Apontamentos da UC Mecnica de Fluidos

Apontamentos da UC Mecnica de FluidosFluidos em escoamento

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Equaes de base da4

mecnica dos fluidos

4. Equaes de base da mecnica dos fluidos ideais4.1.Lei da conservao da massa ou da continuidade (para escoamento permanente)De acordo com a lei da conservao da massa, se considerarmos um volume fixo e arbitrrio, em cujo seio no h criao nem destruio de massa, verifica-se que:

Se o escoamento for permanente, a taxa de acumulao de massa no interior do volume considerado nula, e:

Apliquemos esta relao a um tubo de corrente (ou de fluxo), com seco recta, dA, to pequena que no haja variao significativa da velocidade do fluido ao longo do seu dimetro. Consideremos um troo do tubo de corrente, entre duas seces rectas E e S (Figura 4.1). Cada seco apresenta uma espessura elementar dL. Na seco E entra um volume elementar de fluido dE, com velocidade vE e massa volmica E. Da seco S sai um volume elementar de fluido dS, velocidade vS e massa volmica S.Figura 4.1. Tubo de fluxo

Segundo a lei da conservao da massa, sendo o escoamento permanente: mE = mS

Considerando a taxa:

Nos fluidos incompressveis a massa volmica no sofre alteraes, logo E = S, e

Integrando para os infinitos tubos de corrente que, em conjunto, ocupam a totalidade da seco recta atravs da qual o fluido passa:

Lei da continuidade: Num tubo de fluxo impermevel e invarivel no tempo (regime permanente) os caudais de fluido incompressvel, so iguais os caudais que atravessam todas as seces.

Exemplo de aplicao: Na conduta representada ao lado, pode saber-se a relao entre as velocidades com que o fluido atravessa as seces 1 e 2, a partir do conhecimento da relao entre os dimetros ou reas dessas seces rectas.

4.2.Teorema da conservao da quantidade de movimento. Teorema de Euler (para escoamento permanente)O teorema de Euler , na mecnica de fluidos, o correspondente ao teorema da quantidade de movimento da mecnica dos slidos. Tem larga utilizao na mecnica de fluidos, nomadamente na teoria das turbomquinas e na determinao das foras que lquidos em movimento ou em repouso exercem sobre as superfcies com as quais contactam. So exemplos a fora exercida por um jacto de fluido sobre uma superfcie plana, a fora exercida por um fluido em escoamento numa conduta sobre um cotovelo, sobre uma bifurcao ou sobre uma reduo brusca (Figura 4.2). Todas estas foras so hidrodinmicas e esto associadas a uma variao da quantidade de movimento do fluido.A determinao da magnitude, direco e sentido destas foras, tem como objectivo o dimensionamento de uma estrutura (macio de amarrao) que, colocada junto a estas singularidades, impea o arrastamento das condutas, superfcies, reservatrios, etc., por aco do fluido.Clculo da fora exercida nos parafusos entre as seces 1 e 2, devida reduo de dimetro da condutaClculo da fora exercida sobre os parafusos, em 1,devida ao cotovelo

Figura 4.2. Exemplo de situaes que requerem a aplicao do teorema de Euler.Relembrar o teorema da quantidade de movimento de um sistema de partculas: a variao da quantidade de movimento de um sistema material igual ao impulso elementar da resultante das foras exteriores ao sistema: Onde M o momento linear [ML3T-2], F a fora [MLT-2] e t o tempo [T].Diferenas fundamentais do Teorema de Euler relativamente ao teorema da quantidade de movimento: O teorema de Euler no se reporta sempre ao mesmo conjunto de partculas do fluido (isto , a um sistema) mas sim ao fluido que em cada instante se situa no interior de um mesmo espao fsico, o volume de controlo. A aplicao do teorema muito cmoda pois, na hiptese de escoamento permanente, dispensa o conhecimento de grandezas no interior do volume de controlo ao qual se aplica. Considera apenas as foras exteriores ao volume de controlo; O teorema de Euler aplica-se por unidade de tempoO teorema de Euler diz que, para um determinado volume de controlo no interior de um fluido, nulo, em cada instante, o sistema das foras exteriores.

