SCPY421 Elementary Particle Physics วทฟส๔๒๑ ... · SCPY421 Elementary Particle...
Transcript of SCPY421 Elementary Particle Physics วทฟส๔๒๑ ... · SCPY421 Elementary Particle...
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 1
SCPY421 Elementary Particle Physics
วทฟส๔๒๑ ฟสกสของอนภาคมลฐาน
Quantum Electrodynamics
Derivation of some classical QED results
หวขอทจะศกษา (1) Dirac Equation
(2) Photon
(3) Feynman Rules for QED
(4) Basic (Second-Order) QED Processes
(5) Calculation Tools - Casimir Trick
(6) Renormalization
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 2
1. Dirac Equation
“Correct” Relativistic Wave Equation ส าหรบ “Spin1/2 Particles”
(“leptons” และ “quarks” ทกตว ม spin 1/2 สวน “mediators” ม spin 1)
“Nonrelativistic”
Quantum Mechanics
“Schrödinger” Equation
ส าหรบ “nonrelativistic” particles ทกชนด
“Klein-Gordon” Equation
ส าหรบ “spin0 particles”
“Relativistic”
Quantum Mechanics
“Dirac” Equation
ส าหรบ “spin1/2 particles”
“Proca” Equation
ส าหรบ “spin1 particles”
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 3
ในการ derive “Feynman Rules”
เราตองเรยนรเกยวกบ “relativistic wave equation ของอนภาคทเกยวของ”
(ทมาของ/วธการเขยน “สมการ”, วธการหา “ค าตอบ”, และ “วธการตความหมายของผลลพธทได”) เมอเราได “Feynman Rules” แลว
สงทตองใชในการค านวณหา “amplitude” ของแตละ “Feynman Diagram” คอ
“wave function” ของอนภาคทเกยวของ
(“ค าตอบ” ทไดจากการแก relativistic wave equation)
เนองจาก “รปแบบ” ของ “wave function” ของ “spin1/2 particle” คอนขางจะ “ซบซอน”
ดงนน
จ าเปนตองศกษา “Dirac Equation”
เพอใหเขาใจ “ทมา/ความหมาย” ของ “สญญลกษณตางๆ” ทปรากฏอยใน
“wave function” ของ “spin1/2 particle”
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 4
“Schrödinger” Equation
เรมจาก “Classical” EnergyMomentum Relation: )(2
2
r
Vm
pE
เปลยน “(linear) momentum” และ “energy” เปน “operators” โดยใช
“Quantum Substitution”:
ip และ t
iE
)(2
2
r
Vm
pE )(
2 2
2
r
Vmt
i
น าไป “operate” ลงบน “wave function, ),( tΨ r
” จะได “(Time-dependent) Schrödinger Equation”
),(
),()(),(2
22
t
tΨitΨrVtΨ
m
rrr
“second-order” ใน “space” และ “first-order” ใน “time”
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 5
)(2
2
r
Vm
pE
)(2
22
r
Vmt
i
),(
),()(),(2
22
t
tΨitΨrVtΨ
m
rrr
t
iE
ip
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 6
KleinGordon Equation ส าหรบ “free” particle
เรมจาก “relativistic” EnergyMomentum Relation: 42222 cmcpE
ใช “Quantum Substitution”
ip และ t
iE
จะได
42222
2
22 cmc
t
หรอ
1
2
2
2
2
2
mc
tc
น าไป “operate” ลงบน “wave function, ),( tr
” [ในกรณนนยมใช “ตวเลก”] จะได “KleinGordon Equation”
),(),(1
),(
2
2
2
2
2 tmc
t
t
ct r
rr
“second-order” ใน “space” และ ใน “time”
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 7
42222 cmcpE
42222
2
22 cmc
t
1
2
2
2
2
2
mc
tc
),(),(1
),(
2
2
2
2
2 tmc
t
t
ct r
rr
t
iE
ip
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 8
ในกรณทเกยวของกบ “Special Relativity” นยมเขยนสมการตางๆ โดยใช “4vectors”
“contravariant” 4position: ),,,(),(),,,( 3210 zyxctctxxxxx r
“covariant” 4position: ),,,(),(),,,( 3210 zyxctctxxxxx r
xgx เมอ g คอ “metric”
10 0 0
0 10 0
0 0 10
0 0 0 1
g
“contravariant” 4momentum: ,
p
c
Ep
“covariant” 4momentum: ,
p
c
Epgp
“Scalar Product”: 33
22
11
00
00 babababababaμ ba
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 9
นนคอ “relativistic” EnergyMomentum Relation จะมรปเปน
42222 cmcpE 2222
cmpc
E
22cmpp
เปลยนเปน “operators” โดยใช “Quantum Substitution”
,,
i
tc
i
c
Ep p และ ,,
i
tc
i
c
Ep p
จะได
22cmpp 2222
2
2
2
2
cmtc
1
22
2
2
2
mc
tc
น าไป “operate” ลงบน “wave function, ),( tr
” [นยมใช “ตวเลก”] จะได “KleinGordon Equation”
),(),(1
),(
2
2
2
2
2 tmc
t
t
ct r
rr
“second-order” ใน “space” และ ใน “time”
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 10
42222 cmcpE
22cmpp
1
22
2
2
2
mc
tc
),(),(1
),(
2
2
2
2
2 tmc
t
t
ct r
rr
,,
i
tc
i
c
Ep p ,,
i
tc
i
c
Ep p
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 11
อกรปแบบหนงของสมการส าหรบ “4momentum operator” ทนยมเขยนกน
จาก “Quantum Substitution”, t
iE
และ
ip , จะไดวา
zyxctii
tc
i
c
Ep ,,,
)( ,,
p
3210
,,,)(
,)(
,)(
,)(
, xxxx
izyxct
ic
Ep
p
i
xi
c
Ep , p เมอ
x
zyxctii
tc
i
c
Ep ,,,
)( ,,
p
,,,, 3210
ix
ixxxx
ic
Ep p เมอ
x
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 12
Dirac Equation ส าหรบ “free” particle
หาสมการซง ( 1) consistent with “relativistic energymomentum formula”
และ (2) “first-order” in time (and space) เขยน “relativistic energymomentum formula”
42222 cmcpE 0 2222
cmp
c
E 0 22 cmpp
(a)
ในรป 0))(( mcpmcpβκ
(b)
)3 ,2 ,1 ,0 ,(
เมอ κβ และ )3 ,2 ,1 ,0 ,( เปน “eight coefficients” ทตองหา
(b) 0)( 22 cmpβmcppβ κκ
(c)
[ระลกวา และ เปน “summation” indices ซงเปน “dummy” indices]
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 13
เปรยบเทยบระหวาง 0 22 cmpp (a)
กบ 0)( 22 cmpβmcppβ κκ
(c)
จะไดวา (1) κβ เลอกใช κ
{เนองจาก (a) ไมมเทอมก าลงหนง (linear) ใน 4momentum}
(sum over )
และ (2)
pppp κ
(sum over and )
นนคอ κ ตอง (เปน “Matrices” ท) มสมบตดงน
(i) 1)( 0020 , (ii) 1)()()( 232221 ,
และ (iii) 0 ส าหรบ
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 14
เงอนไข (i), (ii) และ (iii) ของ “ κ matrices” เขยนรวมกนในรป “anticommutator”
} ,{ BAABBA
ไดเปน 2} ,{ g (d)
เมอ g คอ “Minkowski” metric หรอ “gmetric”
10 0 0
0 10 0
0 0 10
0 0 0 1
gg
“ matrices ทมขนาดเลกทสด” ทมสมบตตาม (d) คอ “4 4” matrices
เรยกวา “gamma” matrices (ซงสามารถเลอกไดหลายแบบท “equivalent” กน)
จะใช “Bjorken-Drell” Representation
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 15
“BjorkenDrell” Representation ส าหรบ matrices
เลอกใช
0
10
01 และ
0
0i
ii
โดยท (i) 10
01
1 คอ “2 2” unit matrix
(ii) 00
00
0 คอ “2 2” matrix of zeroes
และ (iii) )321( , , i i คอ “Pauli (spin) matrices”
01
10 1
x , 0
0 2
i
iy , และ 10
0 1 3
z
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 16
จาก 0))(( 22 mcpmcpcmpp κ
เลอกให 0 mcp 0 mcp
เปลยน covariant 4momentum เปน operator: ip เมอ
x
น าไป “operate” บน “wave function (” จะได
0 mci
“Dirac Equation” ส าหรบ “free particle”
เนองจาก เปน 4 4 matrices ดงนน จะเปน “fourelement column matrix”
4
3
2
1
“Dirac spinor” หรอ “bi-spinor” (ไมใช 4vector)
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 17
0 42222 cmcpE
0))(( 22 mcpmcpcmpp κ
0 mcp
ip
x
0 mci
0 mci
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 18
“ค าตอบ (Solutions)” ของ Dirac Equation : 0 mci
พจารณากรณท “wave function (” ไมขนกบ “ต าแหนง ( r
)” :
0 3211
xx 0 p
อนภาค “ไมเคลอนท”
“Dirac Equation” จะลดรปเปน 0 00
0
mc
tc
imci
หรอเขยนเปน 2
0
imc
t
หรอ
2
B
A
B
Amc
i
t
t
10
01
โดยท
B
A
,
2
1
A , และ
4
3
B
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 19
2
B
A
B
Amc
i
t
t
10
01
แยกออกไดเปน “2 สมการ” คอ
2
AA mc
it
และ
2
BB mc
it
“ค าตอบ” คอ )0( exp )0()(
2
2
tmc
i
AAA etmc
it
และ )0( exp )0()(
2
2
tmc
i
BBB etmc
it
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 20
เทยบ exp )0()( 2
t
mcit AA
และ exp )0()(
2
t
mcit BB
กบ “temporal part ของ wave function” ส าหรบ “อนภาคทมพลงงาน E”
exp
t
Ei
จะไดวา
“ A ” บรรยาย “อนภาค (particle)” ทมพลงงานเปน “บวก” 2mcE
ในขณะท “ B ” บรรยาย “อนภาค (particle)” ทมพลงงานเปน “ลบ” 2mcE
ซงพจารณาไดวาเปน “ปฏยานภาค (antiparticle)” ทมพลงงานเปน “บวก” 2mcE
“อนภาค” ทม พลงงานเปน “ลบ”
และม “spinup”
“ปฏยานภาค” ทม พลงงานเปน “บวก”
และม “spindown”
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 21
