SadržajSadržaj:::: •••• Nizovi brojevaNizovi...
Transcript of SadržajSadržaj:::: •••• Nizovi brojevaNizovi...
SadržajSadržajSadržajSadržaj::::
•••• Nizovi brojevaNizovi brojevaNizovi brojevaNizovi brojeva
− Pojam niza − Limes niza. Konvergentni nizovi − Neki važni nizovi. Broj e.
•••• Limes funkcijeLimes funkcijeLimes funkcijeLimes funkcije
− Definicija limesa − Računanje limesa − Jednostrani limesi
•••• Neprekinute funkcije i limesiNeprekinute funkcije i limesiNeprekinute funkcije i limesiNeprekinute funkcije i limesi
− Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema li mesu − Asimptote − Svojstva neprekinutih funkcija
Niz brojevaNiz brojevaNiz brojevaNiz brojeva
Definicija:Definicija:Definicija:Definicija: Neka je S neki skup brojeva. Funkciju a : N →→→→ S zovemo ninininizzzzom om om om
brojeva iz Sbrojeva iz Sbrojeva iz Sbrojeva iz S.
Umjesto da se piše a(n), što je uobi čajeno kod funkcija, piše se a n. Elementi a 1, a2,…, an,… se zovu članovi niza. Element a n se zove op ći član niza.
Primjer:Primjer:Primjer:Primjer: Napisati prvih pet članova niza čiji je op ći član 1++++
====n
nan .
RješenjeRješenjeRješenjeRješenje:::: .65
,54
,43
,32
,21
Primjer:Primjer:Primjer:Primjer: Naći opći član niza, čiji su članovi ,...78
,56
,34
,2
RješenjeRješenjeRješenjeRješenje: : : : Prvi član ima u brojniku 2, drugi član ima u brojniku 4, tre ći
član ima u brojniku 6, itd. U nazivniku je broj za je dan manji nego u brojniku.
Prema tome .12
2−−−−
====n
nan
Primjer:Primjer:Primjer:Primjer: Naći opći član niza ,...222,22,2
RješenjeRješenjeRješenjeRješenje: : : : ,...2,2,2,2 1615
87
43
21
4321 ================ aaaa Tako je .2 2
12n
n
na−−−−
====
Definicija:Definicija:Definicija:Definicija: Kažemo da niz realnih brojeva (a n)
raste ako je a n+1 ≥≥≥≥ an, za svaki n ∈∈∈∈ N,
strogo raste ako je a n+1 > an, za svaki n ∈∈∈∈ N,
pada ako je a n+1 ≤≤≤≤ an, za svaki n ∈∈∈∈ N,
strogo pada ako je a n+1 <<<< an, za svaki n ∈∈∈∈ N.
Niz zovemo monotonim ako raste ili pada.
Primjer:Primjer:Primjer:Primjer: Dokazati da strogo pada niza čiji je op ći član 2,1
12
≥≥≥≥−−−−
==== nn
an .
Definicija:Definicija:Definicija:Definicija: Kažemo da je niz realnih brojeva (a n)
ograničen odozgor ako postoji M ∈∈∈∈ R, takav da je a n ≤≤≤≤ M , za svaki n ∈∈∈∈ N,
ograničen odozdol ako postoji m ∈∈∈∈ R, takav da je a n ≥≥≥≥ m , za svaki n ∈∈∈∈ N,
ograničen ako je ograni čen odozdol i odozgor,
neneneneograničen ako nije ograničen.
Primjer:Primjer:Primjer:Primjer: Ispitati ograni čenost niza čiji je op ći član 1,1 ≥≥≥≥++++==== n
nn
an .
RješenjeRješenjeRješenjeRješenje:::: Budu ći da je brojnik ve ći od nazivnika, svaki član niza je ve ći
od 1. Niz strogo pada, pa je prema tome a 1 najve ći element. Dakle niz je ograni čen i odozgo i odozdo.
Limes niza. Konvergentni nizovi.Limes niza. Konvergentni nizovi.Limes niza. Konvergentni nizovi.Limes niza. Konvergentni nizovi.
Definicija:Definicija:Definicija:Definicija: Kažemo da niz (an) realnih brojeva konvergirakonvergirakonvergirakonvergira k L , ako za svaki εεεε > 0 postoji n 0 ∈∈∈∈ N tako da
n > n 0 ⇒⇒⇒⇒ | an – L | < εεεε.
U tom slu čaju kažemo tako ñer da niz ima limes a 0, i pišemo Lann
====∞∞∞∞→→→→
lim . Za niz
koji ima limes kažemo da je konvergentankonvergentankonvergentankonvergentan. Za niz, koji nema limes tj. koji ne konvergira, kažemo da divergdivergdivergdivergirairairaira, odnosno da je divergentandivergentandivergentandivergentan.
Prema ovoj definiciji, u proizvoljno maloj okolini l imesa nalaze se svi članovi niza osim njih kona čno mnogo. Dakle vrijedi sljedeca tvrdnja
TTTTvrdnja:vrdnja:vrdnja:vrdnja: Ako niz konvergira, onda je on ograni čen.
Prema tome neograni čen niz nema limes.
PrimjPrimjPrimjPrimjer:er:er:er: Ispitati konvergenciju niza n
an1==== .
RjeRjeRjeRješšššenjeenjeenjeenje:::: Niz konvergira i 01
lim ====∞∞∞∞→→→→ nn
.
PrimjerPrimjerPrimjerPrimjer:::: Ispitati konvergenciju niza: nn qa ==== .
RjeRjeRjeRješšššenjeenjeenjeenje:::: Ako je |q| > 1, onda je niz nn qa ==== neograni čen, pa divergira. Ako
je q = 0, onda je svaki član niza jednak 0, pa niz konvergira, i limes mu je 0 . Ako je 0 < |q| < 1, niz n
n qa ==== konvergira i 0lim ====∞∞∞∞→→→→
n
nq . Ako je q=1, onda niz
konvergira i limes je 1, a ako je q = - 1, onda imamo niz -1,1,-1,1,-1,1,... Unutar proizvoljno male okoline oko 1 se doduše nalazi besk onačno mnogo članova niza, no i izvan nje se nalazi beskona čno mnogo članova. Tako 1 nije limes. Sličnim razmatranjem zaklju čujemo da niti -1 ne može biti limes. Neki drugi broj ne moze biti limes jer postoji interval oko njega u k ojem se ne nalazi niti jedan član niza.
Tvrdnja:Tvrdnja:Tvrdnja:Tvrdnja: Monoton i ograni čen niz realnih brojeva konvergira.
