S1 S1 Introduccion TIO
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TOPICOS EN INVESTIGACION
OPERATIVA SEMANA 1 SESION 1
Introducción a la Investigación Operativa
Programa Académico CPEL
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OBJETIVO DEL CURSO
• Proporcionar una estructura básica para
la comprensión de los métodos cuantitativos (Investigación Operativa) que describa los conocimientos y las prácticas de su uso en el campo de la gestión empresarial.
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BIBLIOGRAFÍA • Taha, Hamdy A.; Investigación de Operaciones • Gould, Eppen y Schmidt; Investigación de Operaciones en
la Ciencia Administrativa. • Richard Levin y Charles Kirkpatrick; Enfoques
cuantitativos a la Administración. • K. Roscoe, Patrick G. McKeown; Modelos Cuantitativos
para la Administración • Anderson, Sweeney, Willimas; Métodos Cuantitativos para
los Negocios Editorial International Thomson. • Winston; Introducción a la Investigación de Operaciones.
Editorial, Fondo de Cultura Interamericano, México. • Hillier y Lieberman; Introducción a la Investigación de
Operaciones • M Sasieni A Yaspan L Friedman; Investigación de
operaciones, Ed. Limusa
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Contenido de la Sesión
• La Investigación Operativa. Conceptos.
• Historia de la IO.
• El Pensamiento Sistémico.
• Modelos.
• Metodología de la IO - Método Científico.
• Toma de Decisiones.
• Metodología de la IO.
• Herramientas de la IO.
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RL CONCEPTOS DE LA INVESTIGACIÓN OPERATIVA
1. La Investigación de Operaciones (métodos cuantitativos) es una ciencia gerencial, enfocada hacia la toma de decisiones gerenciales, basada en el método científico y el pensamiento sistémico para resolver problemas.
2. La Investigación de Operaciones no es sólo un conjunto de herramientas matemáticas. De hecho, es un enfoque sistemático que usa herramientas analíticas para resolver problemas.
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CONCEPTOS DE LA INVESTIGACIÓN OPERATIVA
• IO es la aplicación del método científico para mejorar la efectividad de las operaciones, de las decisiones y de la gestión, por medio del análisis de datos, creando modelos matemáticos y haciendo propuestas innovadoras.
INFORMS = INSTITUTE FOR OPERATIONS RESEARCH AND MANAGEMENT SCIENCE
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Historia de la IO
La Investigación de Operaciones tiene sus raíces en
operaciones militares de la Segunda Guerra Mundial; su
posterior aplicación en el campo de los negocios,
creación de bases teóricas y el desarrollo de la
computadora permitió que esta nueva disciplina fuese
incluida como asignatura en las universidades a partir
de la década de los 50.
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• El origen de la I.O. moderna se sitúa en la 2ª Guerra Mundial para resolver problemas de organización militar: Despliegue de radares, manejo de operaciones de bombardeo, colocación de minas,…
• Al terminar la guerra, sigue el desarrollo en la industria.
– competitividad industrial
– progreso teórico
– Gran desarrollo de los ordenadores:
* aumento de la capacidad de almacenamiento de datos
* Incremento de la velocidad de resolución de los problemas.
Historia de la I.O.
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• Sigue habiendo un gran desarrollo, en muchos sectores, con grandes avances en todos los campos.
• Más información:
– Sociedad Española de Estadística e Inv. Op. (SEIO)
• www.cica.es/aliens/seio
– Association of European O.R. Societies (EURO)
• www.ulb.ac.be/euro/euro_welcome.html
– International Federation of O.R. Societies (IFORS)
• www.ifors.org
– Institute for O.R. and the Management Sciences. (INFORMS)
• www.informs.org
Actualidad de la IO
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NATURALEZA DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
La investigación de operaciones se aplica a problemas que se refieren a la conducción y coordinación de operaciones (o actividades) dentro de una organización.
La investigación de operaciones intenta encontrar una mejor solución, (llamada solución óptima) para el problema bajo consideración.
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1. DOMINIO PERSONAL.
