Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”
description
Transcript of Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”
![Page 1: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/1.jpg)
Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”
![Page 2: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/2.jpg)
PRESENTASI
PENILAIANPENILAIAN
MATERI PERS DIFERENSIALMATERI PERS DIFERENSIAL
Oleh: Drs. Nandang, MPd. (Dosen Prodi Pend. Matematika FKIP Unwir)
PERKENALANPERKENALAN
![Page 3: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/3.jpg)
NANDANGNANDANGJL.GUNUNG CIREMAIJL.GUNUNG CIREMAI
BLOK 16, NO. 10BLOK 16, NO. 10TLP. (0234)275530TLP. (0234)275530HP. 08122170975HP. 08122170975
e-mail: [email protected]
www.fkipunwir.com
![Page 4: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/4.jpg)
KEHADIRAN (KHD)KEHADIRAN (KHD) TUGAS (TGS)TUGAS (TGS) UJIAN TENGAH SEMESTER (UTS)UJIAN TENGAH SEMESTER (UTS) UJIAN AKHIR SEMESTER (UAS)UJIAN AKHIR SEMESTER (UAS)
NA = [10(KHD)+20(TGS)+30(UTS)NA = [10(KHD)+20(TGS)+30(UTS)+40(UAS)]/100+40(UAS)]/100
85 <= NA <=100 (A)85 <= NA <=100 (A)NA = NILAI AKHIRNA = NILAI AKHIR
KOMPONEN PENILAIANKOMPONEN PENILAIAN
![Page 5: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/5.jpg)
MATERI PERS DIFERENSIALMATERI PERS DIFERENSIAL
DEFINISI PERSAMAAN DIFERENSIAL DEFINISI PERSAMAAN DIFERENSIAL
PERS DIFERENSIAL KOEFISIEN LINIERPERS DIFERENSIAL KOEFISIEN LINIER
PERS DIFERENSIAL EKSAKPERS DIFERENSIAL EKSAK
FAKTOR INTEGRASIFAKTOR INTEGRASI
PERS DIFERENSIAL LINIERPERS DIFERENSIAL LINIER
PERS DIFERENSIAL HOMOGENPERS DIFERENSIAL HOMOGEN
PERS DIFERENSIAL TIDAK HOMOGENPERS DIFERENSIAL TIDAK HOMOGEN
![Page 6: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/6.jpg)
Definisi Persamaan Diferensial
Suatu persamaan yang mengandung satu atau beberapa turunan dari suatu fungsi yang tidak diketahui dinamakan persamaan diferensial.
![Page 7: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/7.jpg)
ORDE DAN DEGREE PDORDE DAN DEGREE PD
1. Orde (tingkat) PD adalah tingkat 1. Orde (tingkat) PD adalah tingkat tertinggi turunan yang muncul tertinggi turunan yang muncul pada PD tersebut.pada PD tersebut.
2. Degree (derajat) PD yang dapat 2. Degree (derajat) PD yang dapat ditulis sebagai polinomial dalam ditulis sebagai polinomial dalam turunan adalah derajat turunan turunan adalah derajat turunan tingkat tertinggi yang muncul tingkat tertinggi yang muncul pada PD tersebut. pada PD tersebut.
![Page 8: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/8.jpg)
Beberapa Contoh PD
5xdx
dy
0232
2
ydx
dy
dx
yd
xyyy cos')''(2 ''' 2
232 3)'()''( xyyy
![Page 9: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/9.jpg)
SOLUSI INTEGRASI LANGSUNG
5xdx
dy
Cxxy 52
1 2
Selesaikan PD berikut!