จะม “4 independent solutions” ส าหรบ “Dirac equation ของอนภาคทม 0p
”
0
0
0
1
)(
)1(
2
t
mci
et
0
0
1
0
)(
)2(
2
t
mci
et
spinup electron (particle) spindown electron (particle)
0
1
0
0
)(
)3(
2
t
mci
et
1
0
0
0
)(
)4(
2
t
mci
et
spindown positron (antiparticle) spinup positron (antiparticle)
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 22
พจารณากรณของ อนภาคทม “well-defined (non-zero) linear momentum p
”
“classical” wave function จะอยในรปของ “plane-wave”
)( exp ),( )(
rkrk
tieAtiAtr
เมอ คอ “angular frequency” และ k คอ “wave vector”
โดยท 2
kk
( คอ “wavelength”)
จาก )2( 2
f
hhfE จะได )( 0
0
xp
ctc
Et
Et
และจาก 22
p
h
pk
จะได
pk และ r
prk
ดงนน 00
rp
rk
x
pt
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 23
ถาเรา นยาม “4wave vector, k
” โดยสมการ
,1
,1
0
pp
c
Ep
pk
จะสามารถเขยน rk
t เปน “scalar product” ของ “4wave vector, k
” กบ “4position, ),( ),,,( 03210
r
xxxxxx ”
00
xkxkx
pt
r
prk
ดงนน )( exp )( exp ),(
xkieAxkiAtiAtr rk
Generalization เขยน “plane-wave solution ของ Dirac equation” ในรป )( )( )( exp )( kueakuxkiax xki
เมอ
B
A
u
uku )( คอ “bi-spinor” ซง “ตองหา”
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 24
แทน “plane-wave solution” )( )( kueax xki
ลงใน “Dirac equation” 0 mci
จะได 0 mck
{ จาก )( )( )( )( 33221100
kueakueax xkxkxkxkixki
จะได )()( )( 0 0
00 xikkueaikx
x xki
และ )()( )( 1 1
11 xikkueaikx
x xki
ดงนน )()( xikx
x
}
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 25
จาก )( )( kueax xki และ 0 mck
จะไดวา “สมการส าหรบ bi-spinor u(k)” คอ
0)( umckmcuuk
ซงเปน “algebraic equation”
0
0000
k
kkkk
σk
σk
0σ
σ0k
10
01kγ
ดงนน 0
)(
0
0
B
A
u
u
mck
mckumck
σk
σk
นนคอ )/(
0 BA u
mcku
σk
และ )/(
0 AB u
mcku
σk
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 26
แทน )/(
0 AB u
mcku
σk
ลงใน )/(
0 BA u
mcku
σk
จะได
220
2
220
2
)/()(
)/()(
)( AAA u
mcku
mcku
kσk
[จาก 2},{ 1ijijjiji จะได )( 222
k1kσk
]
ดงนน )( 22
20k
mck หรอเขยนเปน )(
2220
mck k
นนคอ k เปน “4-vector” ทม “square” เปน m
2c
2 เหมอนกบ “4-momentum (p
)”
,1
p
c
Epk
( 22 baba )
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 27
ถาเลอกใชเครองหมาย “บวก” ,1
p
c
Epk
จาก )( )( kueax xki จะได )( )( / kueax xip
ซงม “temporal (time) part” เปน //00 iEtxip ee
นนคอ (x) จะบรรยาย “particle” state
)/(
0 BA u
mcku
σk จะเปลยนรปเปน
)(
2 BA umcE
cu
σp
“ใชไมได”
{เนองจาก Au จะเปน “infinity ()” เมอ 0 p
( 2mcE )}
)/(
0 AB u
mcku
σk จะเปลยนรปเปน
)(
2 AB umcE
cu
σp
“ใชได”
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 28
ถาเลอกให 0
1
Au จะได
yx
zAB ipp
p
mcE
cu
mcE
cu
)(
22
σp
yx
z
zyx
yxzA
zyx
yxz
zyxzzyyxx
ipp
p
pipp
ipppu
pipp
ippp
pi
ippppp
0
1 )( &
10
0 1
0
0
0 1
1 0
σp
σp
ถาเลอกให 1
0
Au จะได
z
yxAB
p
ipp
mcE
cu
mcE
cu
)(
22
σp
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 29
ดงนน “two independent solutions” ส าหรบ “particle” states คอ
)(
0
1
2
2)1(
mcE
ippcmcE
cpNu
yx
z และ )(
1
0
2
2
)2(
mcE
cpmcE
ippcNu
z
yx
“spin-up” particle “spin-down” particle
โดยท 2
c
mcEN
คอ “normalization” factor ซงหาไดจากเงอนไข
2
||||| )( 2222****
c
E|β||uu
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 30
ถาเลอกใชเครองหมาย “ลบ” ,1
p
c
Epk
จาก )( )( kueax xki จะได )( )( / kveax xip { )()( kvku }
ซงม “temporal (time) part” เปน //00 iEtxip ee
(x) จะบรรยาย “particle” with “negative energy”
ซงอาจพจารณาไดวาเปน “antiparticle” with “positive energy”
)/(
0 BA u
mcku
σk จะเปลยนรปเปน
)(
2 BA vmcE
cv
σp
“ใชได”
)/(
0 AB u
mcku
σk จะเปลยนรปเปน
)(
2 AB vmcE
cv
σp
“ใชไมได”
{เนองจาก Bv จะเปน “infinity ()” เมอ 0 p
( 2mcE )}
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 31
ถาเลอกให 1
0
Bv จะได
z
yxBA
p
ipp
mcE
cv
mcE
cv
)(
22
σp
ถาเลอกให 0
1
Bv จะได
yx
zBA ipp
p
mcE
cv
mcE
cv
)(
22
σp
ดงนน “two independent solutions” ส าหรบ “ antiparticle” states คอ
1
0
)(
2
2
)1(
mcE
cpmcE
ippc
Nv z
yx
และ
0
1
)(
2
2
)2(
mcE
ippcmcE
cp
Nvyx
z
“spin-up” antiparticle “spin-down” antiparticle
* สงเกตเครองหมาย “ลบ”
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 32
จรงๆ แลว ทง )1()2()1( ,, vuu และ )2(v จะ “ไมเปน” eigenfunction ของ zS
2
z
zzS
0
0 เมอ
10
0 1
z
ยกเวนกรณพเศษท p p yx 0 (อนภาคเคลอนทในแนวแกน z) ซงจะได
2
(1))1( uuSz
, 2
(2))2( uuSz
“spin-up” particle “spin-down” particle
2
(1))1( vvSz
,
2 (2))2( vvSz
“spin-up” antiparticle “spin-down” antiparticle
{ p p yx 0 ))(( 22422 mcEmcEcmEcppc z
}
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 33
ในการเปลยนจาก “1st initial frame” ไปยง “2nd initial frame”
Dirac spinors จะเปลยนไปอยางไร?
“1st initial frame” และ “2nd initial frame” '
Dirac spinors ม “4 components” แต “ไมใช 4-vector”
กบ จะไมไดมความสมพนธกนผาน Lorentz transformation
ในกรณท “2nd frame” เคลอนท “ในแนวแกน x” ดวย “อตราเรว v” เทยบกบ “1st frame” S'
โดย 1
1
1
110
1
1
0
0
10
0 1
10
01
aa
aaaaaaS
เมอ )1(21 a ,
/1
1
22 cv
และ
01
10 1
x
(Lorentz factor)
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 34
ในกรณท “2nd frame” เคลอนท “ในแนวแกน x” ดวย “อตราเรว v” เทยบกบ “1st frame”
S'
00
0 0
0 0
00
aa
aa
aa
aa
S
)1(21 a
/1
1
22 cv
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 35
ในกรณของ “4-vector” เราม “contravariant” 4-vector
),(),,,( 03210x
xxxxxx
และ “covariant” 4-vector (สงเกต “ต าแหนง” ของเครองหมาย “ลบ”)
),(),,,(),,,( 032103210 x
xxxxxxgxxxx x
โดยท “scalar product” ของ x กบ x จะมสมบตเปน “Lorentz invariant”
)()()()()()()( 23222120 'x'xxxxxxxxx
ในกรณของ “(Dirac) spinors” เราจะนยาม “adjoint” spinors, ” โดยสมการ
) (
10 0 0
0 10 0
0 0 1 0
0 0 0 1
)( *4
*3
*2
*1
*4
*3
*2
*1
0
(สงเกต “ต าแหนง” ของเครองหมาย “ลบ”)
เมอ ไดจาก โดยการท า “transpose” และ “complex conjugate”
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 36
จะไดวา 24
23
22
21
3
3
2
1
*4
*3
*2
*1 ) (
จะมสมบตเปน “Lorentz invariant”
} { }{ )(
})( { )()(
}' & { )()(
)()(
} { )( )(
0000
0
000
00
00
SSregroupSS
ABABSS
SSS
'''
(“transpose of product” “product of transposes” in “reverse order”)
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 37
ซงเปน scalar และเปน Lorentz invariant เปน scalar แบบใด (เปน “scalar” หรอเปน “pseudoscalar”)
ตองดวา “Dirac spinor เปลยนอยางไร” ภายใต “parity operation”
ภายใต “parity operation ”: Dirac spinor () จะเปลยนเปน
10 0 0
0 10 0
0 0 1 0
0 0 0 1
parity
3
3
2
1
3
3
2
1
0
และดงนนจะไดวา จะเปน “true” scalar
)()()(
)()()()()()(
0000000000
000000
''''
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 38
นอกจาก “4” matrices
0
10
01 และ
0
0i
ii
3) 2, 1,( i
เมอ 01
10 1
x , 0
0 2
i
iy , และ 10
0 1 3
z
คอ “Pauli (spin) matrices” แลว จะนยาม “ 5matrix” ซง anticommute กบ
32105
01
10 i )3 2 1 0( 0},{ 555 ,,,
และ “6” antisymmetric tensors “
” )(
2
i
ไมเปนศนยเฉพาะ 1312030201 ,,,, และ 23
{ 033221100 และ ส าหรบ จะได }
} , , , ,1 { 55 จะเปน “basis” ส าหรบ “4 4 matrices”
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 39
2. Photon
“Particle” ของ “Electromagnetic (EM) Field”
ใน “Classical Electrodynamics” :
“electric” และ “magnetic” fields [ ),( trE
และ ),( trB
]
ทเกดจาก “charge density, ),( tr
” และ “current density, ),( trJ
”
จะเปนไปตาม “Maxwell’s Equations” (ใน “cgs unit”)
(1) “Gauss’s Law” ส าหรบ “electric field” ),(4),( tt rrE
(2) “Gauss’s Law” ส าหรบ “magnetic field” 0),( trB
(3) “Faraday-Henry Induction Law” 0),(1
),(
t
t
ct
rBrE
(4) “Ampere-Maxwell Law” ),( 4),(1
),( c
t
t
t
ct
rJrErB
(2) & (3) เปน “homogeneous” สวน (1) & (4) จะเปน “nonhomogeneous” eqns.