Tvrdnja:Tvrdnja:Tvrdnja:Tvrdnja: Neka su nizovi (a n) i (b n) konvergentni, i neka je 0lim aann
====∞∞∞∞→→→→
i
0lim bbnn
====∞∞∞∞→→→→
. Tada vrijedi sljede će:
1. Niz (an ± bn) konvergira i
(((( )))) 00limlimlim bababa nn
nn
nnn
±±±±====±±±±====±±±±∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→
.
2. Niz (an · bn) konvergira i
(((( )))) 00limlimlim bababa nn
nn
nnn
⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→
.
3. Niz ( λλλλ· an) konvergira i
(((( )))) 0limlim aaa nn
nn
⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→
λλλλλλλλλλλλ .
4. Ako je b n ≠≠≠≠ 0 za svaki n ∈∈∈∈ N i b 0 ≠≠≠≠ 0, niz (a n / bn) konvergira i
0
0
lim
limlim
ba
b
a
ba
nn
nn
n
n
n========
∞∞∞∞→→→→
∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→
.
Neki važni nizoviNeki važni nizoviNeki važni nizoviNeki važni nizovi
Razmotrit ćemo sada neke važne limese.
Primjer:Primjer:Primjer:Primjer: Može se dokazati da vrijede sljede ći limesi:
• 1lim ====∞∞∞∞→→→→
nn
n .
• 1lim ====∞∞∞∞→→→→
nn
a , za a >>>> 0.
• 0!
lim ====∞∞∞∞→→→→ n
an
n, za a ∈∈∈∈ R.
• Broj e: en
n
n====
++++∞∞∞∞→→→→
11lim .
Limes funkcijeLimes funkcijeLimes funkcijeLimes funkcije
U daljnjem tekstu koristimo i podrazumijevamo sljede će oznake i pretpostavke:
Neka je funkcije f: DDDD(f)⊆⊆⊆⊆RRRR →→→→ RRRR. Kada govorimo o limesu funkcije y=f(x) u to čki x=a, tada za domenu DDDD(f) podrazumijevamo sljede će:
� ako je a ∈∈∈∈RRRR tada postoji barem jedan realan broj δδδδ>>>>0 takav da je skup (a-δδδδ,a+δδδδ) \ {a} sadržan u domeni DDDD(f);
� ako je a = + ∞∞∞∞ tada postoji barem jedan realan broj M >>>>0 takav da je interval (M, +∞∞∞∞) sadržan u domeni DDDD(f);
� ako je a = - ∞∞∞∞ tada postoji barem jedan realan broj m<0 takav da je interval (-∞∞∞∞,m) sadržan u domeni DDDD(f).
Kada pišemo x=a, a ne navedemo da je a ∈∈∈∈RRRR,,,, tada podrazumijevamo da to čka a može biti i ±±±±∞∞∞∞.
Definicija:Definicija:Definicija:Definicija: Za realan broj L ∈∈∈∈ R kažemo da je limeslimeslimeslimes funkcije y=f(x) u to čki x=a∈∈∈∈R, ako za svaki εεεε > 0 postoji δδδδ > 0 tako da vrijedi:
∀∀∀∀x∈∈∈∈ D(f), x≠a, |x-a| < δδδδ ⇒⇒⇒⇒ |f(x)-L| < εεεε.
U tom slu čaju pišemo )(lim xfLax →→→→
==== ili f(x) →→→→ L kad x →→→→ a.
Ako nejednakosti |x-a| < δδδδ, |f(x)-L| < εεεε napišemo u intervalnom obliku, tada definiciju limesa možemo napisati u drugom obliku:
Definicija:Definicija:Definicija:Definicija: Za realan broj L ∈∈∈∈ R kažemo da je limeslimeslimeslimes funkcije y=f(x) u to čki x=a∈∈∈∈R, ako za svaki εεεε > 0 postoji δδδδ > 0 tako da vrijedi:
∀∀∀∀x∈∈∈∈ D(f), x≠a, x∈∈∈∈ (a-δδδδ, a+δδδδ) ⇒⇒⇒⇒ f(x)∈∈∈∈ (L-εεεε, L+εεεε).
Ako to čka a nije kona čna, odnosno, ako je a= ±±±±∞∞∞∞, tada za limes funkcije imamo sljede će definicije:
Definicija:Definicija:Definicija:Definicija: Za realan broj L ∈∈∈∈ R kažemo da je limeslimeslimeslimes funkcije y=f(x) u to čki x=∞∞∞∞, ako za svaki εεεε > 0 postoji M > 0 tako da vrijedi:
∀∀∀∀x∈∈∈∈ D(f), x > M ⇒⇒⇒⇒ |f(x)-L| < εεεε.
U tom slu čaju pišemo )(lim xfLx ∞∞∞∞→→→→
==== ili f(x) →→→→ L kad x →→→→ ∞∞∞∞.
Definicija:Definicija:Definicija:Definicija: Za realan broj L ∈∈∈∈ R kažemo da je limeslimeslimeslimes funkcije y=f(x) u to čki x = -∞∞∞∞, ako za svaki εεεε > 0 postoji m < 0 tako da vrijedi:
∀∀∀∀x∈∈∈∈ D(f), x < m ⇒⇒⇒⇒ |f(x)-L| < εεεε.
U tom slu čaju pišemo )(lim xfLx −∞−∞−∞−∞→→→→
==== ili f(x) →→→→ L kad x →→→→ -∞∞∞∞.
TvrdnjaTvrdnjaTvrdnjaTvrdnja A A A A:::: Realan broj L je limes funkcije y=f(x) u to čki x=a, ako i samo ako za svaki niz (x n) iz DDDD(f), takav da x n ≠≠≠≠ a i x n →→→→ a, vrijedi Lxf n
ax n
====→→→→
)(lim .
Primjer: Primjer: Primjer: Primjer: Neki osnovni limesi su
a)a)a)a) za sve p > 0, 01
lim ====∞∞∞∞→→→→ px x
; -0.2 -0.1 0.1 0.2
x
-200000
-100000
100000
200000
300000
400000
fHxL = 1êx2,1êx3
b)b)b)b) za sve p > 0, 0lim0
====→→→→
p
xx ;
-10 -5 5 10x
-100
-50
50
100
150
fHxL = x5,x4,x3,x2
c)c)c)c) ex
x
x====
++++±∞±∞±∞±∞→→→→
11lim .
-10 -5 5 10
2.5
5
7.5
10
12.5
15
17.5
TvrdnjaTvrdnjaTvrdnjaTvrdnja B B B B:::: Ako za funkciju y=f(x) postoji limes u to čki x=a, tada je on jedinstven.
