SAYILAR VE MESLEKİ UYGULAMALARhbogm.meb.gov.tr/MTAO/3MatematikVeMeslekMatematigi/unite01.pdf ·...

1. ÜNİTE

SAYILAR VE MESLEKİ UYGULAMALAR

KONULAR1. Doğal Sayılar

2. Tam Sayılar

3. Rasyonel Sayılar

4. Reel Sayılar

5. Denklemler

6. Hesap Makinesi

7. Özet

8. Değerlendirme Soruları

BU ÜNİTEYE NEDEN ÇALIŞMALIYIZ?

Bu bölümü çalıştığınızda;

Doğal Sayıların tanımı, yazılması ve okunmasını kavrayacak,

Doğal Sayılarda dört işlem ile ilgili uygulamaların

Nasıl yapıldığını kavrayacaksınız.

Tam Sayıların tanımı, yazılması ve okunmasını kavrayacak,

Tam Sayılarda dört işlem ile ilgili uygulamaların


Rasyonel Sayıların tanımı, yazılması ve okunmasını kavrayacak,

Rasyonel Sayılarda dört işlem ile ilgili uygulamaların


Reel Sayıların tanımı, yazılması ve okunmasını kavrayacak,

Reel Sayılarda dört işlem ile ilgili uygulamaların


Birinci Dereceden Denklemleri ve bu denklemler sayesinde

Problemlerin çözümünü,

ikinci Dereceden Denklemleri ve bu denklemler sayesinde

Problemlerin çözümünü hesap makinesi kullanmayı öğreneceksiniz.

BU ÜNİTEYE NASIL ÇALIŞMALIYIZ?

Örnekleri dikkatle okuyunuz.

Örnek soruları kitaba bakmadan çözmeye çalışınız.

Anlamadan bir başka bölüme geçmeyiniz.

Ünitenin sonundaki testte kendinizi deneyiniz, başarısız iseniz başarısız

olduğunuz bölümleri tekrar gözden geçiriniz.

Bu konular ile ilgili Matematik kitaplarından yararlanabilirsiniz.

16

3. SINIF ELEKTRİK TESİSATÇILIĞIMATEMATİK VE MESLEK MATEMATİĞİ

GİRİŞİnsanlar ilk çağlarda sahip oldukları hayvanların eksik olup olmadığını anla-

mak için çeşitli yollar izlemişlerdir. Örneğin; hayvanları ağıldan çıkartırken her hay-vana karşılık gelmek üzere bir taşı bir çukura koymuş, akşam içeriye giren hayvanlar için çukurdan bir taş almış böylece bire-bir eşleme yapmışlardır. Bu örnekte de gö-rüldüğü gibi aynı cinsten varlıkları saymak için kullanılan sayılara SAYMA SAYILARI denilmiştir. Bu sayıları gösterebilmek içinde RAKAM dediğimiz işaretleri kullanmış-lardır. Buradan şu tanımlara ulaşabiliriz.

RAKAM: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 kümesinin elemanları onluk sayma sisteminin birer rakamlarıdır.

SAYI: Rakamları kullanarak tek başına veya çokluk belirtecek şekilde bir araya getirilmesiyle oluşan ifadeye sayı denir. Örneğin 5 hem rakam hem de sayı iken, 43 bir sayıdır ve 4 ile 3 rakamlarıyla yazılır.

1.1 SAYILAR

1.1.1 Doğal SayılarN=0,1,2,3,4,5,6,7……… kümesinin her bir elemanına doğal sayı denir. N

veya D harfleriyle temsil edilir.

İki ile bölünebilen doğal sayılara çift doğal sayılar, iki ile bölünemeyen doğal sayılara da tek doğal sayılar denir.

Çift doğal sayılar kümesinin Ç ile gösterirsek;

Ç = 0, 2, 4, 6, ... veya Ç = x | x = 2n, n ∈ N şeklinde yazabiliriz.

Tek doğal sayılar kümesini T ile gösterirsek;

T = 1, 3, 5, 7, ... veya T = x | x = 2n + 1, n ∈ N şeklinde yazabiliriz.

T tek doğal sayı, Ç çift doğal sayı olmak üzere, aşağıdaki işlemleri yazabiliriz.

1. Ç + Ç = Ç 5. Ç . T = Ç

2. T + T = Ç 6. T . T = T

3. T + Ç = T 7. Çn = Ç (n ∈ N+)

4. Ç . Ç = Ç 8. Tn = T (n ∈ N)

17


1.1.2 Sayma SayılarıN =1,2,3,4,5,6,7……… kümesinin her bir elemanına sayma sayıları denir. N

ile temsil edilir.

Sayma Sayıları ile Doğal Sayılar arasında ne fark vardır?

1.1.2.1 Sayı DoğrusuBir doğruyu eşit aralıklar ile işaretleyerek Doğal Sayılar ile bire-bir eşlediğimiz-

de sayı doğrusunu elde ederiz.

0 1 2 3 4 5

Sayı doğrusunda her bir sayının sağdaki sayılar solundaki sayılardan büyüktür. Sıralama < (küçük) veya > (büyük) işaretleri ile gösterilir.

0<I<2<3<4<5<6.....

1.1.2.2 Basamak ve Bölükler Sayıları kolayca okuyabilmek için birlik, onluk, yüzlük gibi parçaların her birine

basamak denir. Birler, onlar, yüzler, binler, onbinler, yüzbinler, milyonlar,diye isim-lendirilir. Sağdan itibaren ayrılan bu basamakların üçer üçer gruplandırılmasına da bölük denir. Birler,

18


Binler, Milyonlar, Milyarlar, Trilyonlar, Katrilyonlar, Ketrilyonlar diye devam et-mektedir. Her basamaktaki sayı sağındakinin 10 katıdır. Buna göre sayıların basa-mak ve bölükleri yukarıdaki gibi sıralanır.

Doğal sayılar bulunduğu basamağa göre değer alır. Buna o sayının basamak değeri denir. Bulunduğu basamak dikkate alınmazsa bu rakamın değerine, sayı değeri denir.

ÖRNEK: Altıyüzyetmişüç sayısı, aşağıdaki şekilde basamaklara ayrılır.

ÖRNEK: İkibinüç , bu sayıda onlar ve yüzler basamağı söylenmediğinden bu basamakların yerine sıfır konulur.

19


ÖRNEK:Beşbinonyedi

1.1.3 Doğal sayılarda Dört İşlem

1.1.3.1 ToplamaAynı cinsten çoklukları bir araya getirmeye toplama dendiğini biliyoruz. Yan

yana veya alt alta sayılar yazılır ve (+) işareti ile işlem yapılır.

ÖRNEK: Bir evdeki odalarda toplam 4, salonda 3 lamba vardır. Bu evde kaç lamba vardır?

Çözüm:

4 + 3 = 7 lamba vardır.

Toplanacak sayılar alt alta gelecek şekilde yazılır. Toplamaya önce birler ba-samağından başlanır, birler basamağının altına yazılır. Sonra onlar, yüzler , binler basamakları toplanır. Toplama sırasında tek haneli sayılar geçilirse onluklar elde tu-tulur. Örneğin birler basamağındaki sayı 14 ise 4 yazılır, bir onluk kaldığı için onlar basamağına bir eklenerek toplamaya devam edilir, onlar basamağındaki sayı 23 ise 3 yazılır, ikiyüzlük kaldığı için yüzler basamağına iki eklenerek toplamaya devam edilir.

20


ÖRNEK:

5 ve 6 nın toplamı 11 eder . 1 yazılır ve 1 onluk

onlar basamağında toplanacak sayılara eklenir.

Toplama işleminde artarda sonsuz sayı toplanabilir.

ÖRNEK:

SORU:

483+589+1784 işlemini yapınız.

