確率過程と戯れる

Tokyo webmining #36, May 2014Unconference

Masakazu Sano / 佐野正和 / @Masa_S3Fringe81 inc.

1

自己紹介

2

•@Masa_S3/ 佐野正和

•Fringe81 株式会社 ( ネット広告の会社 ) でデータアナリストを担当 ( 分析・ロジック設計から簡単な実装まで )

•バックグラウンドは素粒子物理学

•最近 Qiita で分析技術ネタの連載を開始しました。やってみよう分析！シリーズ

悩み

3

•広告データはカオスの塊。

•でも配信状態を最適化しなければならない。

•変数の確率的な動きをとらえるのに四苦八苦。

•動的に逐次最適化するにはどうしたらいいだろうか。

•広告配信によって何が起きているのかもっと知りたい！

アイデア

4

•金融工学つかえないかな？（ずーっと、もやもやしている）

•証券価格の動きやポートフォリオを分析。広告に似ている。

•例えばブラックショールズ方程式は dS/S =μdt + η を満たす確率変数 S のダイナミクスから導出。

•ブラックショールショールズ方程式は経路積分を使っても導出できることが知られている。

•経路積分を応用できれば確率制御の可能性広がりそう。

•より一般的な確率ダイナミクスに対する経路積分表示が導けたら、ダイナミクスを表す確率分布が得られる。そしたら、分散とか平均とかの期待値計算できる。これ使って動的に最適化できそう。

経路積分 (Path integral)

5

•素粒子物理学で誕生•Richard Feynman( ノーベル賞学者 ) が発明 (1948) 。•確率変数と戯れる便利ツール。•現代素粒子物理学では必要不可欠。

wikipediaの定義によって様々な確率過程の分布が定まる

議論しましょう

6

•難しそうですがアイデアベースで、できるだけ易しい進行に努めます。

•前半：経路積分と確率過程についてミニレクチャー（イメージ重視）

•後半：経路積分を使ったらこんなことできそう等、アイデアベースで実務への応用可能性を意見交換したいです。

補助資料

7

なぜ経路積分

8

確率過程を決めれば、ほぼ自動的に対応する確率分布が 1 つ定まる ( 少なくとも形式的に定義可能 ) 。トップダウンで議論可能。

複雑な相互作用を含んだ形で自然に確率分布が定まる。対象の全体理解・最適化に応用可能か？

原理的には、変数間の複雑な相互作用効果を含んだ期待値、分散を計算できる。

ポートフォリオ最適化に応用可能か？ユーザフローの予測に応用可能か？精度向上？

素粒子物理学で蓄積された計算技術を活用できる。格子モデル、数値計算、摂動論、超対称性。。。

経路積分• 経路積分は素粒子の状態変化の実現確率を表す。• マクロの世界（ニュートン力学）では運動は決まった軌道を描く。• ミクロの世界 (量子力学 ) で電子などの素粒子は移動軌道を確定でき

ない。• 例えば電子が位置 A→位置 B へ移動を考えた場合、通りうる軌道は無

数にあり、軌道毎に実現確率が与えられる。その中で最も確率の高い軌道が実現される。小さい確率で別の軌道が実現されることもありうる。

9

マクロ ミクロ

実現確率：低

実現確率：低実現確率：高この軌道のみ起こ

る

経路積分

10

時間

座標

1 つのパスの実現確率

経路積分

11

時間

座標

あらゆる経路の寄与を含めた実現確率

経路積分

12

時間

座標

この部分を最大化する

最も起こりうる経路が求まる

経路積分• 例を考えてみましょう。• 正規分布

13

時間

座標

確率が最大化される経路

経路積分の応用アイデアの模索• 実用上は確率変数が互いに相互作用を持つと考えるほうが自然。• たとえば impression と search の増減率を記述できないだろうか？

14

時間

Impression の増減率

Search の増減率

経路積分の応用アイデアの模索 2• ウェブ上のユーザ行動モデリングに使えないか？

15

例えば、 i番目の媒体で I={imp, click, search, CV} したユニークユーザ数の増加率

離散時間

？？

補助資料 2(参考文献も参照 )

16

経路積分

17

経路積分実現の可能性が最も高い経路：最尤法との関連

18

経路積分確率過程と経路積分

19

＝ 1

応用事例• ブラック・ショールズ方程式• 経路積分を使うと簡単に計算できる ( 実用的 )

20

原資産価格

参考文献• G. Parisi and N. Sourlas, Supersymmetric

Field Theories and Stochastic Differential Equations, Nucl.Phys. B206 (1982) 321

• Yu Nakayama, Gravity Dual for Reggeon Field Theory and Non-linear Quantum Finance , Int.J.Mod.Phys.A24:6197-6222,2009

• J. Dash, Quantitative finance and risk management : a physicist’s approach, World Scientific Pub., 2004.

• J. Dash, Path Integrals and Options, Part I, CNRS Preprint CPT88/PE.2206. , 1988

• J. Dash, Path Integrals and Options, Part II, CNRS Preprint CPT89/PE.2333., 1989

• VADIM LINETSKY, The Path Integral Approach to Financial Modeling and Options Pricing, Computational Economics, 11 (1998) pp. 129-163.

21