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 40
จาก 0),( trB
จะได
),(),( tt rArB
เมอ ),( trA
คอ “vector potential”
{ส าหรบ vector function ),( trP
ใดๆ จะได 0)],([ trP
)0 ( curldiv }
แทน ),(),( tt rArB
ลงใน 0),(1
),(
t
t
ct
rBrE
จะได
0),( 1
),()],([ 1
),(
t
t
ct
t
t
ct
rArE
rArE
ดงนน ),(),( 1
),( tVt
t
ct r
rArE
หรอ
),( 1),(),(
t
t
ctVt
rArrE
เมอ ),( tV r
คอ “scalar potential”
{ส าหรบ scalar function ),( tQ r
ใดๆ จะได 0)],([ tQ r
)0 ( gradcurl }
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 41
),( trE
และ ),( trB
จะ form เปน “antisymmetric second-rank tensor” เรยกวา
“field strength tensor” F
(“ ” “row” และ “ ” “column”) “row”
0
0
0
0
xyz
xzy
yzx
zyx
BBE
BBE
BBE
EEE
F
3
2
1
0
“column” 0 1 2 3
1001 FEF x , 2112 FBF z , …
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 42
“charge density ),( tr
” และ “current density ),( trJ
” จะ form เปน “4-vector”
),( J
cJ เรยกวา “4-current”
0)(
)(
J
tz
J
y
J
x
J
ct
cJ zyx
หรอ t
J
ซงเรยกวา “Continuity Equation” (แสดง “local conservation of charge”)
{ จาก 4 E
จะได 4
1
tt
E
“Gauss’s Law” ส าหรบ “electric field”
จาก 41
ctc
JEB
จะได 4 JB
E
c
t
“Ampere-Maxwell Law”
4
JJB
c
t )0 ( BB
curldiv }
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 43
“scalar potential ),( tV r
” และ “vector potential ),( trA
” จะ form เปน “4-vector”
),( A
VA เรยกวา “4-potential”
เขยน “field strength tensor” F ในเทอมของ “4-potential” A
ไดเปน
AAF
เชน xx E
x
V
t
A
cx
A
x
AAAF
11
0
0
1011001
ระลกวา ,,, 3210
xxxxx เปน “covariant 4-vector”
,,, 3210
xxxxxg
เปน “contravariant 4-vector”
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 44
เขยน “Inhomogeneous” Maxwell Equations
4 E
และ 41
JE
B
ctc
รวมกน ในเทอมของ “field strength tensor” F ไดเปน
4
J
cF
หรอ ในเทอมของ “4-potential” A ไดเปน
4
)(
J
cAA
)}()()({
AAAAAAF
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 45
ใน “Classical Electrodynamics”
“electric” และ “magnetic” fields เปน “physical entities”
“scalar” และ “vector” potentials เปน “useful mathematical constructs”
ขอดของการใช “potentials” ในการศกษา “classical electrodynamics”
It automatically takes care of “the homogeneous Maxwell equations”.
A
V
AB
AE
tcV
1
0
01
B
BE
tc
เหลอเฉพาะ “inhomogeneous Maxwell equations” ทตองพจารณา
4 E
และ 41
JE
B
ctc
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 46
ขอ เสย (?) ของการใช “potentials”
“Potentials”, V และ A
(หรอ A), are “NOT uniquely determined”
4-potentials A และ A ทมความสมพนธกนผาน “Gauge Transformation”
x
AAA
เมอ )(),( xt r เปน “ฟงกชนใดๆ ของ r
และ t (หรอ 4-position
x )”
จะบรรยาย “ E
และ B
ชดเดยวกน”
สามารถเพม/ก าหนด (impose) “เงอนไขเพมเตม (extra constraint)” ใหกบ A
ซง อาจมอง/พจารณาไดวาเปน “ขอด”
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 47
ถา “เลอก” ให 0 A ซงเรยกวา “Lorentz Condition” จะไดวา
สามารถเขยน “inhomogeneous Maxwell equations”
4 E
และ 41
JE
B
ctc
รวมกนในเทอมของ “4-potential” ไดเปน
41
2
2
2
2
J
cA
tcAμ
หรอเขยนเปน 4
Jc
A
เมอ 1 2
2
2
2
tc
μ คอ “d’Alembertian”
(“relativistic extension” ของ “Laplacian” 2
)
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 48
แมวาจะ “เพม Lorentz condition แลว” ก “ยงไมสามารถ uniquely specify A ได”
ม “ทางเลอก” 2 ทาง (1) live with “indeterminacy”
หรอ (2) impose “an additional constraint”
จะเลอก “ทางเลอกท (2)” เลอกใช “particular” initial system
(ซงจะท าให สมบต “Lorentz Covariance” เสยไป)
ในกรณของ “empty space” ( 0J ) จะ เลอก (ใช “กรอบอางอง” ท) ให
00 VA
ซงจะท าให “Lorentz condition”, 0 A , กลายเปน
0 33
22
11
A
z
A
y
A
x
AAAA zyx
เรยก เงอนไข 0 A
วา “Coulomb Gauge”
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 49
ใน “Quantum Electrodynamics (QED)”
A จะท าหนาทเปน “wave function” ของ “photon”
สมการส าหรบ A ในกรณของ “free photon” (ซงจะเปนกรณท 0J ) คอ
01 2
2
2
2
A
tcAA
(A)
ซงจะเหมอนกบ “Klein-Gordon equation” ส าหรบ “massless particle”
“plane-wave solution” ส าหรบ photon ทม 4-momentum
p
,
c
Ep คอ
)()( exp )(
p a epxp
iaxA
xpi
(B)
เมอ “a” คอ “normalization factor”
และ
(p) คอ “polarization vector” ซงสมพนธกบ “spin” ของ “photon”
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 50
แทน (B) ลงใน (A) จะไดวา “เงอนไข” ส าหรบ “4-momentum ของ photon” คอ
0 2
2
p
c
Epp
(ตามทควรจะเปน ส าหรบ “massless” particle)
{ ในกรณ “massive” particle ทมมวล m จะได 222
2
cmc
Epp
p
}
ถงแมวา “polarization vector,
(p)” จะ “ม 4 components” ()
แตกจะ “ไมไดเปนอสระตอกนทงหมด (not all independent)”
“Lorentz condition”: 0 A 0
pp
“Coulomb gauge”: 00 VA 00
00 จะท าให 0 p กลายเปน 0 pε
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 51
“A free photon is ‘transverse polarized’.”
(สอดคลองกบการท “คลนแมเหลกไฟฟา” เปน “คลนตามขวาง”)
0 pε
“polarization 3-vector, ε
” จะ “ตงฉาก” กบ “direction of propagation (ทศ p
)”
“ε
” จะวางตวอยใน “ระนาบ (plane)” ท “ตงฉาก” กบ “ p
”
จะม “two” linearly independent polarization 3-vectors )1(ε และ )2(
ε
{ในกรณท zpep ˆ เราอาจเลอกให xeε ˆ)0 ,0 ,1()1(
และ yeε ˆ)0 ,1 ,0()2(
}
“photon” ซงม “spin 1” จะม “two” possible “spin orientations” )1( sm
{ “ไมม ms ” “ไมม ‘longitudinal’ electromagnetic wave” }
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 52
ส าหรบ “massless particles” (เคลอนทดวยอตราเรว c) ไมวาจะม spin (s) เปนเทาใด จะมเพยง “two” possible “spin orientations” เทานน (ยกเวน s 0) โดยจะม “projection ของ spin ในทศทางการเคลอนท” เปน “ms s” หรอ “ms s”
sms 1 s
mhelicity s “right-circular” polarization
sms 1 s
mhelicity s “left-circular” polarization
ส าหรบ “massive particle” ทม spin “s” จะม “s ” different spin orientations
(ม “s” possible values of ms ,1 ,,1, ssssms )
sms
p
S
p
S
sms
p
S p
S
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 53
3. Feynman Rules for QED
“Feynman rules” ส าหรบหา/ค านวณ “amplitude” ของ “แตละ Feynman diagram”
ในกรณของ Quantum Electrodynamics มดงน
Rule 1: “4-momentum”
ส าหรบ “ทก external line” ระบ “4-momentum” (ใช p p1, p2,…)
(และ “corresponding spin” s1, s2,…)
ส าหรบ “ทก internal line” ระบ “4-momentum” (ใช q q1, q2,…)
เขยน “ลกศร ‘ขางๆ เสน’ ทกเสน” เพอระบ “positive” direction {ทศทเวลาเพมขน ()}
เขยน “ลกศร ‘บน’ ทกเสน” เพอระบวาเปน “particle” หรอเปน “antiparticle”
(“ve” direction) (“ve” direction)
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 54
Rule 2: “Line factor”
ส าหรบ “แตละ external line” ระบ “line factor”
ซงจะขนกบ “ชนดของ particle หรอ antiparticle” และ “ทศทางการเคลอนท”
ชนดของอนภาค ทศทางการเคลอนท “line factor”
“electron”
(particle)
incoming )()()(
is
puiu i
outgoing )()()(
is
puiu i
“positron”
(antiparticle)
incoming )()()(
is
pviv i
outgoing )()()(
is
pviv i
“photon”
(mediator)
incoming )(i
outgoing )(* i
“adjoint” spinors 0 uu และ 0 vv
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 55
Rule 3: “Vertex factor”
ท “แตละ vertex” ระบ “vertex factor” “QED vertex factor” eig
เมอ 44
cege
คอ ‘dimensionless’ QED coupling constant
“ ” คอ “fine structure” constant และ “” คอ “(Dirac) gamma matrices”
Rule 4: “Propagator”
ส าหรบ “แตละ internal line” ระบ “propagator”
ซงจะขนกบ “ชนดของอนภาค” ทเกยวของกบ internal line นน
ส าหรบ “electron” และ “positron” “propagator” = )(
222 cmq
mcqi
ส าหรบ “photon” (ไมมมวล) “propagator” = 2q
ig เมอ “g” คอ “metric”
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 56
Rule 5: “Conservation of energy and momentum”
ท “แตละ vertex” เขยน “Dirac delta function” ในรป
)()2( 32144 kkkδπ
เมอ “kj” คอ “4-momentum” ของ jth particle/antiparticle
เปน “บวก (ลบ)” ส าหรบ “incoming (outgoing)” particle/antiparticle
Rule 6: “Integrate over internal 4-momenta”
