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I.E.P. MARIA REYNA RAZ.MATEMATICO

Captulo 1

1 Tercer Bimestre Cuarto de Secundaria

I.E.P. MARIA REYNA RAZ.MATEMATICO EL TANTO POR CIENTO (%) En particular, si dividimos a una cantidad en 100 partes iguales y tomamos cierto nmero m de esas partes, nos estamos refiriendo entonces al tanto por ciento; luego: Las m partes tomadas equivalen al m por 100 del total o al

m por ciento del total, es decir, los m

100 del total.

El m por ciento es igual a m

100

el m% = m

100

Ejemplos:

1) 25

100

2) 40 ...100

3) 32 % < >


I.E.P. MARIA REYNA RAZ.MATEMATICO OPERACIONES CON TANTO POR CIENTO En determinadas situaciones se nos puede presentar la necesidad de sumar o restar dos o ms tantos por ciento referidos a una misma cantidad. En tales casos a veces es conveniente reducir toda la expresin a un solo tanto por ciento (referido a la misma cantidad) como veremos a continuacin. Ejemplo: 1) 40%A + 60%A + 20%A = 120%A

2) 70%B - 40%B - 10%B = 20%B

3) C + 130%C = 230%C

4) D - 40%D = 60%D

5) 30%(70%A) + 50%(70%A) = 80%(70%A)

OBESERVACIN Sabemos que toda cantidad representa el 100% de s misma, entonces si a una cantidad le quitamos o le restamos por ejemplo el 20%, nos quedar el 80% de la cantidad. O por otro lado, si a una cantidad le agregamos o le sumamos el 30% de s misma, entonces ahora tendremos el 30% de s misma, entonces ahora tendremos el 130% de la cantidad.

Si pierdo o gasto Queda

20% 80%

35% 65%

2,5% 97,5%

m% (100-m)%



Si gano o agrego Resulta

22% 122%

45% 145%

2,3% 102,3%

m% (100+m)%

DESCUENTOS Y AUMENTOS SUCESIVOS Cuando tengamos que hacer descuentos sucesivos, recordemos que el primer descuento se aplica a la cantidad inicial, y a partir del segundo descuento, stos se aplican a la cantidad que han quedado del descuento anterior. De manera anloga tambin se hace cuando se trata de aumentos sucesivos. El primer tanto por ciento de aumento se aplica a la cantidad inicial; el segundo aumento se aplica a lo que ha resultado luego del primer aumento; el tercer aumento se aplica a lo que ha resultado luego del segundo aumento; y as sucesivamente. Ejemplo: A que descuento nico equivalen dos descuentos sucesivos del 20% y 30%? Solucin: ( 80% ) ( 70% )

80

100 70%= 56%

Du = 100% 56% = 44%


I.E.P. MARIA REYNA RAZ.MATEMATICO Ejemplo: A que aumento nico equivalen tres aumentos sucesivos del 10%, 20% y 50%? Solucin:

110 120100 100

150% = 198%

Au

= 198% - 100% = 98% OBSERVACIN: Si se tuviera que hacer dos descuentos sucesivos del a% y del b% se podra calcular el descuento nico, rpidamente con esta frmula:

Uab

D a b %100

= +

En el caso de tener dos aumentos sucesivos del a% y del b%, el aumento nico equivalente se puede calcular con esta formula:

Uab

A a b %100

= + +



PROBLEMAS BLOQUE I 01.- De 56, el 25 % es: a) 18 b) 14 e) 12 d) 7 e) 9 02.- Qu % de 192 es 144? a) 66% b) 72 % c) 80 % d) 75% e) 63% 03.- 240 es el 80 % de: a) 280 b) 320 e) 360 d) 310 e) 300 04.- 64, de 320, qu % es? a) 25% b) 20 % e) 30 % d) 32 % e) 22 % 05.- El 25 % ms de 360 es: a) 480 b) 420 c) 500 d) 450 e) 560 06.- Qu % menos es 240 de 300? a) 80% b) 20% e) 10% d) 40% e) 60% 07.- Si Rosa Elvira ganaba S/. 520 y ahora gana S/. 650, en qu % aument su sueldo? a) 20% b) 25 % c) 75 % d) 21 % e) 22% 08.- En una poblacin de 24 600 habitantes, el 63 % son menores de 18 aos. Cuntos menores de 18 aos hay en dicha poblacin? a) 15 498 b) 15 948 c) 16 248 d) 15 844 e) 14 945


I.E.P. MARIA REYNA RAZ.MATEMATICO 09.- En una tienda, se venden camisas a S/. 15 cada una, pero si se desea una docena, descuentan el 20 %. Cunto se pagar por 3 docenas de camisas? a) S/. 423 b) S/. 512 c) S/. 460 d) S/. 450 e) S/. 432 10.- Una empresa encuestadora, manifiesta que en el horario que pasan El Chavo del 8, 3 de cada 5 televisores encendidos sintonizan dicho programa. Qu % representa dicha sintona? a) 45% b) 37,5 % c) 40 % d) 33,3 % e) 60 % 11.- Una casa est valorizada en $ 64 000. Para comprarla se pide el 15 % de cuota inicial y el resto en 80 letras mensuales iguales. Cul es el pago mensual de cada letra? a) $ 520 b) $ 860 c) $ 580 d) $ 680 e) $ 620 12.- Un anciano padre dispone en su testamento la reparticin de su fortuna entre sus 3 hijos. El primero recibir el 36 %, el segundo recibir el 24 %, el tercero recibir el resto. Si la fortuna asciende a $ 75 000, cunto recibir el tercer hijo? a) $ 27000 b) $ 25 000 c) $ 30 000 d) $ 32 000 e) $ 36 000 13.- Un vendedor recibe una comisin de 20 % sobre la venta de cierta mercadera. Si sus ventas fueron de S/. 640, cunto recibir de comisin? a) S/. 120 b) S/. 128 c) S/. 162 d) S/. 96 e) S/. 108 14.- A inicios del mes, una familia gastaba $120. Si la inflacin durante dicho mes fue de 4,5 %, cunto gastar dicha familia a fines de mes? a) $ 124,50 b) $ 125,40 c) $ 122,50 d) $ 145,20 e) $ 132


I.E.P. MARIA REYNA RAZ.MATEMATICO 15.- Qu % ms es A de B?

a) 100A

%B

b)100B

%B A

c) 100(A B)

%B

d) 100(A B)

%A

e) 100A

%B A

16.- Una Compaa "A" tiene 32 % menos de capital, que una Compaa "B". Si el capital de "A" es de $ 340 000, cul es el capital de "B"? a) $ 450 000 b) $ 500 000 c) $ 550 000 d) $ 560 000 e) $ 480 000 17.- La poblacin en cierta ciudad fue de 65 200 habitantes; si la tasa de mortalidad fue de 8 %, cuntos fallecidos hubo en dicha ciudad? a) 5214 b) 5126 e) 5216 d) 5416 e) 5621 18.- Me deben el 15 % de S/. 540 y me pagan el 20 % de S/. 300. Entonces, me deben an: a) 25 % de S/. 72 b) 20 % de S/. 75 c) 60 % de S/. 36 d) 50 % de S/. 42 e) 75 % de S/. 60 19.- Una empresa tiene al ao una ganancia bruta de $ 6240000. Invierte 30% en salarios, 12% en mejorar su infraestructura, 38% en la adquisicin de bienes y el resto en publicidad. Cunto invirti en publicidad? a) $ 1 248 000 b) $ 1 324 000 c) $ 1 240 000 d) $ 1 428 000 e) $ 1 824 000 20.- Cul de las siguientes afirmaciones es incorrecta? a) 20% de 10 es 2 b) 15% de 100 es 15 c) a% (b) = ab/100 d) a% (b) = b% (a) e) NA