1.1.3.2 ÇıkarmaÇıkarma, temel aritmetik işlemlerden biridir. İki sayının farkının alınması işle-

midir. Azalma anlamı vardır. (-) işaretiyle gösterilir. Toplamada olduğu gibi basamak-lar alt alta getirilerek işlem yapılır.

8 den 5 çıkınca kalan 3, birler basamağının altına yazılır, onlar basamağında 4 den 2 çıkınca kalan 2, onlar basamağının altına yazılır.

21


Çıkan sayının birler basamağındaki sayı, çıkarılan sayının birler basamağında-ki sayıdan büyük ise çıkarılan sayının onlar basamağından bir onluk alınır ve birler basamağına eklenerek çıkarma işlemi yapılır.

ÖRNEK:

2’den 7 çıkmaz 5 onluktan bir onluk alır 2’ye

ekleriz. Böylece 12’den 7 çıkınca 5 kalır. 4’den 3

çıkınca 1 kalır.

ÖRNEK:

Bir alçaltıcı transformatör 6600 voltluk yüksek gerilimi 220 volta düşürmüştür.Gerilim farkı nedir?

SORU:

2350 metre uzunluğundaki bir iletkenin 1697 metresi kullanılıyor. Geriye ka-lan iletkeni bulunuz.

22


1.1.3.3 ÇarpmaTemel aritmetik işlemlerden biridir. Çarpılan sayının çarpan sayı kadar adedi-

nin toplamının alınması işlemidir.(x) veya (.) işaretleriyle gösterilir.

ÖRNEK:

20 = 5 + 5 + 5 + 5 yerine 20= 5 × 4

60 = 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 yerine 60=10 × 6

ÖRNEK:

Bir sayının 0 ile çarpımı 0’dır.

3x0=0

0x2=0

Bir sayının 1 ile çarpımı kendisidir.

3x1=3

1x2=2

23


Çarpım Tablosu:Çarpım tablosu aşağıda verilmiştir. Sol başta yukarıdan aşağıya doğru yazılı

l’den 10’a kadar olan sayılan çarpılan, en üst sırada soldan sağa doğru l’den 10’a kadar olan sayıları çarpan olarak alırız. Her iki sayının çarpımı(sonucu) bu sayıların yatay(satır) ve düşey(sütun) doğrultusunda kesişme noktasındaki sayıdır.

ÖRNEKLER:

1)3 x 5 in kaç olduğunu bulalım. 3. satır ile 5. sütunun kesiştiği yerdeki rakam 15 dir.

2)8 x 7 nin kaç olduğunu bulalım 8.satır ile 7.satırın kesiştiği yerdeki rakam 56 dır.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

6 12 18 24 30 36 42 48 54 60

7 14 21 28 35 42 49 56 63 70

8 16 24 32 40 48 56 64 72 80

9 18 27 36 45 54 63 72 81 90

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

SORULAR:

1) Çarpım tablosunda;

a) 4 x 7 yi bulunuz

b) 7 x 4 ü bulunuz

c) a ve b şıklarında bulduğunuzu karşılaştırınız

2 ) 9 x 9 u çarpım tablosunda bulunuz

24


İki veya Daha Fazla Basamaklı Çarpan İle Çarpma İşlemi Yapma:Çarpanın en sağındaki rakamdan çarpma işlemine başlanır. Sağdan ikinci ra-

kama geçildiğinde bir basamak sola kayılır ve çarpandaki basamak bitinceye kadar bu işleme devam edilir. Bu çarpımlar alt alta toplanır.

ÖRNEKLER:

8 571 24

7 055 00

8 73

1

+

x

5

0 05571

1 922 23

2 853 78

2 5+

x

8

9 8292

Çarpmada Kolaylıklar:a) Bir Doğal Sayıyı 10 ile, 100 ile, 1000 ile çarpmak:

Çarpılacak doğal sayı yazılır, 10 ile çarpılacaksa sağına bir sıfır, 100 ile çarpıla-caksa sağına iki sıfır, 1000 ile çarpılacaksa sayının sağına üç sıfır yazılır...

ÖRNEKLER:

23 x 10 = 230

478 x 100 = 47800

247x10000 = 2470000

b) Bir sayıyı 11 ile çarpma:

1.yol: Çarpılan sayının sonuna bir sıfır konur. Bulunan sayıya çarpılan sayı ek-lenir.

ÖRNEK:

45 x 11 = 450 + 45 = 495

25


2.yol: İki basamaklı sayıların 11 ile çarpımı

Sonuç üç basamak çıkacağı için, çarpılan sayının onlar basamağındaki sayı, yüzler basamağına, birler basamağındaki sayı yine birler basamağına yazılır. Çar-pılan sayının rakamları toplanır, onlar basamağına yazılır. Toplam 9 dan büyük ise, yüzler basamağındaki sayıya bir eklenir.

ÖRNEK:

34 x 11 = 3 (3+4) 4 = 374

76x 11 =7 (7+6) 6 = 836

c) Bir sayıyı 5 ile çarpmak:

Çarpılan sayının sonuna 0 konur. Bulunan sayı ikiye bölünür.

ÖRNEK:

62x5 = 620:2 = 310

1.1.3.4 BölmeBölünen adı verilen bir sayıyı, bölen denilen öteki sayıda bulunan birimler ka-

dar eşit parçalara ayırmaya bölme denir. Bölme işlemi sırasında bölünenin solunda-ki ilk basamaktan başlanır, bölen sayı içinde yoksa ikinci basamakla birlikte yapılır, bölümde birinci basamak bulunduktan sonra bölen sayı içinde yoksa ikinci basa-makla birlikte bölüme bir sıfır koyulur.

Bölünen Bölen

Bölüm

Kalan

–

Bölmenin Sağlaması:

Bölünen = (Bölen x Bölüm) + Kalan

26


ÖRNEK:

1 73 3

1 2 54

0 7151

–

–20

SAĞLAMA: (45x3)+ 2=135 + 2= 137

Bir bölme işleminde bölünenden aşağıya indirilen sayı ile yanındaki sayı ile birlikte bölen sayı yoksa, bölümün önüne bir sıfır konur ve bölünenden bir basamak daha indirilerek işlem yürütülür.

ÖRNEK:

9 03725 62

25 0 5302

970087

–

–1 031 03

–000

SAĞLAMA: 26 x20305= 527930

Bir sayının 1’ e bölünmesi yine bölünen sayıya eşittir.

ÖRNEK:

5:1=5 8:1=8

Bir sayının 0’ a bölümü tanımsızdır.

ÖRNEK:

5:0= Tanımsız(Anlamsız)

Sıfırın (0) bir sayıya bölünmesi yine sıfır (0) dır.

ÖRNEK:

0 : 7 = 0 0 : 125 = 0

27


1.1.4 Doğal Sayılarda Kuvvet Alma İşlemiAynı sayıyla birden çok çarpma işlemi yapılmasının kısa gösterim şeklidir. Ör-

neğin n tane a’nın çarpımı olan an’ ye üslü ifade denir, an ifadesinde a’ ya taban, n’ ye de üs (kuvvet) denir.

ÖRNEKLER:

Bir sayının üssü eğer 1 ise sonuç kendisidir. Eğer bir sayının üssü belirtilmemişse üst değeri 1’dir.

ÖRNEKLER:

Sıfırdan farklı bir sayının üssü eğer 0 ise sonuç 1 olur.

ÖRNEKLER:

28


1.1.5 Asal SayılarKendisinden ve 1’ den başka böleni bulunmayan 2 ve 2’ den büyük doğal sayı-

lara asal sayılar denir. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43........

Sadece 2’ çift asal sayıdır. Diğer asal sayılar tektir.

1.1.6 Asal Çarpanlara Ayırmaİstenen sayının asal sayıların çarpımı şeklinde yazılmasına asal çarpanlara ayır-

ma denir.