Dokaz: Pretpostavimo suprotno, tj. neka funkcija y=f(x) ima dva limesa )(lim1 xfL
ax →→→→==== , )(lim2 xfL
ax →→→→==== . Tada po definiciji limesa za svaki εεεε > 0 postoje δδδδ1 >
0 i δδδδ2 > 0 takvi da vrijedi ∀∀∀∀x∈∈∈∈ D(f), x≠a,
|x-a| < δδδδ1 ⇒⇒⇒⇒ |f(x)-L 1| < εεεε /2 i |x-a| < δδδδ2 ⇒⇒⇒⇒ |f(x)-L 2| < εεεε/2.
Sada za δδδδ=min{ δδδδ1, δδδδ2} i za sve x takve da je |x-a| < δδδδ imamo:
| L1 - L2 | = | L1 – f(x) + f(x) - L 2 | ≤≤≤≤ |f(x)-L 1| + |f(x)-L 2| < εεεε/2 + εεεε/2 = εεεε,
odakle zbog toga što je εεεε > 0 proizvoljan slijedi da je L 1 = L2. Q.E.D.
Navest ćemo jedan primjer nepostojanja limesa dane funkcije u točki x=a.
Primjer: Primjer: Primjer: Primjer: Neka je funkcija y=f(x) definirana kako slijedi
====
≠≠≠≠====.0 za5
,0 za,1
sin)(x
xxxf 0.5 1 1.5 2
-1
-0.5
0.5
1
Tada ne postoji limes ove funkcije u to čki x=0. Zaista, neka su (a n) i (b n) dva niza definirana na sljede ći način:
an =1
π
2+2 n π
i bn =1
3 π2
+2 n π, nε N
Nije teško provjeriti da je f(a n) = 1 i f(b n) = -1, n∈∈∈∈N, odnosno da vrijedi
an →→→→ 0, f(an) →→→→ 1 i b n →→→→ 0, f(b n) →→→→ -1, kad n →→→→ ∞∞∞∞.
0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12
-1
1
2
3
4
5
Ako bi postojao limes L funkcije y=f(x) u to čki x=0 tada bi po TvrdnjiA istovremeno imati da je L=1 i L=-1,
što po TvrdnjiB nije mogu će.
Primjer: Primjer: Primjer: Primjer: Sljedeće funkcije nemaju limes u to čki x=a:
•••• 3
1)(
−−−−====
xxf u točki x=3; -2 2 4 6 8
-20
-15
-10
-5
5
10
15
•••• xtgxf ====)( u točki x= ππππ/2; 1.5 2 2.5
-60
-40
-20
20
40
60
•••• 21
cos)(x
xf ==== u točki x=0; - 1 - 0 . 5 0 . 5 1
- 1
- 0 . 5
0 . 5
1
•••• xcthxf ====)( u točki x=0; -10 -5 5 10
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
Ako je funkcija y=f(x) definirana u to čki x=a, odnosno, ako je a ∈∈∈∈DDDD(f), te ako postoji limes )(lim xfL
ax →→→→==== tada se postavlja pitanje da li je L jednako f(a)? O
tome govori sljede ći primjer.
Primjer: Primjer: Primjer: Primjer: Neka je funkcija y=f(x) definirana kako slijedi
====≠≠≠≠====
.0 za3
,0 za,)(
2
x
xxxf
Tada vrijedi )(lim)0(0
xffx →→→→
≠≠≠≠ . Zaista, nije teško vidjeti da postoji )(lim0
xfx →→→→
i da je
0)(lim0
====→→→→
xfx
. S druge strane, iz definicije ove funkcije znamo da je f(0)=3, pa
zaklju čujemo da je )(lim)0(0
xffx →→→→
≠≠≠≠ .
Računanje limesa Računanje limesa Računanje limesa Računanje limesa
U nastavku ćemo prezentirati neke metode ra čunanja limesa, a koje se temelje na svojstvima limesa funkcija s obzirom na algebarsk e operacije zbrajanja, oduzimanja, množenja, dijeljenja i potenciranja funk cija. Ova svojstva su iskazana u sljede ćem rezultatu.
Tvrdnja C:Tvrdnja C:Tvrdnja C:Tvrdnja C: Neka postoje limesi funkcija y=f(x) i y=g(x) u to čki x=a. Tada su istinite sljede će jednakosti:
1. [[[[ ]]]] ),(lim)(lim)()(lim xgxfxgxfaxaxax →→→→→→→→→→→→
±±±±====±±±±
2. [[[[ ]]]] ),(lim)(lim)()(lim xgxfxgxfaxaxax →→→→→→→→→→→→
⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅
3. ,0)(lim je ako ,)(lim
)(lim
)()(
lim ≠≠≠≠====
→→→→→→→→
→→→→
→→→→xg
xg
xf
xgxf
axax
ax
ax
4. [[[[ ]]]] .0 oblika nije strana desna ako,)(lim)(lim 0)(
)(lim xg
ax
xg
ax
axxfxf
→→→→
====→→→→→→→→
Dokaz: slijedi iz TvrdnjeA i svojstava konvergentnih nizova , ali ove jednakosti možemo dokazati direktno. Neka je )(lim1 xfL
ax →→→→==== , )(lim2 xgL
ax →→→→==== . Tada po
definiciji limesa za svaki εεεε > 0 postoje δδδδ1 > 0 i δδδδ2 > 0 takvi da vrijedi
|x-a| < δδδδ1 ⇒⇒⇒⇒ |f(x)-L 1| < εεεε /2 i |x-a| < δδδδ2 ⇒⇒⇒⇒ |g(x)-L 2| < εεεε/2.
Sada za δδδδ=min{ δδδδ1, δδδδ2} i za sve x takve da je |x-a| < δδδδ imamo:
| [f(x) + g(x)] – [L 1 + L2] | = | [f(x) – L 1] + [g(x) – L 2] | ≤≤≤≤ |f(x)-L 1| + |g(x)-L 2|
< εεεε/2 + εεεε/2 = εεεε,
odakle slijedi da postoji limes funkcije f+g u to čki x=a i da je jednak L 1 + L2. Time je dokazana prva jednakost u ovoj tvrdnji. Q.E.D.
Primjer:Primjer:Primjer:Primjer: 21
111
11
lim1
====++++
====++++→→→→ xx
.