I.E.P. MARIA REYNA RAZ.MATEMATICO BLOQUE II 01.- El 15 % del 20 % de 8 500 es: a) 2550 b) 850 c) 255 d) 205 e) 265 02.- El a% del b% del c% de N es:

a) 10Nabc

b) 1000N

abc c)

abcN1000

d) abcN

10000000 e) NA

03.- Un horno microondas cuesta $ 420. El vendedor descuenta el 10%, pero por una pequea "yaya", rebaja el 5% al nuevo precio. Cunto se pag, finalmente por el horno? a)$378 b) $ 345,50 c) $ 395,20 d) $ 359,10 e) $ 369,10 04.- En lugar de descontar sucesivamente el 10% y luego el 20% a un artculo cuyo valor es S/. 360, se puede hacer un nico descuento de: a) 38% b) 30% c) 28% d) 26,6 % e) 32 % 05.- En un gran almacn de ropa, se ofrecen descuentos sucesivos del 20% y 30% en el departamento de lencera. Cul sera el descuento nico? a) 44% b) 50 % c) 64 % d) 54 % e) 36 % 06.- Un empleado gana S/. 500; si se le aumenta el 20% y luego se le descuenta el 20% de su nuevo sueldo, entonces el empleado recibir: a) S/.420 b) S/. 520 c) S/. 460 d) S/. 480 e/ S/. 560 07.- Dos descuentos sucesivos del 28% y 75% equivalen a un nico descuento de:


I.E.P. MARIA REYNA RAZ.MATEMATICO a) 68% b) 93% c) 82% d) 46% e) 86% 08.- Aumentos sucesivos de 10%, 20% y 30% equivalen a un nico aumento de: a) 60% b) 66,6% c) 72 % d) 71,6% e) 73,3% 09.- Se vendi un escritorio en S/. 240, ganando el 20% del costo. Cul es el precio del escritorio? a) S/. 180 b) S/. 196 c) S/. 200 d) S/. 216 e) S/. 220 10.- Se vendi un escritorio en S/. 240, ganando el 20% del precio de venta. Cunto cost el escritorio? a) S/. 192 b) S/. 180 c) S/. 196 d) S/. 200 e) S/. 205 11.- En cierto negocio, se vendi en S/. 600 lo que haba costado S/. 560; qu % del costo se gan? (aproximadamente) a) 8,2% b) 7,1 % c) 6,5 % d) 7,8 % e) 6,7 % 12.- El costo de fabricacin de un producto es S/. 260; si se vendi en S/. 480, qu % del costo de fabricacin se gan? (aproximadamente) a) 79,4% b) 84,6 % c) 82,1 % d) 86,4 % e) 85,3 % 13.- El dueo de una tienda compra mercadera por S/. 420; si vendi dicha mercadera en S/. 600, qu % de la venta gan? a) 27% b) 33% e) 30% d) 26,6 % e) 32 % 14.- Se adquiri un lote de camisas por S/. 120; se quiere vender ganando el 10 % del costo. Cul ser dicho precio de venta? a) S/. 132 b) S/. 144 c) S/. 142 d) S/. 148 e) S/. 160


I.E.P. MARIA REYNA RAZ.MATEMATICO 15.- Una persona compr un reloj en S/. 69. Como tena necesidad urgente de dinero, tuvo que vender el reloj perdiendo el 15 % de la venta. Cul fue el precio de venta? a) S/. 62 b) S/. 48 c) S/. 58 d) S/. 52 e) S/. 60 16.- Si el lado de un cuadrado se incrementa en 10%, en qu % se incrementa su rea? a) 10% b) 20% c) 100% d) 21% e) 42% 17.- El largo de un rectngulo aumenta en 20% y su ancho disminuye en 10%. Qu variacin porcentual tiene su rea? a) Aumenta en 16% b) Aumenta en 8% c) Disminuye en 12% d) Aumenta en 15% e) Disminuye en 9% 18.- La base de un tringulo aumenta en 25%. En qu % debe disminuir su altura, para que el rea no vare? a) 25% b) 22,5 % c) 17 % d) 19 % e) 20 % 19.- Se mezclan 12g de una sustancia "A" y 18g de una sustancia "B". Cuntos g de "A" se deben aadir a la mezcla, para que el % sea de 50 %? a) 12g b) 9g e) 8g d) 6g e) 4g 20.- Se tienen 15 L de alcohol al 20 %. Cuntos litros de agua se deben agregar para rebajar el alcohol al 10 %? a) 12 L b) 15 L c) 10 L d) 9 L e)18 L


I.E.P. MARIA REYNA RAZ.MATEMATICO BLOQUE III 01.- Hallar el 20% de 250 a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 02.- Hallar el 20% del 30% de 600 a) 18 b) 36 c) 54 d) 72 e) 90 03.- Hallar el 10% del 20% de los 2/3 de 900 a)10 b) 12 e) 14 d) 16 e) 18 04.- Hallar el 10% de la cuarta parte del 40% de los 3/7 de 5 600. a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24 05.- Sumar el 20% del 15% de 300 y el 40% del 10% de 150 a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19 06.- Qu porcentaje de 32 es 8? a) 20% b) 25% c) 30% d) 35% e) 40% 07.- Qu porcentaje de 0,001 es 0,0003? a) 10% b) 20% c) 30% d) 40% e) 60% 08.- De qu nmero es 15 el 5% a) 200 b) 250 c) 300 d) 350 e) 600 09.- De qu nmero es 160 el 20% menos. a) 180 b) 190 c) 200 d) 220 e) 250


I.E.P. MARIA REYNA RAZ.MATEMATICO 10.- De qu nmero es 330 el 10% ms. a) 300 b) 350 c) 400 d) 450 e) 500 11.- Juan tena 120 lpices. Regala a su hermano el 20%, a su prima el 10% y a su vecina el 30%. Con cuntos lpices se queda Juan? a) 40 b) 48 c) 60 d) 72 e) 80 12.- Pedro reparte su herencia de la siguiente manera: El 20% a su esposa, el 35% a su hijo mayor, el 25% a su hija, y los S/. 200 000 restantes para el jardinero. A cunto ascenda la herencia de Pedro? a) 1 200 000 b) 1 500 000 c) 1 600 000 d) 9 000 000 e) 1 000 000 13.- Dos descuentos sucesivos del 10% y del 30%, equivalen a un descuento nico de: a) 39% b) 37% c) 35% d) 33% e) 31% 14.- Mara compra una cartera y le hacen dos descuentos sucesivos del 20% y el 30%. Si pag S/. 11,20, cunto costaba la cartera? a) S/. 18 b) S/. 20 c) S/. 24 d) S/. 28 e) S/. 30 15.- Dos aumentos sucesivos del 10% y el 20%, equivalen a un aumento nico de: a) 30% b) 31% c) 32% d) 33% e) 34% 16.- Dos descuentos sucesivos del 20% y 10%, y un aumento del 10%, equivalen a un descuento nico de: a) 20,8% b) 21,6% c) 22,4% d) 23,5% e) 26,2%


I.E.P. MARIA REYNA RAZ.MATEMATICO 17.- A cmo debo vender lo que me cost S/. 180 para ganar el 30%? a) S/.230 b) S/. 231 c) S/. 232 d) S/. 233 e) S/. 234 18.- A cmo debo vender lo que me cost S/. 360 para ganar el 10% del precio de venta. a) S/. 396 b) S/. 400 c) S/. 420 d) S/. 380 e) S/. 450 19.- Si el radio de un crculo se incrementa en un 50%, en qu porcentaje se incrementa el rea? a) 150% b) 50% c) 125% d) 25% e) 175% 20.- La base de un tringulo se incrementa en un 20% y la altura disminuye en un 20%. Cmo vara el rea del tringulo? a) No vara b) Aumenta 4% c) Disminuye 6% d) Aumenta 6% e) Disminuye 4%



Captulo 2


I.E.P. MARIA REYNA RAZ.MATEMATICO Lectura

EL ENIGMA DE LA EDAD DE DIOFANTO

Fue Diofanto quien por primera vez introdujo letras y signos para los clculos, de all que a su lgebra se le ha llamado lgebra sincopadaque antecede al lgebra simblica actual. Un problema atribuido a Hypatia de Alejandra y colocado en la lpida de su tumba nos seala con precisin la edad que tuvo al morir:

Dime cuntos aos haba vivido Diofanto cuando le llego la muerte? Este epitafio plantea la siguiente ecuacin, donde x representa la edad que tuvo cuando muri.

