S13 series de_fourier_de_funciones_no_periodicas_-_ed_parciales (1)
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ÁLGEBRA LINEAL Y
ECUACIONES DIFERENCIALES
FORMACIÓN POR COMPETENCIAS
Series de Fourier
de funciones pares e
impares , ecuaciones
diferenciales parciales.
Objetivos
Reconoce la serie de Fourier de funciones
pares e impares.
Calcular la serie de Fourier de una función
no períódica.
Identifica el orden y grado de una ecuación
diferencial parcial.
Analiza la solución implícita e explicita de
EDP.
Reconoce la ecuación de la onda y del
calor.
TEOREMA
Los coeficientes de Fourier de una función par
𝒇 𝒙 son
𝒂𝒏 =𝟐
𝝅 𝒇 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒏𝒙 𝒅𝒙𝝅
𝟎
𝒃𝒏= 𝟎
Por consiguiente, la serie de Fourier de una
función par contiene sólo los cosenos, es decir
𝒇 𝒙 =𝒂𝟎𝟐+ (𝒂𝒏𝒄𝒐𝒔(𝒏𝒙))
∞
𝒏=𝟏
TEOREMA
Los coeficientes de Fourier de una función impar
𝒇 𝒙 son
𝒃𝒏 =𝟐
𝝅 𝒇 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒏𝒙 𝒅𝒙𝝅
𝟎
𝒂𝒏= 𝟎
Por consiguiente, la serie de Fourier de una
función par contiene sólo los cosenos, es decir
𝒇 𝒙 = (𝒃𝒏𝒔𝒆𝒏(𝒏𝒙))
∞
𝒏=𝟏
Ejercicio 1
a) Desarrolle en serie de Fourier la función
periódica 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐; −𝝅 ≤ 𝒙 ≤ 𝝅
de periodo 𝟐𝛑.
b) Utiliza el resultado para calcular
𝟏
𝒏𝟐∞𝒏=𝟏
Solución.-
Ecuación Diferencial Parcial
Una ecuación diferencial parcial es aquella que
contiene las derivadas de una o más variables
dependientes, con respecto a una o más variables
independientes.
Las siguientes ecuaciones son ecuaciones diferenciales parciales:
a) 𝝏𝟐𝒖
𝝏𝒙𝟐+𝝏𝟐𝒖
𝝏𝒚𝟐= 𝟎
b) 𝝏𝟐𝒖
𝝏𝒙𝟐=𝝏𝟐𝒖
𝝏𝒕𝟐−𝝏𝒖
𝝏𝒕
Clasificación según el orden
El orden de una ecuación diferencial parcial es el
orden de la derivada mayor en la ecuación.
La ecuación diferencial parcial
𝝏𝟐𝒖
𝝏𝒙𝟐+𝝏𝟐𝒖
𝝏𝒚𝟐=𝝏𝒖
𝝏𝒙
Tiene orden 2.
Ejemplo 2
Clasifique la siguiente ecuación:
Solución
(a)
0(c) (b) 3)(2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
y
u
x
u
y
u
x
u
y
u
x
ua
parabólicaACB
C,BAy
u
x
u
:04
;0,030;3
2
2
2
Ejemplo 2 (2)
elípticaACB
CBAy
u
x
uc
ahiperbólicACB
CBAy
u
x
ub
:04
;1,0,1;0 )(
:04
;1,0,10; )(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Ecuación diferencial parcial lineal de
segundo orden
La forma general de una ecuación diferencial lineal de
segundo orden (EDP) con dos variables
independientes 𝑥 y 𝑦 tiene la forma
A𝝏𝟐𝒖
𝝏𝒙𝟐+𝑩𝝏𝟐𝒖
𝝏𝒙𝒚+ 𝑪𝝏𝟐𝒖
𝝏𝒚𝟐+𝑫𝝏𝒖
𝝏𝒙+ 𝑬𝝏𝒖
𝝏𝒚+ 𝑭𝒖 = 𝑮(𝒙, 𝒚)
1) Los coeficientes A,B,C,D,E y F son constantes o
dependen sólo de las variables independientes.
2) Cuando 𝑮 𝒙, 𝒚 = 𝟎, la ecuación se llama
homogénea; en cualquier otro caso es no
Homogénea.
Ejemplo
Ecuaciones lineal
de segundo orden
1
La ecuación diferencial parcial
a)𝝏𝟐𝒖
𝝏𝒙𝟐+𝝏𝟐𝒖
𝝏𝒚𝟐− 𝒖 = 𝟎 es una EDP homogénea.
b) 𝝏𝟐𝒖
𝝏𝒙𝟐+𝝏𝟐𝒖
𝝏𝒚𝟐= 𝒙𝟐 es una EDP no homogénea.
Tipos de EDP lineal homogénea con
coeficientes constantes
A la ecuación diferencial lineal parcial.
A𝝏𝟐𝒖
𝝏𝒙𝟐+𝑩𝝏𝟐𝒖
𝝏𝒙𝒚+ 𝑪𝝏𝟐𝒖
𝝏𝒚𝟐+𝑫𝝏𝒖
𝝏𝒙+ 𝑬𝝏𝒖
𝝏𝒚+ 𝑭𝒖 = 𝑮(𝒙, 𝒚)
Tipo de EDP CONDICIÓN
HIPERBÓLICA 𝐵2 − 4𝐴𝐶 > 0
PARABÓLICA 𝐵2 − 4𝐴𝐶 = 0
ELIÍPTICA 𝐵2 − 4𝐴𝐶 < 0
Solución de una EDP
La solución de una ecuación diferencial en
derivadas parciales con dos variables
independientes 𝑥 y 𝑦 es una función 𝑢(𝑥, 𝑦) que
posee todas las derivadas parciales que indica la
ecuación y que la satisface en alguna región del
plano 𝑋𝑌.
La forma de la solución de una EDP para el caso
unidimensional puede ser de dos formas:
𝒖 𝒙, 𝒚 = 𝒇 𝒙 + 𝒈 𝒙
𝒖 𝒙, 𝒚 = 𝒇 𝒙 𝒈(𝒚)
Ecuaciones clásicas EDP
a) Ecuación de calor
𝑲𝝏𝟐𝒖
𝝏𝒙𝟐=𝝏𝒖
𝝏𝒕, 𝐊 > 𝟎
b) Ecuación de la onda
𝒂𝟐𝝏𝟐𝒖
𝝏𝒙𝟐=𝝏𝟐𝒖
𝝏𝒕𝟐
Bibliografía
2. Differential Equations For Engineers – Wei Chau
Xie
3. Fundamentals of Differential Equations – Nagle,Kent; Saff, Edward; Snider, Arthur
1. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de
modelado- Dennis G. Zill
4. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones – Jaime
Escobar A.