Penyelesaian:
(fungsi kuadrat)
homehome
![Page 10: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/10.jpg)
PERSAMAAN DIFERENSIAL PERSAMAAN DIFERENSIAL DENGAN KOEFISIEN LINIERDENGAN KOEFISIEN LINIER
![Page 11: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/11.jpg)
PD dgn Koefisien LinierPD dgn Koefisien Linier Bentuk umum:Bentuk umum:
(ax + by + c)dx + (px +qy + r)dy = 0 …(*)
Jika c = r = 0, maka (*) menjadi:
(ax + by)dx + (px + qy)dy = 0, (PDH)
Jika px + qy = k(ax + by), maka (*) menjadi:
(ax + by + c)dx + (k(ax + by) + r)dy =0, PDVT
![Page 12: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/12.jpg)
Jika a/p ≠ b/q, c ≠ 0, r ≠ 0, maka (*) dapat Jika a/p ≠ b/q, c ≠ 0, r ≠ 0, maka (*) dapat mengambil bentuk:mengambil bentuk:
ax + by + c = 0
px + qy + r = 0
adalah persamaan dua garis yang berpotongan, misal TP(x1, y1)
maka lakukan substitusi:
X = x – x1 atau x = X + x1, dx = dX
Y = y – y1 atau y = Y + y1, dy = dY
terhadap persamaan (*)
![Page 13: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/13.jpg)
maka diperoleh:
(aX + bY)dX + (pX + qY)dY=0, PDH
selanjutnya lakukan substitusi Y = vX,
atau dY = vdX + Xdv.
![Page 14: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/14.jpg)
Contoh soalContoh soalSelesaikan persamaan di bawah ini!
0)72()12( dyyxdxyx 1.
homehome
![Page 15: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/15.jpg)
PERSAMAAN DIFERENSIAL PERSAMAAN DIFERENSIAL EKSAKEKSAK
![Page 16: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/16.jpg)
Pers Diferensial EksakPers Diferensial EksakBentuk umum:
*).........( 0),(),( dyyxQdyyxP
adalah PD eksak bila ruas kiri adalah
diferensial dari f(x,y) =0.
0),(
dyy
fdxx
fyxdf
y
fQ
x
fP
![Page 17: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/17.jpg)
Maka :
yx
f
x
Q
yx
f
y
P
22
Jika persamaan (*) merupakan PD Eksak,
maka berlaku
x
Q
y
P
Jika
x
Q
y
P
maka persamaan (*) merupakan PD Eksak.
![Page 18: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/18.jpg)
Soal latihanSoal latihanSelesaikan persamaan di bawah ini!
0)43()32( dyyxdxyx 1.
Penyelesaian:
yxQyxP 4332
33
xy
P Q (PDE)
yxy
fQyx
x
fP 4332
,
![Page 19: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/19.jpg)
)(3
)()32(),(
2 yCxyx
yCdxyxyxf
yxyCxy
f43)('3
1224)(
4)('
CydyyyC
yyC
Cyxyxyxf 22 23),(
Cyxyx 22 23homehome
![Page 20: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/20.jpg)
FAKTOR FAKTOR INTEGRASIINTEGRASI
![Page 21: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/21.jpg)
FAKTOR INTEGRASIFAKTOR INTEGRASI
Dik: P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 ……(*)
Jika pers (*) tidak eksak, maka dapat dijadikan PDE. Caranya yaitu kalikan pers (*) dengan suatu fungsi tertentu, misal u(x, y) yang dinamakan faktor integrasi.
Sehingga persamaan (*) menjadi: uP(x, y)dx + uQ(x, y)dy = 0 ……(**). Persamaan (**) sudah menjadi PDE, selajutnya selesaikan persamaan tersebut sesuai dengan prosedur yang berlaku.
![Page 22: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/22.jpg)
Bila diberikan suatu persamaan diferensial yang tidak eksak, maka faktor integrasi dapat dicari dengan beberapa kemungkinan berikut. Faktor integrasi hanya tergantung dari fungsi x, maka fungsi x dapat dicari dengan cara:
Maka faktor integrasi dapat ditentukan dengan cara:
)(xfQ
x
Q
y
P
dxxfe
)(
![Page 23: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/23.jpg)
Faktor integrasi hanya tergantung dari fungsi y, maka fungsi y dapat dicari dengan cara:
Maka faktor integrasi dapat ditentukan dengan cara:
dyyge
)(
Bila faktor integrasi sudah diperoleh Bila faktor integrasi sudah diperoleh kalikan terhadap pers (*) untuk kalikan terhadap pers (*) untuk mengasilkan pers (**) sehingga mengasilkan pers (**) sehingga terbentuk PDE.terbentuk PDE.