ส าหรบ “แตละ internal line”
(i) เขยน factor )2(
4
4
π
qd และ (ii) “integrate”
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 57
Rule 7: “Cencel the (Dirac) delta function”
การใช Rules 16 จะให “ผลลพธ” ทม factor
)()2( 2144
npppδπ
ซงแสดง “overall” energy-momentum conservation
ให (i) “ตด factor นออก” แลว (ii) “คณดวย i” )1( i จะได “amplitude, M ”
ใน Quantum Electrodynamics (QED)
ทง “line factors”, “vertex factors” และ “propagators” จะเปน “matrices” ดงนน
“ล าดบ (order) ของการรวม factors เหลานเขาดวยกน” จะ “มความส าคญ”
เรยงล าดบเทอมตางๆ โดย “ไลตาม fermion line” ในทศ “ยอน” กบ “ลกศรบนเสน”
แตละ fermion line จะใหเทอมตางๆ เรยงกนในลกษณะทให “ผลลพธ” เปน “ตวเลข”
“adjoint spinor (row)” “4 4 matrix” “spinor (column)” “number”
(เรยก “การเรยงในลกษณะน” วา “sandwich”)
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 58
Rule 8: “Antisymmetrization”
โดยทวไป แตละ “กระบวนการ (process)” ทจะศกษา จะม “หลาย Feynman diagrams”
ตองหา “amplitude, M ” ของ “แตละ diagram” แลวน ามา “รวม” กน
เนองจาก “wave functions ของ fermion” (spin ครง) ตองมสมบต “antisymmetric”
การ “รวม” amplitudes ของ “2 diagrams”
ทมความสมพนธกนผาน “การสลบ two identical external fermions”
จะตอง ใสเครองหมาย “ลบ” ใหกบ “amplitude” ของ “diagram อนใดอนหนง” (เลอก diagram ใดกได เพราะวา ในตอนทาย เราตอง “ยกก าลงสอง”)
“incoming electron” “incoming electron” “outgoing positron”
“outgoing electron” “outgoing electron” “incoming positron”
“incoming positron” “incoming positron” “outgoing electron”
“outgoing positron” “outgoing positron” “incoming electron”
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 59
4. Basic (Second-order) Quantum Electrodynamics Processes
(a) Elastic Processes
“electronmuon” scattering
e e
“Mott” scattering (M m)
“Rutherford” scattering (v c)
“electronelectron” scattering
e e e e
(“Moller” scattering)
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 60
(a) Elastic Processes (ตอ)
“electronpositron” scattering
e e e e
(“Bhabha” scattering)
“Compton” scattering
e e
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 61
(b) Inelastic Processes
“pair annihilation”
e e
“pair production”
e e
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 62
ElectronMuon Scattering
“Simplest” Quantum Electrodynamics (QED) Process
ใน “second-order” จะ “มเพยง one Feynman diagram”
จะหา “amplitude (M)” ส าหรบ Feynman diagram ขางบน โดยใช Feynman Rules
e e
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 63
e e
q
p1
p2
p3
p4
RULE 1
ระบ “4-momentum” ของ “ทก external line” (ใช p) และ “ทก internal line” (ใช q)
พรอมทง เขยน “ลกศร” ขางๆ เสนทกเสน เพอระบ “positive” direction
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 64
RULE 2
ระบ “line factor” ของ “ทก external line”
(ขนกบวาเปน “particle” หรอ “antiparticle” และขนกบ “ทศทางการเคลอนท”)
e e
q
p1
p2
p3
p4
)()1( 1)( 1 puu
s
)()2( 2)( 2 puu
s
)()3( 3)( 3 puu
s
)()4( 4)( 4 puu
s
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 65
RULE 3
ระบ “vertex factor” ของ “ทก vertex”
e e
q
p1
p2
p3
p4
)()1( 1)( 1 puu
s
)()2( 2)( 2 puu
s
)()3( 3)( 3 puu
s
)()4( 4)( 4 puu
s
eig
eig
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 66
RULE 4
ระบ “propagator” ของ “ทก internal line”
(ขนกบ “ชนดของ particle” ทเกยวของกบ internal line)
e e
q
p1
p2
p3
p4
)()1( 1)( 1 puu
s
)()2( 2)( 2 puu
s
)()3( 3)( 3 puu
s
)()4( 4)( 4 puu
s
eig
eig
2q
ig
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 67
RULE 5
ท “แตละ vertex” เขยน “Dirac delta function” ในรป (แสดง “Conservation of energy and momentum” ทแตละ vertex)
)()2( 32144 kkk
e e
q
p1
p2
p3
p4
)()1( 1)( 1 puu
s
)()2( 2)( 2 puu
s
)()3( 3)( 3 puu
s
)()4( 4)( 4 puu
s
eig
eig
2q
ig
)()2( 3144 qpp
)()2( 4244 pqp
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 68
RULE 6
(1) ส าหรบ “แตละ internal line” เขยน “4-momentum volume element” ในรป
4
4
)2(
qd
e e
q
p1
p2
p3
p4
)()1( 1)( 1 puu
s
)()2( 2)( 2 puu
s
)()3( 3)( 3 puu
s
)()4( 4)( 4 puu
s
eig
eig
2q
ig
)()2( 3144 qpp
)()2( 4244 pqp
4
4
)2(
qd
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 69
RULE 6 (ตอ)
(2) เขยนเทอมตางๆ เรยงกนในรปแบบ “path 1” “internal (photon) line” “path 2”
(walking “backward” along fermion line)
e e
q
p1
p2
p3
p4
)()1( 1)( 1 puu
s
)()2( 2)( 2 puu
s
)()3( 3)( 3 puu
s
)()4( 4)( 4 puu
s
eig
eig
2q
ig
)()2( 3144 qpp
)()2( 4244 pqp
2
1
(walking “backward” along fermion line)
4
4
)2(
qd
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 70
“path 1” “internal (photon) line” “path 2”
)3(u eig )1(u
)()2( 3144 qpp
2q
ig
4
4
)2(
qd)()2( 42
44 pqp
)4(u )2(ueig
RULE 6 (ตอ)
(3) “อนทเกรต” รวมทกคาทเปนไปไดของ “internal 4-momentum”
)( 314 qpp )( 42
4 pqp qd 4
4)2( )3(u eig )1(u
2q
ig )4(u )2(ueig
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 71
ถา
เลอกใช “first Dirac delta function” 4( p1 – p3 – q) ในการอนทเกรต
จะไดวา
“ผลของการอนทเกรต” คอ การแทน “ทก q” ดวย “p1 – p3”
นนคอ
จดเทอมใหม และใชความสมพนธ 12 i และ
g จะได
)()2( 432144 pppp
231
2
)( pp
ige
[ )3(u )1(u ] [ )4(u )2(u ]
4)2( )3(u eig )1(u )4(u )2(u
231 )( pp
ig)( 4321
4 pppp eig
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 72
231
2
)( pp
ige
[ )3(u )1(u ] [ )4(u )2(u ]
M = 2
31
2
)( pp
ge
[ )3(u )1(u ] [ )4(u )2(u ]
“sum over all possible values of ( = 0, 1, 2, 3)” implied
อาจจะ ด “ซบซอน” (ม 4 spinors และ 8 gamma matrices)
แตจรงๆ แลว เปนเพยง “ตวเลข” (just a “number”)
RULE 7 (ตอ)
(2) คณดวย “i ” จะได “amplitude” M ส าหรบ Feynman diagram ทก าลงพจารณา
RULE 7
(1) ตด “Dirac delta function” ซงแสดง “overall” energy-momentum conservation
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 73
Special Case: Electron (e) Muon () Scattering ใน CM frame
พจารณา “กรณพเศษ” ท
(1) “e” และ “” เคลอนทในแนวแกน z เขาหากน ผลกกน แลวเคลอนทยอนกลบ
(2) “initial” และ “final” particles “ทกตว” ม “helicity” เปน “+1”
(นนคอ อนภาคทกตวม “spin” วางตวอยในทศเดยวกบ “ทศทางการเคลอนท”)
“spin” “up” “down” “down” “up”
z
e
21sm
21sm
กอนการกระเจง e
21sm
21sm
หลงการกระเจง
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 74
“Dirac spinors” ส าหรบ “particle” ทม “มวล m” และ “4-momentum p” คอ
)(
0
1
2
2
2)1(
mcE
ippcmcE
cp
c
mcEu
yx
z และ )(
1
0
2
2
2)2(
mcE
cpmcE
ippc
c
mcEu
z
yx
“spin-up” particle (21sm ) “spin-down” particle (
21sm )
โดยท ))(( 22 mcEmcEc p
{ จาก 42222 cmcE p จะได ))(( 2242222 mcEmcEcmEc p
}
“adjoint spinor” คอ 0 uu
โดยท เครองหมาย “+” หมายถง การท า “transpose” และ “complex conjugate”
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 75
ส าหรบ “กรณพเศษ” ของ “e
elastic scattering” ใน CM frame ทก าลงพจารณา
“Dirac spinors” ส าหรบ “incident electron” (ม “มวล me” และ “พลงงาน Ee”) คอ
0
0
0
0
1)1(
2
2
a
a
cmE
cmE
cu
ee
ee
เมอ 2
c
cmEa ee
“มวล me” (m me), “พลงงาน Ee” (E Ee), “spin up” { ใช u(1)}
“เคลอนทในทศ z”{ ))((ˆ 22 cmEcmEcpcp eeeezzz pep
}
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 76
“Dirac spinors” ส าหรบ “incident muon” (ม “มวล m” และ “พลงงาน E”) คอ
0
0
0
0
1
)2(
2
2
b
b
cmE
cmE
cu
เมอ
2
c
cmEb
“มวล m” (m m), “พลงงาน E” (E E), “spin down” { ใช u(2)},
“เคลอนทในทศ z”{ ))((ˆ 22 cmEcmEcpcp zzz pep
}
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 77
ส าหรบ “scattered (outgoing) electron” :
“มวล me”, “พลงงาน Ee”, “spin down” และ “เคลอนทในทศ z”
ใช u(2) เหมอน incident muon ยกเวน “เปลยน (m, E b) เปน (me, Ee, a”
เปน “outgoing” electron ใช “adjoint spinor”
0
0
)3(
a
au 00 )3(
aau { aa* (เปนจ านวนจรง)}
00
10 0 0
0 10 0
0 0 1 0
0 0 0 1
00 )3()3( 0
aaaauu
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 78
