Sähkötekniikan kaavakokoelma
2
5. maaliskuuta 2010 (versio 1.3) S¨ ahk¨ otekniikan kaavakokoelma Metropolia Vesa Linja-aho Puuttuuko kaavakokoelmasta jotain olennaista? Anna palautetta! Kirchhoffin lait, s¨ ahk¨ oteho X i =0 X u =0 p = ui (1) Vastus (Ohmin laki), kela ja kondensaattori. Konduktanssi ja Siemensin laki. u = Ri i = C du dt u = L di dt G = 1 R Gu = i (2) Vastukset sarjassa ja rinnan. R sarja = X R G rinnan = X G R rinnan = 1 ∑ 1 R R rinnan = R 1 R 2 R 1 + R 2 (3) J¨ annitteenjakos¨ a¨ ant¨ o (sarjaankytkent¨ a) ja virranjakos¨ a¨ ant¨ o (rinnankytkent¨ a) U i = U R i ∑ R I i = I G i ∑ G (4) Kompleksiluvut (katso huomautus 1 paperin alareunassa). j 2 = -1 z = x +jy |z| = p x 2 + y 2 x = |z| cos φ y = |z| sin φ φ = arg(z) = arctan y x (5) Liittoluku eli konjugaatti z = x +jy = |z| 6 φ z * = x - jy = |z| 6 - φ zz * = |z| 2 (z 1 z 2 ) * = z * 1 z * 2 z 1 z 2 * = z * 1 z * 2 (6) Eulerin kaava. Itseisarvojen laskus¨ a¨ ant¨ oj¨ a. Reaali- ja imaginaariosan merkint¨ a. e jφ = cos φ + j sin φ z 1 z 2 = |z 1 | |z 2 | |z 1 z 2 | = |z 1 ||z 2 | x = Re{z} y = Im{z} (7) Peruslaskutoimitukset kompleksiluvuilla. Olkoon z 1 = x 1 +jy 1 = r 1 6 φ 1 ja z 2 = x 2 +jy 2 = r 2 6 φ 2 z 1 z 2 = r 1 r 2 6 (φ 1 + φ 2 ) z 1 z 2 = r 1 r 2 6 (φ 1 - φ 2 ) z 1 ± z 2 =(x 1 ± x 2 ) + j(y 1 ± y 2 ) (8) Esimerkkej¨ a 1+j √ 3 1+j = 2 6 60 ◦ √ 2 6 45 ◦ = √ 2 6 15 ◦ 1+j 1 - j = (1 + j) 2 (1 - j)(1 + j) = 1 + 2j + j 2 2 =j (9) Tehollisarvon osoitin, osoitinlaskenta, yleistetty Ohmin laki. Impedanssi. Kelan ja kondensaattorin impe- danssi. i(t)= ˆ i sin(ωt + φ) ⇔ I = ˆ i √ 2 6 φ U = ZI Z = R +jX Z L =jωL Z C = 1 jωC (10) Admittanssi Y ja suskeptanssi B. Tehollisarvo. Y = 1 Z Y = G +jB |U | = U eff = Urms = ˆ u √ 2 Urms = s 1 T Z T 0 u 2 dt = q X |U i | 2 (11) Vaihtos¨ ahk¨ oteho. Tehosovitus. S = UI * S = P +jQ R L = R S Z L = Z * S (12) Ensimm¨ aisen asteen alip¨ a¨ ast¨ o- ja ylip¨ a¨ ast¨ osuodatin. ω 0 on piirin ominaiskulmataajuus. Uout U in = 1 jω ω 0 +1 Uout U in = jω ω 0 jω ω 0 +1 (13) 1 Kaava arg(z) = arctan y x ei ole t¨ aysin ”aukoton”. Esimerkiksi arg(-1 + j) = 135 ◦ eik¨ a laskimen antama arctan 1 -1 = -45. T¨ am¨ a johtuu siit¨ a, ett¨ a yksikk¨ oympyr¨ alt¨ a l¨ oytyy kaksi kulmaa, jolla on sama tangentti, ja laskin ei voi tiet¨ a¨ a, kumpi on kyseess¨ a.
-
Upload
vesa-linja-aho -
Category
Documents
-
view
1.438 -
download
3
description
Kokoelma sähkötekniikan kaavoja. An equation collection for electrical engineering (in Finnish).