Uvijek treba uvrstiti broj kojem teži x u funkciju čiji limes ra čunamo. Ako dobijemo kao rezultat realan broj, onda je upravo taj broj limes. Uvrštavanjem možemo dobiti ∞∞∞∞ ili - ∞∞∞∞ kao jedan od članova. U tom slu čaju imamo ova pravila:
∞∞∞∞ + ∞∞∞∞ = ∞∞∞∞, ∞∞∞∞ ±±±± a = ∞∞∞∞, -∞∞∞∞ - ∞∞∞∞ = -∞∞∞∞, -∞∞∞∞ ±±±± a = -∞∞∞∞,
∞∞∞∞ ⋅⋅⋅⋅ ∞∞∞∞ = ∞∞∞∞, 0====∞∞∞∞
±±±± a,
<<<<∞∞∞∞−−−−>>>>∞∞∞∞
====∞∞∞∞⋅⋅⋅⋅.0 je ako,
,0 je ako,
a
aa
Neodreñeni oblici Neodreñeni oblici Neodreñeni oblici Neodreñeni oblici
Ako pri ra čunanju limesa dobijemo jedan od izraza:
00
,
∞∞∞∞∞∞∞∞
, ∞∞∞∞−−−−∞∞∞∞ , ∞∞∞∞⋅⋅⋅⋅0 , 0∞∞∞∞ ,
00 , ∞∞∞∞1 ,
onda ne možemo ništa re ći. Tada moramo raznim metodama svesti podintegralnu funkciju na oblik koji će nakon uvrštavanja dati realan broj ili jedan od gore rješenih izraza. Ako se tom prilikom kao limes dobije ∞∞∞∞ ili −−−−∞∞∞∞, onda to zna či da limes ne postoji i da vrijednost funkcije post aje sve ve ća ili sve manja kada se nezavisna varijabla približava to čki u kojoj ra čunamo limes.
Neodreñeni oblici ∞∞∞∞∞∞∞∞
i 00
Kod ra čunanja limesa racionalnih funkcija )()(
xgxf
(f(x) i g(x) su polinomi),
možemo dobiti izraz ∞∞∞∞∞∞∞∞====
)()(
agaf
ili 00
)()( ====
agaf
.
Kod neodre ñenog oblika ∞∞∞∞∞∞∞∞
, brojnik i nazivnik dijelimo s najve ćom
potencijom. Na taj način od beskona čno velikih veli čina, koje su se pojavile u brojniku i nazivniku, prelazimo na kona čne i beskona čno male veli čine, pa možemo primjeniti jedno od svojstava iz TvrdnjeC.
PrimjerPrimjerPrimjerPrimjeriiii::::
•••• .32
/4/13
/5/32lim
/)43(
/)532(lim
43
532lim 2
2
22
22
2
2====
++++−−−−++++−−−−====
++++−−−−++++−−−−====
∞∞∞∞∞∞∞∞====
++++−−−−++++−−−−
∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→ xx
xx
xxx
xxx
xx
xxxxx
•••• Funkcija 52
235)( 23
24
−−−−++++−−−−−−−−====
xx
xxxxf nema limes u to čki x= ∞∞∞∞. Zaista,
./5/2/1
3/2/35lim
/)52(
/)235(lim
52
235lim 42
2
423
424
23
24∞∞∞∞====
−−−−++++−−−−−−−−====
−−−−++++−−−−−−−−====
−−−−++++−−−−−−−−
∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→ xxx
xx
xxx
xxxx
xx
xxxxxx
•••• .0/3/12
/1/4/1lim
/)32(
/)14(lim
32
14lim 42
42
424
423
24
23====
++++−−−−++++++++====
++++−−−−++++++++====
∞∞∞∞∞∞∞∞====
++++−−−−++++++++
∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→ xx
xxx
xxx
xxx
xx
xxxxx
Kod neodre ñenog oblika 00
, potrebno je brojnik i nazivnik skratiti.
PrimjerPrimjerPrimjerPrimjeriiii::::
•••• 91
3323
32
lim)3(3
)3)(2(lim
00
93
65lim
332
2
3====
⋅⋅⋅⋅−−−−====−−−−====
−−−−−−−−−−−−========
−−−−++++−−−−
→→→→→→→→→→→→ xx
xxxx
xx
xxxxx
,
•••• .23
cos23
limcossin2
sin3lim
00
2sinsin3
lim000
================→→→→→→→→→→→→ xxx
xxx
xxx
Neodreñeni oblik ∞∞∞∞−−−−∞∞∞∞
Kod ra čunanja limesa razlike funkcija f(x) −−−− g(x), možemo dobiti da je izraz f(a) −−−− g(a) = ∞∞∞∞ −−−− ∞∞∞∞.
U ovom slu čaju potrebno je razliku funkcija f(x) −−−− g(x) transformirati u racionalnu funkciju.
PrimjerPrimjerPrimjerPrimjeriiii::::
•••• (((( )))) (((( ))))32
3232lim32lim
2
222
++++−−−−++++
++++−−−−++++++++−−−−−−−−====∞∞∞∞−−−−∞∞∞∞====++++−−−−−−−−∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→ xxx
xxxxxxxxx
xx
(((( ))))(((( ))))
,111
2
/3/211
/32lim
/32
/32lim
32
32lim
32
32lim
2
222
22
====++++
====++++−−−−++++
−−−−====
++++−−−−++++
−−−−====++++−−−−++++
−−−−====++++−−−−++++
−−−−++++−−−−====
∞∞∞∞→→→→
∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→
xx
xxxxx
xx
xxx
x
xxx
xxx
x
xxx
•••• (((( ))))
++++−−−−⋅⋅⋅⋅====∞∞∞∞−−−−∞∞∞∞====++++−−−−∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→ 3
23323 1100
lim1100limx
xxxxx
xx
.1lim1100
1limlim1100
limlim 33
33
233 ∞∞∞∞====⋅⋅⋅⋅
====
++++−−−−⋅⋅⋅⋅====++++−−−−⋅⋅⋅⋅====∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→
xxx
xx
xxx
xxxxx
Neodreñeni oblik ∞∞∞∞1
Kod ra čunanja limesa funkcije oblika f(x) g(x), možemo dobiti da je izraz f(a)g(a) = ∞∞∞∞1 .
U ovom slu čaju potrebno je primjeniti transformaciju oblika:
(((( )))) )(ln)()(ln)( )(
)( afagafag eeafag
======== .
PrimjerPrimjerPrimjerPrimjeriiii::::
•••• x
x
x
x
x
x xx
xxx
x 44
4 1lim
11
lim11
lim−−−−
∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞
∞∞∞∞→→→→
++++====
++++========
++++
,1
1lim1
1lim 4)4(lim4
−−−−−−−−
∞∞∞∞→→→→
−−−−
∞∞∞∞→→→→====
++++====
++++====∞∞∞∞→→→→
exx
xx
x
x
x
••••
22 lim
121
lim121
limx
x
x
x
x
xx
xx ∞∞∞∞→→→→
++++++++====
++++++++
∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→. Imamo:
21
/12/11
lim121
lim ====
++++++++====
++++++++
∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→ xx
xx
xx, ∞∞∞∞====
∞∞∞∞→→→→2lim x
x.