As foras exteriores ao volume de controlo so (M L T-2): P, Peso do volume de controlo. Define-se como: , sendo o volume de controlo (L3) e o peso volmico do fluido (M L-2 T-2); , Resultante das foras de contacto que as vizinhanas exercem sobre o volume de controlo atravs das suas fronteiras. onde i representa as foras exercidas em cada um dos contactos liquido/liquido e R as foras exercidas nos contactos liquido/slido. O ndice i representa cada uma das fronteiras.

i define-se como: , sendo a massa volmica do fluido (M L-3), g a acelerao da gravidade (L T-2), hi a altura piezomtrica na fronteira i (L), Ai a seco transversal da fronteira i (L2).R, a fora exercida pela fronteira slida sobre o fluido geralmente a incgnita a determinar.Nota: Se as linhas de corrente nas fronteiras forem aproximadamente rectilneas e paralelas, a variao de presso com a profundidade idntica hidrosttica, ou seja p + gz constante. Resultante das foras locais de inrcia, In Resultante das quantidades de movimento entradas e sadas do volume de controlo na unidade de tempo, Me-Ms. A quantidade de movimento por unidade de tempo definida como:

, sendo Q o caudal (L3 T-1) e v a velocidade (L T-1)Portanto o teorema de Euler diz que so nulas: A soma vectorial das foras:

A soma dos momentos em relao a qualquer ponto:

Para melhor compreenso do desenvolvimento da equao das foras, tome-se como exemplo a conduta horizontal, representada na Figura 4.3 a), que se bifurca para dois ramos tambm de eixo horizontal, cada um deles com possibilidade de ser isolado por meio de uma vlvula colocada junto da origem. Tome-se como volume de controlo o volume representado pela projeco no plano do papel (regio riscada). Esto representadas na Figura 2 b) as foras exercidas nas fronteiras do volume de controlo.

Figura 4.3. a) conduta horizontal com bifurcao; b) representao do volume de controlo e das foras exteriores que sobre ele actuam.

Nesta situao, sendo a conduta horizontal, o peso P do volume de controlo no tem componente de interesse. Tratando-se de regime permanente nula a aco das foras de inrcia, logo O teorema de Euler resume-se a:

E, finalmente:. Esta a fora exercida pelo fluido na bifurcao e que deve ser anulada pela presena do macio de amarrao.4.3. Lei da conservao da energia. Teorema de Bernoulli para um fluido ideal em regime permanente4.3.1. Deduo da equao de BernoulliDe acordo com a 2 lei de Newton, a variao da velocidade est associada aco de uma fora. Uma vez que no seio dos lquidos as foras resultam em grande parte de diferenas de presso, de esperar que a presso varie de ponto para ponto no interior de um fluido em escoamento. Interessa agora aplicar a 2 lei de Newton a um volume elementar de fluido, no qual as variaes de velocidade e de presso so necessariamente pequenas. Consideremos que o volume de fluido considerado ocupa um tubo de fluxo de rea elementar dA, perpendicular a uma linha de corrente e com comprimento elementar dL. Admitindo que se trata de um lquido ideal (ou perfeito), portanto de viscosidade e compressibilidade nulas, no se desenvolvem tenses tangenciais. As foras de contacto apresentam apenas componentes normais. As foras exercidas sobre o tubo de fluxo so: as foras de contacto exercidas pelo fluido vizinho, F1 e F2 e o peso, P, da massa de lquido contida no instante t no tubo de fluxo. A Figura 4.4 representa o diagrama de corpo livre do tubo de fluxo. Clculos auxiliares:

;

Figura 4.4. Diagrama de corpo livre do tubo de fluxoApliquemos a equao fundamental de dinmica (2 lei de Newton) massa de lquido contida, no instante t, no tubo de fluxo.