)(ygP
x
Q
y
P
![Page 24: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/24.jpg)
Contoh soalContoh soalSelesaikan persamaan di bawah ini!
0)2( xdydxyx 1.
Penyelesaian:
12
x
Q
y
PKarena maka bukan PDE.
)(1
xfxQ
x
Q
y
P
Selanjutnya
![Page 25: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/25.jpg)
xee xdxx ln1
Sehingga faktor integrasi yang dicari adalah:
Kemudian kalikan faktor tersebut terhadap persamaan semula, maka diperoleh persamaan baru (PDE), yaitu:
0)2( 22 dyxdxxyx
![Page 26: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/26.jpg)
Setelah menjadi PDE, selesaikan sesuai Setelah menjadi PDE, selesaikan sesuai dengan prosedur yang benar, untuk dengan prosedur yang benar, untuk memperoleh:memperoleh:
Cyxx 23 3
![Page 27: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/27.jpg)
Kemungkinan lain untuk mencari faktor integrasi adalah:
Jika pers (*) merupakan PDH dan 0QyPx
maka faktor integrasi adalah QyPx
1
![Page 28: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/28.jpg)
Jika pers (*) dapat ditulis dalam bentuk yf(xy)dx+xg(xy)dy=0 dan f(xy) ≠ g(xy), maka faktor integrasi adalah:
QyPx 1
![Page 29: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/29.jpg)
Soal latihanSoal latihan
2. 0)( 22 xydydxxyx
0)3(
)22(2242
34
dyxyxeyx
dxyxyexyy
y
3.
0)222(
)2242(23
42223
dyxyxy
dxyxyxyyxyx
4.
0)( 344 dyxydxyx 5.
![Page 30: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/30.jpg)
2. 0)( 22 xydydxxyx
A
B
C
D
01243 2234 yxxx
01234 2243 yxxx
0643 2234 yxxx
0634 2243 yxxx
![Page 31: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/31.jpg)
Coba lagi Coba lagi ya!ya!
![Page 32: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/32.jpg)
Terima kasih, Anda berhasil
homehome
![Page 33: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/33.jpg)
PERSAMAAN PERSAMAAN DIFERENSIAL DIFERENSIAL LINIER (PDL)LINIER (PDL)
![Page 34: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/34.jpg)
Pers Diferensial LinierPers Diferensial Linier
Bentuk umum:
QPyy '
P dan Q adalah fungsi-fungsi dari x.
………(i)
![Page 35: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/35.jpg)
Salah satu cara untuk menyelesaikan persamaan (i) di atas adalah dengan memisalkan y = uv, dimana u dan v masing-masing fungsi dari x.
Karena y = uv, maka y’ = u’v + uv’ ……….(ii)
Dari pers (i) dan (ii) diperoleh:
u’v +uv’ + Puv = Q atau v(u’ + Pu) + uv’ = Q, dalam hal ini ambil syarat (u’ + Pu)=0 atau uv’ = Q ……(iii)
![Page 36: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/36.jpg)
Karena (u’ + Pu)=0, maka
.......(*) atau
atau maka
atau
PdxPdx
eueu
PdxuPdxu
du
Pudx
du
Pu
u
lnln
ln
,'
![Page 37: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/37.jpg)
Karena
.....(**) maka
atau maka
CQdxeveQv
QveQuvPdxPdx
Pdx
..
.
'
''
Berdasarkan pemisalan y = uv, maka dari persamaan (*) dan (**) diperoleh:
].[ CQdxeey
uvyPdxPdx
![Page 38: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/38.jpg)
Soal latihanSoal latihan
Selesaikanlah persamaan di bawah ini!
xydx
dy2cos2 1.
xydx
dysin 2.
x
yx
dx
dy
tan
sin 2 3.
homehome
![Page 39: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/39.jpg)
PERSAMAAN PERSAMAAN DIFERENSIAL DIFERENSIAL HOMOGEN HOMOGEN
![Page 40: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/40.jpg)
Pers Diferensial HomogenPers Diferensial Homogen
Bentuk umum PD orde 2:
)()()( 2'
1'' xkyxayxay
PDH Orde 2:
02'
1'' yayay
Subtitusi:rxey
……(*)
![Page 41: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/41.jpg)
Karena rxey rxrey '
rxery 2''
maka……(**)
Dari (*) dan (**) diperoleh:Dari (*) dan (**) diperoleh:
![Page 42: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/42.jpg)
0
0)(
0)()(
212
212
212
arar
arare
eareaerrx
rxrxrx
………(#)
Pers (#) dinamakan persamaan bantu.Pers (#) dinamakan persamaan bantu.