2. MODELOS MENTALES.
3. CONSTRUCCIÓN DE UNA VISIÓN COMPARTIDA.
4. APRENDIZAJE EN EQUIPO.
5. PENSAMIENTO SISTÉMICO.
CINCO DISCIPLINAS
PENSAMIENTO SISTEMICO
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Aprendizaje
Trabajo en equipo
Aspiraciones
Reflexión y conversación
Comprensión de la
complejidad
Dominio Personal Visión Compartida
Modelos mentales
Pensamiento Sistémico
Enfoque Sistémico
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1. DOMINIO PERSONAL. • Esta disciplina nos permite aclarar las cosas
que realmente nos interesan, para poner nuestra vida al servicio de nuestras mayores aspiraciones.
• La idea es concentrar mis energías y pensamientos en mis objetivos personales y en los de la organización. Ello implica aprendizaje del individuo y organizacional.
DOMINIO PERSONAL
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• Facilita alcanzar los resultados y permite un aprendizaje incesante.
• Aclara y ahonda continuamente nuestra visión personal.
• La capacidad de aprender de una organización no puede ser mayor que la de sus miembros.
DOMINIO PERSONAL
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2. MODELOS MENTALES.
• Esta disciplina nos permite ver que a veces no somos conscientes de nuestros modelos mentales o los efectos que surten sobre nuestra conducta.
MODELOS MENTALES
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3. CONSTRUCCIÓN DE UNA VISIÓN COMPARTIDA.
• Es la capacidad para compartir una imagen del futuro que se quiere crear.
• Cuesta concebir una organización que haya alcanzado cierta grandeza sin metas, valores y misión que sean compartidos dentro de la organización.
CONSTRUCCIÓN DE UNA VISIÓN COMPARTIDA
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• La idea de liderazgo que ha inspirado a las organizaciones por años es la capacidad para compartir una imagen del futuro que se procura crear.
• Las organizaciones de éxito fueron las que lograron unir a la gente en torno de una identidad y una aspiración común.
• La práctica de la visión compartida supone aptitudes para configurar “visiones del futuro” compartidas que propicien un compromiso genuino antes que simple acatamiento.
CONSTRUCCIÓN DE UNA VISIÓN COMPARTIDA
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4. APRENDIZAJE EN EQUIPO.
• El aprendizaje en equipo comienza con el “diálogo”, la capacidad de los miembros del equipo para “suspender los supuestos” e ingresar en un auténtico “pensamiento conjunto”.
APRENDIZAJE EN EQUIPO
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4. APRENDIZAJE EN EQUIPO.
• La capacidad del diálogo implica a reconocer los patrones de interacción que erosionan el aprendizaje en equipo: los patrones de defensa.
• Las funciones de cada miembro de la organización, por simple que parezcan, contribuyen al buen funcionamiento de toda la organización (el sistema).
APRENDIZAJE EN EQUIPO
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BARRERAS PARA EL APRENDIZAJE
1. “Yo soy mi puesto” 2. El “enemigo externo” 3. La ilusión de hacerse cargo 4. La fijación en los hechos 5. La parábola de la rana hervida 6. La ilusión de que “se aprende con la experiencia” 7. El mito del equipo administrativo.
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5. PENSAMIENTO SISTÉMICO.
Es un marco conceptual, un nuevo contexto que se ha desarrollado en los últimos setenta años que facilita la claridad y modificación de patrones.
PENSAMIENTO SISTÉMICO
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Pensamiento Sistémico
Sólo se comprende el sistema al contemplar
el todo, no cada elemento individual.
El pensamiento sistémico es un marco
conceptual, un cuerpo de conocimientos
para que los patrones totales resulten más
claros, y para ayudarnos a modificarlos.
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• Un modelo es un esquema, una ecuación, un diagrama o una teoría que simplifica una parte difícil de las matemáticas, haciendo más fácil su comprensión y que engloba de manera general muchos aspectos diferentes.
• Las principales razones para usar modelos, en lugar de trabajar directamente sobre la realidad, son las siguientes: a) Ahorro de dinero, tiempo u otro bien de valor;
b) Evitar riesgos de daños al sistema cuando se está solucionando el problema;
c) Para entender mejor el ambiente real cuando éste es muy complicado.
Modelo en la IO
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TIPOS DE MODELOS
– Icónico. – Analógico. – Grafico. – Simbólico. – Matemáticos. – Descriptivo. – Normativo.
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TIPOS DE MODELOS
• ICÓNICOS
• ANALÓGICOS
• SIMBÓLICOS (espacio de aplicación de la Investigación Operativa o los métodos cuantitativos).