Asal çarpanlara ayırma işlemi aşağıdaki şekilde yapılır. Önce en küçük sayı asal sayı olan 2’ den bölme işlemine başlanarak sayılar bölünür. 2’ ye bölme işlemi bitmiş-se ya da sayı artık 2’ ye bölünemiyorsa sırayla 3, 5, 7, 11........ bölerek devam edilir. Ta ki artık sayı bölünmeyene kadar bu işlem yapılır.

6 2

3 3 6= 2.3.1

1 1

ÖRNEKLER:

12 2 18 2

6 2 12= 2.2.3= 22.3 9 3 18= 2.3.3= 2.32

3 3 3 3

1 1

60 2 420 2

30 2 60= 2.2.3.5= 22.3.5 210 2 420= 2.2.3.5.7= 22.3.5.7

15 3 105 3

5 5 35 5

1 7 7

1

29


1.1.7 Bölmede Kolaylıklara)10,100,1000,.... İle Bölünebilen Sayılar:

Bölendeki en az sıfır sayısı kadar, bölünende de sıfır var ise bölme işlemi yap-madan bölendeki sıfır sayısı kadar bölünenden sıfır silinir.

ÖRNEKLER:

120:10=12

650000:1000=650

36900000:100000=369

b) 2 ile tam olarak bölünebilen sayılar:

Birler basamağı çift sayı ile biten sayılar, 2 ile tam olarak bölünürler.

Çift Sayı : Birler basamağındaki rakam 0, 2, 4, 6, 8 olan doğal sayılara çift sayılar denir.

Tek sayı: Birler basamağındaki rakam 1, 3, 5, 7, 9 olan doğal sayılara tek sayılar denir.

Tek sayıların 2 ile bölümünden kalan 1, çift sayıların 2 ile bölümünden kalan 0 dır.

ÖRNEKLER:

c) 3 ile tam olarak bölünebilen sayılar:

Rakamlarının sayı değerlerinin toplamı 3’ ün katı olan sayılar 3 ile tam bölünür.

Bir sayının 3’ e bölümünden kalan, rakamlarının sayı değerleri toplamının 3’ e bölümünden kalana eşittir.

84

84

2

42

0

–

12

02

2

01

1

–

30


ÖRNEK:

17760 sayısı 3 ile tam bölünür. Çünkü,1+7 + 7 + 6 + 0 = 21 ve 21 de 3 ün katıdır.

ÖRNEK:

43210 sayısının 3 ile bölümünden kalanı bulalım.

Çözüm:

43210 =4 + 3 + 2 + 1+ 0 = 10 = 3.3 + 1 43210 sayısının rakamlarının sayı de-ğerlerinin toplamının 3’ e bölümünden kalan 1 olduğu için 43210 sayısının 3’ e bö-lümünden kalan 1 dir.

d) 5 ile tam olarak bölünebilen sayılar:

Birler Basamağı 0 veya 5 Olan Sayılar 5’ e tam bölünür.

Bir sayının 5’ e bölümünden kalan, bu sayının birler basamağındaki rakamın 5’ e bölümünden kalandır.15, 25, 30, 55, 195, 1240, 1300 sayıları 5 ile tam bölünür.

ÖRNEK:

120 sayısı 5 ile tam bölünür. Çünkü, 120 sayısının son basamağı 0 dır.

ÖRNEK:

137, 2580, 587963, 4789631 sayılarının 5 ile bölümünden kalanı bulalım.

Çözüm:

137 sayısının son basamağı 7 olduğu için kalanı bulmak için 7 ile işlem yapa-cağız.

7:5 den kalan 2’ dir.

2580 sayısının son basamağı 0 olduğu için kalanı bulmak için 0 ile işlem ya-pacağız.

0:5 den kalan 0’ dır.

587963 sayısının son basamağı 3 olduğu için kalanı bulmak için 3 ile işlem yapacağız.

31


3:5 den kalan 3’ dür.

4789631 sayısının son basamağı 1 olduğu için kalanı bulmak için 1 ile işlem yapacağız.

1:5 den kalan 1’ dir.

e) 9 ile tam olarak bölünebilen sayılar:

Rakamlarının sayı değerlerinin toplamı 9’ un katı olan sayılar 9 ile tam bölünür.

Bir sayının 9’ a bölümünden kalan, rakamlarının sayı değerleri toplamının 9’ a bölümünden kalana eşittir.

ÖRNEK:

58416732 sayısı 9 ile tam bölünür. Çünkü,5+8+4+1+6+7+3+2 = 36 ve 36’ da 9’un katıdır.

ÖRNEK:

785214637 sayısının 9 ile bölümünden kalanı bulalım.

Çözüm:

785214637=7 +8+5+2+1+4+6+3+7 = 43 = 9.4 +7785214637 sayısının rakam-larının sayı değerlerinin toplamının 9’ a bölümünden kalan 7 olduğu için 785214637 sayısının 9’ a bölümünden kalan 7’ dir.

1.1.8 Bölünebilme Kuralları EKOK-EBOB ve Mesleki Uy-gulamalar

1.1.8.1 En Küçük Ortak Kat (EKOK)İki veya daha çok sayma sayısının katları arasında ortak olan sayılara Ortak Kat

denir. Ortak katların en küçüğüne En Küçük Ortak Kat (EKOK) denir.

32


Verilen sayılar asal çarpanlara ayrılır; ortak çarpanların en büyük üslüleri ile ortak olmayan çarpanların en büyük üslüleri çarpılır.

ÖRNEK:

24 ve 36 sayılarının (EKOK) bulalım

24 36 2

12 18 2

6 9 2 EKOK(24,36): 2.2.2.3.3.1= 23.32.1= 72

3 9 3

1 3 3

1 1

ÖRNEK:

90 ,120 ve 270 sayılarının (EKOK) bulalım

90 120 270 2

45 60 135 2

45 30 135 2

45 15 135 3 EKOK(90,120,270): 2.2.2.3.3.3.5= 23.33.5= 72

15 5 45 3

5 5 15 3

5 5 5 5

1 1 1

SORU:

Ankara’dan İstanbul’a her 2 saatte bir, İzmir’e 4 saatte bir, Adana’ya 6 saatte bir otobüs kalkıyor. Ankara’dan aynı anda bu 3 şehre 3 otobüs hareket ettikten kaç saat sonra, 3 şehre otobüs aynı anda hareket eder?

EKOK’ u Bulmak İçin

Bütün Bölenleri Çarparız

33


1.1.8.2 En Büyük Ortak Bölen (EBOB)İki veya daha fazla sayma sayısının ortak bölenleri arasında en büyük olan sa-

yıya En Büyük Ortak Bölen denir.

Kısaca (EBOB) şeklinde gösterilir, EBOB bulmak için sayıların asal çarpanları bulunur, ortak çarpanların en küçük üslüleri alınarak birbiri ile çarpılır. Ortak olma-yanlar alınmaz.

ÖRNEK:

24 ve 36 sayılarının EBOB’unu bulalım.

24 36 2 *

12 18 2 *

6 9 2

3 9 3 *

1 3 3 EBOB(24,36): 2.2.3.= 22.3= 12

1 1

ÖRNEK:

90,120 ve 270 sayılarının EBOB’unu bulalım.

90 120 270 2 *

45 60 135 2

45 30 135 2

45 15 135 3 * EBOB(90,120,270): 2.3.5= 30

15 5 45 3

5 5 15 3

5 5 5 5 *

1 1 1

İki sayıyı da aynı anda bölen

sayıların yanına yıldız işareti koyulur.

Yıldızlı sayılar çarpılarak EBOB bulunur.

34


ÖRNEK:

Kenar uzunlukları 21 m ve 49 m olan dikdörtgen şeklindeki bir tarlanın etra-fına ve köşelerine eşit aralıklarla fidan dikilecektir. Bu iş için en az kaç fidana ihtiyaç olduğunu bulalım.