1 1 1 1

x x x 5 x 4 x6 12 7 2

+ + + + + =

La solucin de esta ecuacin nos dice que Diofanto muri a los 84 aos. Adems, podemos deducir que fue nio hasta los 14 aos, le sali la barba a los 21 aos, se cas a los 33 y tuvo un hijo a los 38 aos, el cual muri cuando su padre tena 80 aos.

Caminante! Aqu fueron sepultados los restos de Diofanto. Y los nmeros pueden mostrar, oh milagro!, cun larga fue su

vida, cuya sexta parte constituy su infancia. Haba transcurrido adems una duodcima parte de su vida, cuando de vello cubriose su barbilla. Y la sptima parte de su

existencia transcurri en un matrimonio estril. Pas un quinquenio ms y le hizo dichoso el nacimiento de su

precioso primognito, que entreg su cuerpo, su hermosa existencia, que dur tan slo la mitad de la de su padre a la

tierra. Y con profunda pena descendi a la sepultura, habiendo

sobrevivido cuatro aos al deceso de su hijo.


I.E.P. MARIA REYNA RAZ.MATEMATICO En todo problema sorbe edades se pueden distinguir principalmente 3 elementos: sujetos, tiempos y edades, sobre ellos trataremos. NOCIONES PREVIAS SUJETOS Son los protagonistas del problema, a quienes corresponden las edades y que intervienen en el problema. TIEMPOS Es uno de los elementos ms importantes, ya que las condiciones del problema ocurren en tiempos diferentes y todo depende de su correcta interpretacin. Los tiempos pueden ser: pasado, presente o futuro

TIEMPOS EXPRESIONES Presente En un problema existe un solo presente. Se le identifica por las siguientes expresiones.

Tengo .... Tenemos ...... La suma de nuestras

edades es..... Tienes ....... Hoy la edad....

Pasado En un problema pueden darse uno o ms pasados. Se le identifica por las expresiones:

Hace.... Tena, tuve..... Tenamos..... Tenas, tuvistes.... Tuvimos..... La suma de nuestras

edades fue: Futuro En un problema pueden darse uno o ms futuros. Se le identifica por las siguientes expresiones:

Dentro de.... Tendremos, tuvisemos Tendr..... Tendrs..... La suma de nuestras

edades ser.....


I.E.P. MARIA REYNA RAZ.MATEMATICO Para facilitar su resolucin, clasificaremos los problemas en dos tipos: Con un solo sujeto Con varios sujetos CON UN SOLO SUJETO Si mi edad actual es x aos, entonces, dentro de a aos y hace b aos, mi edad se expresar as: Conclusin: Cuando en el texto de un problema nos mencionan; Hace... o dentro de ..., se debe tomar como punto de referencia el tiempo presente, a partir de all, se cuenta el tiempo transcurrido (hace....) o el tiempo a transcurrir (dentro.....) Ejemplo: Dentro de 20 aos tendr 3 veces la edad que tena hace 10 aos. Qu edad tuve hace 3 aos? Solucin: Asumiendo la edad actual x aos: x+20 = 3(x10) x = 25 aos



Edades y condiciones

Edades y condiciones

CON VARIOS SUJETOS Para este tipo de problemas se recomienda utilizar un cuadro de doble entrada, como el que apreciamos a continuacin:

Aqu hay que tener en cuenta dos observaciones importantes, las cuales se apreciarn en el siguiente cuadro:

1.- La diferencia de edades de dos personas permanecen constante en el tiempo (es la misma en el pasado, presente y futuro)

en el pasado = 23 17 en el presente = 26 20 en el futuro = 34 28

2.- Las sumas en aspa de valores colocados simtricamente son iguales. 17 + 26 = 23 + 20 20 + 34 = 26 + 28 17 + 34 = 23 + 28

Pasado Presente Futuro Y T l

Pasado Presente Futuro T 17 20 28 Y 23 26 34



PROBLEMAS BLOQUE I 01. Dentro de 8 aos la suma de nuestras edades ser 42 aos; pero hace a aos la diferencia de nuestras edades era de 8 aos. Hace cuntos aos la edad de uno era el triple de la del otro? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 02. Un padre tiene 30 aos y su hija 3. Dentro de cuntos aos la edad del padre ser el cudruplo de la edad de la hija? a) 15aos b) 3aos c) 5aos d) 6 aos e) 10 aos 03. Si al doble de mi edad se le quitan 13 aos, se obtendr lo que me falta para tener 50 aos. cunto me falta para cumplir el doble de lo que tena hace 5 aos? a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 04. Se le pregunta por su edad a Augusto y l responde: Multipliquen por 3 los aos que tendr dentro de 3 aos y rstenle el triple de los que tena hace 3 aos y obtendrn precisamente los aos que tengo. Qu edad tiene ahora? a) 11 b) 18 c) 20 d) 22 e) 25 05. Dentro de 6 aos la edad de Jessica ser el triple de la edad de Violeta. Cul es la edad actual de Jessica, si hace 2 aos la edad de ella era el cudruplo de la de Violeta? a) 54 b) 66 c) 72 d) 60 e) 56 06. Hace 12 aos la edad de 2 hermanos estaban en relacin de 4 es a 3, actualmente sus edades suman 59 aos. Dentro de cuntos aos sus edades estarn en relacin de 8 es a 7?


I.E.P. MARIA REYNA RAZ.MATEMATICO a) 9 b) 8 c) 7 d) 20 e) 21 07. Es sabido que los gatos tienen 7 vidas pero Cuchita gata techera pens cierta noche: Hoy termina mi segunda vida y en todos mis aos he hecho lo que otros hacen en sus 7 vidas. Si el nmero de aos que ella lleva vividos es igual a la cuarta parte del nmero de meses vividos, menos 6, cuntos aos dura una de las vidas de un gato? a) 3 b) 6 c) 1,5 d) 4,5 e) 2 08. Cuntos aos tiene una persona sabiendo que la raz cuadrada de la edad que tena hace 5 aos ms la raz cuadrada de la edad que tendr dentro de 6 aos suman 11? a) 30 aos b) 26 aos c) 24 aos d) 20 aos e) 16 aos 09. En 1918, la edad de un padre era 9 veces la edad de su hijo; en 1923, la edad del padre fue el quntuplo de la de su hijo. Cul fue la edad del padre en 1940? a) 66 b) 72 c) 67 d) 70 e) 57 10. Charo es hija de ngela y Luciana es hija de Charo. Cuando Luciana naci, la edad de ngela era exactamente el doble de la edad de Charo, hoy durante la reunin del dcimo cumpleaos de Luciana, ngela dice tener 45 aos y Charo dice tener 27 aos. Si la suma de las edades de ngela, Charo y Luciana es de 90 aos, cuntos aos oculta cada una de las seoras? a) ngela = 5 y Charo = 5 d) ngela = 4 y Charo = 4 b) ngela = 5 y Charo = 3 e) ngela = 3 y Charo = 4 c) ngela = 4 y Charo = 3 11. Si 3 veces la edad de mi hermano es 2 veces mi edad, y hace 3 aos 3 veces su edad era la ma, cuntos aos tengo? a) 6 b) 9 c) 3 d) 12 e) 15


I.E.P. MARIA REYNA RAZ.MATEMATICO 12. Un padre tiene n aos y su hijo m aos. Dentro de cuntos aos tendr el padre el doble de la edad de su hijo? A) (n - m) aos B) (m - n) aos C) (n + 2m) aos D) (n - 2m) aos E) (n2-1) aos 13. Juan y Pedro tienen respectivamente J y P (J > P) aos de edad. Hace cuntos aos la edad de Juan fue el triple de la edad de Pedro?.