ส าหรบ “scattered (outgoing) muon” :
“มวล m”, “พลงงาน E”, “spin up” และ “เคลอนทในทศ z”
ใช u(1) เหมอน incident electron ยกเวน “เปลยน (me, Ee, a เปน (m, E b)”
เปน “outgoing” muon ใช “adjoint spinor”
0
0 )4(
b
b
u 00 )4( bbu { bb* (เปนจ านวนจรง)}
00
10 0 0
0 10 0
0 0 1 0
0 0 0 1
00 )4()4( 0
bbbbuu
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 79
M = 2
31
2
)( pp
ge
[ )3(u )1(u ] [ )4(u )2(u ]
“sum over all possible values of ( = 0, 1, 2, 3)” implied
0
0)1(
a
a
u และ aau 00)3( โดยท 2
c
cmEa ee
0
0
)2(
b
bu และ 00)4( bbu โดยท
2
c
cmEb
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 80
M = 2
31
2
)( pp
ge
[ )3(u )1(u ] [ )4(u )2(u ]
“sum over all possible values of ( = 0, 1, 2, 3)” implied
, 1
e
e
c
Ep p
& , 3
e
e
c
Ep p
2 ,0 31 epp p
440)( 222231 eepp pp
M = 4
2
2
e
eg
p [ )3(u )1(u ] [ )4(u )2(u ]
“sum over all possible values of ( = 0, 1, 2, 3)” implied
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 81
M = 4
2
2
e
eg
p [ )3(u )1(u ] [ )4(u )2(u ]
“sum over all possible values of ( = 0, 1, 2, 3)” implied
“BjorkenDrell” Representation
0
10
01 และ
0
0i
ii
เมอ )321( , , i i คอ “Pauli (spin) matrices” ซงเขยนในรปทวไปไดเปน
01
10 1
,
0
0 2
i
i ,
10
0 1 3
2221
1211
ii
iii
0111 , 11
12 , i221 , 02
22 , 1311 , 13
22 , …
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 82
M = 4
2
2
e
eg
p [ )3(u )1(u ] [ )4(u )2(u ]
“sum over all possible values of ( = 0, 1, 2, 3)” implied
จาก 33
22
11
00
ggggg μ
เมอ
10 0 0
0 10 0
0 0 10
0 0 0 1
gg (“gmetric”)
จะได 0303
202
101
00000
ggggg
1313
212
111
01011
ggggg
นนคอ 00 , 1
1 , 22 , และ 3
3
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 83
M = 4
2
2
e
eg
p [ )3(u )1(u ][ )4(u )2(u ]
“sum over all possible values of ( = 0, 1, 2, 3)” implied
M = 4
2
2
e
eg
p {[ )3(u 0 )1(u ][ )4(u 0 )2(u ] [ )3(u i )1(u ][ )4(u i )2(u ]}
“sum over all possible values of i (i = 1, 2, 3)” implied
00
ii
M = 4
2
2
e
eg
p {[ )3(u 0 )1(u ][ )4(u 0 )2(u ] [ )3(u i )1(u ][ )4(u i )2(u ]}
“sum over all possible values of i (i = 1, 2, 3)” implied
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 84
เนองจาก )3(u 0 )1(u aa 00
10 0 0
0 10 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0
0
a
a
= 0 ดงนน
M = 4
2
2
e
eg
p {[ )3(u 0 )1(u ][ )4(u 0 )2(u ] [ )3(u i )1(u ][ )4(u i )2(u ]}
“sum over all possible values of i (i = 1, 2, 3)” implied
M = 4
2
2
e
eg
p [ )3(u i )1(u ][ )4(u i )2(u ]
“sum over all possible values of i (i = 1, 2, 3)” implied
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 85
)3(u i )1(u ) 0 0( aa
00
00
00
00
2221
1211
2221
1211
ii
ii
ii
ii
0
0
a
a
)3(u i )1(u ) 0 0( aa
i
i
i
i
a
a
a
a
21
11
21
11
)3(u i )1(u = aa2 i21
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 86
)3(u i )1(u )] 0( ) 0[( aa
0
0i
i
0
0
a
a
)3(u i )1(u )] 0( ) 0[( aa
0
0
a
a
i
i
)3(u i )1(u a0 i
0
a a0 i
0
a
)3(u i )1(u aa2 10
ii
ii
2221
1211
0
1 aa2 10
i
i
21
11
)3(u i )1(u = aa2 i21
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 87
)4(ui )2(u )0 0 ( bb
00
00
00
00
2221
1211
2221
1211
ii
ii
ii
ii
b
b
0
0
)4(u i )2(u )0 0 ( bb
i
i
i
i
b
b
b
b
22
12
22
12
)4(u i )2(u bb2 i12
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 88
)4(u i )2(u )]0 ( )0 [( bb
0
0i
i
b
b
0
0
)4(u i )2(u )]0 ( )0 [( bb
b
b
i
i
0
0
)4(u i )2(u )0 ( b i
b
0 )0 ( b i
b
0
)4(u i )2(u bb2 01
ii
ii
2221
1211
1
0 bb2 01
i
i
22
12
)4(ui )2(u bb2 i
12
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 89
M = 4
2
2
e
eg
p [ )3(u i )1(u ][ )4(u
i )2(u ]
“sum over all possible values of i (i = 1, 2, 3)” implied
)3(u i )1(u = aa2 i21
)4(u i )2(u bb2 i12
M = 2
2
e
eg
p aa bb i
i
i21
3
112
eeeeeeee
c
c
c
cmE
c
cmEcmEaa p
p
2242222
pp
c
c
c
cmE
c
cmEcmEbb
2242222
ใน CM frame pp
e aa bb = 2ep
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 90
จาก 01
10 1
,
0
0 2
i
i ,
10
0 1 3
2221
1211
ii
iii
จะได 2)0)(0())(()1)(1( 321
312
221
212
121
11221
3
112
iii
i
i
ดงนน M = 2
2
e
eg
p aa bb i
i
i21
3
112
aa bb = 2ep
2 21
3
112
i
i
i
M = 2 2eg
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 91
ElectronElectron Scattering
ใน “second-order” จะม “two” Feynman diagrams
“1st” Feynman diagram “M1” “2nd” Feynman diagram “M2”
(“เหมอนกบ” e scattering) “twisted” diagram : (p3, s3) (p4, s4)
e
e
e
e
p2 p4
p1
q
p3
e
e
e
e
q
p1
p2
p4
p3
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 92
เนองจาก “1st” Feynman diagram จะ“เหมอนกบ” e scattering ดงนน จะได
1M = 2
31
2
)( pp
ge
[ )3(u )1(u ] [ )4(u )2(u ]
“sum over all possible values of ( = 0, 1, 2, 3)” implied
เนองจาก “2nd” (“twisted”) diagram ไดจาก “1st” Feynman diagram โดยการ “สลบ 2 identical outgoing electrons”, (p3, s3) (p4, s4), ดงนน จะได
2M = 2
41
2
)( pp
ge
[ )4(u )1(u ] [ )3(u )2(u ]
“sum over all possible values of ( = 0, 1, 2, 3)” implied
และ โดย “Feynman’s Rule 8” จะไดวา
“amplitude” ส าหรบ “second-order” electron-electron scattering คอ
21 MMM
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 93
ElectronPositron Scattering
ในกรณน ใน “second-order” กจะม “two” Feynman diagrams คอ
“1st” Feynman diagram “M1” “2nd” Feynman diagram “M2”
(“คลายกบ” e scattering) ม “virtual annihilation” ของ “e e
”
ตามดวย “pair production”
e
e
e
e
p2 p4
p1
q
p3
e
e
e
e q
p1
p2 p4
p3
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 94
พจารณา “1st” Feynman diagram จะหา “amplitude, M1”
Tracking
Walking
backward along
particle
antiparticle
line means working
backward
forward
in time
(walking “backward” along fermion line)
e e
e e
q
p1
p2
p3
p4
)()1( 1)( 1 puu
s )()3( 3
)( 3 puus
eig
eig
2q
ig
)()2( 3144 qpp
)()2( 4244 pqp
2
1
(walking “backward” along anti-fermion line)
4
4
)2(
qd
)()2( 2)( 2 pvv
s )()4( 4
)( 4 pvvs
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 95
เขยนเทอมตางๆ เรยงกนในรปแบบ “path 1” “internal (photon) line” “path 2”
“path 1” “internal (photon) line” “path 2”
)3(u eig )1(u
)()2( 3144 qpp
2q
ig
4
4
)2(
qd)()2( 42
44 pqp
eig)2(v )4(v
“อนทเกรต” รวมทกคาทเปนไปไดของ “internal 4-momentum”
)( 314 qpp )( 42
4 pqp qd 4
4)2( )3(u eig )1(u
2q
ig eig)2(v )4(v
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 96
ถา
เลอกใช “first Dirac delta function” 4( p1 – p3 – q) ในการอนทเกรต
จะไดวา
“ผลของการอนทเกรต” คอ การแทน “ทก q” ดวย “p1 – p3”
นนคอ
จดเทอมใหม และใชความสมพนธ 12 i และ
g จะได
)()2( 432144 pppp
231
2
)( pp
ige
[ )3(u )1(u ] [ )2(v )4(v ]
4)2( )3(u eig )1(u
231 )( pp
ig )( 43214 pppp
eig)2(v )4(v
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 97
)()2( 432144 pppp
231
2
)( pp
ige
[ )3(u )1(u ] [ )2(v )4(v ]
ตด “Dirac delta function” ซงแสดง “overall” energy-momentum conservation
231
2
)( pp
ige
[ )3(u )1(u ] [ )2(v )4(v ]
คณดวย “i ” จะได amplitude “M1” ส าหรบ “1st Feynman diagram”
1M = 2
31
2
)( pp
ge
[ )3(u )1(u ] [ )2(v )4(v ]
“sum over all possible values of ( = 0, 1, 2, 3)” implied
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 98
พจารณา “2nd” Feynman diagram จะหา “amplitude, M2”
e
e
e
e q
p1
p2 p4
p3
)()4( 4)( 4 pvv
s
)()3( 3)( 3 puu
s
)()2( 2)( 2 pvv
s
)()1( 1)( 1 puu
s
eigeig
2q
ig
4
4
)2(
qd
1 2 )()2( 21
44 qpp )()2( 4344 ppq
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 99
เขยนเทอมตางๆ เรยงกนในรปแบบ “path 1” “internal (photon) line” “path 2”
“path 1” “internal (photon) line” “path 2”
)3(u eig )1(u
2q
ig
4
4
)2(
qd
eig)2(v)4(v
)()2( 4344 ppq )()2( 21
44 qpp
“อนทเกรต” รวมทกคาทเปนไปไดของ “internal 4-momentum”
qd 4
4)2( )3(u eig )1(u
2q
ig eig)2(v)4(v