Prema tome je 0121
lim
2
====
++++++++
∞∞∞∞→→→→
x
x xx
.
••••
x
x
x
x
x
x xxx
xx
−−−−++++====
−−−−−−−−++++++++====
−−−−++++
∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→ 23
1lim121
1lim21
lim
323
lim2
3
32
23
1lim eex
xxx
xx
x
x ========
−−−−++++==== −−−−
−−−−−−−−
∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→ .
Na kraju navodimo rezultat o supstituciji u limesu.
Stavak D:Stavak D:Stavak D:Stavak D: Neka postoji limes funkcije y=f(x) u to čki x=a i neka je )(lim xfLax →→→→
==== .
Nadalje, neka je f( DDDD(f)) ⊆⊆⊆⊆ DDDD(g) i neka funkcija y=g(x) ima limes u to čki L takav da je )(lim)( ygLg
Ly →→→→==== . Tada vrijedi:
(((( )))) )(lim)(lim ygxfgLyax →→→→→→→→
====o .
PrimjerPrimjerPrimjerPrimjeriiii::::
•••• (((( ))))(((( ))))
(((( ))))(((( )))) 23
1111
lim1
1lim
111
1lim
2
12
3
1
6
31====
++++−−−−++++++++−−−−====
−−−−−−−−====
→→→→⇒⇒⇒⇒→→→→========
−−−−−−−−
→→→→→→→→→→→→ yyyyy
y
y
yx
yx
x
xyyx
,
•••• (((( )))) (((( )))) 1ln
11lnlim
0
11lnlim
1lnlim
1
00========
++++====∞∞∞∞→→→→⇒⇒⇒⇒→→→→
========++++====++++
∞∞∞∞→→→→→→→→→→→→e
yyxy
xx
xx
y
yx
xx,
•••• primjeru prethodnom prema1)1ln(
lim00
11lim
00====
++++====
→→→→⇒⇒⇒⇒→→→→====−−−−====−−−−
→→→→→→→→ yy
yx
yex
ey
xx
x.
Jednostrani limesi Jednostrani limesi Jednostrani limesi Jednostrani limesi
Kao što smo vidjeli u prethodnom predavanju, domena neke funkcije je nerijetko bila unija disjunktnih otvorenih interval a
DDDD(f) = (a1,b1) « (a2,b2) « … « (am,bm).
Pri tome se to čke ak i b k, za k=1,2,…,m, nazivaju rubne točkerubne točkerubne točkerubne točke domene DDDD(f).
PrimjerPrimjerPrimjerPrimjeriiii: : : :
•••• Funkcija 1
1)(
−−−−====
xxf ima za domenu skup DDDD(f) = (−−−−∞∞∞∞,1) « (1, ∞∞∞∞). Točka x=1 je
rubna to čka domene D D D D(f).
•••• Funkcija 3
1)(
−−−−====
xarctgxf ima za domenu skup DDDD(f) = (−−−−∞∞∞∞,3) « (3, ∞∞∞∞). Točka
x=3 je rubna to čka domene D D D D(f).
•••• Funkcija xarcthxf ====)( ima za domenu skup DDDD(f) = (−−−−∞∞∞∞,-1) « (1, ∞∞∞∞). Točke x = -1 i x = 1 su rubna to čke domene D D D D(f).
Postavlja se pitanje kakvo je ponašanje funkcije y =f(x) blizu rubnih to čaka domene DDDD(f)? Prije toga definirajmo pojmove jednostranih li mesa.
DefinicijaDefinicijaDefinicijaDefinicija:::: Za realan broj L ∈∈∈∈RRRR kažemo da je desni limesdesni limesdesni limesdesni limes funkcije y=f(x) u točki x=a ∈∈∈∈RRRR, ako za svaki ako za svaki εεεε > 0 postoji δδδδ > 0 tako da vrijedi:
∀∀∀∀x∈∈∈∈ D(f), x > a, (|x-a| < δδδδ ⇒⇒⇒⇒ |f(x)-L| < εεεε).
U tom slu čaju pišemo )(lim xfLax ++++→→→→
==== .
DefinicijaDefinicijaDefinicijaDefinicija:::: Za realan broj L ∈∈∈∈RRRR kažemo da je lijevilijevilijevilijevi limes limes limes limes funkcije y=f(x) u točki x=a ∈∈∈∈RRRR, ako za svaki ako za svaki εεεε > 0 postoji δδδδ > 0 tako da vrijedi:
∀∀∀∀x∈∈∈∈ D(f), x < a, (|x-a| < δδδδ ⇒⇒⇒⇒ |f(x)-L| < εεεε).
U tom slu čaju pišemo )(lim xfLax −−−−→→→→
==== .
PrimjerPrimjerPrimjerPrimjeriiii: : : : Jednostrani limesi funkcija iz prethodnog primjera u rubnim to čkama njihovih domena su:
•••• −∞−∞−∞−∞====−−−−
====−−−−−−−−→→→→ 0
11
1lim
1 xx, ∞∞∞∞====
++++====
−−−−++++→→→→ 01
11
lim1 xx
.
•••• (((( ))))20
13
1lim
1
ππππ−−−−====∞∞∞∞−−−−====
−−−−====
−−−−−−−−→→→→arctgarctg
xarctg
x,
(((( ))))20
13
1lim
1
ππππ====∞∞∞∞====
++++====
−−−−++++→→→→arctgarctg
xarctg
x.
•••• −∞−∞−∞−∞====++++====
−−−−−−−−====
−−−−++++====
−−−−−−−−→→→→−−−−−−−−→→→→0ln
20
ln21
11
ln21
limlim11 x
xxarcth
xx,
+∞+∞+∞+∞====∞∞∞∞++++====
++++====
−−−−++++====
++++→→→→++++→→→→ln
02
ln21
11
ln21
limlim11 x
xxarcth
xx.
Limes i jednostrani limesi funkcije y=f(x) mogu bit i povezani na sljede ći način:
TTTTvvvvrdnja rdnja rdnja rdnja DDDD:::: Neka je a∈∈∈∈R.
a)a)a)a) Ako postoji limes funkcije y=f(x) u to čki x=a, tada postoje i jednostrani limesi )(lim xf
ax −−−−→→→→ i )(lim xf
ax ++++→→→→, te vrijedi:
)(lim)(lim)(lim xfxfxfaxaxax →→→→++++→→→→−−−−→→→→
======== .
b)b)b)b) Ako postoje jednostrani limesi )(lim xfax −−−−→→→→
i )(lim xfax ++++→→→→
i jednaki su, odnosno
)(lim)(lim xfxfaxax ++++→→→→−−−−→→→→
==== , tada postoji i limes funkcije y=f(x) u to čki x=a, koji je
jednak tim limesima.
c)c)c)c) Ako ne postoji jedan od jednostranih limesa )(lim xfax −−−−→→→→
i )(lim xfax ++++→→→→
ili ako
oba postoje ali su razli čiti, odnosno )(lim)(lim xfxfaxax ++++→→→→−−−−→→→→
≠≠≠≠ , tada ne postoji
limes funkcije y=f(x) u to čki x=a.