![Page 43: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/43.jpg)
Jika r1 dan r2 adalah akar-akar real berlainan dari persamaan bantu, maka penyelesaian umum dari:
02'
1'' yayay
xrxr eCeCy 2121
adalah:
![Page 44: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/44.jpg)
Contoh:
1.Tentukanlah penyelesaian umum dari persamaan:
0127 ''' yyy
Penyelesaian:
-
4,3
0)4)(3(
0127
21
2
rr
rr
rr
xx eCeCy 42
31
![Page 45: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/45.jpg)
Jika r1 dan r2 adalah akar-akar kembar dari persamaan bantu, maka penyelesaian umum dari:
02'
1'' yayay
adalah:
rxrx xeCeCy 21
![Page 46: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/46.jpg)
Contoh:
1.Tentukanlah penyelesaian umum dari persamaan:
Penyelesaian:
096 ''' yyy
3
0)3(
0)3)(3(
096
21
2
2
rr
r
rr
rr
xx xeCeCy 32
31
![Page 47: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/47.jpg)
Jika persamaan bantu memiliki akar-akar bilangan kompleks, a + bi dan a – bi, maka penyelesaian umum dari:
02'
1'' yayay
adalah:
)( 21
)(2
)(1
bixbixax
xbiaxbia
eCeCe
eCeCy
![Page 48: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/48.jpg)
)sincos(
sin)(cos)(
)sincos
sincos(
2121
22
11
bxBbxAey
bxiCCbxCCey
bxiCbxC
bxiCbxCey
ax
ax
ax
![Page 49: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/49.jpg)
Contoh:
1.Tentukanlah penyelesaian umum dari persamaan:
Penyelesaian:
0134 ''' yyy
irir
rr
32,32
0134
21
2
xBexAey xx 3sin3cos 22
![Page 50: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/50.jpg)
Soal latihanSoal latihan
042
2
ydx
yd 1.
0542
2
ydx
dy
dx
yd 2.
0332
2
3
3
ydx
dy
dx
yd
dx
yd 3.
![Page 51: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/51.jpg)
013932
2
3
3
ydx
dy
dx
yd
dx
yd 4.
04
4
dx
yd 5.
01683
3
5
5
dx
dy
dx
yd
dx
yd 6.
homehome
![Page 52: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/52.jpg)
PERSAMAAN PERSAMAAN DIFERENSIAL DIFERENSIAL
TIDAK TIDAK HOMOGENHOMOGEN
![Page 53: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/53.jpg)
Pers Dif Tidak HomogenPers Dif Tidak Homogen
Bentuk umum PD orde 2:
)()()( 2'
1'' xkyxayxay
PDTH Orde 2 dengan koefisien konstan:
PenyelesaiaPenyelesaian?n?
……(*)0)(2'
1'' xkyayay
![Page 54: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/54.jpg)
Penyelesaian PDTH dapat Penyelesaian PDTH dapat direduksi atas tiga tahapandireduksi atas tiga tahapan
1.1.Tentukan penyelesaian umum dari Tentukan penyelesaian umum dari persamaan homogen ypersamaan homogen y’’’’ + a + a11y’ + ay’ + a22y = 0, y = 0, ditulis yditulis yhh..
2.2.Tentukan suatu penyelesaian khusus Tentukan suatu penyelesaian khusus terhadap persamaan tak homogen (*), terhadap persamaan tak homogen (*), ditulis yditulis ykk..
3.Tambahkan kedua penyelesaian di atas, yh + yk = y (dinamakan penyelesaian umum dari (*)).