)( 434 ppq )( 21
4 qpp
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 100
ถา
เลอกใช “first Dirac delta function” 4( q – p3 – p4) ในการอนทเกรต
จะไดวา
“ผลของการอนทเกรต” คอ การแทน “ทก q” ดวย “p3 + p4”
นนคอ
จดเทอมใหม และใชความสมพนธ 12 i และ
g จะได
)()2( 432144 pppp
243
2
)( pp
ige
[ )3(u )4(v ] [ )2(v )1(u ]
4)2( )3(u eig )1(u )( 43214 pppp
eig)2(v)4(v
243 )( pp
ig
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 101
)()2( 432144 pppp
243
2
)( pp
ige
[ )3(u )4(v ] [ )2(v )1(u ]
ตด “Dirac delta function” ซงแสดง “overall” energy-momentum conservation
และ เขยน 43 pp เปน 21 pp
221
2
)( pp
ige
[ )3(u )4(v ] [ )2(v )1(u ]
คณดวย “i ” จะได amplitude “M2” ส าหรบ “2nd Feynman diagram”
2M = 2
21
2
)( pp
ge
[ )3(u )4(v ] [ )2(v )1(u ]
“sum over all possible values of ( = 0, 1, 2, 3)” implied
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 102
เนองจาก “1st diagram” “2nd diagram”
โดยการ “สลบ” ระหวาง “incoming positron” กบ “outgoing electron”
(ซงถอวาเปน “identical particles”)
ดงนน, โดย “Feynman’s Rule 8”, ในการ “รวม” amplitudes “M1” และ “M2”
ตองใส เครองหมาย “ลบ” ใหกบ “amplitude อนใดอนหนง”
นนคอ M M1 M2 หรอ M M2 M1
“interchange” “redraw
”
“2nd
diagram” “1st diagram”
“interchange” “redraw
”
“1st diagram” “2
nd diagram”
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 103
Compton Scattering: e e
ใน “second-order” จะม “two” Feynman diagrams คอ
“1st” Feynman diagram “M1” “2nd” Feynman diagram “M2”
จะมเทอมทเกยวของกบ “electron propagator” (ม internal electron line)
และ “photon polarization” (ม incoming/outgoing photons) ดวย
เนองจาก “1st” Feynman diagram และ “2nd” Feynman diagram ไมไดมความสมพนธกน ผาน “การสลบ identical particles”
ดงนน ในการ “รวม” amplitudes ตองเอามา “บวก” กน
M M1 M2
e
e
e
e
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 104
พจารณา “1st” Feynman diagram จะหา “amplitude, M1”
สามารถเขยน “electron propagator” ไดในรป )(
222 cmq
mcqi
( โดยใช “slash” notation
aaaaa )
eig
e
e
)1(u
)4(u)2(
)3(*
eig
1p
2p
3p
4p
q
)()2( 3144 qpp
)()2( 4244 pqp
222
)(
cmq
mcqi
(sum over
4
4
)2(
qd
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 105
เขยนเทอมตางๆ เรยงล าดบ ในทศ “ยอน” กบทศของ “ลกศร” บน “fermion line”
“จดเทอม” และ “อนทเกรต” รวมทกคาทเปนไปไดของ “internal 4-momentum”
i 4)2( 2eg )4(u )2(
222
)(
cmq
mcq
)3(* )1(u
)( 424 pqp )( 31
4 qpp qd 4
“อนทเกรต” โดยใช 2nd delta function แทน “ทก q” ดวย “p1 p3”
)4(u eig
)()2( 4244 pqp
222
)(
cmq
mcqi
4
4
)2(
qd
)()2( 3144 qpp
eig )1(u)2( )3(*
“contract”
)2()2(
“contract”
)3()3( **
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 106
i 4)2( 2eg )4(u )2(
22231
31
)(
)(
cmpp
mcpp
)3(* )1(u
)( 43124 pppp
ตด “Dirac delta function” ซงแสดง “overall” energy-momentum conservation
[พรอม factor 4)2( ] และ คณดวย “i ” จะได amplitude “M1”
1M 2eg )4(u )2(
22231
31
)(
)(
cmpp
mcpp
)3(* )1(u
หรอ “จดรปใหม” เปน
1M 222
31
2
)( cmpp
ge
[ )4(u )2( )( 31 mcpp )3(* )1(u ]
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 107
พจารณา “2nd” Feynman diagram จะหา “amplitude, M2”
)()2( 2144 qpp
eig
e
e
1p 3p
4p2p
)4(u
)1(u )3(*
)2(
222
)(
cmq
mcqi
q
4
4
)2(
qd
)()2( 4344 ppq eig
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 108
เขยนเทอมตางๆ เรยงล าดบ ในทศ “ยอน” กบทศของ “ลกศร” บน “fermion line”
“จดเทอม” และ “อนทเกรต” รวมทกคาทเปนไปไดของ “internal 4-momentum”
i 4)2( 2eg )4(u )3(*
222
)(
cmq
mcq
)2( )1(u
)( 434 ppq )( 21
4 qpp qd 4
“อนทเกรต” โดยใช 2nd delta function แทน “ทก q” ดวย “p1 p2”
)4(u eig 222
)(
cmq
mcqi
4
4
)2(
qd
eig )1(u
“contract” “contract”
)()2( 4344 ppq
)3(* )2(
)3()3( ** )2()2(
)()2( 2144 qpp
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 109
i 4)2( 2eg )4(u )3(*
22221
21
)(
)(
cmpp
mcpp
)2( )1(u
)( 43214 pppp
ตด “Dirac delta function” ซงแสดง “overall” energy-momentum conservation
[พรอม factor 4)2( ] และ คณดวย “i ” จะได amplitude “M2”
2M 2eg )4(u )3(*
22221
21
)(
)(
cmpp
mcpp
)2( )1(u
หรอ “จดรปใหม” เปน
2M 222
21
2
)( cmpp
ge
[ )4(u )3(* )( 21 mcpp )2( )1(u ]
“amplitude รวม” คอ M M1 M2
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 110
5. Calculation Tools Casimir Trick
ในการทดลองทเรา ร “spin orientation” ของ “particles/antiparticles” ทเกยวของ
ร “spin” ของ “incoming” และ “outgoing” particles (หรอ antiparticles)
และ ร “polarization” ของ photons
ร “u” (particle), ร “v” (antiparticle) และ ร “” (photon)
แทนลงใน “expression” ของ “amplitude (M )” ได “M ”
หา “| M |2” ซงเปนปรมาณทตองใช ในการหา “cross-section” หรอ “lifetime”
โดยแทน | M |2 ลงใน “appropriate expression” ทไดจาก “Golden Rule”
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 111
อยางไรกตาม “ในการทดลองสวนใหญ”
ไมร/ไมสามารถควบคม “spin orientation” ของ particles/antiparticles ทเกยวของ
ใช “beam of incident particles” ทม “spin orientation” เปน “แบบสม (random)”
และ ตรวจนบ “จ านวน” scattered particles ท “กระเจง” ไปในทศทางตางๆ
ตอง “average” over all “initial” spin configurations (si)
และ “sum” over all “final” spin configurations (sf)
ตองค านวณ “| M (si sf)|2” ส าหรบ “every possible spin combinations” แลว
ท าการ “sum” over “final spins” และ “average” over “initial spins”
2
M “average” over “initial spins” และ
“sum” over “final spins” ของ | M (si sf)|2
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 112
ในทางปฏบต จะเปนการ “งาย/สะดวก” กวา ถาสามารถ “ค านวณ/หา” M
2 ได “โดยตรง”
โดยไมตองค านวณ “individual amplitudes, M (si sf)”
“Casimir’s Trick”
ส าหรบ “electron-muon” scattering (ซงใน “2nd-order” มเพยง “1 diagram”)
M = 2
31
2
)( pp
ge
[ )3(u )1(u ] [ )4(u )2(u ]
2M =
431
4
)( pp
ge
)3([u )]1(u )4([u )]2(u )3([u )]1(u
*)4([u )]2(u
*
นนคอ “ปรมาณทตองค านวณ” จะม “รปทวไป” เปน
G [ )(au 1 )(bu ][ )(au 2 )(bu ]*
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 113
G [ )(au 1 )(bu ][ )(au 2 )(bu ]*
เนองจาก แตละ “square bracket”
[ซงม “รปแบบเดยวกน” คอ “adjoint spinor” “4 4 matrix” “spinor”]
จะให “ผลลพธ” เปน “(complex) number”
dcba
PONM
LKJI
HGFE
DCBA
h
g
f
e
“(complex) number”
“complex conjugate (*)” จะใหผลเหมอนกบ “Hermitian conjugate (+)”
(“Hermitian conjugate” “transpose” + “complex conjugate”)
ดงนน G [ )(au 1 )(bu ][ )(au 2 )(bu ]*= [ )(au 1 )(bu ][ )(au 2 )(bu ]
+
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 114
“transpose of product” = “product of transposes” in “reversed order”
[ )(au 2 )(bu ]+ )(bu
2)]([ au
)()]([])([)]([ 000 auauauau }{ 00 & 100
[ )(au 2 )(bu ]+ )(bu
2)]([ au )(bu
2 )(0 au )(bu 00 2 )(0 au
)(bu 2
นนคอ [ )(au 2 )(bu ]+ )(bu 2 )(au
เมอ 2 เปน “4 4 matrix” อนใหม ซงนยามโดย
02
02
ดงนน G [ )(au 1 )(bu ][ )(au 2 )(bu ]*= [ )(au 1 )(bu ][ )(bu 2 )(au ]
(สลบ a b, เปลยน เปน 00 , เอา “*” ออก)
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 115
G [ )(au 1 )(bu ][ )(au 2 )(bu ]*= [ )(au 1 )(bu ][ )(bu 2 )(au ]
“รวม (sum)” ทกแบบของ “spin orientations” ของ particle “b”
Gspinsb
)(au 1
)( )()()(
2,1b
sb
s
s
pupu bb
b
2 )(au ]
ใช “completeness” relation,
)( )( )()(
2,1
cmpcmppupu bbbbbs
bs
s
bb
b
จะได Gspinsb
)(au 1 )( cmp bb 2 )(au ] )(au Q )(au
เมอ Q 1 )( cmp bb 2 เปน “4 4 matrix” อนใหม
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 116
Gspinsb
)(au Q )(au
“รวม (sum)” ทกแบบของ “spin orientations” ของ particle “a” จะได
Gspinsall
spinsa
Gspinsb
2,1as
)()(
as
pu a Q )()(
as
pu a
Q )()(
as
pu a =
Q
u =
Qu เปน “4-element” column matrix
โดยม “ith
element” คอ )()]( [ 4
1
)()(j
ja
sijia
spuQpuQ aa
(i 1, 2, 3, 4)
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 117
)()(
as
pu a Q )()(
as
pu a u
Q
u = u
Qu =