Dokaz: slijedi neposredno iz definicije limesa i jednostra nih limesa.
Na kraju promatramo usporedni kriterij za limese fu nkcija:
TTTTvvvvrdnja rdnja rdnja rdnja EEEE:::: Pretpostavimo da postoji δδδδ >>>> 0 takav da vrijedi:
f(x) ≤≤≤≤g(x) ≤≤≤≤ h(x), ∀∀∀∀x ∈∈∈∈ (a,a+δδδδ),
te da je Lxhxfaxax
========++++→→→→++++→→→→
)(lim)(lim ∈∈∈∈R. Tada postoji i desni limes funkcije y=g(x)
u točki x=a i vrijedi Lxgax
====++++→→→→
)(lim .
Dokaz: slijedi iz TvrdnjeA.
Analogno se iskazuje usporedni kriterij za lijeve l imese.
Primjer:Primjer:Primjer:Primjer: Jedan od važnih limesa je 1sin
lim0
====→→→→ x
x
x. Zaista,
vrijedi da je P óOAA’ ≤≤≤≤ Pkružnog isje čkaOAA’ ≤≤≤≤ PóOBB’ , odnosno
2
12
12cossin ⋅⋅⋅⋅≤≤≤≤⋅⋅⋅⋅≤≤≤≤⋅⋅⋅⋅ xtgxxx
.
Slijedi xx
xx
cos1sin
cos ≤≤≤≤≤≤≤≤ za sve
∈∈∈∈2
,0ππππ
x . Primjenom usporednog kriterija i
parnosti funkcije x
xsin slijedi traženi limes.
Primjeri:Primjeri:Primjeri:Primjeri:
•••• 2sin
lim22
2sinlim2
002sin
lim000
================→→→→→→→→→→→→ y
yx
xx
x
yxx,
•••• 1sin
limcos
1lim
cossin
lim00tg
lim0000
================→→→→→→→→→→→→→→→→ x
xxxx
xxx
xxxx,
•••• 1sin
lim00arcsin
lim00
============→→→→→→→→ y
yx
x
yx.
AsimptoteAsimptoteAsimptoteAsimptote
Neka se to čka T neprekinuto giba po grafu ΓΓΓΓf funkcije f tako da barem jedna od njezinih koordinata teži u ∞∞∞∞ ili −−−−∞∞∞∞. Ako pri tom njena udaljenost do pravca p teži k nuli, onda se taj pravac naziva asimptota funkcijeasimptota funkcijeasimptota funkcijeasimptota funkcije.
Postoje dva osnovna na čina na koji se može ostvariti ovakva situacija:
(a)(a)(a)(a) varijabla x teži prema kona čnom broju c (s lijeve ili s desne strane), a funkcijska vrijednost teži u ∞∞∞∞ ili −−−−∞∞∞∞;
(b)(b)(b)(b) varijabla x teži u ∞∞∞∞ ili −−−−∞∞∞∞.
Vertikalne asimptoteVertikalne asimptoteVertikalne asimptoteVertikalne asimptote
Ako za funkciju f vrijedi
±∞±∞±∞±∞====±∞±∞±∞±∞====++++→→→→−−−−→→→→
)(limili)(lim xfxfcxcx
onda je pravapravapravapravac x = c njezina vertikalna c x = c njezina vertikalna c x = c njezina vertikalna c x = c njezina vertikalna
asimptotaasimptotaasimptotaasimptota.
HorizontalneHorizontalneHorizontalneHorizontalne asimptote asimptote asimptote asimptote
Drugi tip asimptota javlja se pri prou čavanju ponašanja funkcije f kad ±∞±∞±∞±∞→→→→x . Slijede dvije interesantne mogu ćnosti.
•••• Ako postoji )(lim xflx ∞∞∞∞→→→→
==== onda se pravac y = l naziva desna desna desna desna horizontalna horizontalna horizontalna horizontalna
asimptotaasimptotaasimptotaasimptota funkcije f.
•••• Ako postoji )(lim xflx −∞−∞−∞−∞→→→→
==== onda se pravac y = l naziva lijeva horizontalna
asimptota funkcije f.
PrimjerPrimjerPrimjerPrimjeriiii: : : : Prisjetimo se:
1. Funkcija xarctgxf ====)( ima desnu
horizontalnu asimptotu 2ππππ====y ,
a lijevu horizontalnu asimptotu 2ππππ−−−−====y .
-10 -5 5 10x
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
y
y = ππππ/2
y = - ππππ/2
2. Eksponencijalna funkcija xxf 2)( ==== ima lijevu horizontalnu asimptotu 0====y , a desnu horizontalnu asimptotu nema.
-4 -2 2 4
x
2.5
5
7.5
10
12.5
15
y=2x
3. Funkcija x
xf1
)( ==== ima horizontalnu
asimptotu (istovremeno lijevu i desnu)
y=0. Vertikalna asimptota je pravac x=0. -2 -1 1 2
x
-40
-20
20
40
y=1����x
4. Funkcija 112
)(−−−−++++====
xx
xf ima vertikalnu
asimptotu x=0, a horizontalnu y=2. -1 1 2 3
x
-100
-50
50
100
y=2 x+ 1����������������x− 1
KoseKoseKoseKose asimptote asimptote asimptote asimptote
Desna kosa asimptota funkcije f je pravac y = k x+ lpravac y = k x+ lpravac y = k x+ lpravac y = k x+ l za koji vrijedi
[[[[ ]]]] 0)(lim ====−−−−−−−−∞∞∞∞→→→→
lkxxfx
. (∗∗∗∗)
Ako ovakav limes postoji kada −∞−∞−∞−∞→→→→x , onda govorimo o lijevoj kosoj
asimptoti.
Ako kosa asimptota postoji tada vrijedi (∗∗∗∗), pa pogotovo vrijedi:
[[[[ ]]]]xl
kxxf
lkxxfx xxx
lim)(
lim)(1
lim0∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→
−−−−−−−−====−−−−−−−−⋅⋅⋅⋅==== .
Tako dobivamo da je: xxf
kx
)(lim
∞∞∞∞→→→→==== .
Koeficijen l ra čunamo iz (∗∗∗∗): [[[[ ]]]]kxxflx
−−−−====∞∞∞∞→→→→
)(lim .