Çözüm:

Fidan sayısının en az olması fidanlar arasındaki uzunluğun en büyük seçilme-sine bağlıdır. Buna göre, komşu iki fidan arasındaki uzaklık 21 ile 49 u bölen en bü-yük sayı olmalıdır.

21 49 3

7 49 7 * EBOB(21,49)= 7

1 7 7

1 1

Fidan Sayısı=Tarlanın Çevresi 2.(21+49)

=20 Fidanİki Fidan Arasındaki Uzaklık 7

=

SORU:

Uzunlukları 16 cm , 48 cm, ve 72 cm olan üç teli en büyük uzunlukta olmak üzere eşit parçalara ayırmak istiyoruz.

a) Parçalar kaç santimetre uzunluğunda olmalıdır?

b) Her tel kaç parçaya ayrılır ?

1.1.9 Tam Sayılar

Tam Sayılar Ve Özellikleri:Günlük hayatta doğal sayıların yanında örneğin hava sıcaklıkları söylenirken

sıfırın altında ifadesinin kullanıldığını duyarız. Doğal Sayıları sayı doğrusu üzerinde gösterirken sıfırın sol tarafını hiç kullanmadığımızı fark etmişsinizdir. Sayı doğrusu üzerinde sıfırın sağındaki sayılara pozitif tam sayılar, sıfırın solundaki sayılara negatif tam sayılar denir. Negatif Tam Sayıların soluna (-) işareti konur. Pozitif Tam Sayıla-rın soluna (+) işareti istenildiği takdirde konur. Pozitif Tam Sayılar 0’dan uzaklaştıkça

35


büyür. Negatif Tam Sayılar 0’dan uzaklaştıkça küçülürler. Pozitif Tam Sayılar, aynı za-manda Doğal Sayı olduklarından, önlerine (+) işareti konulmadan da yazılabilir. O halde, önlerine işaret yazılmamış olan sayılar, pozitif olarak alınmalıdır.

Tam Sayılarda İşlem Özellikleri Ve Mesleki Uygulamaları:

Toplama İşlemi:Ahmet’in Ali’den 5 TL alacağı, Hasan’a 10 TL borcu varsa Ahmet’in bu hesabını

yapabilmemiz daha önceki toplama işlemlerine göre mümkün değildir. Ahmet’in alacağını (+), borcunu (-) düşünebiliriz. Bu örnekte olduğu gibi işaretleri farklı sayıla-rın toplamasında iki yol izlenir.

a) işaretleri aynı iki tam sayıların toplaması:

Sayıların işaretlerine bakılmadan, doğal sayılarda olduğu gibi toplanır, ortak işaret sonucun önüne konur.

ÖRNEKLER:

(- 4) + (- 9) = - 13

(+ 5) + (+ 8) = + 13

b) İşaretleri farklı iki tam sayının toplaması :

Negatif sayıları borç, pozitif sayıları alacak olarak düşünelim. Borcumuz çok ise alacağımızı borcumuza verir, kalan fark kadar borcumuz var deriz. Alacağımız çok ise alacağımızdan borcumuzu düşer kalan para kadar alacağımız var deriz. İkisi birbirine eşit ise 0 kalır. Aşağıdaki örnekte olduğu gibi işaretleri farklı sayılar arasında toplama yaparken işaretleri düşünmeden büyük sayıdan küçük sayıyı çıkarır, büyük sayının işaretini sonucun önüne yazarız.

ÖRNEKLER:

(- 4) + (+ 9) = +5

(+ 5) + (-13) = -8

(+ 125) + (- 150) = - 25

-3 -2 -1 0 1 2 3

36


SORU:

Erkan’ ın cebinde 24 lirası vardır. Buğrahan’ a 8 TL borcu, Hale’den de 5 TL ala-cağı olduğuna göre en son durumda Erkan’ın kaç lirası vardır?

Çıkarma işlemi:Birinci terim aynen alınır, ikinci terimin ters işaretlisi ile toplanır.

ÖRNEKLER:

(- 19 ) - ( + 5 ) = (- 19 ) + (- 5 ) = (- 24 )

Birinci terimi aynen alıyoruz. İkinci terimin yani (+5) in toplama işlemine göre ters işaretlisi yani (-5) ile topluyoruz.

(- 2 ) - ( + 7 ) = (- 2 ) + (- 7 )= (- 9 )

(+ 5 ) - ( - 3 ) = (+ 5 ) + ( 3 )= (+8 )

Çarpma işlemi:Aynı işaretli iki sayının çarpımı pozitif, farklı işaretli iki sayının çarpımı negatif

dir.

(–) x (–) = (+)

(+) x (+) = (+)

(–) x (+) = (–)

(+) x (–) = (–)

ÖRNEKLER:

(-2) x (-5) = (+10)

(+3) x (+4) = (+12)

(-7) x (+3) = (- 21)

(+6) x (-8) = (-48)

(-4) x 0 = 0

İkiden çok sayıyı birbiri ile çarpmak için birinci ile ikinci çarpılır sonra üçüncü ile, sonra dördüncü ile devam edilmelidir.

37


ÖRNEKLER:

(-4) x (-5) x (-2) = (+20) x (-2) = (-40)

(-9) x (+2) x (-3) = (-18) x (-3) = (+54)

Bölme İşlemi:İki tam sayının bölme işlemi yapılırken bölünen ve bölenin işaretleri aynı ise

bölümün işareti pozitif, bölünen ve bölenin işaretleri ters ise bölümün işareti negatif dir.

(–) : (–) = (+)

(+) : (+) = (+)

(–) : (+) = (–)

(+) : (–) = (–)

ÖRNEK:

(-8) : (-2) = (+4)

(+14) : (+7) = (+2)

(-33) : (+11) = (- 3)

(+45) : (-9) = (-5)

(-5) : 0 = 0 Belirsiz

0:3 =0

1.1.10 Rasyonel Sayılar

Rasyonel Sayılar Ve Özellikleri:

Doğal sayıların ve tam sayıların sayı doğrusunun bütün noktalarını doldurma-dığını görürüz. Sayı doğrusunda art arda gelen iki tam sayı arasında çok sayıda nok-ta olduğunu görürüz. Bunların bir kısmı rasyonel sayılar kümesini oluşturur.

Günlük hayatta da kullandığımız yarım ekmek, çeyrek ekmek gibi ifadeler ras-yonel sayı olarak gösterilir. Bir bütünün kaç eşit parçaya bölündüğünün gösteren sayıya payda, bu eşit parçalardan kaç tane alındığını gösteren sayıya da pay denir.

Kesirler, pay üstte, payda altta olmak üzere yazılır ve aralarına da bölü çizgisi

38


(kesir çizgisi) adı verilen yatay bir çizgi konur.

Okunuşu: Paydan okumaya başlanırsa; önce pay okunur, bölü denir sonra pay-da okunur. Payda dan okunmaya başlanırsa önce payda okunur, sonuna de, da , te, ta ekleri getirilerek pay okunur.

Kesir: a ve b tamsayı ve b ≠ 0 olmak üzere , ifadesine kesir a’ ya kesrin payı, b’ ye kesrin paydası denir.

Pay: Eş parçalardan kaç tane alındığını gösterir.

Payda: Kesrin kaç parçaya ayrıldığını gösterir.

1.1.10.1 Kesir ÇeşitleriBasit Kesir:

İşaretlerine bakılmaksızın payı paydasından küçük olan kesirlere basit kesir denir. Kesrinde a<b olmak zorundadır.

Yani sayı doğrusunda -1 ile 1 arasındaki kesirler basit kesirdir.

ÖRNEKLER:

sayıları basit kesirdir.

Bileşik Kesir:

İşaretlerine bakılmaksızın payı paydasından büyük veya payı paydasına eşit olan kesirlere bileşik kesir denir. Yani - 1 ile + 1 arasında olmayan kesirler bileşik ke-sirdir. Kesrinde a ≥ b olmak zorundadır.