a) J 3P

3

b) 3P J

4

c) 3P J d) 3P J

2

e) J P

14. Dentro de 60 aos Martn tendr el cudruplo de su edad actual. Hace 5 aos tena a) 25 aos b) 20 aos c) 85 aos d) 75aos e) 15aos 15. Luis cuenta que cuando cumpli aos en 1994, descubri que su edad era igual a la suma de las cifras del ao de su nacimiento. Cuntos aos tena en 1979? a) 12 b) 13 c) 14 d) 10 e) 11 16. Julio naci 6 aos antes de Vctor, en 1948 la suma de sus edades era la cuarta parte de la suma de sus edades en 1963. En qu ao naci Julio? a) 1935 b) 1938 c)1940 d)1942 e)1932 17. Norma le dice a Marisol: Tengo el triple de la edad que t tenas, cuando yo tena la mitad de la edad que tienes y cuando tengas la edad que tengo, yo tendr el doble de la edad que t tenas hace 12 aos. Cunto suman sus edades actuales? a) 64 b) 68 c) 66 d) 63 e) 72


I.E.P. MARIA REYNA RAZ.MATEMATICO 18. Un padre le dice a su hijo: Yo tengo el doble de la edad que t tenas, cuando yo tena la edad que t tienes, y cuando t tengas mi edad, la suma de nuestras edades ser 162. Qu edad tiene actualmente cada uno?. (En aos) a) 72 y 54 b) 64 y 48 c) 70 y 56 d) 72y58 E) 70y54 19. Cuntos aos tendr una persona dentro de 9 aos; sabiendo que la diferencia entre la raz cuadrada de la edad que tendr dentro de 30 aos, con la edad que tuvo hace 2 aos es 2? a) 49 b) 51 c) 56 d) 60 e) 81 20. Carolina tuvo su primer hijo a los 18 aos, 3 aos despus tuvo a su segundo hijo y 5 aos despus a su tercer hijo. Si en 1995 las edades de los 4 sumaban 79 aos, en qu ao naci Carolina? a) 1957 b) 1956 c) 1958 d) 1959 e) NA BLOQUE II 01. Paulina tuvo su primer hijo a los 21 aos, a los 27 aos su tercer hijo; a fines de 1995 la suma de edades de dichos hijos es 32 aos. En qu ao naci Paulina? a) 1945 b) 1955 c) 1962 d) 1964 e) 1948 02. Las edades de dos personas estn en la relacin de 5 a 7. Dentro de 10 aos la relacin ser de 3 a 4. Hace 10 aos cul era la relacin de dichas edades? a) 3 a 5 b) 2 a 3 c) 1 a 2 d) 2 a 5 e) 4 a 3


I.E.P. MARIA REYNA RAZ.MATEMATICO 03. Hace 5 aos, la edad de un padre fue 4 veces la del hijo y dentro de 5 aos, ser solamente el doble de la de su hijo. Qu edad tendr el padre, cuando el hijo tenga los aos que tuvo el padre cuando naci el hijo? a) 30 b) 35 c) 36 d) 40 e) 45 04. En 1987, Emilio tuvo tantos aos como el doble de las 2 ltimas cifras del ao de su nacimiento. Cul es la suma de las cifras del ao de su nacimiento? a) 11 b) 10 c) 21 d) 22 e) 18 05. Si juntamos las edades de Juan y Pedro dentro de 8 aos obtendramos 64. Al acercarse Mara, Juan le dice : Cuando t naciste, yo tena 4 aos, pero cuando Pedro naci t tenas 2 aos. Cul es la edad de Mara? a) 22 b) 23 c) 27 d) 21 e) 24 06. Cuando yo tena un ao menos de la edad que t tienes, t tenas 5 aos menos de la edad que yo tengo. Pero cuando tengas la edad que yo tengo, nuestras edades sumarn 110 aos. Qu edad tengo? a) 54 b) 52 c) 50 d) 48 e) 46 07. En el ao 1988 un profesor sum los aos de nacimiento de 45 estudiantes de un saln y luego las edades de los estudiantes, enseguida sum ambos resultados y obtuvo 89437. Cuntos estudiantes ya cumplieron aos en dicho ao? a) 22 b) 23 c) 24 d) 25 e) 21 08. Preguntando a una persona por su edad responde: Si al doble de mi edad le quitan 17 aos, se obtendra su complemento aritmtico. Calcular la edad a) 9 b) 39 c) 17 d) 17 39 e) 9 39


I.E.P. MARIA REYNA RAZ.MATEMATICO 09. En 1980 Bryan se percato que su edad coincida con las 2 ltimas cifras del ao de su nacimiento, al comentrselo a su abuelito, ste sorprendido le contest que con l ocurra lo mismo. Calcular la diferencia de sus edades hace x aos (18 < x < 40) a) 40 b) 20 c) 50 d) 90-x e) 40-x 10. En 1977 la edad de Pedro era ab y la de su abuelo ba . La diferencia de dichas edades es 45. Calcular la edad de Pedro si se sabe que en 1977 su edad coincida con las dos ltimas cifras de su ao de nacimiento, pero en orden invertido a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20 11. Cuando yo tena 20 aos, t tenias la tercera parte de la edad que tienes. Si nuestras edades suman 95 aos, cuntos aos tengo? a) 40 b ) 45 c) 50 d) 60 e) 75 12. Mi edad es 4 aos menor que la edad que t tenias, cuando yo tena 8 aos menos de la edad que t tienes, y cuando t tengas el doble de la edad que tengo, nuestras edades sumarn 82 aos. Qu edad tengo? a) 26 b) 24 c) 22 d) 28 e) 32 13. Dentro de 6 aos la edad de Jessica ser el triple de la edad de Violeta. Cul es la edad actual de Jessica, si hace 2 aos, la edad de ella era el cudruplo de la de Violeta? A) 54 B) 66 C) 72 D) 60 E) 56 14. La edad actual de Gerson y Manolo son entre s como 12 es a 11. Cuando Manolo tenga la edad que tiene ahora Gerson, ste tendr el doble de la edad que tena Manolo hace 27 aos. Cul ser la diferencia de sus edades dentro de 19 aos? A) 4 B) 6 C) 5 D) 8 E) 10



15. Sumiko naci en 19ba y en el ao 19ab cumpli (a+b) aos. En qu ao cumpli 3a.b/2 aos? a)1965 b)1975 c)1978 d)1984 e) 1980 16. En 1932 tena yo tantos aos como expresan las dos ltimas cifras del ao de mi nacimiento. Al poner en conocimiento de mi abuelo esta coincidencia l dijo que con su edad ocurra lo mismo. Cuntos aos tena cada uno de ellos? a) 18 y 72 b) 16 y 66 c) 16 y 72 d) 18 y 81 e) 18 y 80 17. En el ao 1988 un profesor sum los aos de nacimiento de 45 estudiantes de un saln y luego las edades de los estudiantes, enseguida sum ambos resultados y obtuvo 89,437. Cuntos estudiantes ya -cumplieron aos en dichos aos? A) 22 B) 23 C) 24 D) 25 E) 21 18. Dentro de Baos la suma de nuestras edades ser de 46 aos, pero hace n aos la diferencia de nuestras edades era 4 aos. Hace cuntos aos la edad de uno era el triple de la edad del otro? A) 19 B) 9 C) 12 D)13 E) NA



