Segnali periodici Teorema di Fourier Filtri - fisica.unige.it PERIODICI... · • Regolare...
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Edgardo Smerieri PLS - AIF Scuola Estiva di Fisica Genova 2009
Segnali periodiciTeorema di Fourier
Filtri
2
Serie di Fourier( )∑
∞
=
ω+ω+=1
000 sin cos)(n
nn tnbtnaatV
Tπ
=ω2
0∫ ω=T
n dttntVT
a0
0 )( cos)(2
∫ ω=T
n dttntVT
b0
0 )( sin)(2
∫=T
dttVT
a0
0 )(1
∑∞
=
ϕ+ω+=1
0 )( sin)(n
nnCC tnAAtV
2
3
Segnali periodici oggetto di misura
1. Segnale triangolare bipolare antisimmetrico (dispari)2. Segnale a onda quadra bipolare antisimmetrica (dispari)3. Segnale a onda quadra bipolare simmetrica (pari)4. Segnale a onda quadra unipolare antisimmetrica (dispari)5. Segnale a onda quadra generica (dispari)6. Segnale a dente di sega bipolare antisimmetrico (dispari)7. Delta di Dirac
4
Segnale triangolare bipolare antisimmetrico (dispari)
• Il valore medio è nullo pertanto non c’è il termine costante• Sono presenti solo termini in “seno”• Sono presenti solo armoniche dispari
Vin(t)
−E
+E
T/4T/2
tT3T/4
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +ω−ω+ω−ω
π= LLtttt
VtV pp
in 7sen 4915sen
2513sen
91sen
4)( 2
∑∞
=
ω++
−π
=0
022 )12sin()12(
1)1(4
)(n
nppin tn
n
VtV
EVpp 2=
3
5
Segnale a onda quadra bipolare antisimmetrica (dispari)
∑∞
=
ω++π
=0
0)12sin(12
12)(
n
ppin tn
nV
tV
T−E
E
T/2 t
Vin
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅⋅⋅⋅+ω+ω+ω+ω
π= tttt
VtV pp
in 0000 7sin715sin
513sin
31sin
2)(
• Il valore medio è nullo pertanto non c’è il termine costante• Sono presenti solo termini in “seno”• Sono presenti solo armoniche dispari
EVpp 2=
6
Segnale a onda quadra bipolare simmetrica (pari)
∑∞
=
ω++
−π
=0
0)12cos(12
1)1(2
)(n
nppin tn
nV
tV
T/2−E
E
T/4 t
Vin
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅⋅⋅⋅+ω−ω+ω−ω
π= tttt
VtV pp
in 0000 7cos715cos
513cos
31cos
2)(
• Il valore medio è nullo pertanto non c’è il termine costante• Sono presenti solo termini in “coseno”• Sono presenti solo armoniche dispari
EVpp 2=
4
7
Segnale a onda quadra unipolare antisimmetrica (dispari)
∑∞
=
ω++π
+=0
0)12sin(12
122
)(n
ppppin tn
nVV
tV
T
E
T/2 t
Vin
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅⋅⋅⋅+ω+ω+ω+ω
π+= tttt
VVtV pppp
in 0000 7sin715sin
513sin
31sin
22
)(
• Il valore medio è diverso da zero pertanto c’è il termine costante• Sono presenti solo termini in “seno”• Sono presenti solo armoniche dispari
EVpp =
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Segnale a onda quadra generica(dispari)
∑∞
=
ω++π
−+
+=
00
minmaxminmax )12sin(12
1)(22
)(n
in tnn
EEEEtV
minmax EEVpp −=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅⋅⋅+ω+ω+ω+ω
π+= tttt
VVtV pp
dcin 0000 7sin715sin
513sin
31sin
2)(
2minmax EE
Vdc+
=
• Il valore medio è diverso da zero pertanto c’è il termine costante• Sono presenti solo termini in “seno”• Sono presenti solo armoniche dispari
T
Emax
T/2 t
Vin
Emin
5
9
Segnale a dente di sega bipolare antisimmetrico (dispari)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅⋅⋅++−+−
π= tωtωtωtωtω
VtV pp
in 00000 5sin514sin
413sin
312sin
21sin)(
t
Vin(t)
−E
+E
T/2T
• Il valore medio è nullo pertanto non c’è il termine costante• Sono presenti solo termini in “seno”• Sono presenti solo armoniche pari e dispari
∑∞
=
ω++
−π
=0
0)1sin(1
1)1()(n
nppin tn
nV
tV
EVpp 2=
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Segnale a delta di Dirac
[ ]⋅⋅⋅+++++= tωtωtωtωtωT
tVin 00000 5cos4cos3cos2coscos2)(