ÖRNEKLER:

sayıları bileşik kesirdir.

ab

ab

ab

39


Tam Sayılı Kesir:

0 (sıfır) hariç bir tamsayı ve bir basit kesirle birlikte yazılan kesirlere tam sayılı kesir denir.

ÖRNEKLER:

1.1.10.2 Bileşik Kesri Tam sayılı Kesre ÇevirmekPay, paydaya bölünür. Bölüm tam sayı olarak yazılır. Kalan sayı pay olarak, pay-

da aynen yazılır.

ÖRNEK:

1. 1.10.3 Tam Sayılı Kesri Bileşik Kesre ÇevirmekTam sayı payda ile çarpılır, çarpım paya eklenir ve bileşik kesrin payına yazılır.

Eski payda aynen alınır.

ÖRNEKLER:

6

0 1

–

1 3

1 2

2

40


1.1.10.4 Kesirlerin SadeleştirilmesiBir kesrin pay ve paydasını aynı sayı ile bölebilirsek o kesri sadeleştirmiş oluruz.

ÖRNEKLER:

1. 1.10.5 Kesirlerin GenişletilmesiBir kesrin pay ve paydasını aynı sayı ile çarparsak o kesri genişletmiş oluruz.0

hariç.

ÖRNEKLER:

Kesirler sadeleştirildiğinde ve genişletildiğinde kesrin değeri değişmez.

Genel olarak a,b tam sayı ve b = 0 olmamak şartı ile şeklinde yazılabilen sa-yıların her birine, RASYONEL SAYI denir. Sıfırdan büyük olan rasyonel sayılara pozitif rasyonel sayılar, sıfırdan küçük olan rasyonel sayılara negatif rasyonel sayılar denir.

Her doğal sayının bir tam sayı olduğunu görmüştük. Her tam sayıda bir rasyonel sayıdır.

1.1.10.6 Rasyonel Sayıların Sayı Doğrusunda Gösterilmesi

0 ile -1 in arası beş eş parçaya bölünmüştür. A noktası - , B noktası kes-rine karşılık gelir.

ab

25

34

41


1.1.10.7 Rasyonel Sayılarda SıralamaSayılar, sayı doğrusunda soldan sağa doğru büyür. O halde bir sayı, solundaki

sayıların tamamından büyük, sağındaki sayıların tamamından küçüktür.

Sıralanacak, kesirlerin paydaları eşit değilse, eşil olacak şekilde kesirler geniş-letilir. Paydaları eşit olan kesirlerin payı büyük olan büyüktür.

ÖRNEK:

Rasyonel Sayıların Sıralama Kuralları:1) Pozitif her rasyonel sayı, negatif her rasyonel sayıdan büyüktür.

2) Pozitif her rasyonel sayı, sıfırdan büyük, negatif her rasyonel sayı da sıfırdan küçüktür.

3) Paydaları eşit olan iki pozitif rasyonel sayıdan, payı büyük olan daha büyük-tür.

ÖRNEK:

Kesirlerin paydaları eşit olduğundan

paydası büyük olan daha büyüktür.

4) Payları eşit olan iki rasyonel sayıdan paydası küçük olan daha büyüktür.

ÖRNEK:

Kesirlerin payları eşit olduğundan

payı büyük olan daha büyüktür.

5) Paydaları eşit olan iki negatif rasyonel sayıdan, sayının mutlak değeri büyük olan daha büyüktür.

42


Mutlak Değer: Bir sayının mutlak değeri, işaretine bakılmaksızın gösterdiği değerdir. Mutlak değeri “ | | “ sembolü ile gösteririz.

ÖRNEK:

|-7| = 7 |12| = 12

|-9| = 9 |-35| = 35

ÖRNEK:

Kesirlerin paydaları eşit olduğundan

payı büyük olan daha küçüktür.

6) Payları eşit olan negatif iki rasyonel sayıdan, paydası büyük olanı daha bü-yüktür.

ÖRNEK:

Rasyonel sayılar arasındaki sıralama

şu şekildedir.

1.1.10.8 Rasyonel Sayılarda İşlem Özellikleri ve Mesleki Uygulamaları

Rasyonel Sayılarda Toplama ve Çıkarma İşlemi:a) Rasyonel Sayıların paydaları eşit ise paylar toplanır ve çıkarılır paya yazılır

ortak payda aynen payda olarak yazılır.

ÖRNEKLER:

43


Çözüm:

ALIŞTIRMA:

10’ ar Ω’ luk iki direnç paralel bağlanırsa toplam direncin tersi ne olur?

b) Rasyonel sayıların paydaları eşit değilse paydaları eşitlenecek şekilde kesir-ler genişletilir. Paylar toplanır veya çıkarılır; paydalar ortak pay olarak yazılır.

ÖRNEK:

Çözüm:

ALIŞTIRMA:

Değerleri 5 Ω ve 10 Ω olan iki direnç paralel bağlanıyor. Eşdeğer direncin tersi kaç Ω olur?

44


ÖRNEK:

Çözüm:

Rasyonel Sayılarda Çarpma İşlemi:Paylar çarpılır paya, paydalar çarpılır paydaya yazılır. Tam sayılı kesirler, bileşik

kesre çevrilerek işlem yapılır.

ÖRNEKLER:

Çözümler:

Rasyonel Sayılarda Bölme İşlemi:Birinci kesir aynen yazılır, ikinci kesir ters çevrilir, çarpma işlemi (Paylar çarpılır

paya, paydalar çarpılır paydaya yazılır) yapılır.

45


ÖRNEK:

Rasyonel Sayıların Ondalık Kesir Şeklinde Gösterilmesi:Bir rasyonel sayının virgül kullanılarak yazılmasına bu rasyonel sayının ondalık

açılımı denir. = a : b olduğundan, paydası 10 un kuvveti şeklinde yazılamayan ras-yonel sayıların ondalık açılımı, kesrin payı paydasına bölünerek bulunur.

ÖRNEKLER:

rasyonel sayılarını ondalık sayı olarak yazınız.

Çözümler:

Veya bölme işlemi yaparak sonucu bulabiliriz.

Şeklinde bulunur.

ab

0,2

20

–5

10

8

4

20–00

0,5

0 0

–

1

5

1 01

0 01

2 0

0 01–

0 0

46


Bir ondalıklı kesrin basamakları aşağıdaki gibi isimlendirilir. Önce tam sayı kıs-mı okunur sonra ondalıklı kısım okunur.

71,835 Yetmişbir tam binde sekizyüzotuzbeş

ALIŞTIRMALAR:

a) Üç tam binde iki = 3, 002

b) Otuzbeş tam onda beş = 35, 5

c) Kırk tam onbindebinyetmişbir = 40, 0071

d) Yediyüzellibir tam yüzde otuziki = …..........?

e) Dörtbinyüzotuziki tam onda dört = …..........?

f) Altıyüzdoksansekiz tam yüzbindeyüzkırkiki = …..........?

Ondalık Kesirlerin Karşılaştırılması:Tam kısımları eşit olan ondalık kesirlerden, onda birler basamağı büyük olan

kesir büyüktür. Onda birler basamağı eşit ise, yüzde birler basamağı büyük olan ke-sir büyüktür. Yüzdebirler basamağı eşit ise bindebirler basamağı büyük olan kesir daha büyüktür…

Negatif ondalık sayılarda tam tersidir.ÖRNEKLER:

a) 0,2 > 0,1

b) 0,652 > 0,651

c) 12,6587 > 12,05

d) - 0,1 > - 0,2

e) - 0,651 > - 0,652

517 38

Binde Birler BasamağıYüzde Birler BasamağıOnda Birler Basamağı

Onlar BasamağıBirler Basamağı

Tam Kısım Ondalık Kısım

,

47


1.1.10.9 Ondalık Sayılarda İşlemler

Toplama – Çıkarma:Ondalık sayılar alt alta toplanırken (veya çıkarılırken) virgüller ve aynı isimli

basamaklar alt alta gelecek şekilde yazılır. Doğal sayılarda olduğu gibi (virgül dü-şünülmeden) işlem yapıldıktan sonra bulunan sonuç, virgüller hizasından virgülle ayrılır. Yan yana yapılan işlemlerde ise sağdan sola doğru aynı isimli basamaklarda işlem yapılır ve onda birler basamağının soluna virgül yazılır.