Captulo 3


I.E.P. MARIA REYNA RAZ.MATEMATICO BLOQUE I 01.- Para aprobar un curso, es necesario aprobar el examen terico y el examen prctico. En un saln de 4 grado, 23 aprobaron el examen terico, 41 aprobaron el examen prctico, 13 aprobaron los 2 exmenes y todos aprobaron por lo menos un examen. Calcule el nmero de alumnos del saln. a) 30 b) 64 c) 70 d) 51 e) 82 02.- Se observa que todos los asistentes a un determinado seminario llevan cuaderno y/o flder; el nmero de personas que llevan cuaderno es 192; 231 llevan flder y 83 llevan ambas cosas. Cuntos son los asistentes? a) 423 b) 275 c) 340 d) 314 e) 166 03.- Juan y Pedro son aficionados ala lectura; cierto da comentan - yo he ledo 20 obras literarias completas- a lo que el otro le replica: -yo slo 19, pero ambos hemos ledo 7 de ellas-Cuntas obras han ledo en total? a) 24 b) 26 c) 28 d) 30 e) 32 04.- Pepe se encuentra un da en un restaurante, y mientras espera su pedido nota que de todos los asistentes (en un momento dado), 38 tienen corbata, 15 tienen saco, 11 tienen ambas prendas y 6 no tienen saco ni corbata. Indicar el nmero de personas que se encontraban en el lugar en dicho instante. a) 48 b) 42 c) 36 d) 30 e) 49


I.E.P. MARIA REYNA RAZ.MATEMATICO 05.- En una reunin muy particular, resulta que 46 tienen como uno de sus nombres Jos; 32 tienen como nombre Miguel; 27 se llaman Jos Miguel y slo 2 no se llaman ni Jos ni Miguel. Cuntos eran en la reunin? a) 53 b) 50 c) 38 d) 62 e) 41 06.- De 68 libros diversos que se tienen, el nmero de ellos que tiene hojas blancas es el cudruple del nmero de libros que tiene hojas celestes. Si 12 de dichos libros contienen hojas blancas y celestes, y no hay libros con hojas de otros colores, calcular el nmero de libros que tienen hojas blancas. a) 16 b) 40 c) 64 d) 36 e) 4 07.- Del ejercicio anterior: cuntos libros tienen slo hojas blancas o slo hojas celestes? a) 50 b) 48 c) 60 d) 56 e) 42 08.- En cierta panadera hacen pan con frutilla y/o con pasas. La produccin de cierto da fue tal que el triple del nmero de panes con frutilla era igual al cudruple del nmero de panes con pasas; observndose adems que 60 panes tenan frutilla y pasas. Si la relacin entre la cantidad de panes con frutilla solamente, a la cantidad de panes con pasas solamente era de 3 a 2, calcular la produccin el mencionado da. a) 180 b) 260 c) 330 d) 300 e) 360 09.- Del ejercicio anterior calcular el nmero de panes que tienen slo frutilla o slo pasas. a) 180 b) 260 c) 330 d) 300 e) 360 10.- Una empresa en crecimiento cuenta con 48 trabajadores en total. La gerencia general decide llevar a cabo un ciclo de capacitacin en el cual se desarrollarn dos cursos: CALIDAD


I.E.P. MARIA REYNA RAZ.MATEMATICO TOTAL y COMPETITIVIDAD. Luego de tres meses de estudios se obtuvieron los siguientes resultados: - Aprobaron ambos cursos: 40 personas - La cantidad de desaprobados en el curso de COMPETITIVIDAD, es el triple de la cantidad de desaprobados en el curso de CALIDAD TOTAL. - Todos aprobaron por lo menos un curso. Cuntos aprobaron slo COMPETITIVIDAD? a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 11.- Cierto da en un puesto de revistas y loteras, el dueo observa que entre las personas que han comprado el Kino y/o la Tinka, suman 47; de ellos 9 compraron ambos juegos. Si la diferencia entre el nmero de personas que compraron la Tinka, menos la cantidad de personas que compraron el Kino es 8 y el costo del Kino y la Tinka son respectivamente S/. 15 y S/. 2; calcular el ingreso obtenido en dichos rubros. a) S/.602 b) S/. 800 c) S/. 300 d) S/. 260 e) S/. 424 12.- De un total de 84 personas, entre las cuales todas tienen bigotes y/o lentes, se nota que la cantidad de personas que tienen lentes y tambin bigotes, es la mitad de la cantidad de personas que tienen slo bigotes, y es la tercera parte de la cantidad de personas que usan slo lentes. Calcule la cantidad de personas que usan lentes. a) 48 b) 50 c) 52 d) 54 e) 56 13.- Del enunciado anterior : cuntos usan slo bigotes? a) 14 b) 28 c) 42 d) 56 e) 64 14.- Un grupo de estudiantes postulan a dos universidades A y B. Los estudiantes que postulan slo a A exceden en 3 al doble de los que postulan a ambos centros; y los que postulan slo a B exceden en 2 al triple de los que postulan a ambas universidades.


I.E.P. MARIA REYNA RAZ.MATEMATICO Si el nmero de personas que postulan slo a una universidad excede en 12 al cudruple del nmero de postulantes a ambas universidades, calcule la cantidad de postulantes. a) 47 b) 40 c) 54 d) 62 e) 81 15.- Tengo en mi estante 135 textos de lgebra y/o Trigonometra. La cantidad de textos que slo son de lgebra es el quntuple de la cantidad de textos que slo son de Trigonometra; adems, la cantidad de textos de lgebra y Trigonometra es la mitad de la cantidad de textos que contienen slo un curso. Cul ser la cantidad de libros que contiene un solo curso? a) 50 b) 60 c) 70 d) 80 e) 90 16.- En un saln de clases hay slo aficionados al ftbol y/o al bsquet. Casualmente el nmero de aficionados al ftbol solamente, es igual al nmero de aficionados al bsquet solamente, e igual al nmero de aficionados al bsquet y al ftbol. Si de los aficionados a ambos deportes, 2 fuesen aficionados slo al bsquet y 3 fuesen aficionados slo al ftbol, la relacin de aficionados slo al ftbol respecto a los aficionados slo al bsquet sera de 12 a 11; en dicho caso, cuntos resultaran aficionados a los 2 deportes? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 17.- Carlos y Manuel estudiaron dos carreras tcnicas muy similares, motivo por el cual en sus currculas se repiten algunos cursos. El nmero de cursos que slo llev Manuel es el triple del nmero de cursos que slo llev Carlos; mientras que el nmero de cursos que llevaron ambos es igual a la mitad de la suma de las cantidades de cursos que slo han llevado cada uno de ellos. Si en total son 72 cursos, cuntos cursos llev slo Carlos? a) 12 b) 24 e) 36 d) 48 e) 60


I.E.P. MARIA REYNA RAZ.MATEMATICO 18.- Carlos es ingeniero civil; Manuel es ingeniero de minas; ambos durante sus estudios universitarios han llevado algunos cursos iguales. El nmero de cursos que ha llevado slo Carlos es la mitad del nmero de cursos que ha llevado slo Manuel. El nmero de cursos que han llevado ambos es igual a la tercera parte de la suma de la cantidad de cursos que ha llevado Carlos con la cantidad de cursos que ha llevado Manuel. Si en total son 300 cursos, cuntos cursos llevaron ambos? a) 50 b) 100 c) 150 d) 200 e) 250 19.- Los integrantes varones de la familia de Pepe son tales que todos usan bigote y/o lentes. El nmero de personas que usan lentes y bigote, excede en 2 al nmero de personas que usan slo bigote, y es excedida en 4 por el nmero de personas que slo usan lentes. Si el nmero de personas que usan bigote y lentes es media proporcional entre el nmero de personas que usan slo bigote y el nmero de personas que usan slo lentes, calcular el total de varones de la familia de Pepe. a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18 20.- Se tienen dos trozos circulares de plstico transparente de colores amarillo y rojo, cuyas reas son 50u2 y 70u2 respectivamente; se superponen parcialmente (lo que origina una tonalidad anaranjada en la interseccin). Indicar el rea de color anaranjado si la regin amarilla representa el 50% de la regin roja. a) 30 u2 b) 40 u2 c) 60 u2 d) 20 u2 e) 80 u2


I.E.P. MARIA REYNA RAZ.MATEMATICO BLOQUE II 01.- De un total de 50 personas, hay algunos que se dedican a estudiar o trabajar, y otros que ni estudian ni trabajan; adems: - 20 personas no estudian ni trabajan. - 15 personas estudian. - 7 personas estudian y trabajan. Cuntos de ellos slo trabajan? a) 15 b) 20 c) 25 d) 21 e) 19 02.- De 70 personas elegidas para una prueba, 24 no estudian ni trabajan, adems 40 del total estudian y 25 trabajan. Cuntos del total, estudian y trabajan? a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20 03.- Al realizar una encuesta entre un grupo de personas, 28 conocen MachuPicchu, 32 conocen las pampas de Nazca y 15 ambos lugares; adems 5 no conocen alguno de estos lugares. Cuntas personas fueron encuestadas? a) 45 b) 50 c) 30 d) 40 e) 35 04.- De un grupo de personas, 56 han viajado alguna vez al sur, 43 han viajado al norte y 31 han viajado a ambos lugares. Si adems el nmero de personas que no han viajado a ningn lugar es igual al nmero de personas que slo han viajado al norte, calcular el total de personas. a) 70 b) 80 c) 60 d) 90 e) 50 05.- En una reunin familiar se contaron 80 personas en total, de las cuales: - Asistieron 30 mujeres. - 60 asistentes bailaron. - 10 mujeres no bailaron. Indicar el nmero de hombres que no bailaron. a) 13 b)14 e) 10 d) l2 e) 15


I.E.P. MARIA REYNA RAZ.MATEMATICO 06.- Al primer da de clases de un colegio de educacin primaria asistieron 25 nios (entre hombres y mujeres), de ellos: - 12 eran nias. - 18 asistieron con uniforme. - 4 nias asistieron sin uniforme. Cul fue la cantidad de nios que asistieron sin uniforme? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 07.- De un total de 120 estudiantes de ingeniera electrnica, se sabe que 60 aprobaron Matemtica 1; 35 aprobaron Fsica 1; 45 el curso de Qumica 1; 15 aprobaron Fsica y Qumica; 20 Fsica y Matemtica; 10 Qumica y Matemtica, y slo 5 del total aprobaron los tres cursos. Cuntos alumnos no aprobaron ningn curso? a) 24 b) 25 c) 21 d) 20 e) 19 08.- Un profesor de Literatura, deja como trabajo domiciliario a sus 45 alumnos, la lectura de tres obras ( L1; L2 y L3 ); al tomar los respectivos exmenes observa que: - 15 han ledo L1 - 25 han ledo L2 - 35 han ledo L3 - 10 han ledo L1 y L2 - 20 han ledo L2 y L3 - 10 han ledo L1 y L3 - 9 han ledo L1 , L2 y L3 Cuntos alumnos no han ledo ninguna de las tres obras? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 09.- Del ejercicio anterior: cuntos han ledo slo una obra? a) 12 b) 14 c) 16 d) 22 e) 20


I.E.P. MARIA REYNA RAZ.MATEMATICO 10.- En una reunin de fin de ao, los alumnos de un saln (22 en total), deciden matricularse en cursos vacacionales. 13 se matriculan en natacin, 10 en atletismo y 2 no se matriculan en curso alguno. Cuntos practican slo atletismo? a) 3 b) 5 c)7 d) 9 e) 11 BLOQUE III 01.- En una encuesta efectuada a 100 estudiantes, se obtuvieron los siguientes resultados: - 60 practicaban ftbol. - 50 practicaban bsquet. - 30 practicaban ajedrez. - 20 practicaban ftbol y bsquet. - 10 practicaban ftbol y ajedrez. Los que practicaban bsquet y ajedrez pero no ftbol son el doble de los que practicaban ftbol y ajedrez pero no bsquet. Cuntos practicaban los 3 deportes a la vez? a) 15 b) 10 c) 5 d) 30 e) 22 02.- Para el aniversario de un colegio, la direccin acuerda realizar 3 concursos de: Matemtica, Fsica y Qumica; al final, de las 165 inscripciones se observ que: - 87 se inscribieron en Matemtica. - 91 se inscribieron en Fsica. - 75 se inscribieron en Qumica. - 35 se inscribieron en Matemtica y Fsica. - 17 se inscribieron en Qumica y Matemtica. Los que se inscribieron en Matemtica y Qumica pero no en Fsica son la tercera parte de los que se inscribieron en Fsica y Qumica pero no en Matemtica. Cuntos se inscribieron en los tres cursos? a) 20 b) 12 c) 5 d) 9 e) 42


I.E.P. MARIA REYNA RAZ.MATEMATICO 03.- Del enunciado anterior: cuntos se inscribieron en no menos de 2 cursos? a) 83 b) 42 c) 61 d) 97 e) 19 04.- Un total de 61 estudiantes postulan a tres universidades A, B, C; de ellos se observa que: - 24 postulan a A - 29 postulan a B - Los postulantes a C, son tantos como los que postulan a A y B. - 8 postulan a A y B - 12 postulan a C y A - El triple de los que postulan a A y C, pero no a B, es el doble de los que postulan a B y C, pero no a A. Cuntos postulan a slo dos universidades? a) 30 b) 31 c) 7 d) 42 e) 16 05.- Considerando el problema anterior: en cunto excede el nmero de postulantes a A o B, al nmero de postulantes a A y B? a) 21 b) 7 c) 30 d) 37 e) 14 06.- De cierta cantidad de personas que hicieron compras en una boutique, se not que 23 de ellas compraron el modelo A, 10 compraron los modelos A y C, 9 compraron los modelos A y B, 6 compraron los modelos B y C; la cantidad de personas que compraron los modelos A y C pero no B, son el triple de la cantidad de personas que compraron los modelos B y C pero no A. Cuntas personas adquirieron los tres modelos? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 07.- Del ejercicio anterior: cuntas personas adquirieron el modelo A solamente?


I.E.P. MARIA REYNA RAZ.MATEMATICO a) 23 b) 20 c) 21 d) 8 e) 13 08.- Al hacer una encuesta a cierta cantidad de familias acerca del tipo de leche que acostumbran usar, se obtuvieron los siguientes resultados: - 48 usan leche en polvo - 15 usan leche fresca y evaporada La cantidad de familias que usan los tres tipos de leche es la cuarta parte de la cantidad de familias que usan leche fresca y en polvo, y es la tercera parte de la cantidad de familias que usan leche evaporada y en polvo. Si los que slo usan leche en polvo son 6 familias, cuntas familias usan slo 2 de los tres tipos de leche? a) 40 b) 42 c) 44 d) 43 e) 41 09.- Considerando el ejercicio anterior y suponiendo que adems la cantidad de familias que usan leche fresca es 45 y leche evaporada es 41, cuntas familias usan slo una de las tres formas de leche? a) 27 b) 25 c) 23 d) 21 e) 19 10.- Con el nimo de explicar los usos de la teora de conjuntos, un profesor rene los siguientes datos relativos a las actividades que realizaron sus alumnos el ltimo domingo: - 10 visitan familiares y juegan nintendo. - Los que van al cine y juegan nintendo son 5 menos que los que visitan familiares y juegan nintendo. - Los que visitan familiares y van al cine son el triple de los que van al cine y juegan nintendo. - 17 van al cine solamente. Si del total 30 fueron al cine, cuntos fueron al cine, visitaron familiares y jugaron nintendo? a) 3 b) 5 e) 7 d) 9 e) Absurdo



Captulo 4


I.E.P. MARIA REYNA RAZ.MATEMATICO Promedio: es una cantidad que representa a un conjuntos de datos. Si no todos los datos son iguales su promedio estar comprendido entre el menor y el mayor de los datos. Es decir si tomamos los datos:

a1 ; a2 ; a3 ; a4 ; .. ; an-1 ; an Y el promedio de ellos es P, entonces se cumple que:

a1 < P < an Ejemplo: Cul de las siguientes alternativas no puede se promedio de: 8 ; 10 ; 15 ; 12 ; 19 ; 11 ? a) 13 b) 11,5 c) 21 d) 18 e) 16 Resolucin: De los nmeros que nos dan: 8; 10; 15; 12; 19 y 11; observamos que el menor es el 8 y el mayor es el 19, entonces el promedio P debe estar comprendido entre 8 y 19. Por lo tanto de las 5 alternativas (A; B; C; D y E) la nica que no est comprendida entre 8 y 19 es el 21 (alternativa C) ATENCIN: Si todos los datos son iguales, su promedio P ser igual a ellos.



1 2 3 n.........P.A.n

x x x x+ + + +=

Algunos Tipos de Promedios 1.- Promedio Aritmtico o Media Aritmtica (MA) Ejemplo: Calcular la media aritmtica de 5 ; 7 y 12 Solucin:

5 7 12

MA 83

+ += =

MA = 6 2.- Promedio Geomtrico Media Geomtrica (MA) Ejemplo: Calcular la MG de 2; 4; 8 Solucin:

3 3 24

M.H.1 1 1 7 72 4 8 8

= = = + +

M.H. = 24/7

n1 2 3 nP.G. . . .........x x x x=


I.E.P. MARIA REYNA RAZ.MATEMATICO PROPIEDADES 1. Para dos datos o ms

a) Si no todos son iguales MA > MG > MH

b) Si todos los datos son iguales

MA = MG = MH

2.- Particularmente para 2 nmeros

2ba

.A.M+

= ba.G.M = ba

ab2.H.M

+=

Media Media Media Aritmtica Geomtrica Armnica Adems:

2MGMHMA = ; )

2MG

2MA(42)ba( =

PROBLEMAS RESUELTOS 01.- Calcular la MH de dos nmeros cuya MA es 20 y su MG es diez. a) 3 b) 4 c) 5 d) 8 e) 10 Solucin: Sean los dos nmeros a y b Sabemos que:



a bMA(a,b) 20 20

2a b 40 .......(I)

MG(a,b) 10 a.b 10

ab 100 .........(II)

2abIncognita : MH(a,b) .........(III)

a b

+= =

+ =

= = =

=+

Reemplazamos (I) y (II) en (III)

2 100MH(a,b) 5

40MH(a,b) 5

= =

=

02.- Hallar el promedio de los siguientes nmeros:

20 veces 40 veces

10;10;10;.......;10 ; 30;30;30;.......;30

a) 23 b) 24 c) 26 d) 23,3 e) 28,3 Solucin:

10(20) 30(40) 200 1200P 23,3

20 40 60+ +

= = =+

03.- Si el promedio de 5 nmeros consecutivos es 20. Calcular el promedio de los 3 nmeros consecutivos siguientes. a) 16 b) 24 c) 18 d) 28 e) 20 Solucin: Sean los nmeros consecutivos: a ; a+1 ; a+2 ; a+3 ; a+4



a (a 1) (a 2) (a 3) (a 4)Pr omedio (P)

55a 10

205

100 5a 10

a 18

+ + + + + + + +=

+=

= +=

Los tres nmeros consecutivos siguientes son: a+5 ; a+6 ; a+7 (a 5) (a 6) (a 7)

Pr omedio (P)3

3a 18P

3P a 6

+ + + + +=

+==

= +

Reemplazando a = 18 P = 24 04.- El promedio de 3 nmeros es 20. Si la suma de los dos primeros es 39. Cul es el tercer nmero? a) 21 b) 31 c) 19 d) 26 e) 23 Solucin: Sean los nmeros: a ; b ; c

(a;b;c)a b c

P3

+ +=

a b c20

3+ +

== a+b+c = 60 .. (I)

Dato: a+b = 39 . (II) Reemplazando (II) en (I) a+b+c = 60 39 + c = 60

c = 21



2k 3k 4k 5kP

414k

214

21 4k

14

+ + +=

=

=

05.- Hallar x si el promedio geomtrico de los nmeros: 2x; 4x y 8x; es 64 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Solucin: Tendramos:

3 x x x

36 x 2x 3x

36 6x

6 2x

64 2 .4 .8

2 2 .2 .2

2 2

2 2

=

=

=

=

Identificando: 6 = 2x x = 3 06.- El promedio aritmtico de las edades de 4 hermanos es 21 donde sus edades estn en la relacin de 2; 3; 4; y 5. Calcular la edad del menor ms el mayor. a) 42 b) 30 c) 14 d) 10 e) 24 Solucin: Sean las edades de los 4 hermanos: 2k ; 3k ; 4k ; 5k Luego: k = 6 Piden: 2k + 5k = 7k Respuesta: 42 05.- el siguiente esquema muestra la distribucin de las edades de una clase. Nmero de alumnos 4 2 5 6 3 Edad 20 18 16 14 15


I.E.P. MARIA REYNA RAZ.MATEMATICO a) 15 b) 14 c) 12,65 d) 16,25 e) 15,6 Solucin:

4(20) 2(18) 5(16) 6(14) 3(15)P

4 2 5 6 380 36 80 84 45

P20

P 16,25

+ + + +=

+ + + ++ + + +

=

=

06.- La media aritmtica de 6 nmeros es K y la media aritmtica de otros 4 nmeros es K+1. Hallar la media aritmtica de los 10 nmeros.

a) 2K + 1 b) K+2 c) 2

K5

+ d) 5

K2

+ e) 3K - 1

Solucin: Sean los nmeros: a1 ; a2 ; a3 ; a4 ; a5 ; a6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

a a a a a ak

66k a a a a a a

+ + + + +=

= + + + + +

Sean los otros nmeros: b1 ; b2 ; b3 ; b4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4 5 6 1 2 3 4(10 numeros)

b b b bk 1

44(k 1) b b b b

a a a a a a b b b bMA

10

+ + ++ =

+ = + + +

+ + + + + + + + +=

Reemplazando en la ltima expresin:



(10 numeros)6k 4(k 1)

MA10

+ +=

(10 numeros)5k 2 2

MA k5 5+

= = +

EJERCICIOS 01.- Halle el promedio de los siguientes nmeros :

10 veces 20 veces

10;10;10;.......;10 ; 15;15;15;.......;15

Solucin: 02.- Calcular la M.A. de dos nmeros sabiendo que su M.H. es igual a 4 y su M.G. es igual a 8. Solucin: 03.- Si el promedio de tres nmeros consecutivos es 12, calcular el promedio de los tres nmeros consecutivos siguientes. Solucin:


I.E.P. MARIA REYNA RAZ.MATEMATICO 04.- La siguiente tabla muestra la distribucin de las edades de una clase. Halle la edad promedio. Nmeros de alumnos 5 2 6 8 4 Edad 12 13 14 11 15 Solucin: 05.- La M.A. de 9 nmeros pares consecutivos es 17. Halla la M.G. entre el mayor y el menor de dicho nmero. Solucin:

PROBLEMAS 01.- El promedio de: 4 ; 5 ; 7 ; 9 ; 10 y a es nueve Hallar a a) 13 b) 17 c) 19 d) 20 e) 23 02.- La M.A. de 5 nmeros es 4, si la M.A. de 3 de ellos es 2. Hallar la M.A. de los otros dos nmeros. a) 4 b) 2 c) 3 d) 5 e) 7 03.- La M.A. de cuatro nmeros pares consecutivos es 6. Hallar la M.A. de los dos menores. a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 d) 7