MetodeMetode
![Page 55: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/55.jpg)
Metode Metode ??
Metode Koefisien Tak Tentu
Metode Variasi
Parameter
![Page 56: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/56.jpg)
Metode Koefisien Tak TentuMetode Koefisien Tak Tentu
Perhatikan persamaan:
)(2'
1'' xkyayay
Dalam hal ini fungsi k(x) yang paling Dalam hal ini fungsi k(x) yang paling mungkin adalah berupa polinom, mungkin adalah berupa polinom, eksponen, sinus dan kosinus.eksponen, sinus dan kosinus.
Untuk menentukan yk didasarkan pada penyelesaian coba-coba.
Fungsi coba2
![Page 57: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/57.jpg)
Penyelesaian Coba-cobaPenyelesaian Coba-coba
k(x) k(x) ??
Coba Coba yykk ? ?
11
22 3311 2233
![Page 58: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/58.jpg)
01...)( bxbxbxk mm
![Page 59: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/59.jpg)
01... BxBxBy mmk
![Page 60: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/60.jpg)
rxbexk )(
![Page 61: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/61.jpg)
rxk Bey
![Page 62: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/62.jpg)
xcxbxk sincos)(
![Page 63: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/63.jpg)
xCxByk sincos
![Page 64: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/64.jpg)
Catatan:Catatan:
Jika salah satu fungsi dari Jika salah satu fungsi dari k(x) adalah suatu k(x) adalah suatu penyelesaian terhadap penyelesaian terhadap penyelesaian homogen, penyelesaian homogen, maka kalikan maka kalikan penyelesaian coba-coba penyelesaian coba-coba dengan x (atau mungkin dengan x (atau mungkin dengan suatu pangkat dengan suatu pangkat dari x yang lebih tinggi).dari x yang lebih tinggi).
![Page 65: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/65.jpg)
Metode Variasi ParameterMetode Variasi Parameter
Jika u1(x) dan u2(x) adalah penyelesaian yang saling bebas terhadap persamaan homogen, maka terdapat suatu penyelesaian khusus terhadap persamaan tak homogen yang berbentuk:
)()()()()(
0)()()()(
)()()()(
'2
'2
'1
'1
2'
21'
1
2211
xkxuxvxuxv
xuxvxuxv
xuxvxuxvyk
dengan
![Page 66: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/66.jpg)
Contoh soalContoh soal
Tentukan penyelesaian umum dari persamaan berikut dengan menggunakan metode variasi paramater!
xyy sec'' Penyelesaian:
Untuk menentukan penyelesaian homogen, cari dulu persamaan bantu sehingga diperoleh:
xCxCyh sincos 21
![Page 67: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/67.jpg)
Untuk menentukan penyelesaian khusus, maka tulis yk sebagai berikut:
xxxvxxv
xxvxxv
xxvxxvyk
seccos)(sin)(
0sin)(cos)(
sin)(cos)(
'2
'1
'2
'1
21
dengan
…(*)
Dengan menyelesaikan sistem (*), Dengan menyelesaikan sistem (*), maka diperoleh:maka diperoleh:
![Page 68: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/68.jpg)
1)(tan)( '2
'1 xvxxv dan
Sehingga:
xdxxv
xxdxxv
)(
coslntan)(
2
1
xxxxyk sincos)cos(ln
![Page 69: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/69.jpg)
Berdasarkan uraian di atas, maka Berdasarkan uraian di atas, maka penyelesaian umum yang harus penyelesaian umum yang harus dicari adalah:dicari adalah:
xCxC
xxxxy
sincos
sincos)cos(ln
21
![Page 70: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/70.jpg)
Soal latihanSoal latihan
xyy 9'' 1.
xxyyy 2''' 2 2.
xeyyy 65 3. '''
![Page 71: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/71.jpg)
xeyyy 3''' 34 4.
xyyy sin22''' 5.
xexyy 2'' sin9 6.homehome
![Page 72: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/72.jpg)
![Page 73: Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081415/568159a1550346895dc6efd7/html5/thumbnails/73.jpg)
Untuk mengakhiri pembelajaran ini, marilah kita bersama-sama membaca “ALHAMDULILLAH”