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TIPOS DE MODELOS
• Modelos Icónicos
• Son imágenes a escala del sistema cuyo problema se
quiere resolver.
• Ej. Canales, aviones ( túneles de viento)
• Modelos Analógicos
• Son los que representan las propiedades de un sistema
cuyos problemas se quieren resolver usando otro
sistema cuyas propiedades son equivalentes.
Ej. Sistema hidráulico vs Contabilidad, etc. , Biónica,
etc.
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Modelos Simbólicos: Modelos que representan aspectos de un objeto mediante símbolos y su correspondiente interpretación.
0 1 0 1
0 0
0 0
0 0 0
0
1
1
1 1
1
3 2 1
0
1
3
0
Matriz de incidencia
1 2
3
Estructura de sistema
TIPOS DE MODELOS
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TIPOS DE MODELOS
Modelos Simbólicos
• Son conceptualizaciones abstractas del
problema real en base a letras, números,
variables, parámetros y ecuaciones.
• Este es el tipo de modelos en que
trabaja la Investigación Operativa.
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• El método científico aplicado a la toma de decisiones
en un proceso de IO, se inicia con la observación
cuidadosa y la formulación del problema; para luego
construir un modelo científico que trate de abstraer la
esencia del problema real. De este modelo se
obtendrán las conclusiones y soluciones que también
son válidas para el problema real; por lo que en forma
iterativa el modelo se llega a verificar con la
experimentación adecuada.
Método Científico
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• Constantemente en cada día de la vida, y diariamente
en todos los niveles de las organizaciones, la gente
toma decisiones que les afecta a ellos mismos como a
otros.
• Una decisión puede ser evaluada sobre los resultados,
la cual puede ser buena o mala debido a su
desconexión con la decisión original pero hecha con
interacciones de los factores del contexto subsecuente.
Decisiones en Sistemas Organizados
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• Un punto clave es que la Investigación de Operaciones usa una metodología que está objetiva y claramente articulada.
• Está construida alrededor de la filosofía de que tal enfoque es superior al que está basado solamente en la subjetividad y opinión de expertos.
• Por lo tanto conduce a mejores y más consistentes decisiones.
• Sin embargo no excluye el juicio y razonamiento no cuantificable del ser humano.
• No es pues un proceso absoluto de toma de decisiones, sino una ayuda para tomar buenas decisiones.
Decisiones en Sistemas Organizados
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EL GRUPO INTERDISCIPLINARIO
Una de las principales razones de la existencia
de grupos de investigación de operaciones es
que la mayor parte de los problemas de
negocios tienen múltiples aspectos y es
perfectamente razonable que las fases
individuales de un problema se comprendan y
analicen mejor por los que tienen el
adiestramiento necesario en los campos
apropiados.
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Aspectos a considerar de la definición
•Una organización es un sistema formado por componentes que
se interaccionan, unas de estas interacciones pueden ser
controladas y otras no.
•La complejidad de los problemas que se presentan en las
organizaciones ya no encajan en una sola disciplina del
conocimiento, se han convertido en multidisciplinario por lo cual
para su análisis y solución se requieren grupos compuestos por
especialistas de diferentes áreas del conocimiento que logran
comunicarse con un lenguaje común.
•La investigación de operaciones es la aplicación de la
metodología científica a través de modelos matemáticos, primero
para representar al problema y luego para resolverlo.
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Fases de un
Estudio de IO.
FORMULACIÓN DEL
PROBLEMA
CONSTRUCCIÓN DEL MODELO
NECESIDAD DE
REORGANIZACIÓN
MODELO DEL SISTEMA REAL
SISTEMA DE INTERÉS
OBTENCIÓN DE DATOS
TOMA DE DECISIONES
IMPLEMENTACIÓN Y
CONTROL
SOLUCIÓN DEL MODELO
INTERPRETACIÓN DE
RESULTADOS E
IMPLICACIONES
VALIDACIÓN DEL MODELO
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD
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METODOLOGÍA DE LA IO
1. Definición del problema
Esto incluye determinar los objetivos apropiados, las
restricciones sobre lo que se puede hacer, las interrelaciones
del área bajo estudio con otras áreas de la organización, los
diferentes cursos de acción posibles, los límites de tiempo
para tomar una decisión, etc. Este proceso de definir el
problema es crucial ya que afectará en forma significativa la
relevancia de las conclusiones del estudio.