• Sono presenti solo termini in “coseno”• Sono presenti tutte le armoniche pari e dispari
∑+∞
−∞=
−δ=k
in kTttV )()(
Vin
t
∑+∞
=
ω=0
0cos2)(n
in tnT
tV
6
11
Segnale a delta di Dirac
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Filtri elettronici
FILTROVin Vout
Modifica l’aspetto del segnale d’ingresso agendo sull’ampiezza esulla fase delle sue componenti spettrali
∑∞
=
ϕ+ω+=1
0 )( sin)(n
nnCCin tnAAtV
∑∞
=
ϑ+ω+=1
0 )( sin)(n
nnCCout tnBBtV
Ad esempio con un segnale d’ingresso periodico descritto dalla serie di Fourier:
in uscita si ha:
7
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I filtri analogiciSi distinguono in base al :
– Tipo di risposta in frequenza (LPF - HPF - BPF – BSF - APF)– Tipo di circuito con cui si realizzano (Sallen Key - Reazione
multipla – etc.)– Tipo di approssimazione (Butterworth - Chebyshev - Bessel
- etc. )– Numero d’ordine del filtro
Possono inoltre essere:
– Attivi o passivi– Dissipativi e non dissipativi
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Risposta di un filtro LPF ideale
in
out
VV
f0f
Non si può fisicamente realizzare un filtro con una risposta di questo tipo
Approssimazione della risposta
Un discorso analogo si può fare anche per gli altri tipi di filtro
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Approssimazioni Risposta di filtri passa basso
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Risposta alla Butterworth
per ω = ω0 si ha
nin
out
VV
2
0
1
1
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ωω
+
=
707.02
1≅=
in
out
VV
qualsiasi sia l’ordine n del filtroIn decibel il valore 0.707 corrisponde a – 3 dB
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Il decibel• Indichiamo con Vout e Vin le ampiezze dei segnali• Il loro rapporto può essere espresso in decibel ovvero
Vout/Vin Vout/Vin in dB100 + 40
10 + 201 0
0.1 - 200.01 - 40
in
out
in
out
VV
VV
log20dB
=
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Risposta di filtri passa basso (in dB)
decadedB20pendenza ⋅−= n
La pendenza asintotica oltre la frequenza di cut-off è data
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Azione di un filtro LPF su alcuni segnali tipici
• In tutti i casi il filtro ha una frequenza di taglio di 4 KHz• Il tipo di risposta del filtro è alla Butterworth• L’ordine del filtro è 4I segnali sono
– Onda quadra (a) a 217 Hz– Onda quadra (b) a 646 Hz– Dente di sega (a) a 490 Hz– Dente di sega (b) a 1302 Hz– Campioni di Sinusoide a 2315 Hz– Campioni di un segnale a 2315 Hz con prima e terza armonica
Filtro LOW PASSVin Vout
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Onda quadra (a)• Onda quadra a 217 Hz• Fondamentale a 217 Hz – 17a Armonica 3689 Hz• Filtro passa basso con 4 kHz di frequenza di taglio
Ingresso Uscita
11
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Onda quadra (b)• Onda quadra a 646 Hz• Fondamentale a 646 Hz – 5a Armonica 3230 Hz• Filtro passa basso con 4 kHz di frequenza di taglio
Ingresso Uscita
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Dente di sega (a)• Dente di sega a 490 Hz• Fondamentale a 490 Hz – 8a Armonica 3920 Hz• Filtro passa basso con 4 kHz di frequenza di taglio
Ingresso Uscita
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23
Dente di sega (b)• Dente di sega a 1302 Hz• Fondamentale a 1302 Hz – 3a Armonica 3906 Hz• Filtro passa basso con 4 kHz di frequenza di taglio
Ingresso Uscita