Toplama veya çıkarma işlemi yapılan sayıların kesir kısmındaki basamak sayıları eşit değilse, basamak sayısı eksik olan sayının sağına eksik olan basamak sayısı kadar sıfır yazılarak kesir kısmındaki basamak sayıları eşitlenir.

ÖRNEKLER:

Çarpma:Ondalık sayılar çarpılırken çarpanların virgülü yokmuş gibi düşünülüp çarpma

işlemi yapılır. Bulunan çarpımda, çarpanların kesir kısımlarının basamak sayılarının toplam sayısı kadar basamak, en sağdaki basamaktan itibaren sola doğru sayılıp virgülle ayrılır. Eksik kalan basamaklar olursa yerine sıfır yazılır.

213,31,x

2 Basamak Kesirli

6 392 13+1 74, 3

1 Basamak Kesirli

2 +1= 3 Basamak Kesirli

451,23625,

68626,

+58646,736975,

................. ?

+47726,3682,+

................. ?

5658,7812,

7845,

–2236,269159,

36942,890,

................. ?

– –................. ?

48


ALIŞTIRMALAR:

Bölme:Bir ondalık sayıyı bu sayıdan küçük bir sayma sayısına bölerken virgül yokmuş

gibi işlem yapılır. Fakat işlem yapılırken sıra ondalık kesir basamağına (yani virgüle) geldiği zaman bölüme virgül konularak bölme işlemine devam edilir. Bölen ondalık sayı ise bölen, önce 10’ un uygun kuvveti ile çarpılarak virgülden kurtarılır. Bölünen de 10’ un bu kuvveti ile çarpıldıktan sonra işlem yapılır.

ÖRNEK:

243,18 : 0,06 işlemini yapalım.

Önce virgülleri iki basamak sağa kaydıralım (Her ikisini yüz ile çarpalım.) Sonra normal bölme işlemine devam edilir. Ardından bölüm yüze bölünerek sonuç bulu-nur.

ÖRNEK:

64 : 0,004 işleminin sonucunun bulalım.

Önce virgülleri üç basamak sağa kaydıralım (Her ikisini bin ile çarpalım.) Sonra normal bölme işlemine devam edilir.

582,637,x

0423,250,

750,235,

................. ?

x x................. ?................. ?

62

–

–

–

18324

24

13003

1818

6

00

0

0,534

49


ALIŞTIRMALAR:

a) 18,75 : 0,15 = …………?

b) 27,4 : 5 = …………?

c) 0,225 : 0,15 = …………?

d) 62,5 : 1,25 = …………?

1.1.10.10 Devirli Ondalık AçılımlarBazı rasyonel sayılar ondalık sayıya çevrilirken kalan sıfır olmaz ve bazı sayı

veya sayılar devamlı devir eder. Böyle sayılara devirli sayılar denir. Devreden sayı üzerine çizgi çizilir.

ÖRNEK:

kesrini ondalık kesir şeklinde yazalım. 2’yi 3’e bölelim.

Görüldüğü gibi devamlı 2 kalıyor, sayı 0,6666...

şeklinde devam ediyor

kesrini ondalık kesir şeklinde yazalım. = 0 ,

–

–

00406

4

4242

00

00601

4

23

0,6

2 0

–6

2 0

1 8

3

1 8–2 0

66.....

.....

23

23 6

50


ALIŞTIRMALAR:

Aşağıda verilen bölme işlemlerini ondalık kesir olarak yazınız.

a) 8 : 3 = …………?

b) 4 : 11 = …………?

c) 8 : 15 = …………?

d) 4 : 7 = …………?

Devirli Ondalık Sayıların Rasyonel Sayıya Çevrilmesi:Virgül, devreden kısmın sonuna ve başına gelecek şekilde iki taraf 10 un uy-

gun kuvvetleriyle çarpılıp taraf tarafa çıkarma yapılırsa,

Bu işlemi formülüze edecek olursak,

formülü ile rasyonel şeklinde yazılabilir. Burada paydadaki ifade ondalık sayının ke-sir kısmı için söz konusudur. Bu ifadeyi sembollerle; a, b: c, d birer rakam ve

ÖRNEK:

51


ALIŞTIRMALAR:

1.1.11 Reel Sayılar

1.1.11.1 İrrasyonel sayılar:Sayı doğrusu üzerinde gösterildiği halde rasyonel olmayan sayılara irrasyonel

sayılar denir.

Dik kenarları 1 birim olan dik üçgenin uzun kenarı ( hipotenüs ) kadar pergeli-mizi açıp sayı doğrusu üzerinde görüntüsünü çizdiğimizde, A’ noktasını buluruz. A’ noktası √2 sayısına denktir.

Karesi 2 olan pozitif a sayısını ele alalım.

a2 = 2 ise, a sayısını a = √2 şeklinde gösterebilir ve “karekök iki” diye okuruz. Acaba bu 2 sayısı hangi sayılar arasında olabilir?

52


1 < 1,4 < √2 < 1,5 olduğu görülür. Ve √2 sayısı sayı doğrusunda görüntüsü olduğu halde Rasyonel Sayı değildir.

İşte sayı doğrusu üzerinde görüntüsü olduğu halde, rasyonel olmayan sayıla-ra irrasyonel (rasyonel olmayan) sayılar denir. “İ” harfi ile gösterilir.

İrrasyonel sayılar kümesi ile rasyonel sayılar kümesinin birleşim kümesine de reel sayılar (gerçek sayılar) kümesi denir.” R“harfi ile gösterilir.

Sayı doğrusu üzerindeki her nokta bir reel sayıyı gösterir.

1.1.11.2 Kök Alman ∈ z+ olmak üzere xn = a eşitliği sağlayan x değerine a’ nın n’ inci kuvvetten

kökü denir ve x = şeklinde gösterilir, n’ inci kuvvetten kök a diye okunur.

Eğer köklü ifadede kuvvet belirtilmemiş ise kuvvet 2 olarak kabul edilir.

1.1.11.3 Reel Sayılarda İşlemler Özelikleri ve Meslekî UygulamalarıKareköklü ifadelerde kökün içindeki pozitif sayı, bir sayının karesi şeklinde ya-

zılabiliyorsa, o sayının üssü ile karekök birbirini sadeleştirir ve taban dışarıya aynen yazılır.

Köklü İfadenin Üslü ifade Olarak Yazılması,

ÖRNEKLER:

53


Kök dışına bir ifadenin mutlak değeri çıkar.

ÖRNEKLER:

Kök Dışındaki Bir İfadenin Kök İçine Yazılması,

ÖRNEKLER:

1.1.11.4 Köklü İfadelerde Dört İşlem

Toplama – Çıkarma:İki köklü ifadenin toplanması veya çıkarılması için bu iki ifadenin kök kuvvet-

lerinin ve kök içindeki ifadenin aynı olması gerekir.

ÖRNEKLER:

54


Çarpma – Bölme:Kök kuvvetleri aynı olan ifadeler çarpılabilir ve bölünebilir.

ÖRNEKLER:

1.1.12 Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a ve b reel sayı ve a≠0 olmak üzere, ax+b=0 şeklindeki eşitliklere birinci dere-

ceden bir bilinmeyenli denklem denir. Denklemi sağlayan x reel sayısına da denk-lemin kökü denir. Denklemin köklerinden oluşan kümeye de denklemin çözüm kü-mesi denir.