Horizontalne asimptote su poseban slu čaj kosih, s k=0. Zato, ukoliko nije odmah vidljivo ponašanje funkcije, pri traženju asi mptota najprije ispitujemo postoje li kose asimptote.
Primjeri:Primjeri:Primjeri:Primjeri:
•••• Odredi asimptote funkcije 12
3
++++++++====
xx
xy .
Vertikalnih asimptota nema, jer je nazivnik razlomka uvijek pozitivan. Odredimo kose asimptote:
1)1(
limlim 2
3====
++++++++========
±∞±∞±∞±∞→→→→±∞±∞±∞±∞→→→→ xxx
xxy
kxx
,
-3 -2 -1 1 2 3x
-4
-3
-2
-1
1
2
yKosa asimptota
(((( )))) 11
lim1
limlim 2
2
2
3−−−−====
++++++++−−−−−−−−====
−−−−
++++++++====−−−−====
±∞±∞±∞±∞→→→→±∞±∞±∞±∞→→→→±∞±∞±∞±∞→→→→ xx
xxx
xx
xkxyl
xxx.
Pravac y = x – 1 je desna i lijeva asimptota ove fu nkcije.
•••• Odredi asimptote funkcije 12
3
−−−−====
x
xy .
Nule nazivnika su x = ±±±±1. U tim to čkama funkcija nije definirana. Imamo
∞∞∞∞====−−−−−−−−====
−−−−−∞−∞−∞−∞====
++++−−−−====
−−−− ++++−−−−→→→→−−−−−−−−→→→→ 01
1lim,
01
1lim 2
3
12
3
1 x
x
x
xxx
,
∞∞∞∞====++++
====−−−−
−∞−∞−∞−∞====−−−−
====−−−− ++++→→→→−−−−→→→→ 0
1
1lim,
01
1lim 2
3
12
3
1 x
x
x
xxx
.
dakle, vertikalne asimptote su x=-1 i x=1.
-4 -2 2 4x
-10
-5
5
10
y
Odredimo kose asimptote: 1)1(
limlim 2
3====
−−−−========
±∞±∞±∞±∞→→→→±∞±∞±∞±∞→→→→ xx
xxy
kxx
,
(((( )))) 011
1lim
1lim
1limlim 222
3====
−−−−====
−−−−====
−−−−
−−−−====−−−−====
±∞±∞±∞±∞→→→→±∞±∞±∞±∞→→→→±∞±∞±∞±∞→→→→±∞±∞±∞±∞→→→→ x
x
x
xx
x
xkxyl
xxxx.
Pravac y = x je desna i lijeva asimptota ove funkc ije.
Neprekinute funkcije i limesi Neprekinute funkcije i limesi Neprekinute funkcije i limesi Neprekinute funkcije i limesi
Ovdje ćemo promatrati pojmove neprekinutosti i prekinutost i realne funkcije realne varijable, te njihov odnos prema limesu funk cije.
DefinicijaDefinicijaDefinicijaDefinicija:::: Neka je a∈∈∈∈R. Funkcija y=f(x) je neprekinuta u točki x=neprekinuta u točki x=neprekinuta u točki x=neprekinuta u točki x=aaaa ako je a∈∈∈∈DDDD(f) i ako za svaki εεεε > 0 postoji δδδδ > 0 tako da vrijedi:
∀∀∀∀x∈∈∈∈ D(f), |x-a| < δδδδ ⇒⇒⇒⇒ |f(x)-f(a)| < εεεε.
Ako funkcija y=f(x) nije neprekinuta u to čki x=a tada kažemo da je y=f(x) prekinuta u točki x=a.prekinuta u točki x=a.prekinuta u točki x=a.prekinuta u točki x=a.
Definicija: Definicija: Definicija: Definicija: Neka je skup IIII otvoren interval ili unija otvorenih intervala ili IIII = R R R R. Kažemo da je funkcija y=f(x) je neprekinuta neprekinuta neprekinuta neprekinuta na skupu na skupu na skupu na skupu I I I I ako je ona neprekinuta u svakoj to čki tog skupa.
Kažemo da je funkcija y=f(x) je neprekinuta na neprekinuta na neprekinuta na neprekinuta na segmentu [a,b]segmentu [a,b]segmentu [a,b]segmentu [a,b] ako je neprekinuta na intervalu (a,b).
Funkcija f neprekinuta u to čki a Funkcija f prekinuta u to čki a
Primjeri: Primjeri: Primjeri: Primjeri:
•••• Konstanta f(x) = c je neprekinuta funkcija na cijel om R. Zaista, neka je a ∈∈∈∈ R proizvoljan i εεεε > 0 proizvoljan. Tada za proizvoljan δδδδ > 0 vrijedi | x – a | < δδδδ ⇒⇒⇒⇒ | f(x) – f(a) | = | c – c | = 0 < εεεε. Prema tome funkcija je neprekinuta u to čki a. Kako je a ∈∈∈∈R proizvoljan, to je f neprekinuta u svakoj to čki iz R, dakle na cijelom R.
•••• Funkcija f(x) = x je neprekinuta na cijelom R. Zaista, neka je a ∈∈∈∈ R proizvoljan i εεεε > 0 proizvoljan. Tada za εεεε ≥≥≥≥ δδδδ > 0 vrijedi | x – a | < δδδδ ⇒⇒⇒⇒ | f(x) – f(a) | = | x – a | < δδδδ ≤≤≤≤ εεεε. Prema tome funkcija je neprekinuta u to čki a. Kako je a∈∈∈∈R proizvoljan, to je f neprekinuta u svakoj to čki iz R, dakle na cijelom R.
•••• U nastavku ćemo dokazati da su elementarne funkcije neprekinute funkcije na svojim domenama.
Slijedi tvrdnja o operacijama s neprekinutim funkci jama.
Tvrdnja F:Tvrdnja F:Tvrdnja F:Tvrdnja F: (i) Neka su y = f(x) i y = g(x) neprekinute funkcij e u točki x=a, tada je u toj to čki neprekinuta i funkcija:
• f(x) ± g(x),
• f(x) g(x),
• f(x)/g(x) (uz uvjet da je g(a) ≠≠≠≠ 0).
(ii) Neka su y = f(x) i y = g(x) dvije funkcije za koje je f( DDDD(f)) ⊆⊆⊆⊆ DDDD(g). Ako je funkcija y = f(x) neprekinuta u to čki x=a, a funkcija y = g(x) neprekinuta u to čki x=f(a), tada je funkcija y = g(f(x)) neprekinuta u točki x=a.