. Segundo a direco do escoamento: Escrevendo as foras em funo das presses correspondentes (ver clculos auxiliares), e escrevendo o peso (componente em xx) e a massa em funo do peso volmico, , do fluido obtm-se:

. Sabemos que , logo:

Dividindo todos os termos por obtm-se:

. Dividindo todos os termos por g obtm-se: . Multiplicando todos por termos por -1, obtm-se

Sabemos da cinemtica que . Substituindo, obtm-se:

. Desenvolvendo: . Mas , uma vez que em regime permanente , obtm-se finalmente:

ou seja Teorema de Bernoulli para lquidos perfeitos em regime permanente: a energia mecnica por unidade de peso de lquido constante ao longo da trajectria. [Daniel Bernoulli (1700-1782)]

4.3.2. Interpretao energtica dos termos da equao de Bernoulli

a energia mecnica total por unidade de peso do fluido, altura/carga total H,

a cota geomtrica em relao a um plano horizontal de referncia: energia potencial de posio por unidade de peso. Traduz a capacidade que a unidade de peso de fluido tem para produzir trabalho quando se desloca, sob a aco da gravidade, entre um ponto de cota Z e outro de cota 0.

a altura piezomtrica ou esttica: energia de presso da unidade de peso de lquido submetido presso p. Representa a capacidade que a unidade de peso de fluido tem de realizar trabalho por se encontrar sob presso;

a altura cintica: energia cintica por unidade de peso do lquido

a cota ou carga piezomtrica Os termos de energia definidos deste modo apresentam a dimenso [L] e unidade de altura equivalente (m).A aplicao da equao de Bernoulli entre dois pontos, 1 e 2, pode surgir na forma:

, que pode transformar-se em:

, permitindo a seguinte interpretao:No escoamento permanente de um fluido ideal entre duas posies 1 e 2 da sua linha de corrente, o aumento da energia cintica por unidade de peso igual ao trabalho realizado por unidade de peso pelas foras da gravidade e de presso. muito importante que no esqueamos as restries para a aplicao da equao de Bernoulli, na forma apresentada anteriormente. So elas: (a) Escoamento permanente;(b) Fluido incompressvel;(c) Escoamento sem atrito; e(d) Ausncia de realizao de trabalho entre as seces de aplicao.4.3.3. Linha piezomtrica e linha de energia. Definio e determinao experimentalUma interpretao til da equao de Bernoulli consiste em traar duas linhas de energia (por unidade de peso) para o escoamento (Figura 4.5).

Figura 4.5. Linhas piezomtrica e de energia para o escoamento de um fluido ideal

A linha de energia representa a altura constante, . Verificadas as condies de aplicao acima descritas, a linha de energia horizontal.

A linha piezomtrica, ou hidrulica, mostra a altura correspondente cota somada com a altura de presso , ou seja, corresponde linha de energia subtrada da altura cintica . A linha piezomtrica define a altura at qual subiria um lquido num tubo piezomtrico. No escoamento em superfcie livre esta linha coincide com a superfcie livre do lquido.Os dois tubos representados em cada seco da conduta representada na Figura 3.9 correspondem a um piezmetro ou tubo de Prandtl e a um tubo de Pitot.Em condies mais gerais de escoamento, fluidos reais (com viscosidade e atrito com as paredes da conduta), a linha de energia deixa de ser horizontal, descendo gradualmente, ou seja, apresentando um declive negativo. Poder tambm apresentar um decrscimo brusco no caso de ocorrer uma perda de energia localizada (por exemplo, uma mudana de direco do escoamento) ou de uma extraco de trabalho (turbina). A linha de energia poder apresentar um declive positivo se ocorrer um acrscimo de trabalho entre as duas seces (bomba hidrulica). Medio da linha piezomtrica: Piezmetro ou Tubo de PrandtlFigura 4.6 Determinao da linha piezomtricaConsidere-se um tubo fino, mas com dimetro suficiente para que no se verifique o efeito da capilaridade, com o topo em contacto com a atmosfera (ponto S) e com o eixo normal trajectria num ponto P, localizado na base do tubo piezomtrico, mas fora dele (Figura 4.6).