Denklem ÇözümleriBir eşitlikte eşitliğinin her iki yanına aynı sayı eklendiğinde veya çıkarıldığında

eşitliğin değeri değişmez. Bu nedenle denklemin bir tarafındaki çokluk, toplama işlemi ile bulunuyorsa diğer tarafa işaret değiştirerek geçer. Denklemde; bilinmeyen eşitliğin bir tarafında yalnız bırakılır.

ÖRNEK:

x + 3 = 5

x + 3 + (-3) = 5 + (-3) kısaca

x + 3 - 3 = 5 - 3

x = 2

x + 3 = 5

x = 5 - 3

x = 2 yazılır.

55


ÖRNEK:

x - 7 = 15

x - 7 = 15 + 7

x = 22

Bir eşitlikte (sıfır hariç) eşitliğin her iki tarafı aynı sayı ile çarpıldığında veya aynı sayıya bölündüğünde eşitliğin değeri değişmez. Çarpmanın tersi bölme olduğu için bilinmeyenin çarpımı durumundaki sayı eşitliğin diğer tarafındaki sayıya bölünür.

ÖRNEK:

3x = 6

x = 2

ALIŞTIRMALAR:

1.1.13 Birinci Dereceden İki Bilinmeyeli Denklemler ve Mesleki Uygulamaları

Birinci dereceden bir denklemde bilinmeyen iki tane ise bu denklemlere Birin-ci dereceden iki bilinmeyenli denklemler denir.

2x+3y=18 denklemi iki bilinmeyenli bir denklemdir. Bu tip denklemlerde bir eşitlik verilmişse x veya y den birine herhangi bir değer verilerek diğer bilinmeyen bulunur.

3x 3

= 63

3x - 5 = 115

3x = 120

x = 2 yazılır.

3x 3

= 1203

56


y=1 alınırsa denklem,

2x+3=18 olur böylece bir bilinmeyenli denkleme dönüşmüş olur.

2x=18 - 3

2x=15

x=15/2

x=1 alınırsa denklem,

2+3y=18 olur.

3y=18-2

3y=16y=16/3 olur.

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemin bir çözümü olduğu halde, iki bi-linmeyenli denklemin sonsuz çözümü vardır.

Birinci dereceden iki bilinmeyenli iki denklem verilirse bu denklem çifti deği-şik metotlarla çözülebilir. Biz iki metot öğreneceğiz.

a) Yerine Koyma Metodu

b) Yok Etme Metodu

a) Yerine Koyma MetoduDenklemlerden birinde bilinmeyen yalnız bırakılır, bu bilinmeyenin eşiti diğer

denklemde yerine konur.

x+2y =14 1.denklem

x - y =-10 2. denklem

ikinci denklemde x’ i yalnız bırakalım x = -10 + y bulunur.

x’ in bu değerini birinci denklemde yerine koyalım.

(-10+y)+2 y =14

3y=14+10

3y=24

y=24/3

y=8 bulunur.

y’ nin bu değeri denklemlerin birinde yerine konur.

x - y=-10x - 8=-10x=-10+8x =-2 bulunur.

57


b) Yok Etme MetoduBilinmeyenler alt alta gelecek şekilde yazılır. Bilinmeyenlerden herhangi biri-

nin katsayıları eşit ise taraf tarafa toplanır veya çıkarılır. Katsayıları eşit değil ise ilk etapta yok etmek istediğimiz bilinmeyenin katsayılarını eşitleriz.

ÖRNEK:

x+y=30

x - y=10 denklem çiftinde katsayıları eşit olduğundan ve y’ nin işaretleri ters olduğundan taraf tarafa toplarız.

x + y = 30

x – y = 10

2x = 40

x=20 bulunur. Bu sayı denklemlerden herhangi birinde yerine konur

x+y=30

20+y=30

y=30 - 20y=10 bulunur.

1.1.14 Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli ve Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemler Yardımıyla Problem Çözümleri

ALIŞTIRMALAR:

1. Toplamları 18, farkları 4 olan sayıları bulunuz.

x + y = 18

x - y = 4 denklemleri yazılır. Çözüm kümesini bulunuz.

2. Mehmet ile babasının yaşları toplamı 36 dır. Babasının yaşı Mehmet’in yaşı-nın 5 katı olduğuna göre Mehmet ve babasının yaşlarını bulunuz.

x + y = 36

y = 5x denklemleri yazılır. Çözüm kümesini bulunuz.

3. Bir kümeste tavuk ve tavşanlar vardır. Bu hayvanların başlarının sayısı 40, ayaklarının sayısı 112 dir. Buna göre, bu kümeste kaç tavuk, kaç tavşan vardır?

x + y = 40

2x + 4y = 112 denklemleri yazılır. Çözüm kümesini bulunuz.

+

58


1.2 HESAP MAKİNESİ

1.2.1 Basit Bir Hesaplama Gerçekleştirme1) Hesaplamadaki ilk sayıyı girin.

2) Toplama için +, çıkarma için çarpma için * veya bölme için / işaretini tıklatın.

3) Hesaplamadaki bir sonraki sayıyı girin.

4) Kalan diğer sayıları girin.

5) = işaretini tıklatın.

Bilgisayarda ki hesap makinesini kullanacaksanız; NUM LOCK tuşuna basarak, sayıları ve işleçleri girmek için klavyenin sayısal tuş takımını da kullanabilirsiniz.

59


1.2.2 Windows İşletim Sistemindeki Hesap Makinesinde İstatistiksel Bir Hesaplama Gerçekleştirme

1) Görünüm menüsünden Bilimsel’i tıklatın.

2) İlk veri parçanızı girin.

3) Kullanmak istediğiniz istatistik işlevinin düğmesini tıklatın.

Ayrıca NUM LOCK tuşuna basarak, sayıları ve işleçleri girmek için klavyenin sayısal tuş takımını da kullanabilirsiniz.

Windows işletim sistemindeki Hesap Makinesinde Bilimsel bir hesaplama ger-çekleştirme.

1) Görünüm menüsünden Bilimsel i tıklatın.

2) Birini tıklatın.

3) İlk sayıyı girin.

4) Bir işleci tıklatın.

5) Hesaplamadaki bir sonraki sayıyı girin.

6) Kalan diğer işleçleri ve sayılan da girin.

7) = işaretini tıklatın.

60


Ayrıca NUM LOCK tuşuna basarak, sayılan ve işleçleri girmek için klavyenin sayısal tuş takımını da kullanabilirsiniz.

1.2.3 Windows İşletim Sistemindeki Makinesinde Bir De-ğeri Başka Bir Sayı Sistemine Dönüştürme

1) Görünüm menüsünden Bilimseli tıklatın.

2) Dönüştürmek istediğiniz sayıyı girin.

3) Dönüştürmek istediğinizi tıklatın.

Ondalık basamak içeren bir sayıyı başka bir sayı sistemine dönüştürdüğünüz zaman, sayı tamsayıya kısaltılır.

Onaltılık, sekizlik veya ikilik sistemlerden ondalığa dönüştürülen sayılar, tamsayı olarak görünürler.

1.2.4 Windows İşletim Sistemindeki Hesap Makinesinde Bellekte Depolanan Sayılarla Çalışma

1) Görüntülenen sayıyı depolamak için, MS’yi tıklatın.

2) Bir sayıyı depoladığınız zaman, bellek seçeneklerinin üstündeki kutuda M harfi görünür. Başka bir sayı depolarsanız, bu sayı halen bellekte olan sayının yerine geçer.

3) Depolanan sayıyı çağırmak için, MR’ yi tıklatın.

4) Belleği temizlemek için, MC’ yi tıklatın.

5) Görüntülenen sayıyı hafızadaki sayıya eklemek için M+’ yı tıklatın. Yeni sayı-yı görmek için, MR’ yi tıklatın.