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• Consiste en identificar los elementos de decisión:
– objetivos (uno o varios, optimizar o satisfacer)
– Alternativas o cursos de acción
– limitaciones o restricciones del sistema
• Hay que recoger información relevante (los datos pueden ser un grave problema)
• Es la etapa fundamental para que las decisiones sean útiles.
1. Definición del problema
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• Datos incompletos, conflictivos, difusos
• Diferencias de opinión
• Presupuestos o tiempos limitados
• Cuestiones políticas
• El decisor no tiene una idea firme de lo que quiere realmente.
Plan de trabajo:
• Observar
• Ser consciente de las realidades políticas
• Decidir qué se quiere realmente
• Identificar las restricciones
• Búsqueda de información continua.
Factores Problemáticos
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2. Formulación de un modelo matemático
La forma convencional en que la investigación de
operaciones realiza esto es construyendo un modelo
matemático que represente la esencia del problema.
Un modelo siempre debe ser menos complejo que el
problema real, es una aproximación abstracta de la
realidad con consideraciones y simplificaciones que
hacen más manejable el problema y permiten
evaluar eficientemente las alternativas de solución.
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• Modelo: representación simplificada de la realidad, que facilita
su comprensión y el estudio de su comportamiento.
• Debe mantener un equilibrio entre sencillez y capacidad de
representación.
• Modelo matemático: modelo expresado en términos
matemáticos.
– hace más claras la estructura y relaciones
– facilita el uso de técnicas matemáticas y ordenadores
– a veces no es aplicable
2. Formulación de un modelo matemático
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• Traducción del problema a términos
matemáticos:
– objetivos: función objetivo
– alternativas: variables de decisión
– limitaciones del sistema: restricciones
• Pero a veces las relaciones matemáticas son
demasiado complejas
– heurísticos
– simulación
2. Formulación de un modelo matemático
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• Paso 1.- Identificar las variables de decisión
¿Sobre qué tengo control?
¿Qué es lo que hay que decidir?
¿Cuál sería una respuesta válida en este caso?
• Paso 2.- Identificar la función objetivo
¿Qué pretendemos conseguir?
Si yo fuese el jefe de la empresa, ¿qué me interesaría más?
• Paso 3.- Identificar las restricciones o factores que limitan la decisión
Recursos disponibles (trabajadores, máquinas, material) Fechas límite
Restricciones por la naturaleza de las variables (no negatividad, enteras, binarias)
Restricciones por la naturaleza del problema
• Paso 4.- Traducción de los elementos básicos a un modelo matemático.
Modelado matemático
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• Determinísticos
–Programación matemática
• Programación lineal
• Programación entera
• Programación dinámica
• Programación no lineal
• Programación multiobjetivo
– Modelos de transporte
– Modelos de redes
– Gestión de inventarios.
• Probabilísticos
–Programación estocástica
– Fenómenos de espera
(colas)
– Teoría de juegos
–Simulación
Modelado matemático – Tipos de Modelos
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DIAGNOSTICO
Planeación de la
Producción
Distribución Asignación de recursos limitados
Inventarios Programación de Actividades
Pronósticos de Demanda
Medio Ambiente
Análisis de Líneas de
Espera
Analisis de Sistemas de Producción
Información Cuantitativa y Cualitativa del
Sistema bajo estudio
Seleccionar el Modelo
Modelos Deterministicos Modelos Estocásticos
Programación Lineal. Transportes
y Transbordo
Soluciones Reales
Programación Lineal Entera
Soluciones Entereas
Programación Lineal por metas
Soluciones en orden de prioridad
Programación Dinámica
Soluciones en Etapas continuas
Optimización de Redes.
Soluciones orientadas a la
distribución óptima.
PERT/CPM
Control de Inventarios
Soluciones por etapas (n+1)
Pronósticos
Comportamiento futuro sistema
basado en datos históricos
Teoría de Colas
Determinación de tiempos de
espera y longitud de la cola promedio
Simulación de Sistemas
Estimación de las medidas de desempeño del sistema modelado
TOPICOS DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
TIPOS DE PROBLEMAS
Mapa conceptual del área de Operaciones
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3. Obtención de una solución a partir del
modelo. Resolver un modelo consiste en encontrar los valores de las variables
dependientes, asociadas a las componentes controlables del sistema con el
propósito de optimizar, si es posible, o cuando menos mejorar la eficiencia o
la efectividad del sistema dentro del marco de referencia que fijan los
objetivos y las restricciones del problema.
La selección del método de solución depende de las características del
modelo. Los procedimientos de solución pueden ser clasificados en tres
tipos: a) analíticos, que utilizan procesos de deducción matemática; b)
numéricos, que son de carácter inductivo y funcionan en base a operaciones
de prueba y error; c) simulación, que utiliza métodos que imitan o, emulan al
sistema real, en base a un modelo.
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• Paso 1.- Elegir la técnica de resolución adecuada
– Técnicas existentes, modificación, creación o
heurísticos.
• Paso 2.- Generar las soluciones del modelo
– Programas de ordenador, hojas de cálculo.
• Paso 3.- Comprobar/validar los resultados
– Probar la solución en el entorno real.
3. Obtención de una solución a partir del modelo.
Dr. (c) Ricardo López Guevara 45 de 65
RL
• Paso 4.- Si los resultados son inaceptables, revisar el
modelo matemático.
– Estudiar hipótesis, comprobar exactitud de datos,
relajar o endurecer aproximaciones, revisar
restricciones.
• Paso 5.- Realizar análisis de sensibilidad
– Analizar adaptaciones en la solución propuesta frente
a posibles cambios.
3. Obtención de una solución a partir del modelo.
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RL
4. Prueba del modelo
Antes de usar el modelo debe probarse
exhaustivamente para intentar identificar y
corregir todas las fallas que se puedan presentar.
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RL
5. Validación del modelo
Es importante que todas las expresiones matemáticas
sean consistentes en las dimensiones de las unidades
que emplean. Además, puede obtenerse un mejor
conocimiento de la validez del modelo variando los
valores de los parámetros de entrada y/o de las
variables de decisión, y comprobando que los
resultados del modelo se comporten de una manera
factible.
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RL
6. Establecimiento de controles sobre la
solución
Esta fase consiste en determinar los rangos de variación de
los parámetros dentro de los cuales no cambia la solución del
problema.
Es necesario generar información adicional sobre el
comportamiento de la solución debido a cambios en los
parámetros del modelo. Usualmente esto se conoce como
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD.
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7. Implantación de la solución
El paso final se inicia con el proceso de
"vender" los hallazgos que se hicieron a lo
largo del proceso a los ejecutivos o tomadores
de decisiones.
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RL
Identificación de los elementos básicos.
Expresar en palabras:
• Datos del problema – Factores que no son susceptibles de cambio.
• Variables de decisión – Variables sobre las que se tiene control.
• Restricciones – Causas por las que la decisión está limitada.
• Función objetivo – Medida del rendimiento que se quiere optimizar
Traducción de los elementos básicos a expresiones matemáticas
Guía general para la formulación de modelos
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•En una fábrica de Gaseosas se producen dos tipos: Light y
Normal. Su precio de venta es de US$ 1.5 x Lg y US$ 0.5 x No,
respectivamente.
•Sus necesidades de mano de obra son de 10 y 15 empleados, y
de 5,000 y 2,000 US$ de materias primas por cada 10,000 lt.
•La empresa dispone semanalmente de 25 empleados y 10,000
US$ para materias primas, y desea maximizar su beneficio.
¿Cuántos litros debe producir?
Ejemplo
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RL
1 2M z 1.5 0.5ax x x
1 2
1 2
1 2
. .
10 15 25
5,000 2,000 10,000
, 0
s a
x x
x x
x x
Formulación
Dr. (c) Ricardo López Guevara 53 de 65
RL
Modelos de Planeamiento y Control de proyectos
1. Campañas ( sanitarias, publicitarias).
2. Construcciones ( Obras civiles, puentes,
carreteras, embarcaciones).
3. Desarrollo de productos ( Desarrollo de soft,
desarrollos de ingeniería en general ).
4. Lanzamiento de productos en el mercado.
5. Planes de producción.
6. Investigación de Mercados.
Problemas y Aplicaciones de Investigación Operativa
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Modelos de Planeamiento y Control de proyectos
7. Movilizaciones de medios físicos, recursos, personas tales
como congresos, reuniones, exposiciones o eventos
deportivos.
8. Proyectos de investigación.
9. Traslados y puesta en funcionamiento de plantas de
producción y servicios, oficinas.
10.Planes de emergencia, evacuación, otros.
11.Plan de mantenimiento y reparaciones de plantas, barcos,
sistemas de producción o servicios e instalaciones en
general.
Problemas y Aplicaciones de Investigación Operativa
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Modelos de Reemplazo
1. Reemplazo de equipos y maquinarias de
producción.
2. Renovación de instalaciones de servicios.
3. Reemplazo de vehículos de transporte.
4. Análisis y seguimiento de gastos de
funcionamiento y reparación.
Problemas y Aplicaciones de Investigación Operativa
Dr. (c) Ricardo López Guevara 56 de 65
RL
• Modelos de Colas
1. Pacientes en hospital.
2. Camiones para ser cargados o descargados.
3. Aviones para despegue o aterrizaje.
4. Atención de comercio, bancos, correos, oficinas y
servicios en general.
5. Transmisión de mensajes.
6. Control de semáforos.
7. Control de ordenes o lotes de producción.
8. Servicios de reparaciones.
Problemas y Aplicaciones de Investigación
Operativa
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Modelos de Programación lineal
1. Determinación de mezcla optima de
producción ( Utilidad máxima).
2. Determinación de mezcla optima de
producción ( Costo mínimo).
3. Determinación de mezcla alimentaria para
ganado.
4. Determinación del uso de mayor
rendimiento/menor costo de una explotación
agrícola-ganadera.
Problemas y Aplicaciones de Investigación Operativa
Dr. (c) Ricardo López Guevara 58 de 65
RL
Modelos de Programación lineal
1. Determinación ruta optima ( tiempo, costo).
2. Determinación de asignación de superficies
de cultivo.
3. Modelos Insumo-Producto.
4. Determinación de precios-sombra.
5. Resolución de juegos de estrategia.
Problemas y Aplicaciones de Investigación
Operativa
Dr. (c) Ricardo López Guevara 59 de 65
RL
• Modelos de Juegos
1. Distribución de inversiones.
2. Decisiones de inversión con riesgo o incertidumbre
completa.
3. Modelos de competencia económica.
4. Análisis de situaciones de conflicto.
5. Decisiones estratégicas con alternativas múltiples.
6. Lanzamiento de productos.
Problemas y Aplicaciones de Investigación Operativa
Dr. (c) Ricardo López Guevara 60 de 65
RL
Procesos de Markov
1. Pronostico de Ventas.
2. Modelos de Comercialización.
3. Análisis de fallas en equipos.
4. Distribución de inversiones.
Problemas y Aplicaciones de Investigación
Operativa
Dr. (c) Ricardo López Guevara 61 de 65
RL
Modelos de Stock
1. Determinación de lote optimo de producción.
2. Determinación de lote optimo de compras.
3. Necesidades de almacenaje ( Espacio,
mantenimiento, costos ).
4. Minimización de costos de almacenamiento.
Problemas y Aplicaciones de Investigación
Operativa
Dr. (c) Ricardo López Guevara 62 de 65
RL
Modelos de Stock
5. Determinación de curvas ABC ( peso relativo de
productos).
6. Determinación de niveles de seguridad y punto de
pedido.
7. Determinación del régimen apropiado de compras ( P,
Q).
8. Determinación de compras con restricciones (de
capacidad de almacenaje, de montos, otros).
Problemas y Aplicaciones de Investigación
Operativa
Dr. (c) Ricardo López Guevara 63 de 65
RL
Modelos de Transporte
1. Distribución en planta.
2. Prioridades de carga y despacho.
3. Localización de depósitos, centros de atención
o de producción.
4. Modelos de costo mínimo.
5. Modelos de tiempo optimo.
Problemas y Aplicaciones de Investigación
Operativa
Dr. (c) Ricardo López Guevara 64 de 65
RL
– Modelos de Asignación
1. Asignación de contrataciones.
2. Asignación de fuentes de aprovisionamiento
según costos.
• Modelos de Programación Dinámica
1. Distribución de inversiones.
2. Definición de ruta optima.
3. Determinación de gastos de campaña
publicitaria.
Problemas y Aplicaciones de Investigación
Operativa
Dr. (c) Ricardo López Guevara 65 de 65
RL Dejaremos más que
huellas en la arena.
GRACIAS
Dr. (c) Ricardo López Guevara 66 de 65