A presso num ponto Q muito prximo do ponto P, mas j dentro do tubo igual presso em P. Assim:

Uma vez que o lquido no interior do tubo est em repouso, verifica-se a distribuio hidrosttica de presses (a cota piezomtrica a mesma em todos os pontos do liquido, independentemente da profundidade). Ento:

Uma vez que pQ e pS so presses relativas, pS = 0, logo:

Ou seja, a cota atingida pela superfcie livre da gua num tubo piezomtrico, ZS, igual cota piezomtrica na base do tubo,. A distncia na vertical entre a base do tubo e a superfcie livre representa a altura piezomtrica . Medio da linha de energia: Tubo de PitotNuma linha de corrente de fluido em escoamento chama-se ponto de estagnao a um ponto onde a velocidade reduzida a zero, independentemente dos efeitos da viscosidade. Qualquer obstculo fixo colocado numa corrente de fluido d origem a um ponto de estagnao, na proximidade da regio frontal do obstculo (ponto X na Figura 4.7). De cada lado da linha de corrente central o escoamento deflectido em torno do objecto. O afastamento das linhas de corrente indica que a velocidade decresce ao longo da linha de corrente central, medida que o fluido se aproxima do objecto.Figura 4.7 Ponto de estagnao

Uma vez que o fluido, inicialmente deslocando-se ao longo da linha de corrente central, no pode dirigir-se para a direita nem para a esquerda, a velocidade no ponto de estagnao tem que ser nula.

A equao de Bernoulli mostra que constante ao longo de uma linha de corrente, para o escoamento permanente de fluidos ideais. Por isso, se a velocidade for reduzida a zero num determinado ponto a presso aumentar nesse ponto de para (interconverses de energia). A grandeza chamada de presso de estagnao da linha de corrente e a grandeza chamada de presso dinmica. Um manmetro ligado ao ponto X registaria portanto a presso de estagnao. Se a presso esttica tambm for medida pode, por diferena, determinar-se a altura cintica e, portanto, a velocidade de escoamento do fluido.Henri Pitot (1695-1771) adoptou este princpio para medir a velocidade da gua no rio Sena. Utilizou um tubo dobrado em ngulo recto, com dimetro suficiente para eliminar o efeito da capilaridade, que passou a chamar-se de tubo de Pitot (Figura 4.8).Figura 4.8. Tubo de Pitot simples.

Quando se atinge o equilbrio no interior do tubo, o fluido em A apresenta velocidade nula e a presso na boca do fluido excede a presso circundante de um montante . O lquido sobe assim, na parte vertical do tubo at uma altura .

Para uma corrente de fluido com superfcie livre, necessrio apenas este tubo, denominado de Pitot simples, para a determinao da velocidade de escoamento do fluido. Isto porque, uma vez quecoincide com a superfcie livre, a diferena entre as presses de estagnao e a esttica dada directamente pela distncia h.Para um fluido sob presso, necessrio medir a presso esttica separadamente, recorrendo a um piezmetro. Nos aparelhos comerciais o tubo que mede a presso esttica e o que mede a presso de estagnao esto quase sempre combinados num s instrumento, denominado de tubo de Pitot esttico (Figura 4.9). O tubo da presso esttica envolve o tubo da altura total havendo dois ou mais orifcios dispostos radialmente na parede exterior do conjunto. A posio destes orifcios importante para que se esteja realmente a medir a presso esttica no perturbada.a)b)

Figura 4.9 a)tubo de Pitot simples e piezmetro; b) tubo de Pitot esttico

A altura a que sobe a gua no tubo interno mede . A altura a que sobe a gua no tubo externo . Logo a diferena entre as duas alturas fornece , ou seja, a altura cintica do fluido no ponto N da Figura 3.13. Conhecendo a altura cintica, calcula-se a velocidade de escoamento.4.3.4. Variao da cota piezomtrica segundo a normal s linhas de correnteConsideremos o regime permanente de um lquido, onde as linhas de corrente so coincidentes com as trajectrias. Embora as partculas de fluido no tenham componente de velocidade na perpendicular s linhas de corrente (por definio destas), se a linha de corrente apresentar uma curvatura, h acelerao no nula nessa direco. A existncia desta acelerao centrpeta est associada a uma fora com a mesma direco (fora centrpeta), Figura 4.10. Para que se gere essa fora ter que existir variao de presso na perpendicular s linhas de corrente.