61


ÖZETAynı cinsten varlıkları saymak için kullanılan sayılara SAYMA SAYILARI denir.

Sayma Sayılarına 0’ ın ilave edilmesiyle elde edilen sayılara DOĞAL SAYILAR denir.

Sayı doğrusu üzerinde sıfırın sağındaki sayılara pozitif tam sayılar, sıfırın so-lundaki sayılara negatif tam sayılar. Pozitif tam sayılar, negatif tam sayılar ve 0’ın birleşiminin oluşturduğu kümeye TAMSAYILAR denir.

a , b tam sayı ve b ≠ 0 olmak üzere ab şeklinde yazılabilen sayıların her birine,

RASYONEL SAYI denir.

Sayı doğrusu üzerinde gösterildiği halde rasyonel olmayan sayılara irrasyonel sayılar denir.

Rasyonel Sayılar ile irrasyonel sayıların birleşimine REEL (gerçek) SAYILAR de-nir.

62


DEĞERLENDİRME SORULARI

1. Yedimilyonyirmibinaltı sayısının yazılışı aşağıdakilerden hangisidir?

a. 7002106b. 7126006c. 7020006d. 7200600

2. Uzunlukları 521 m. ve 479 m. olan iki iletken telin toplam uzunluğu kaç metredir?

a. 1000b. 990c. 980d. 900

3. Uzunlukları 521 m. ve 479 m. olan iki iletken telin toplam uzunluğu kaç metredir?

a. 5.75 TLb. 6.25 TLc. 6.50 TLd. 6.75 TL

4. Elimizde 980 metre bulunan iletkenden 485 m. si tesisat yapımında kullanılmıştır. Geriye kaç metre iletken kalmıştır?

a. 475b. 485c. 495d. 505

5. Elimizde 980 metre bulunan iletkenden 485 m.’ si tesisat yapımında kullanılmıştır. Geriye kaç metre iletken kalmıştır?

a. 132b. 95c. 84d. 77

63


6. Bir elektrik ocağı için 5 m. Krom-nikel tel kullanılmaktadır. Telin 1 metresi 75 TL olduğuna göre 10 elektrik ocağı için kaç liralık krom-nikel tel kullanılır?

a. 127 50 TLb. 32 50 TL c. 35 00 TLd. 37 50 TL

7. 405 metre iletken kullanılan beş katlı binanın bir katı için kaç metre iletken kullanılır? ( her katta eşit iletken kullanılacaktır)

a. 81b. 83 c. 85d. 91

8. İki basamaklı en büyük sayı ile üç basamaklı en küçük sayının toplamı kaçtır?

a. 100b. 101 c. 190d. 199

9. 96 sayısının 4 fazlasının yarısı kaçtır?

a. 60b. 56 c. 52d. 50

10. Bir evde 40 Wattlik 3 adet, 60 wattlık 2 adet. 75 wattlık 4 adet ampul kullanılmaktadır. Bu evin lambalarının toplam gücü kaç watt dır?

a. 540b. 575 c. 610d. 640

11. 1,5 metre kablo 4. 5 TL ederse, 1 m. kablo kaç TL eder?

a. 2.5b. 2.75 c. 3d. 3.25

64


12. 220 Volt gerilim uygulanan elektrik ütüsü 2,5 amper akım çekerse ütünün direnci kaç ohm olur? (Direnç = Gerilim : Akım şiddeti)

a. 44b. 88 c. 98d. 110

13. Bir elektrik devresini besleyen dinamo 220 Voltluk gerilimde 300 amper vermektedir. Dinamonun gücü nedir?

a. 33 000 b. 44 000 c. 60 000d. 66 000

14. Yandaki taralı kısmın kesirle ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?

a. 3/5 b. 5/8 c. 3/8d. 8/3

15. Aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

a. √16 = 4b. √18 = 9 c. √24 = 8d. √12 = 4

16. 46

89 x =? İşleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

a. 3256

b. 3254

c. 3263

d. 4836

65


17. 2x + 7 = 47 denkleminde x yerine hangi sayı gelmelidir?

a. 10b. 12 c. 20d. 22

18. √16 x √9 = ? işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

a. 12b. 7 c. 13d. 24

19. x + y =30

x - y = 6 Denklem sisteminde x =? ne olmalıdır?a. 6b. 12 c. 18d. 24

20. Toplamları 15, farkları 1 olan iki sayıdan küçüğü kaçtır?

a. 4b. 5 c. 6d. 7

21. Düzinesi 0.9 6 TL olan dübellerden 25 tane kullanan elektrikçi, kaç TL vermesi gerekir?

a. 1.86b. 1.9 c. 1.92d. 2

22. 2x - 5 = x + 5 denkleminde x=? ne olmalıdır?

a. 10b. 5 c. 3d. 1

66


23. 817 + ? = 940 Toplama işleminde ? işareti yerine aşağıdaki sayılardan hangisi gelmelidir?

a. 113b. 123 c. 133d. 143

24. 1010 - 91 = ? işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

a. 991b. 919 c. 909d. 899

25. Hangi sayının 2 katının 5 fazlası 45’dir?

a. 10b. 15 c. 20d. 25

26. 7500 in 4/5’ i kaçtır?

a. 3000b. 4500 c. 5000d. 6000

27. Aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

a. 81 =8

b. 80 =8

c. 08

=8

d. 18

=8

28. Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

a. 22 = 4b. 32 = 6c. 42 = 16d. 52 = 25

67


29. Yüzdeonbir ifadesi aşağıdakilerden hangisi ile gösterilemez?

a. 0,11b. 11/100c. %11d. 100:11

30. Aşağıdaki bölünebilme kurallarından hangisi yanlıştır?

a. Sonu 0, 2, 4, 6, 8 ile biten sayılar ikiye tam olarak bölünürlerb. Birler basamağındaki sayı 0 veya 5 ile biten sayılar 5’e tam olarak

bölünürlerc. Sonu sıfırla biten sayılar 10’a tam olarak bölünürlerd. Rakamların sayı değerleri toplamı 3 ya da 3’ün katı olan bütün sayılar 9’a

tam olarak bölünürler

31. Aşağıdaki işlemlerden hangisi doğrudur?

a. 7x0 = 7b. 0x7 = 7c. 7x1 = 7d. 7x7 = 7

32. Aşağıdakilerden hangisi tek sayı değildir?

a. 13b. 17c. 22d. 25

33. Bir elektrikçi her gün 40 sayfa kitap okumaktadır. Son okuyacağı kitap 480 sayfa olduğuna göre, bu kitabı kaç günde bitirir?

a. 14b. 12c. 11d. 10

34. 6237 sayısındaki 2 rakamının basamak değeri aşağıdakilerden hangisidir?

a. 2b. 20c. 200d. 2000

68


35. 177

kesrinin tam sayılı kesre çevrilmiş şekli aşağıdakilerden hangisidir?

a. 2 17

b. 2 27

c. 2 37

d. 2 45

36. 25

17 + =? İşleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

a. 1935

b. 1135

c. 335

d. 3919

37. 53 =? işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

a. 625b. 125c. 25d. 15

38. 3 HP’ lik bir elektrik motorunun gücü kaç KW.’ dir? (İHP = 0,736 KW)

a. 2,208b. 21,08c. 220,8d. 2208

39. Aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

a. 7,15 x10=0,715b. 7,15 x10=71,5c. 7,15 x10=715 d. 7,15 x 10=7150

40. (0,016 x 100 ):( 0,004 x 0,1) = ? İşleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

a. 4000b. 400c. 40d. 0,4

SAYILAR VE MESLEKİ UYGULAMALARhbogm.meb.gov.tr/MTAO/3MatematikVeMeslekMatematigi/unite01.pdf ·...

Documents

Transcript of SAYILAR VE MESLEKİ UYGULAMALARhbogm.meb.gov.tr/MTAO/3MatematikVeMeslekMatematigi/unite01.pdf ·...