Introduzione alle geometrie non euclidee Litografia di EscherTavolo iperbolico.
Satira della società The Victorian Age Riflessione scientifico- matematica: le Geometrie non...
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Satira della società The Victorian Age
Riflessione scientifico-matematica:
le Geometrie non Euclidee
La matematica nell’arte Maurits Cornelis Escher
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Edwin Abbott Abbott (1838-1926)
• 1865 – 1889 : Rettore della City of London School
• Composizione di 40 tra libri e trattati di vario genere: manuali scolastici, studi di testi sacri, opere teologiche.
• Flatlandia – Racconto fantastico a più dimensioni (1882)
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Flatlandia – Racconto fantastico a più dimensioni
Prima parte :
Descrizione della società Flatlandese
Seconda parte :
Viaggio alla scoperta di mondi di diversa dimensionalità
Forte gerarchia basata sulla misura degli angoli • Linelandia
• Spacelandia
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Soldati e Operai
Borghese
“Professionisti e Gentiluomini”
Aristocrazia
Sacerdote
Società gerarchica di Flatlandia
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LINELANDIA
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Incontro con la sfera
La terza dimensione : “verso l’ Alto, non verso il “Nord”
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The Victorian Age (1837 – 1901)
• The Victorian Compromise
• Women and Society
• Positive aspects:
- Expansion and reforms
- New political and scientific theories (Darwin, Socialism)
MOST IMPORTANT REFORMS1832: First Reform Act 1839: Custody of Infants Act 1846: Corn Laws1857: Matrimonial Causes Act 1862: Mines Act 1870: Elementary Education Act 1875: Public Health Act 1882: Trade Unions were legalised.1884: Third Reform Act
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Helmholtz : L’origine e il significato degli assiomi geometrici (1870)
“Immaginiamo - ciò non è logicamente impossibile - che esistano esseri dotati di ragione, bidimensionali, viventi e moventesi sulla superficie d’uno dei nostri corpi solidi. Ammettiamo che essi non possano percepire alcunché fuori di questa superficie, ma che possano percepire in modo simile al nostro entro l’ambito della superficie su cui si muovono. Se tali esseri costruissero la loro geometria, attribuirebbero naturalmente al loro spazio due sole dimensioni.”
Riemann : varietà multidimensionali
Dibattito sulle Geometrie non Euclidee
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Le Geometrie non Euclidee
Il V postulato ( o postulato delle parallele )
Risulti postulato che se in un piano una retta, intersecando altre due, forma con esse, da una medesima parte, angoli interni la cui somma è minore di due angoli retti, allora queste due rette indefinitamente prolungate finiscono con l’incontrarsi dalla parte detta.
Problema del V postulato
Contenuto : infinito Forma : teorema
2 possibili soluzioni
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Le Geometrie non Euclidee
Le soluzioni
Determinare una proposizione equivalente al V postulato, con l’evidenza tipica degli assiomi
John Playfair : per un punto non giacente su una retta data né sul suo prolungamento, non è possibile tracciare più di una parallela alla retta data
Dimostrazione del V postulato
Girolamo Saccheri ( 1667 – 1733 )
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Le Geometrie non Euclidee
Girolamo Saccheri
1. gli angoli alla sommità sono retti.2. gli angoli alla sommità sono ottusi.3. gli angoli alla sommità sono acuti.
Ipotesi angoli ottusi Ipotesi angoli acuti
Somma angoli interni quadrilatero = 360
“Contraddizione”“Contraddizione”
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Le Geometrie non Euclidee
Lobachevsky e Bolyai: la Geometria Iperbolica
Lobachevsky Bolyai
Negazione dell’unicità della parallela : assioma di Lobachevsky
La somma degli angoli interni di un triangolo è minore di 180°
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Le Geometrie non Euclidee
Riemann: la Geometria Ellittica e la Geometria Sferica
Spazio illimitato e finito a curvatura costante positiva
Negazione dell’esistenza della parallela: assioma di Riemann
P e P’ non coincidono: due rette hanno sempre due punti in comune Geometria sferica
P e P’ coincidono: due rette hanno sempre un solo punto in comune Geometria ellittica
La somma degli angoli interni di un triangolo è maggiore di 180°
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Le Geometrie non Euclidee
Modelli di Geometria non Euclidea
Modello di Klein
Modello di Geometria Iperbolica
Modello di Poincarè
Modello di Geometria Iperbolica
Modello della sfera
Modello di Geometria Sferica
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MAURITS CORNELIS ESCHER
(1898 – 1971)
Temi principali delle sue opere:
• il Nastro di Mobius• la riflessione sull’infinito• la tassellazione periodica del piano• le figure impossibili
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il Nastro di Mobius
Nastro di Mobius I
Nastro di Mobius II (1963)
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Riflessione sull’ infinito1956 – 1970 : Periodo dell’ Infinito
Limite del cerchio III (1959)
Serpenti (1969)
Esposizione di stampe (1956)
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Tassellazione Periodica Del Piano
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Le figure impossibili
Belvedere (1958)
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Cascata
Salita e discesa
Le figure impossibili
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Le figure impossibili
Cubo con nastri magici
Casa di scale
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Relatività
In alto e in basso
Le figure impossibili
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RETTILI (1943)copertina di Flatlandia