Figura 4.10 Trajectria curvilnea, acelerao centrpeta e fora centrpeta

Consideremos duas linhas de corrente suficientemente prximas para que tenham o mesmo raio de curvatura, Figura 4.11. Imagine-se um elemento de fluido, cilndrico e com um comprimento dn na perpendicular s linhas de corrente e com seco dA, tangente s linhas de corrente. O peso deste volume de fluido ser dado por g dA dn. No raio n a presso p. No raio n+dn a presso p+dp.Figura 4.11 Diagrama de foras do elemento de fluido

Uma vez que as foras de viscosidade no tm componente perpendicular, a fora centrpeta a actuar no elemento de fluido, segundo o raio de curvatura da linha de corrente e dirigida para o interior da curva dada por:

Sendo a o ngulo entre o raio e a direco vertical.A 2 lei de Newton diz que essa fora dever ser igual ao produto da massa pela acelerao centrpeta, na:

dr cos = dZ, em que z medido na vertical a partir de um plano de referncia.

Se as trajectrias forem rectilneas, o raio de curvatura infinito, resultando:

Ou seja, a cota piezomtrica constante segundo qualquer linha normal s trajectrias (neste caso coincidentes com as linhas de corrente). Se as trajectrias, para alm de rectilneas, so paralelas, a distribuio de presses em planos normais s trajectrias hidrosttica (p = g h). Se as trajectrias no forem paralelas, a distribuio de presses hidrosttica sobre superfcies no planas, normais s trajectrias (Fig. 4.12). No caso geral sempre possvel definir superfcies sobre as quais a distribuio de presses hidrostticaFigura 4.12. Distribuio de presses hidrostticas a) linhas de corrente paralelas; b) linhas de corrente no paralelas

4.3.5 Generalizao do teorema de Bernoulli para um tubo de fluxo e escoamento de um fluido realProcedeu-se ao estudo do escoamento, tendo em vista a anlise das suas caractersticas em pontos escolhidos. Na maior parte das aplicaes em engenharia no interessa conhecer a presso e velocidade em determinados pontos, mas os seus valores mdios em seces rectas de tubos de fluxo. Outros aspectos a considerar so o da existncia de atrito interno se o fluido for viscoso, da ocorrncia de frico entre o fluido e o seu contorno slido e o da realizao de trabalho externo entre as seces de escoamento de interesse generalizao da equao de Bernoulli. Factor de correco da energia cintica, coeficiente de Coriolis, Devido aco da viscosidade, o perfil transversal de velocidades parablico, ou seja a velocidade diferente para as diferentes trajectrias, ou linhas de corrente (Fig. 4.13). A aplicao do Teorema de Bernoulli a um conjunto de linhas de corrente, tubo de fluxo, requer a aplicao de um coeficiente de correco ao termo da energia cintica. Esse coeficiente definido pela razo entre a potncia cintica real para a totalidade da seco e a potncia cintica de um escoamento fictcio, com uma velocidade mdia fictcia U.Figura 4.13. Perfil de velocidades num fluido viscoso

Energia cintica que passa, por unidade de tempo, atravs de um elemento de fluido:

Energia cintica que passa, por unidade de tempo, atravs da seco recta total: Para um escoamento fictcio, com velocidade em todos os pontos igual mdia, U, do escoamento considerado, a energia cintica por unidade de tempo dada por:

O coeficiente de Coriolis ou coeficiente de correco da energia cintica, define-se como a relao entre as potncias cinticas referentes ao escoamento real e ao escoamento fictcio, sendo portanto calculada por:

Numa seco com velocidade uniforme (perfil de velocidades recto e vertical), = 1. Quanto mais uniforme for o perfil de velocidades, mais prximo da unidade ser . Em escoamentos em condutas de seco circular, utiliza-se = 2 para regime laminar e = 1.1 para regime turbulento. A forma generalizada do teorema de Bernoulli ento:

Perda de carga devida frico ou atrito Realizao de trabalho entre as seces de escoamento em estudoBibliografia:Massey, B.S. 2002. Mecnica dos fluidos. Fundao Calouste de Gulbenkian. LisboaQuintela, A.C. 2000. Hidrulica. Fundao Calouste de Gulbenkian. Lisboa4.2Instituto Superior de Agronomia / Maria do Rosrio Cameira

Instituto Superior de Agronomia / Maria do Rosrio Cameira 4.1