จะเปน “1 1” matrix
)()()( )( )(
4
1
)(4
1
)()(ja
sij
jia
s
ia
sa
spuQpupuQpu aaaa
ดงนน
)()( )(
4
1
)(4
12,1 ja
sij
jia
s
isspinsall
puQpuG aa
a
จดเทอมใหม
)()( )()(
2,1
4
1, ia
sja
s
sij
jispinsall
pupuQG aa
a
(สลบท “matrices” ไมได แต สลบท “components ของ matrices” ได)
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 118
จาก )()(
as
pu a )()(
as
pu a
u u
uu “4 4” matrix จะได
“ji element” ของ “ )( )()()(
as
as
pupu aa ” คอ
)()()]( )([ )()()()(
ias
jas
jias
as
pupupupu aaaa ดงนน
)]()([ )()(
2,1
4
1,
jias
as
sij
jispinsall
pupuQG aa
a
จดเรยงเทอมใหม
)()( )()(
2,1
4
1,
ji
as
as
sij
jispinsall
pupuQG aa
a
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 119
ใช “completeness” relation,
)( )( )()(
2,1
cmpcmppupu aaaaas
as
s
aa
a
จะได
)( )( 4
1
4
1
4
1,
jiaaijji
jiaaijjispinsall
cmpQcmpQG
)]([ )]([ 4
1
cmpQTrcmpQG aaiiaaispinsall
“Trace (Tr)” ของ “Matrix” “ผลรวม” ของ “diagonal elements” ของ Matrix
)]()([ 21
cmpcmpTrG aabbspinsall
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 120
สรปกคอ จะไดวา
G [ )(au 1 )(bu ][ )(au 2 )(bu ]*= [ )(au 1 )(bu ][ )(bu 2 )(au ]
และ
spinsall
G Tr [ 1 )( cmp bb 2 )( cmp aa ]
เมอ 02
02
สามารถเปลยนจาก “sum over spins” เปน “multiply matrices” และ
“take the trace” “Casimir’s Trick”
ถา “u” (ซงใชบรรยาย “particle”) เปลยนไปเปน “v” (ซงใชบรรยาย “antiparticle”) ให “เปลยนเครองหมายหนามวลทเกยวของ” เชน
spinsall
[ )(au 1 )(bv ][ )(bv 2 )(au ] Tr [ 1 )( cmp bb 2 )( cmp aa ]
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 121
พจารณากรณของ “electron-muon” scattering ซงม “ก าลงสอง” ของ amplitude เปน
2M
431
4
)( pp
ge
)3([u )]1(u )4([u )]2(u )3([u )]1(u
*)4([u )]2(u
*
ใช “Casimir’s Trick”
spinsall
[ )(au 1 )(bu ][ )(au 2 )(bu ]* Tr [ 1 )( cmp bb 2 )( cmp aa ]
เมอ 0
20
2 และ aa (
aa pp และ bb pp )
กบ )3([u )]1(u )3([u )]1(u* และ )4([u )]2(u
*)4([u )]2(u
* จะได
spinsall
2M
431
4
)( pp
ge
Tr [ )( 1 cmp e
)( 3 cmp e ]
Tr [ )( 2 cmp )( 4 cmp ]
(“all spins” รวม “ทกแบบ” ของทง “initial” และ “final” spin configurations)
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 122
เนองจาก เราตองการ “average” over “initial spin configurations” หารดวย “4” ( ม “2 อนภาค” โดยท “แตละอนภาค” ม “2” possible spin orientations
ดงนน จะม “4” possible initial spin configurations )
2
M 4
31
4
)(4 pp
ge
Tr [ )( 1 cmp e
)( 3 cmp e ]
Tr [ )( 2 cmp )( 4 cmp ]
M 2 = “average” over “initial spins” และ “sum” over “final spins” ของ | M (si sf)|
2
เนองจาก )( 00 และ )( 00 ดงนน
2
M 4
31
4
)(4 pp
ge
Tr [ )( 1 cmp e
)( 3 cmp e ]
Tr [ )( 2 cmp )( 4 cmp ]
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 123
“Trace Theorems”
“Trace (Tr)” ของ “Matrix” “ผลรวม” ของ “diagonal elements” ของ Matrix
“3 facts” เกยวกบ “Trace (Tr)” โดยทวไป:
“A, B, C ” เปน “matrices” และ “” เปน “any number”
(1) )()()( BTrATrBATr
(2) )()( ATrATr
(3) )()( BATrABTr ถงแมวา โดยทวไป BAAB
จาก (3) จะไดวา )()()( BCATrCABTrABCTr
ซง, โดยทวไป, จะ “ไม” เทากบ
)()()( CBATrBACTrACBTr
A
B C
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 124
สมบตทส าคญของ gmetric )( gg และ matrices:
(4) 4 gg (sum over “ ” and “ ”)
(5) g2 (“anticommutation” relation ของ matrices)
(5)’ babaab 2 เมอ
aaa (sum over “ ” )
(6) 4
(7) 2 (7)’ aa 2
(8) g4 (8)’ )(4 baba
(9) 2 (9)’ abccba 2
(สงเกตวา มการ “reverse order”) (สงเกตวา มการ “reverse order”)
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 125
Trace Theorems:
(10) “Trace” ของ “product” of “odd” number of
matrices เปน “ศนย”
)(0)( TrTr
(11) 4)( 1Tr เมอ “1” คอ “4 4” unit matrix
(12) gTr 4)( (12’) )(4)( babaTr
(13) )(4)( ggggggTr
(13)’ )])(())(())([(4)( cbdadbcadcbadcbaTr
เนองจาก 32105
01
10 i เปน “ผลคณของ ‘4’
matrices” ดงนน
ถา คณ “” กบ “odd” number of
matrices “ผลลพธ” ม Trace เปน “ศนย”
0)()( 55 TrTr
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 126
ถา คณ “” กบ “even” number of
matrices”
“Trace” ของ “ผลลพธ” อาจจะ “ไมเปนศนย”
(14) 0)( 5 Tr
(15) 0)( 5 Tr (15)’ 0)( 5 baTr
(16) iTr 4)( 5
(16)’ dcbaidcbaTr 4)( 5
เมอ
3 ,2 ,1 ,0
3 ,2 ,1 ,0
if
if
if
1
0
1
ofnpermutatioodd
sametheareindiciestwoany
ofnpermutatioeven
gggg (sum over
10123
)1)(1)(1)(1)(1(
01233322110032100123
1 gggggggg
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 127
ใช “Trace Theorems” เพอค านวณ “M 2” ส าหรบ “electron-muon” scattering
2
M 4
31
4
)(4 pp
ge
Tr [ )( 1 cmp e
)( 3 cmp e ]
Tr [ )( 2 cmp )( 4 cmp ]
เพอความสะดวก จะเขยน mme และ Mm
2
M 4
31
4
)(4 pp
ge
Tr [ )( 1 mcp
)( 3 mcp ]
Tr [ )( 2 Mcp )( 4 Mcp ]
จะได 2
M 4
31
4
)(
4
pp
ge
[
1p3p +
3p1p g { 2)(mc )( 31 pp }]
[ 2p 4p + 2p 4p g { 2)(Mc )( 42 pp }]
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 128
พจารณา Tr [ )( 1 mcp )( 3 mcp ]
Tr [( 1p + mc )( 3p + mc )]
Tr [ 1p 3p + mc{ 1p
3p } + 2)(mc ]
Tr ( 1p 3p ) + mc{Tr ( 1p
) Tr ( 3p )} + 2)(mc Tr ( )
= Tr ( 1p 3p ) = 4(
1p3p g )( 31 pp +
3p1p ),
= Tr ( 1p ) = 0, = Tr ( 3p ) = 0, = Tr ( ) = g4
4[ 1p
3p +
3p1p g { 2)(mc )( 31 pp }]
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 129
Tr ( 1p 3p )
Tr ( 1p
3p )
31 pp Tr ( )
ใช
31 pp )(4 gggggg
4( 1p g 3p g g 31 pp g + 3p g 1p g )
4( 1p
3p g )( 31 pp +
3p1p )
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 130
Tr ( 1p ) = Tr (
1p ) = 1p Tr ( ) = 0
“ผลคณ” ของ “odd number of matrices” เปน “ศนย”
Tr ( 3p ) = Tr ( 3p ) = 3p Tr ( ) = 0
“ผลคณ” ของ “odd number of matrices” เปน “ศนย”
Tr ( ) g4
[โดย (12)]
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 131
พจารณา [ 1p
3p +
3p1p g { 2)(mc )( 31 pp }]
[ 2p 4p + 2p 4p g { 2)(Mc )( 42 pp }]
“a” “b” “c” “d ”
[ 1p
3p +
3p1p g 2)(mc g )( 31 pp ]
[ 2p 4p + 2p 4p g 2)(Mc g )( 42 pp ]
“A” “B” “C” “D”
ม “16” terms แบงเปน “5” groups
aA aB aC aD bA bB bC bD cA cB cC cD dA dB dC dD
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 132
aA = 1p
3p 2p 4p = (
1p 2p )(3p 4p ) = )( 21 pp )( 43 pp
bB = 3p
1p 2p 4p = (
3p 4p )(1p 2p ) = )( 43 pp )( 21 pp
))((2 4321 ppppbBaA
aB = 1p
3p 2p 4p = (
1p 4p )(3p 2p ) = )( 41 pp )( 23 pp
bA = 3p
1p 2p 4p = (
3p 2p )(1p 4p ) = )( 23 pp )( 41 pp
))((2 3241 ppppbAaB
aC = 1p
3p g 2)(Mc = (
1p 3p ) 2)(Mc = )( 31 pp 2)(Mc
bC = 3p
1p g 2)(Mc = (
3p 1p ) 2)(Mc = )( 13 pp 2)(Mc
dC = g )( 31 pp g 2)(Mc = )(4 31 pp 2)(Mc }4{ gg
2
31 ))((2 McppdCbCaC
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 133
aD = 1p
3p g )( 42 pp = )( 31 pp )( 42 pp
bD = 3p
1p g )( 42 pp = )( 13 pp )( 42 pp
dA = g )( 31 pp 2p 4p = )( 31 pp )( 42 pp
dB = g )( 31 pp 2p 4p = )( 31 pp )( 42 pp
dD = g )( 31 pp g )( 42 pp = 4 )( 31 pp )( 42 pp }4{ gg
0 dDdBdAbDaD
cA = g 2)(mc 2p 4p = )( 42 pp 2)(mc
cB = g 2)(mc 2p 4p = )( 42 pp 2)(mc
cD = g 2)(mc g )( 42 pp = 4 )( 42 pp 2)(mc
2
42 ))((2 mcppcDcBcA
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 134
cC = g 2)(mc g 2)(Mc = 4 2)(mc 2)(Mc }4{ gg
22 )()(4 McmccC
“รวม” เทอมตางๆ “เขาดวยกน” จะได (aA + bB) + (aB + bA) + (aC + bC + dC)
+ (cA + cB cD) + (aD bD dA dB dD) + cC
))((2 4321 pppp ))((2 3241 pppp + }))((2{ 231 Mcpp
+ }))((2{ 242 mcpp 0 22 )()(4 Mcmc
ดงนน “M 2” ส าหรบ “electron-muon” scattering คอ
2
M 4
31
4
)(
8
pp
ge
[ ))(( 4321 pppp ))(( 3241 pppp
2
31 ))(( Mcpp 2
42 ))(( mcpp + 22)(2 mMc ]
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 135
เมอหา M 2 หรอ M
2 (แลวแตกรณ) ไดแลว “ขนตอนตอไป” คอ
การแทน M 2 หรอ M
2 ลงใน
“relevant expression” ส าหรบ “cross-section”
ส าหรบ “กรณทวไป” 4321 n
)()2( )()(4
321442
2221
221
2
nppppMcmmpp
S
)2(
2
1
3
3
3222
jn
j jj
d
cm
p
p
โดยท 2220 cmp jjj p
(แทน 0jp ดวย 222 cm jj p