Transcript of Sähkötekniikan kaavakokoelma
5. maaliskuuta 2010 (versio 1.3)Sahkotekniikan kaavakokoelma
MetropoliaVesa Linja-aho
Puuttuuko kaavakokoelmasta jotain olennaista? Anna palautetta!
Kirchhoffin lait, sahkoteho ∑i = 0
∑u = 0 p = ui (1)
Vastus (Ohmin laki), kela ja kondensaattori. Konduktanssi ja Siemensin laki.
u = Ri i = Cdu
dtu = L
di
dtG =
1
RGu = i (2)
Vastukset sarjassa ja rinnan.
Rsarja =∑
R Grinnan =∑
G Rrinnan =1∑
1R
Rrinnan =R1R2
R1 +R2(3)
Jannitteenjakosaanto (sarjaankytkenta) ja virranjakosaanto (rinnankytkenta)
Ui = URi∑R
Ii = IGi∑G
(4)
Kompleksiluvut (katso huomautus1 paperin alareunassa).
j2 = −1 z = x+ jy |z| =√x2 + y2 x = |z| cosφ y = |z| sinφ φ = arg(z) = arctan
y
x(5)
Liittoluku eli konjugaatti
z = x+ jy = |z| 6 φ z∗ = x− jy = |z| 6 − φ zz∗ = |z|2 (z1z2)∗ = z∗1z∗2
(z1
z2
)∗=z∗1z∗2
(6)
Eulerin kaava. Itseisarvojen laskusaantoja. Reaali- ja imaginaariosan merkinta.
ejφ = cosφ+ j sinφ
∣∣∣ z1z2
∣∣∣ =|z1||z2|
|z1z2| = |z1||z2| x = Re{z} y = Im{z} (7)
Peruslaskutoimitukset kompleksiluvuilla. Olkoon z1 = x1 + jy1 = r1 6 φ1 ja z2 = x2 + jy2 = r2 6 φ2
z1z2 = r1r2 6 (φ1 + φ2)z1
z2=r1
r26 (φ1 − φ2) z1 ± z2 = (x1 ± x2) + j(y1 ± y2) (8)
Esimerkkeja
1 + j√
3
1 + j=
26 60◦√
26 45◦=√
26 15◦1 + j
1− j=
(1 + j)2
(1− j)(1 + j)=
1 + 2j + j2
2= j (9)
Tehollisarvon osoitin, osoitinlaskenta, yleistetty Ohmin laki. Impedanssi. Kelan ja kondensaattorin impe-danssi.
i(t) = i sin(ωt+ φ)⇔ I =i√
26 φ U = ZI Z = R+ jX ZL = jωL ZC =
1
jωC(10)
Admittanssi Y ja suskeptanssi B. Tehollisarvo.
Y =1
ZY = G+ jB |U | = Ueff = Urms =
u√
2Urms =
√1
T
∫ T
0
u2dt =
√∑|Ui|2 (11)
Vaihtosahkoteho. Tehosovitus.
S = UI∗ S = P + jQ RL = RS ZL = Z∗S (12)
Ensimmaisen asteen alipaasto- ja ylipaastosuodatin. ω0 on piirin ominaiskulmataajuus.
Uout
Uin=
1jωω0
+ 1
Uout
Uin=
jωω0
jωω0
+ 1(13)
1Kaava arg(z) = arctan
yx
ei ole taysin ”aukoton”. Esimerkiksi arg(−1+j) = 135◦ eika laskimen antama arctan 1−1 =
−45. Tama johtuu siita, etta yksikkoympyralta loytyy kaksi kulmaa, jolla on sama tangentti, ja laskin ei voi tietaa, kumpion kyseessa.
5. maaliskuuta 2010 (versio 1.3)Sahkotekniikan kaavakokoelma
MetropoliaVesa Linja-aho
Ensimmaisen kertaluvun differentiaaliyhtalon ratkaiseminen yritteella
u(t) = B +Ae−tτ
du
dt= −
A
τe−
tτ (14)
Laplace-muunnos
Yleisia Laplace-muunnoksiaf(t) F (s) f(t) F (s)
1 eli ε(t)1
sδ(t) 1
A eli Aε(t) As
t 1s2
e−at 1s+a
f ′(t) sF (s)− f(0)
sinωtω
s2 + ω2cosωt
s
s2 + ω2
δ(t− a) e−as
Komponenttien Laplace-muunnokset
� �� �� �L IL0
-
C
UC0 -
� �� �� �sL ����
− +
LIL0
1sC
����+ −UC0s
����− +
E
����J
-
����− +
Es
����Js
-
