Secuacione BN
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SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES Existen dos enfoques de solución: Enfoque cuantitativo. Enfoque cualitativo. 1) Enfoque cuantitativo: Consideremos: ˙ x + 3 x+ 5 4 y=2 ˙ y−x=5 Su expresión matricial es: [ 1 0 0 1 ][ ˙ x ˙ y ] + [ 3 5 / 4 −1 0 ][ x y ] = [ 2 5 ] SOLUCIÓN PARTICULAR ( ˙ x, ˙ y )=son tasasde crecimiento El estado estacionario es una situación en la que las tasas de crecimiento de las variables endógenas son nulas. ˙ x=0 ˙ y=0 Reemplazando [ 3 5/ 4 −1 0 ][ x y ] = [ 2 5 ]
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SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES
Existen dos enfoques de solucin:
Enfoque cuantitativo. Enfoque cualitativo.
1) Enfoque cuantitativo:Consideremos:
Su expresin matricial es:
SOLUCIN PARTICULAR
El estado estacionario es una situacin en la que las tasas de crecimiento de las variables endgenas son nulas.
Reemplazando
Despejando:
Resolviendo
SOLUCIN COMPLEMENTARIA
Es necesario resolver el sistema de ecuaciones diferenciales homogneas.
Tenemos que encontrar la raz caracterstica.
La ecuacin caracterstica.
Resolviendo la ecuacin
Planteando la solucin complementaria
SOLUCIN GENERAL
Uniendo la solucin particular y complementaria
Esta solucin general presenta 4 contantes desconocidas sin embargo solo se dispondrn de dos condiciones oscilantes y es necesario reducir el nmero de constantes
Relacin entre A y B.
A) Para se asocia
Luego:
Multiplicamos:
Resolviendo se tiene:
En este caso no hay una solucin sino hay infinitas soluciones.
B) Para:
Resolviendo se tiene
Reemplazando Asumiendo las condiciones sern:
Resolviendo el sistema:
Finalmente las trayectorias dinmicas de x e y son:
Caractersticas: Con este enfoque se encuentran trayectorias dinmicas. Se identifica a la solucin complementaria y el estado estacionario. El desarrollo exige una manipulacin algebraica. Se puede establecer si su trayectoria es convergente o divergente a su estado estacionario.
2) Enfoque grafico cualitativoEl enfoque grafico cualitativo se orienta a la solucin de un sistema de ecuaciones diferenciales autnomo, sustentado en el diagrama de fases.Para entender resolveremos un ejercicio:Consideremos:
NOTA: El enfoque es ms potente de lo anterior porque nos permite abordar a observar todo.
Observe, podemos despejar:
En general:
Se aprecia que la tasa de cambio de las variables endgenas est expresada o son funciones de las variables endgenas y no del tiempo de manera explcita (que se puede ver).
Para aplicar el mtodo grafico cualitativo es necesario que el sistema de ecuaciones diferenciales sean autnomos.Si: Solucin:Habiendo establecido que la ecuacin es autnoma o se debe establecer el estado estacionario.a) Estado estacionario:Ocurre el estado estacionario si:
Reemplazando en la ecuacin dada
Resolviendo:
b) Curvas de demarcacin:
Una curva de demarcacin se caracteriza por representar tasas de crecimiento nulas en cada uno de los puntos que la conforman y adems permite subdividir un espacio de fases en dos sectores: Con tasas positivas. Con tasa negativas.En el sistema de ecuaciones diferenciales se tendr dos curvas de demarcacin. Uno por cada variable.I. Curva de demarcacin para:
Despejando x:
Para determinar se requiere la siguiente derivada.
Esto implica
II. Curvas de demarcacin para
Adicionalmente:
c) Diagrama de fasesSe debe integrar en un solo grfico las dos curvas de demarcacin.
APLICACIN A LA ECONOMIAMODELO DINAMICO DE PRECIOSEn el mercado del bien Q las funciones de oferta y demanda son respectivamente:
Asumiendo que la tasa de cambio de los precios es directamente proporcional a la demanda excedente que prevalece en ese momento es decir:
Equilibrio esttico (oferta es igual ala demanda)
Reemplazando (4) en una funcin de demanda
Dinmica de precios:
(1) Y (2) en (3)
Ordenando
La solucin general es:
Observe:
(4) en (8)
Alternativamente:
Grficando:
