S ries Temporais e Modelos Din micos em Econometria · Marcelo C. Medeiros Departamento de Economia...
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IdentificacaoMaxima Verossimilhanca
Series Temporais e Modelos Dinamicos em
Econometria
Marcelo C. Medeiros
Departamento de EconomiaPontifıcia Universidade Catolica do Rio de Janeiro
Aula 7
Marcelo C. Medeiros Series Temporais e Modelos Dinamicos
IdentificacaoMaxima Verossimilhanca
Modelo Estrutural e Forma ReduzidaIdentificacao RecursivaIdentificacao A-BBlanchard e Quah
O Modelo Estrutural
Seja zt = (z1t , . . . , zmt)′ ∈ R
m um vetor composto dasvariaveis de interesse.
Considere o seguinte modelo “estrutural” (SVAR):
Bzt = A0 + A1zt−1 + . . . + Apzt−p + ut ,
Bzt = A0 + A(L)zt + ut ,
onde:
B ∼ (m ×m), A0 ∼ (m × 1),A1 ∼ (m ×m), . . . ,Ap ∼ (m ×m) sao parametros;ut = (u1,t , . . . , um,t)
′ e um vetor composto pelos choquesestruturais eA(L) = A1L+ A2L
2 + · · ·+ ApLp .
Os elementos da diagonal principal de B sao todos iguais a 1.
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IdentificacaoMaxima Verossimilhanca
Modelo Estrutural e Forma ReduzidaIdentificacao RecursivaIdentificacao A-BBlanchard e Quah
O Modelo Estrutural
Sabemos que os parametros
B,A0,A1, . . . ,Ap
nao podem ser estimados por MQO (equacao por equacao) ouMV.
Vies de Simultaneidade!
Por outro lado, os parametros da forma reduzida (VAR)
zt = B−1A0 + B−1A1zt−1 + . . .+ B−1Apzt−p + B−1ut ,
zt = C0 + C1zt−1 + . . . + Cpzt−p + vt ,
zt = C0 + C(L)zt + vt ,
podem ser estimados por MQO (equacao por equacao) ouMV (condicional as condicoes iniciais).
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IdentificacaoMaxima Verossimilhanca
Modelo Estrutural e Forma ReduzidaIdentificacao RecursivaIdentificacao A-BBlanchard e Quah
Exemplo: Oferta e Demanda
Vamos considerar o seguinte sistema de equacoes:
pt = βqt + ut (oferta)
qt = αpt + vt (demanda),
onde pt e qt sao, respectivamente, preco e quantidade de umdeterminado produto, α 6= 1
β , α 6= 0, β 6= 0 e
(utvt
)∼ NID
[(00
),
(σ2u 00 σ2
v
)].
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Modelo Estrutural e Forma ReduzidaIdentificacao RecursivaIdentificacao A-BBlanchard e Quah
Exemplo: Oferta e Demanda
Podemos escrever o sistema anterior da seguinte forma:
pt =1
1− αβ(ut + βvt)
qt =1
1− αβ(αut + vt).
Pelas equacoes acima, fica claro que
E(qtut) 6= 0e
E(ptvt) 6= 0.
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Modelo Estrutural e Forma ReduzidaIdentificacao RecursivaIdentificacao A-BBlanchard e Quah
Exemplo: Oferta e Demanda
Qual e o limite em probabilidade do estimador
β =
∑Tt=1 ptqt∑Tt=1 q
2t
?
Pelas equacoes anteriores, podemos mostrar que
E(ptqt) =1
(1− αβ)2(ασ2
u + βσ2v
).
Portanto, pela Lei dos Grandes Numeros (LGN),
plimT−→∞
1
T
T∑
t=1
ptqt =1
(1− αβ)2(ασ2
u + βσ2v
).
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Exemplo: Oferta e Demanda
Da mesma forma,
E(q2t)=
1
(1− αβ)2(α2σ2
u + σ2v
)
e, tambem pela LGN,
plimT−→∞
1
T
T∑
t=1
q2t =1
(1− αβ)2(α2σ2
u + σ2v
).
Portanto,
βp
−→ασ2
u + βσ2v
α2σ2u + σ2
v
.
O estimador de MQO nao e consistente para β!
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Exemplo: Oferta e Demanda
Sabemos tambem que
(ptqt
)∼ NID
(00
),
σ2u+β2σ2
v
(1−αβ)2ασ2
u+βσ2v
(1−αβ)2
ασ2u+βσ2
v
(1−αβ)2α2σ2
u+σ2v
(1−αβ)2
Sendo ρ a correlacao entre pt e qt , podemos mostrar que
E(pt |qt) = E(pt) + ρσp [qt − E(qt)]
σq
=E(ptqt)
σqσp
σpσq
qt =E(ptqt)
σ2q
qt
=ασ2
u + βσ2v
α2σ2u + σ2
v
qt .
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Exemplo: Oferta e Demanda
Tambem podemos mostrar que qt nao e uma variavelfracamente exogena para β!
Da mesma forma, pt nao e fracamente exogena para α.
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Forma Estrutural versus Forma Reduzida
Sera possıvel recuperar (identificar) os parametros estruturaisa partir dos parametros da forma reduzida?
Sabemos que
C0 =B−1A0,
C1 =B−1A1,
...
Cp =B−1Ap, e
Σv =B−1Σu
(B−1
)′.
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Forma Estrutural versus Forma Reduzida
Precisamos encontrar B!
Numero de parametros na forma reduzida:
m(1 + pm) +m(m + 1)
2.
Numero de parametros na forma estrutural:
m(m − 1) +m(1 + pm) +m.
A forma estrutural tem
m(m − 1)
2
parametros a mais.
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Restricoes
Precisamos impor m(m−1)2 restricoes.
Algumas alternativas:1 B e uma matriz triangular inferior (superior): Decomposicao
de Cholesky ou identificacao recursiva.2 Restricoes de longo-prazo: alguns choques nao tem impacto no
longo-prazo em algumas variaveis (Blanchard e Quah).3 Variaveis instrumentais.4 Outras possibilidades: restricoes de sinal, teoria (DSGE), etc...
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Identificacao Recursiva
Decomposicao de Cholesky
Para toda matriz simetrica e positiva definida Ω, ha umaunica matriz triangular P, tal que
Ω = PP′.
Os elementos da diagonal principal de P sao todos positivos.
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Identificacao Recursiva
Pela Decomposicao de Cholesky,
Σu = PP′.
Entretanto, podemos escrever P = AD1/2, onde
A e uma matriz triangular com os elementos da diagonalprincipal iguais a 1 eD e uma matriz diagonal com elementos positivos.
Portanto,Σu = ADA′.
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Identificacao Recursiva
Vamos lembrar que
Σv = B−1Σu
(B−1
)′.
Podemos escrever entao,
A ≡ B−1 e
Σu ≡ D.
B tambem sera uma matriz triangular.
A inversa de uma matriz triangular tambem e triangular!
O sistema esta unicamente identificado.
Foram impostas m(m−1)2 restricoes.
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Identificacao Recursiva e uma Boa Escolha?
Resposta: Carlstrom, Fuerst e Paustian (Journal of Monetary
Economics, 2009).
Considere o seguinte modelo estrutural:
Rt − Et(πt+1) = σ [Et(yt+1)− yt ] + P(ρa − 1)at
πt(1 + β) = βEt(πt+1) + πt−1 + κyt + επt
Rt = (1− ρi )(τπt + τyyt) + ρiRt−1 + εRt ,
onde:
at : choque de produtividade (autocorrelacionado);yt : hiato do produto; πt : inflacao;Rt : taxa de juros nominal eεπt e εRt : choques estruturais.
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Identificacao Recursiva e uma Boa Escolha?
Os choques exogenos possuem a seguinte estrutural:
επtatεRt
= F
επt−1
at−1
εRt−1
+
uπtuatuRt
, F =
ρπ 0 00 ρa 00 0 ρR
.
Caso τ > 1, e possıvel mostrar que
πtytRt
= Γ
πt−1
yt−1
Rt−1
+ B
επtatεRt
, Γ =
a1 0 e1a2 0 e2a3 0 e3
,
B =
b1 c1 d1b2 c2 d2b3 c3 d3
.
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Identificacao Recursiva e uma Boa Escolha?
O sistema de equacoes anterior pode ser escrito como umVAR de segunda ordem:
πtytRt
= A1
πt−1
yt−1
Rt−1
+ A2
πt−2
yt−2
Rt−2
+B
uπtuatuRt
,
onde:A1 = Γ+ BFB−1 eA2 = −BFB−1Γ.
Decomposicao de Cholesky:πtytRt
= A1
πt−1
yt−1
Rt−1
+A2
πt−2
yt−2
Rt−2
+
b1e 0 0b2e c2e 0b3e c3e d3e
︸ ︷︷ ︸B
ϕπt
ϕat
ϕRt
.
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Identificacao Recursiva e uma Boa Escolha?
Resultado
Suponha que os choques estruturais tenham variancia unitaria.
A decomposicao de Cholesky identifica os choques monetarioscomo uma combinacao linear dos tres choques estruturais:
ϕRt = α1u
πt + α2u
at + α3u
Rt ,
onde:
α1 =c1d1−c1d2
Φ ;
α2 =d2b1−d1b2
Φ ;
α3 =b2c1−b1c2
Φ eΦ = (c2d1 − c1d2)
2 + (d2b1 − d1b2)2 + (b2c1 − b1c
22 ).
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Identificacao Recursiva e uma Boa Escolha?
Resultado II
Suponha que1 ρa = ρi e ρR = 0 ou2 ρa = ρR e ρi = 0.
Logo:1 a inflacao e o hiato nao respondem as taxas de juros defasadas;2 a inflacao e o hiato nao respondem contemporaneamente ao
choque monetario identificado;3 sob a decomposicao de Cholesky, as FRIs da inflacao e do
hiato para um choque monetario sao zero para todos osinstantes de tempo!
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Identificacao Recursiva e uma Boa Escolha?
Exemplo numerico: β = 0.99, κ = 0.1275, σ = ν = 1,τ = 1.5 e τy = 0.5.
Fig. 1. Impulse response function (IRF) to a monetary shock for the baseline calibration and ra=0.7, ri=0.8, rR=0, rp=0. The dashed line is the IRF identified
using the Choleski methodology; the solid dotted line is the true IRF; and the solid line is the true IRF in a model with delays.
Fig. 2. Impulse response function (IRF) to a monetary shock for the baseline calibration and ra=0.9, ri=0.8, rR=0, rp=0. The dashed line is the IRF identified
using the Choleski methodology; the solid dotted line is the true IRF; and the solid line is the true IRF in a model with delays.
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Identificacao Recursiva e uma Boa Escolha?
Fig. 3. Impulse response function (IRF) to a monetary shock for the baseline calibration and ra=0.7, ri=0.8, rR=0.4, rp=0. The dashed line is the IRF
identified using the Choleski methodology; the solid dotted line is the true IRF; and the solid line is the true IRF in a model with delays.
Fig. 4. Impulse response function (IRF) to a monetary shock for the baseline calibration and ra=0.9, ri=0.8, rR=0.4, rp=0. The dashed line is the IRF
identified using the Choleski methodology; the solid dotted line is the true IRF; and the solid line is the true IRF in a model with delays.
Fig. 5. Impulse response function (IRF) to a monetary shock for the baseline calibration and ra=0.7, ri=0.8, rR=0, rp=0.95. The dashed line is the IRF
identified using the Choleski methodology; the solid dotted line is the true IRF; and the solid line is the true IRF in a model with delays.
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Modelo Estrutural e Forma ReduzidaIdentificacao RecursivaIdentificacao A-BBlanchard e Quah
O Modelo-AB
Vamos escrever o modelo estrutural da seguinte forma:
Bzt = A0 + A1zt−1 + . . . +Apzt−p + ut ,
Bzt = A0 + A1zt−1 + . . . +Apzt−p + Aet ,
onde E(ete′
t) = Σe = Im.
Agora A pode nao ser mais diagonal.
No entanto, precisamos restricoes em A e/ou B de forma aidentificar os parametros do modelo estrutural.
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Modelo Estrutural e Forma ReduzidaIdentificacao RecursivaIdentificacao A-BBlanchard e Quah
O Modelo-A
Vamos escrever os erros da forma reduzida em funcao doserros do modelo estrutural:
vt = Aet , B = Im.
⇒ Os erros de previsao sao combinacoes lineares dos errosestruturais.
Portanto,Σv = AΣeA
′ = AA′.
Devemos lembrar queo numero de equacoes e m(m + 1)/2 eo numero de parametros e m2.
A “solucao” usual e escolher A pela decomposicao deCholesky.
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O Modelo-A
As restricoes podem ser escritas da seguinte forma:
RAvec(A) = 0,
onde RA ∼ (N ×m2) e uma matriz de selecao e N e onumero de restricoes.
No nosso caso N = m(m − 1)/2.
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O Modelo-A
Teorema: Identificacao Local do Modelo-A
Seja A uma matriz (m ×m) nao-singular. Entao, para uma determinadamatriz (m ×m) Σv , simetrica e positiva definida, e uma outra matriz(N ×m2) RA, o sistema
Σv = AΣuA′
RAvec(A) = 0,
possui uma solucao unica local se, e somente se,
posto
[
2D+m (A⊗ Im)
RA
]
= m2.
D+m = (D′
mDm)−1
D′m e Dm e uma matriz de duplicacao (Duplication
Matrix).
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O Modelo-A
Matriz de Duplicacao
Uma matriz de duplicacao Dm e a unica matriz(m2 × m(m+1)
2
)que, para
qualquer matriz (m ×m) A simetrica, transforma vech(A) em vec(A).
Exemplo:
Seja
A =
(a b
b d
).
Logo,
1 0 00 1 00 1 00 0 1
a
b
d
=
a
b
b
d
.
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O Modelo-A
Uma condicao necessaria para que a condicao de posto sejavalida e que N = m(m − 1)/2.
Por que a solucao e local?
Porque para toda solucao A, −A tambem sera solucao!No caso da Decomposicao de Cholesky este problema estaresolvido pois os elementos da diagonal principal sao positivos.
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O Modelo-A
A prova do teorema anterior pode ser feita a partir dosresultados de Rothenberg (1971, Teorema 6 - Econometrica,39, 577–591).
Basicamente, para uma funcao m-dimensional ϕ(x), o sistemaϕ(x) = 0 tera solucao local unica se, e somente se,
posto
[∂ϕ(x)
∂x′
∣∣∣∣∣x=x0
]= m.
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O Modelo-B
Vamos escrever os erros da forma estrutural em funcao doserros da forma reduzida:
ut = Bvt .
Portanto,Σu = BΣvB
′.
Vamos supor que Σu seja diagonal e os elementos da diagonalde B sejam todos iguais a 1.
As restricoes podem ser escritas da seguinte forma:
RBvec(B) = rB ,
onde RB ∼ (N ×m2) e N e o numero de restricoes.
No nosso caso N = m(m − 1)/2.
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O Modelo-B
Identificacao Global do Modelo-B
Seja Σu uma matriz (m × m) positiva definida e diagonal. Seja B uma matriz (m × m) nao-singular.Entao, para uma determinada matriz (m × m) Σv , simetrica e positiva definida, uma outra matriz
(N × m2) RB , e um vetor (N × 1) rB , o sistema
B−1
Σu(B′)−1
= Σv
RB vec(B) = rB ,
possui uma solucao unica global se, e somente se,
posto
−2D+m
(
Σu ⊗ B−1)
D+m
(
B−1⊗ B−1
)
Dm
RB 0
0 Dσ
= m
2+
1
2m(m + 1).
D+m =
(
D′
mDm
)
−1D′
m , Dm e uma matriz de duplicacao(
m2× 1
2m(m + 1)
)
e Dσ e uma matriz(
12m(m − 1) × 1
2m(m + 1)
)
que seleciona os elementos de vech(Σu ) abaixo da diagonal principal.
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O Modelo-AB
Para duas matrizes A e B, vamos definir o seguinte sistema:
Aet = Bvt , et ∼ (0, Im) .
Dois conjuntos de restricoes:
RAvec(A) = rA e RBvec(B) = rB .
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O Modelo-AB
Identificacao Local do Modelo-AB
Sejam A e B duas matrizes (m ×m) nao-singulares. Entao, para umadeterminada matriz (m ×m) Σv , simetrica e positiva definida, o sistema
vech(Σv ) = vech[
B−1
AA′(
B′)−1
]
RAvec(A) = rA eRBvec(B) = rB
possui uma solucao unica local se, e somente se,
posto
−2D+m
(
Σu ⊗ B−1)
2D+m
(
B−1A⊗ B−1)
RB 0
0 RA
= 2m2.
D+m = (D′
mDm)−1
D′m e Dm e uma matriz de duplicacao.
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Restricoes de Longo Prazo
Forma reduzida:
zt = C0 + C1zt−1 + . . .+ Cpzt−p + vt .
Impacto de longo-prazo:
Λ = (Im − C1 − C2 − · · · − Cp)−1
B−1A.
Ideia: restricoes em Λ.
Alguns choques nao possuem impacto no longo-prazo.
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Restricoes de Longo Prazo
Neste arcabouco e comum restringirmos B tal que B = Im ⇒Modelo-B.
Exemplo: m = 2
As restricoes podem ser escritas da seguinte forma:
(0, 0, 1, 0)vec[(I2 − C1 − C2 − · · · − Cp)
−1A]=
(0, 0, 1, 0)[I2 ⊗ (I2 − C1 − C2 − · · · − Cp)
−1]vec(A) = 0.
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Estimacao do Modelo Estrutural
Vamos escrever o modelo estrutural tal que:
Bzt = BCZt−1 + Aet ,
onde Zt−1 = (z′t−1, . . . , z′
t−p) e C = (C1, . . . ,Cp).
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Estimacao do Modelo Estrutural
Funcao de (quase)-verossimilhanca:
logL(B,A,C) = −mT
2log(2π) −
T
2log
∣∣∣B−1AA′(B′)−1
∣∣∣
−1
2tr(Z− CX)′
[B−1AA′
(B′)−1
](Z− CX)
= constant +T
2log|B|2 −
T
2log|A|2
−1
2tr[B′
(A′)−1
A−1B (Z− CX) (Z− CX)′],
onde Z = (z1, . . . , zT ), X = (Z0, . . . ,ZT−1).
Na derivacao acima utilizamos∣∣∣B−1AA′(B′)−1
∣∣∣ =∣∣B−1
∣∣2 |A|2 = |B|−2 |A|2 e
tr(VW) = tr(WV).
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Estimacao do Modelo Estrutural
Estimacao em dois estagios:
1 estimar C e Σv por C = ZX′(XX′
)−1
e
Σv = T−1(Z− CX
)(Z− CX
)′
;
2 estimar A e B por (quase)-maxima-verossimilhancaconcentrada, isto e,
(A, B
)= argmax
A,B
logLc(A,B)
s.a. restricoes de identificacao,
onde
logLc(A,B) = constante +T
2log|B|2 −
T
2log|A|2
−T
2tr[B
′(A
′)−1
A−1
BΣv
].
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Estimacao Blanchard e Quah
Caso Λ seja triangular, a estimacao do modelo fica facil.
Podemos escrever
ΛΛ′ = (Im − C1 − C2 − · · · − Cp)−1
Σv
(Im − C′
1 − C′
2 − · · · − C′
p
)−1
e a matriz A pode ser estimada por
A =(Im − C1 − C2 − · · · − Cp
)P,
onde P e a matriz obtida a partir da Decomposicao de Cholesky de
(Im − C1 − C2 − · · · − Cp
)−1
Σv
(Im − C
′
1 − C′
2 − · · · − C′
p
)−1
.
So funciona se o VAR for estacionario!
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