ทกททมนปรากฎใน amplitude M และใน function)
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 136
ส าหรบ “two-body” scattering ใน “CM frame” 4321
)(8 2
21
22
i
f
EE
MSc
d
dσ
p
p
ส าหรบกรณ “two-body” “elastic” scattering ใน “LAB frame” baba
ภายใตเงอนไขวา (i) กอนเกด “การชน” (หรอ “การกระเจง”) “b” อยนง (เปน “target”)
และ (ii) “b” หนกมากๆ )( 2ab Ecm จนสามารถประมาณไดวา
หลงจาก “ถกชน” แลว “b” ยงคงอยกบท (ไมมการเคลอนท) (ภายใตเงอนไขน “CM frame” จะเหมอนกบ “LAB frame” โดยม “CM” อยท “b”)
)(8
22
Mcmd
dσ
b
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 137
พจารณา “electron-muon” scattering ภายใตการประมาณวา
em m (หรอ ) m M
ซงท าใหสามารถประมาณไดวา “muon ไมมการเคลอนท” (The recoil of muon can be neglected)
ในกรณน จะไดวา “muon’s rest frame” กคอ “LAB frame”
และ “relevant expression” ส าหรบ “differential cross-section” คอ
)(8
22
Mcmd
dσ
b
โดยท
2
M 4
31
4
)(
8
pp
ge
[ ))(( 4321 pppp ))(( 3241 pppp
2
31 ))(( Mcpp 2
42 ))(( mcpp + 22)(2 mMc ]
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 138
“ภาพ” ของ “electron-muon” scattering ใน “LAB (muon) frame” จะเปน
ดงนน
11 , p
c
Ep , 0
,2 Mcp ,
33 , p
c
Ep และ 0
,4 Mcp
โดยท E = “incident” electron energy “scattered” electron energy
และ
31 ppp
กอนการกระเจง e
(อยนง)๗)
1, p
E
หลงการกระเจง
e
(อยนง) 3, p
E
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 139
313131 ,0 , , pppp
c
E
c
Epp
)2( )( )( 2331
21
231
231 pppppp
pp
)cos1(2)cos2( 2222 pppp
2sin4 22
p
]sin2sin)cos1()sin(cos1)2cos(1[ 22222
2sin16)( 444
31
p
pp
MEMcc
Epp
0p
, , 121
MEMcc
Epp
0p
, , 343
24321 )())(( MEpppp
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 140
MEMcc
Epp
0p
, , 141
MEc
EMcpp
332 , , p0
23241 )())(( MEpppp
cos)( , , 22
31
2
3131 ppppp
c
E
c
E
c
E
c
Epp
)cos1()(cos)( 222222 ppp
mccm
2sin2)( 222
31
p
mcpp
2sin)(2)( ))(( 222222
31
p
McmMcMcpp
222242 )( ))}( ,() ,{( ))(( mMcmcMcMcmcpp 00
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 141
2sin16)( 444
31
p
pp 2)(ME 2)(ME
2
M 4
31
4
)(
8
pp
ge
[ ))(( 4321 pppp ))(( 3241 pppp
2
31 ))(( Mcpp 2
42 ))(( mcpp + 22)(2 mMc ]
2sin)(2)( 22222
p
McmMc 22)( mMc
2
M
2sin 44
4
p
eg
2sin)()( 2222
p
McME
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 142
2
M
2sin 44
4
p
eg
2sin)()( 2222
p
McME
2222422222 )()()()()( mcMcMccmcMME pp
2sin1)()()(
2sin)()( 222222222
pp
McmcMcMcME
2cos)()(
2sin)()( 22222222
pp
mcMcMcME
2
M
2sin 44
4
p
eg
2cos)()( 2222
p
mcMc
2
M
2
22
2
2sin
p
Mcge
2cos)( 222
p
mc
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 143
แทน 2
M
2
22
2
2sin
p
Mcge
2cos)( 222
p
mc
ลงใน “สมการส าหรบ differential cross-section” )(8
22
M
cmd
dσ
b
จะได d
dσ
2
22
2
2sin8
p eg
2cos)( 222
p
mc
“coupling” constant (ge) มความสมพนธกบ “fine structure” constant ()
4 eg
ดงนน d
dσ
2
22 2sin2
p
2cos)( 222
p
mc
สมการนรจกกนในชอ “Mott formula”
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 144
“Mott formula”, d
dσ
2
22 2sin2
p
2cos)( 222
p
mc , สามารถใช
ประมาณ/อธบาย “differential cross-section” ของ “electron-proton” scattering
(ระลกวา mproton 2000 melectron เปรยบเทยบกบ mmuon 200 melectron)
ในกรณท “incident electron” เปน “nonrelativistic” (v << c) จะได
)( 22p
mc
ดงนน “Mott formula” จะลดรปเปน
d
dσ
2
22 2sin2
p
2)(mc =
2
22 2sin2
)(
p mc
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 145
ใชความสมพนธ 2
c
e
และ “สมการของ ‘nonrelativistic’ momentum” vp
m
จะได d
dσ , ในเทอมของ “electronic charge, e” และ “electron’s velocity, v”, เปน
d
dσ
2
22 2sin2
)(
p mc
2
22
2
2sin)(2
)(
v
m
mcc
e
2
22
2
2sin2
v
e
ซงรจกกนในชอ “Rutherford formula”
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 146
ความสมพนธระหวาง “scattering cross-section” กบ “decay rate” (หรอ “lifetime”)
ใน “Quantum Electrodynamics” “การสลายตว (Decay)” เปน “กรณพเศษ” ของ “การกระเจง (scattering)”
โดยท “(two) colliding particles” อยรวมกนเปน “bound state”
เชน การสลายตวของ “neutral pion (0) เปน “2 photons”
0
จะเปนกรณพเศษของ “quark-antiquark” (pair) annihilation process
ซงเปน “inelastic scattering” {“quark content ของ 0”
คอ )( 2
1 dduu }
หรอ การสลายตวของ “positonium” (“bound state” ของ “electron” กบ “positron”)
ซงกคอ “electron-positron” (pair) annihilation process
ee
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 147
ดงนน
“Decay rate ()” {หรอ “(mean) lifetime (
)”} จะมความสมพนธกบ
“cross-section ()” (ของ “scattering process ทเกยวของ”)
โดยทวไป
“cross-section ()” โต (“โอกาสทจะเกดการกระเจง” สง)
“decay rate ()” โต
(“โอกาสทจะเกดการสลายตวในหนงหนวยเวลา” มคามาก)
“(mean) lifetime (
)” สน
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 148
ในกรณของ “การกระเจง”
dN จ านวนอนภาคท “เคลอนท” ผาน
“พนทเลกๆ d” ในหนงหนวยเวลา
จ านวนอนภาคท “กระเจง” ผาน “มมตน (solid angle) เลกๆ d ”
ในหนงหนวยเวลา
L “Luminosity” จ านวนอนภาคท “เคลอนท” ผาน
“พนทหนงหนวย” ในหนงหนวยเวลา
ดงนน dN L d
d
d
target
incident
particle
scattered
particle
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 149
จ านวนอนภาคท “สามารถกระเจงได” ในหนงหนวยเวลา คอ N L
เมอ “ ” คอ “total cross-section”
ในกรณท “อนภาค” ม “ความหนาแนน (density) ” และ เคลอนทดวย “ความเรว v ”
จะได L v ดงนน N v
เมอน ามา “ประยกต/ปรบ” ใชกบ “การสลายตว” ของ “single atom”
N “โอกาส” ทจะเกด “การสลายตว”
ใน “หนงหนวยเวลา”
“decay rate ()”
(อตราการสลายตว)
“density” ของ “electron”
ทต าแหนงของ “nucleus” (0)
2
v “speed” ของ “electron”
ดงนน v (0)2
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 150
พจารณา “การสลายตว” ของ “positronium” โดยกระบวนการ “electron-positron”
(pair) “annihilation”
ee
ใน “second-order” จะม “2” Feynman diagrams
“1st” Feynman diagram “2nd” Feynman diagram
)4(*
eig
eig
)3(*)1(u 1p
2p
3p
4pq
)2(v
222
)(
cmq
mcqi
eig
)4(*
eig
)1(u 1p
2p
3p
4p
q
)2(v
)3(*
222
)(
cmq
mcqi
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 151
ใช “Feynman rules” หา “M1”, “M2” และ “M M1 +M2”
)]1()3(}){4()2([)(
*31
*
22231
2
1 umcppvcmpp
gM e
)]1()4(}){3()2([)(
*41
*
22241
2
2 umcppvcmpp
gM e
เลอกใช “positronium rest frame” (ซงกคอ “CM frame” ของ “ee
”pair)
และ ประมาณวา “กอนเกด annihilation”
ทง electron และ positron “อยนง” (จรงๆ แลวจะเคลอนท แตคอนขางชา) ซงจะเปนผลให “photons ทเกดขน”
(1) come out “back-to-back” (ซงจะเลอกใหอยในแนวแกน z)
และ, โดยใช “conservation of energy”,
(2) ม “ขนาดของ (linear) momentum” เปน mcphoton p
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 152
ภายใต “การประมาณขางตน” จะไดวา
“second-order amplitude” ส าหรบกรณท “positronium” อยใน
“singlet state” (ซงม “total spin” เปน “ศนย” และเปน “state” ท “positronium” จะสลายตวให “2 photons”) คอ (ด Textbook)
4 2egM
แทน “ปรมาณตางๆ” ลงใน “สมการของ differential cross-section” ส าหรบ “two-
body” scattering ใน “CM frame” ( 4321 )
)(8 2
21
22
i
f
EE
MSc
d
dσ
p
p
{ 21S ,
221 mcEE (ประมาณวา “electron” และ “positron” เคลอนท “ชา”),
mcf p
และ mvi p
เมอ “v” คอ incident electron (หรอ positron) speed }
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 153
จะได, ในเทอมของ “fine structure” constant ()” ( 4 2 eg และ 2
c
e
),
2
1
2
mcvd
dσ
“ไมขนกบมม (no angular dependence)”
ดงนน จะได “total cross-section” คอ
2
42
mcv
ถาพจารณาวา “electron” และ “positron” รวมกนเปน “positronium” และพจารณากระบวนการทเกดขนวาเปน “การสลายตว’ ของ “positronium” “สมการ” ส าหรบ “decay rate” คอ
)0( 2
4)0(
22
2
mcv
SCPY421 Elementary Particle Physics – Quantum Electrodynamics ทศพร บญยฤทธ 154
ใน “CM frame” แทน “m” ดวย “reduced mass, ” 2
m
)0( 4
)0( 2
4 22
22
mcc CM
ส าหรบ “positronium” ใน “ground state (1,0,0)”
2
11)0(
332
mcc
ดงนน “lifetime ()” ของ “positronium” ใน “ground state” คอ
s 1025.121
10
25
mc