SEGMENTOS NOTÁVEIS NO TRIÂNGULO. Nos triângulos temos três segmentos que se destacam, esses...
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SEGMENTOS NOTÁVEIS NO
TRIÂNGULO
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Nos triângulos temos três segmentos que se destacam, esses segmentos são chamados de cevianas . As cevianas são: medianas, bissetrizes e as alturas do triângulo.
•Mediana: Segmento do triângulo que tem um extremo no vértice e o outro extremo no ponto médio do lado oposto.
Mediana
Ponto Médio
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•Bissetriz interna: Semi-reta que divide um ângulo interno em dois ângulos congruentes.
Bissetriz
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•Altura: Segmento de reta que tem um extremo no vértice e o outro extremo no lado oposto ou prolongamento desse. A altura, por definição, é perpendicular ao lado ou ao prolongamento desse.
Altura
Altura
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•Mediatriz de um segmento: É a reta que passa pelo ponto médio desse segmento e é perpendicular a ele.
Mediatriz do lado AB
Ponto MédioA B
OBSERVE QUE A MEDIATRIZ NÃO É UMA CEVIANA, POIS ELA NÃO PARTE DO VÉRTICE
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PONTOS NOTÁVEIS NO
TRIÂNGULO
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BARICENTRO - DefiniçãoO ponto de encontro das três medianas de um
triângulo é o baricentro do triângulo.
Baricentro divide cada mediana em duas partes tais que, a parte que contém o vértice é o DOBRO da outra.
AG = 2 . GM1
AM1 BM2 CM3 = { G }
M1
M2M3 G
A
B C
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Ele divide cada mediana em duas partes, onde a parte ligada ao vértice é o dobro da parte ligada ao lado.
Ele é o ponto de encontro das medianas do triângulo.
As medianas dividem o triângulo em 6 triângulos de mesma área.
M2
M3
M1
Baricentro é o centro de gravidade do triângulo.
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INCENTRO – DefiniçãoO ponto de encontro das três bissetrizes internas de um triângulo é o incentro do triângulo.
Incentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo.
Incentro é o ponto do plano do triângulo que fica à igual distância de seus LADOS .
S1
S2
S3
A
B
I
C
AS1 BS2 CS3 = { I }
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CIRCUNCENTRO – Definição O ponto de encontro das mediatrizes dos lados de um
triângulo é o circuncentro do triângulo.
circuncentro é o centro da circunferência que circunscreve o triângulo.
circuncentro é o ponto do plano do triângulo quefica à igual distância de seus VÉRTICES .
• m1 m2 m3 = { O }
m1
m2 m3
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ORTOCENTRO – DefiniçãoO ponto de encontro das alturas de um triângulo é o
ortocentro do triângulo.
As alturas são perpendiculares aos lados por ela interceptados.
Obs. : Os únicos pontos notáveis que podem ser externos ao triângulo são o CIRCUNCENTRO e o ORTOCENTRO.
A
B CH1
H3
H2
H
AH1BH2CH3 = {H}
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CIRCUNCENTRO
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ORTOCENTRO
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1)Três amigos compraram juntos um sítio e cada um construiu
sua casa. Como, naquela região estava ocorrendo muitos assaltos, elesresolveram construir uma guarita ( figura ) e colocar um vigiapara cuidar da segurança de todos. Se essa guarita deve sercolocada em um local eqüidistante das casas, esse local é o:A) Baricentro do triângulo determinado pelas casas.B) Incentro do triângulo determinado pelas casas.C) Circuncentro do triângulo determinado pelas casas.D) Ortocentro do triângulo determinado pelas casas.E) Tricentro do triângulo determinado pelas casas.
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CASA 1
CASA 2
CASA 3
O circuncentro é o ponto de um triângulo que é equidistante de seus vértices (RAIO)
Circuncentro é o centro da circunferência que circunscreve o triângulo.
Ele é o ponto de encontro das retas mediatrizes dos lados do triângulo.
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2) Uma praça tem a forma de um triângulo escaleno. Nela, deseja-se construir um heliporto com formato circular, de modo a haver o máximo aproveitamento do terreno, isto é, o heliporto deve tangenciar os três lados da praça. Com base nessas informações, podemos afirmar que o centro desse heliporto deve ser:a)O encontro das bissetrizes dos ângulos internos do triângulob)O encontro das medianas do triânguloc)O encontro das retas mediatrizes dos lados do triângulod)O encontro das alturas do triânguloe)N. D. A
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3) Um fazendeiro comprou uma fazenda cuja forma é um triângulo escaleno (figura). Esse fazendeiro deseja construir a sede dessa fazenda em um local que está a uma mesma distância das três estradas que delimitam esta fazenda. O ponto exato onde a sede deverá ser construída é chamado de:
A) Ortocentro
B) Incentro
C) Baricentro
D) Circuncentro
E) N. D. A
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O incentro é o ponto de um triângulo que é equidistante de seus lados
Ele é o ponto de encontro das retas bissetrizes dos ângulos do triângulo.
Incentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo.
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16) No triângulo ABC abaixo os pontos M, N e P são os pontos médios de seus lados e G é o ponto de encontro dos segmentos AM, BN e CP. Analise as afirmações abaixo.
I) Se AM = 12, logo AG = 8. ( )
II) BG = CG.( )
III) A área do triângulo APG é congruente com a área do triângulo BGM. ( )
IV) G é o centro da circunferência inscrita no triângulo ABC. ( )
B
C
A
P
M
N
G
V
F
V
F
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15) No triângulo ABC abaixo, o ponto I é o incentro do triângulo e os lados AB, BC e AC medem, respectivamente 12 cm, 8 cm e 10 cm. Se RS é paralelo ao lado BC, o valor do perímetro do triângulo ARS é:
a) 20 cm
b) 22 cm
c) 24 cm
d) 26 cm
e) 28 cmI
A
B
C
R
S
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I
A
B
C
R
S
Como I é o incentro, logo BI e CI são bissetrizes de seus ângulos
Se RS e BC são segmentos paralelos logo o ângulo RÎB será congruente com o ângulo ( ALTERNOS INTERNOS)
CBI ˆ
Acontece o mesmo com os ângulos SÎC e BCI ˆ
Os triângulos BRI e CSI são isósceles, onde BR = RI e SI = SC
x
x yy
12 12 -
x10
10 - y
PERÍMETRO DE ARS
2P = 12 – x + x + y + 10 - y
2P = 12 + 10
2P = 22 cm