Primjer: Primjer: Primjer: Primjer: Iz TvrdnjeF slijedi da su potencije neprekinute fun kcije na R. Zaista, iz neprekinutosti funkcije f 1(x)=x, slijedi da je neprekinuta funkcija f 2(x)=x 2, jer je f 2(x) = f 1(x) f 1(x). Nadalje je neprekinuta i funkcija funkcija f 2(x) f 1(x) = x 3 itd. Polinomi su neprekinute funkcije na R kao kompozicija neprekinutih funkcija. Budu ći da su racionalne funkcije kvocijenti neprekinutih funkcija (polinoma), one su neprekinute funkcije u to čkama u kojima je nazivnik razli čit od nule. Slijedi da je svaka racionalna funkcija neprekinuta na svojoj prirodnoj domeni
Slijedi tvrdnja o neprekinutosti monotonih funkcija .
TvrdnjaTvrdnjaTvrdnjaTvrdnja G: G: G: G: Neka je f strogo monotona funkcija definirana na kona čnom ili beskona čnom otvorenom intervalu IIII, i neka je njezina slika kona čan ili beskona čan otvoreni interval. Tada je f neprekinuta funkcija na IIII. Zatim postoji inverzna funkcija f-1 i ona je neprekinuta na svojoj domeni (slici funkc ije f).
Primjer: Primjer: Primjer: Primjer: Na temelju TvrdnjeG imamo sljede će zaklju čke:
• Eksponencijalne funkcije su neprekinute na R, jer su definirane na beskona čnom otvorenom intervalu ( −−−−∞∞∞∞,∞∞∞∞), i slika im je beskona čan otvoreni interval (0, ∞∞∞∞) i strogo su monotone.
• Logaritamske funkcije, kao inverzne od eksponencija lnih, su neprekinute.
• Funkcija sinus je strogo monotona na( −−−−ππππ/2, ππππ/2), taj otvoreni interval preslikava na ( −−−−1,1), pa je neprekinuta na ( −−−−ππππ/2, ππππ/2). Kosinus je na isti na čin neprekinuta funkcija na (0, ππππ). Funkcije sinus i kosinus su neprekinute na R kao kompozicija neprekinutih funkcija. Funkcije tan gens i kotangens su kvocijenti neprekinutih funkcija, pa su i same nepr ekinute na svojim domenama.
• Arkus funkcije su inverzne od strogo monotonih, pa su neprekinute. Da su arcsin i arccos neprekinute i na rubovima segmenta [-1,1] dokazuje se posebno.
• Funkcije dobivene od gore navedenih pomo ću kona čno mnogo operacija zbrajanja, množenja, dijeljenja, komponiranja, inve rtiranja zovu se elementarne funkcije. Tako imamo važan zaklju čak: elementarne funkcije su neprekinute na svojim domenama.
Svojstva neprekinutosti i prekinutosti funkcija mog u se izraziti pomo ću limesa, lijevog i desnog limesa kako slijedi.
Tvrdnja H:Tvrdnja H:Tvrdnja H:Tvrdnja H: Neka je a ∈∈∈∈ R....
i) Neka je y=f(x) neprekinuta funkcija u to čki x=a. Tada postoji limes funkcije y=f(x) u to čki x=a i vrijedi
)(lim)( xfafax →→→→
==== .
ii) Neka postoji limes funkcije y=f(x) u to čki x=a, te neka je a ∈∈∈∈DDDD(f) i )(lim)( xfaf
ax →→→→==== . Tada je y=f(x) neprekinuta funkcija u to čki x=a.
iii) Ako ne postoji limes funkcije y=f(x) u to čki x=a, tada je y=f(x) prekinuta funkcija u to čki x=a.
iv) Neka je y=f(x) prekinuta funkcija u to čki x=a, te neka postoje i neka su konačni jednostrani limesi )(lim xf
ax −−−−→→→→ i )(lim xf
ax ++++→→→→. Tada za veli činu prekida
(skoka) S(a) funkcije y=f(x) u to čki x=a vrijedi:
.0)(lim)(lim)( >>>>−−−−====++++→→→→−−−−→→→→
xfxfaSaxax
Primjeri:Primjeri:Primjeri:Primjeri:
� Funkcija
====
≠≠≠≠====,0,0
,0,1
sin)(xza
xzax
xxf
je neprekinuta na R.
� Takozvana Heavisideova funkcija ( čitaj Hevisajdova)
<<<<≥≥≥≥
====,0,0
,0,1)(
xza
xzaxf
je prekinuta u to čki x=0.
Svojstva neprekinutih funkcija Svojstva neprekinutih funkcija Svojstva neprekinutih funkcija Svojstva neprekinutih funkcija
Na kraju, bez dokaza iznosimo neke važne rezultate o neprekinutim funkcijama.
Tvrdnja K (nultočke neprekinutih funkcija): Neka je IIII otvoren interval ili IIII = R R R R. Neka je funkcija y=f(x) neprekinuta u IIII,,,, te neka za dvije proizvoljne dane točke a∈∈∈∈IIII i b∈∈∈∈IIII, a < b, vrijedi:
f(a) f(b) < 0 ( odnosno f(a) > 0 i f(b) < 0 ili f (a) < 0 i f(b) > 0 ).
Tada postoji to čka c∈∈∈∈ (a,b), takva da je f(c) = 0.
Tvrdnja L (Rolleov teorem za neprekinute funkcije): Neka je IIII otvoren interval ili IIII = R. Neka je funkcija y=f(x) neprekinuta u IIII,,,, te neka postoje dvije točke a∈∈∈∈IIII i b∈∈∈∈IIII, a < b, takve da vrijedi:
f(a) = f(b) = 0.
Tada u intervalu [a,b] postoji barem jedna to čka lokalnog ekstrema za funkciju
y=f(x), to jest postoji to čka lokalnog maksimuma x M ∈∈∈∈ [a,b] (za koju vrijedi f(x M) ≥≥≥≥ f(x) za sve x ∈∈∈∈ [a,b]) ili lokalnog minimuma x m ∈∈∈∈ [a,b] (za koju vrijedi f(x m) ≤≤≤≤ f(x) za sve x ∈∈∈∈ [a,b]).
Tvrdnja M (Postojanje točaka lokalnog maksimuma i lokalnog
minimuma): Neka je funkcija y=f(x) neprekinuta na zatvorenom i ntervalu [a,b], f: [a,b] →→→→ R.
Tada u intervalu [a,b] postoje to čke lokalnog maksimuma ili lokalnog minimuma za funkciju y=f(x), odnosno postoje x M ∈∈∈∈ [a,b] i x m ∈∈∈∈ [a,b] takvi da je f(xM) ≥≥≥≥ f(x) i f(x m) ≤≤≤≤ f(x) za sve x ∈∈∈∈ [a,b].