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Segnale sinusoidale campionato • Segnale sinusoidale campionato • Fondamentale a 2315 Hz• Filtro passa basso con 4 kHz di frequenza di taglio
Ingresso Uscita
13
25
Segnale campionato con 1a e 3a
armonica• Segnale campionato con due componenti di onda quadra : la
fondamentale e la terza armonica• Fondamentale a 2315 Hz – 3a Armonica 6945 Hz• Filtro passa basso con 4 kHz di frequenza di taglio
Ingresso Uscita
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Triangolare• Triangolare a 245 Hz• Fondamentale a 245 Hz – 16a Armonica 3920 Hz• Filtro passa basso con 4 kHz di frequenza di taglio
Ingresso
L’uscita com’è ?
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Schema a blocchi del generatore del singolo segnale
Oscillatore
Sinusoidale
Seno
Coseno
Polarità
±Amplificatore al
sommatore
La frequenza delle diverse armoniche è fissa
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Schema a blocchi del dispositivo per la generazione di segnali periodici
Som
mat
ore
Generatore di segnalesinusoidale a 100 Hz
Generatore di segnalesinusoidale a 200 Hz
Generatore di segnalesinusoidale a 300 Hz
Generatore di segnalesinusoidale a 800 Hz
Generatore di segnalesinusoidale a 900 Hz
Generatore di segnalesinusoidale a 1000 Hz
Ampiezza e polarità
Ampiezza e polarità
Ampiezza e polarità
Ampiezza e polarità
Ampiezza e polarità
Ampiezza e polarità
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Dispositivo per la generazione di segnali periodici basato sul teorema di Fourier
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Dispositivo per la generazione di segnali periodici - Particolare
Frequenza
Polarità
Inserimento armonicae tipo armonica
Regolazioneampiezzadel segnale
Punto diprelievo delsegnale perla misuradell’ampiezza
Tipo di segnale
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Dispositivo per la generazione di segnali periodici - Particolare
Voltmetro in DC
Sonda per la misura dell’ampiezza
Segnale d’uscitaall’oscilloscopio
Punto a cui connettere la sonda
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Misurazioni
Generatore di segnaliperiodici
tramite somma di componenti di Fourier
FiltroPassaBasso
Oscilloscopio 2o
Multimetro 2
Oscilloscopio 1o
Multimetro 1
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Filtro LPF 2° ordine alla Linkwitz-Riley
È formato da due filtri identici del primo ordine posti in cascataLa frequenza di taglio di ognuno è di 482 Hz Il filtro complessivo è del secondo ordineL’attenuazione alla frequenza di taglio è di 6 dB
34
Risposta in frequenzadel filtro alla Linkwitz-Riley
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Metodologia di misura• Scegliere il tipo di onda• La frequenza della componente fondamentale è 100 Hz ed è prefissata• Il numero massimo di armoniche con cui si può ricostruire il segnale è prefissato
nel numero di 10 (massima frequenza 1000 Hz)• L’ampiezza massima delle singole componenti è 10 V• Individuare il tipo di armoniche presenti nel segnale• Regolare l’ampiezza e la fase della singola armonica con il multimetro 1 (in DC)
posto all’uscita del generatore di segnale• Alla fine attivare tutte le componenti di Fourier• Osservare con l’oscilloscopio 1 il segnale in uscita dal generatore e fare le misure
relative• Costruire il filtro e collegarlo all’uscita del generatore• Osservare il segnale in uscita dal filtro con l’oscilloscopio 2 e fare le misure
relative