Pascal
DISTRIBUCIONES DISCRETAS
Otras DISTRIBUCIONES para var. DISCRETAS:
),( pnBX
xnx )1(px]P[X pC nx
Parámetros:
n , p
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
• Los parámetros de la distribución binomial son “n” y “p”., donde:n=Numero de ensayos o tamaño de muestrap = probabilidad de éxito en cada ensayo.De aquí se obtiene que la probabilidad de fracaso es q = 1-p
• Si una v.a. X tiene una distribución binomial , esta se denota por:
• Su función de probabilidad esta dada por:
CARACTERISTICAS:
En la empresa Aceros Arequipa, el
inspector de control de calidad ha
determinado que el 25% de los
lingotes producidos son defectuosos.
Para probar su afirmación extrae una
muestra de 5 lingotes de acero y a
partir de ello desea calcular las
siguientes probabilidades:
a. Ninguno sea defectuoso.
b. Exactamente 1 sea defectuoso.
c. Menos de 2 sean defectuosos.
xnx )1(px)P(X pC nx
Función de probabilidad
4151 .75)0(25.01)P(X C
Solución:
1)P(X0)P(X1)P(X2)P(X
5050 .75)0(25.00)P(X C
= 0.237
= 0.396
= 0.633
a.
b.
c.
EJERCICIO:
PARAMETROS:
n = 5p = 0.25
MANEJO DE TABLA:
Para el uso de tabla tener en cuenta lo siguiente
A P ( X ≤ a ) = Usar directamente la tablaB P ( X > a ) = 1 - P ( X ≤ a )C P ( X ≥ a ) = 1 - P ( X ≤ a - 1 )D P ( X = a ) = P ( X ≤ a ) - P ( X ≤ a - 1 )E P ( a ≤ X ≤ b ) = P ( X ≤ b ) - P ( X ≤ a-1 )F P ( a ≤ X < b ) = P ( X ≤ b-1 ) - P ( X ≤ a-1 )G P ( a < X < b ) = P ( X ≤ b-1 ) - P ( X ≤ a )H P (X < a ) = P ( X ≤ a-1 )I P ( a < X <= b ) = P ( X ≤ b ) – P ( X ≤ a )
A P ( X ≤ a ) = Usar directamente la tablaB P ( X > a ) = 1 - P ( X ≤ a )C P ( X ≥ a ) = 1 - P ( X ≤ a - 1 )D P ( X = a ) = P ( X ≤ a ) - P ( X ≤ a - 1 )E P ( a ≤ X ≤ b ) = P ( X ≤ b ) - P ( X ≤ a-1 )F P ( a ≤ X < b ) = P ( X ≤ b-1 ) - P ( X ≤ a-1 )G P ( a < X < b ) = P ( X ≤ b-1 ) - P ( X ≤ a )H P (X < a ) = P ( X ≤ a-1 )I P ( a < X <= b ) = P ( X ≤ b ) – P ( X ≤ a )
Es otra de las distribuciones discretas mas importantes del calculo de probabilidades.
Se utiliza cuando se quieren evaluar variables aleatorias discretas pero ocurridos en espacios continuos.
Estos espacios continuos pueden ser el tiempo, volumen, espacio, etc.
DISTRIBUCIÓN POISSON
Simeon Poisson
Función de probabilidad
x!λe
x/λXPxλ
Donde λ = Número esperado de éxitos. e = Constante matemática. x = Número de éxitos por unidad.
Parámetro: λ
EJERCICIO:
Se conoce que el número promedio de arribos de camiones a la central de abastos es de 3 camiones por minuto.Calcular las siguientes probabilidades:a.Lleguen exactamente dos arribos en un minuto.b.Lleguen a lo más 2 arribos en un minuto.
x!λe
x/λXPxλ
Función de probabilidad
Solución:
a. Se tiene que λ = 3 arribos por minuto. 3 2e 3
P X 2 0.2242!
b. P X 2 P(X 0) P(X 1) P(X 2)
42302240149049702!3e
1!3e
0!3e 231303
....