I.E.P. MARIA REYNA RAZ.MATEMATICO 04.- Hallar el promedio de los siguientes nmeros: 5 ; 8 ; 11 ; 14 ; ................ ( 12 trminos ) a) 25,1 b) 21,5 c) 52,2 d) 51,2 e) NA 05.- El promedio geomtrico de 2 nmeros es 12 y su promedio armnico es 4. Hallar su promedio aritmtico. a) 18 b) 20 c) 36 d) 32 e) 24 06.- El promedio aritmtico de las edades de 3 hermanos es 20, donde sus edades estn en la relacin de 5, 3 y 2. Calcular la edad del menor. a) 30 aos b) 18 b) 15 d) 12 e) 8 07.- Si: A = M.A. de: 3 y 5 B = M.A. de: 6 y 10 Calcular la M.G. de A y B a) 23 b) 26 c) 42 d) 43 e) 82 08.- El promedio de 12 nmeros es 14 si de estos 12 nmeros se anulan el 16 y el 20. Entonces el promedio de los nmeros restantes es: a) 18 b) 15 c) 13,2 d) 12,3 e) 13,4 09.- Si a y b son nmeros enteros y la media aritmtica de los mismos es 6 y la media armnica es 16/6. Hallar la media geomtrica de a y b. a) 16 b) 4 c) 2 d) 8 e) 6


I.E.P. MARIA REYNA RAZ.MATEMATICO 10.- La media aritmtica de dos nmeros es 5. Si se triplica el primer nmero y el segundo se disminuye en 2 unidades; el nuevo promedio es 8. Calcular la diferencia de dichos nmeros. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 11.- El doble de la M.A. de dos nmeros es igual al cuadrado de su M.G. ms 1. Si uno de los nmeros es 120. Cul es el otro? a) 3 b) 1 c) 2 d) 120 e) 119 12.- La media aritmtica de 4 nmeros es 31, si la media aritmtica de los dos primeros es 23. Calcular el promedio de los dos ltimos. a) 78 b) 39 c) 8 d) 34 e) 49 13.- La M.A. de 3 nmeros de k si aumentamos un cuarto nmero, la M.A. ser k+1. Cul es este cuarto nmero? a) 1 b) k b) k+1 c) k+3 e) k+4

PROBLEMAS

01.- Hallar el promedio:

veces"a"

b........;;b;b;b,

veces"b"

;a;........;a;a;a

a) ba

ab+

b) ab + ba c) ba

ab2+

d) ab2

ba + e)

ab2

abba +

02.- Si: M = M.A. de 4 y 8 N = M.G. de 3 y 27 Calcula la M.H. de M y N a) 2,8 b) 7,2 c) 3,6 d) 2,7 e) 36


I.E.P. MARIA REYNA RAZ.MATEMATICO 03.- La media aritmtica de a y b es 5, el promedio aritmtico de b y c es 7, y la media aritmtica de a y c es 9. Cul es la media aritmtica de a; b y c? a) 21 b) 10,5 c) 7 d) 3 e) 6 04.- El promedio de 20 nmeros es 25, si se le agrega un nmero ms el promedio sigue siendo 25. Cul es el nmero? a) 20 b) 25 c) 50 d) 40 e) 80 05.- Hallar el promedio de los siguientes nmeros: 7 ; 10 ; 13 ; 16 ; ........ ; 91 ; 94 a) 40 b) 50 c) 50,5 d) 55 e) 60,5 06.- Dos nmeros estn en la relacin de 16 y 9. En que relacin estarn su media aritmtica y su media geomtrica? a) 23/24 b) 5/2 c) 5/6 d) 5/4 e) 16/25 07.- El promedio aritmtico de 50 nmeros es 38, si de los 50 nmeros se anulan el 45 y el 55, entonces el promedio de los restantes es: a) 36 b) 37 c) 36,5 d) 37,5 e) 37,2 08.- Si la M.A. de dos nmeros es 17 y la M.G. de los mismos es 15. Hallar dichos nmeros es indicar la diferencia de ellos. a) 12 b) 14 c) 16 d 15 e) 18 09.- Sabiendo que la M.A. de dos nmeros es a la M.G. de los mismos como 5 es a 3. Calcular la razn de los nmeros. a) 6 b) 8 c) 9 d) 10 e) 12 10.- El promedio de las edades de 4 hermanos es 30, si ninguno de ellos es mayor de 35 aos. Cul ser la mnima edad que uno de ellos puede tener?.


I.E.P. MARIA REYNA RAZ.MATEMATICO a) 25 b) 20 c) 18 d) 15 e) 12 11.- La M.H. de dos nmeros es 3 y la M.H. de otros tres nmeros es 2. Hallar la M.H. de los 5 nmeros. a) 30/13 b) 41/7 c) 6/13 d) 51/13 e) NA 12.- La M.G. de dos nmeros es 6 y la M.G. de otros dos nmeros es 4. Hallar la M.G. de los 4 nmeros. a) 62 b) 26 c) 33 d) 43 e) 46 13.- Si el producto de la M.A. y la M.H. de dos nmeros enteros menos el doble de la M.G. es 120. Hallar el producto de las cantidades. a) 104 b) 144 c) 125 d) 196 e) 12 14.- Hallar x, si el promedio geomtrico de los nmeros: 3x , 9x y 27x es 729. a) 81 b) 2 c) 27 D) 4 E) 6



Captulo 5


I.E.P. MARIA REYNA RAZ.MATEMATICO MEZCLAS Conceptualmente hablando se llama mezcla a la unin ntima de varias sustancias, aunque comercialmente se puede afirmar que mezcla es el procedimiento que tienen por finalidad reunir artculos o sustancias de una misma especie, tratando de obtener varios precios diferentes, uno en comn para ellos. Comnmente se presentan dos casos conocidos dela regla de la mezcla: PRIMER CASO Consiste en determinar el precio medio de la mezcla, conociendo los precios unitarios (calidades) y las proporciones (cantidades) de cada uno de los ingredientes. Ejemplo: Cul es el precio de la mezcla que resulta de combinar 36kg de t a 15 soles el kg con 22 kg de t a 12 soles el kg y con 42 kg de t a 30 soles el kg? Solucin:

Cantidad (kg)

Precio unitario (S/.)

Costo Parcial (S/.)

36 22 42 100kg

15 12 30

540 264 1260 2064

Si: 100kg cuestan 2064 soles

1kg costar: 1002064

= S/.20,64


I.E.P. MARIA REYNA RAZ.MATEMATICO En general: Cantidades: C1 , C2 , .........., Cn Precios unitarios: P1 , P2 , ..........., Pn

P = n21

nn2211C...........CC

PC..........PCPC+++

+++

Es decir:

P = TotalCantidad

TotalCosto

SEGUNDO CASO Consiste en hallar las cantidades de cada ingrediente, conociendo el precio medio, los precios unitarios y la cantidad total. Ejemplo: Se mezcla un vino de 43 soles el litro, con otro de 27 soles el litro, resultando en total 128 litros a 32 soles el litro. Qu cantidad se tom de cada uno? Solucin: a litros de S/.43 por dato: a+b = 128

b litros de S/.27 como P = 21

2211CC

PCPC+

+

Reemplazando:

32 = ba

27b43a+

+

32a + 32b = 43a + 27b 5b = 11a

Pero: a+b = 128 a + 5a11

= 128 5a16

= 128

a = 40 litros b = 88 litros


I.E.P. MARIA REYNA RAZ.MATEMATICO MEZCLAS ALCOHLICAS La pureza o fuerza de un alcohol se mide en grados, que equivale al porcentaje de alcohol presente en la mezcla, siendo el resto agua. Por ejemplo: i. Un alcohol de 90, significa que el 90% es alcohol y el resto es agua. ii. Una mezcla alcohlica de 75, significa que el 75% es alcohol puro y el resto agua. iii. Una mezcla de alcohol puro, tendr 100. Si tenemos diferentes volmenes de alcohol (V1 , V2 , V3 ,..), con diferentes grados de pureza (g1 , g2, g3 , ........) , el grado de pureza de la mezcla se determinar de la siguiente manera:

n...........321

nn332211M VVVV

g.V............g.Vg.Vg.Vg

++++++++

=

PROBLEMAS 01.- Un comerciante ha mezclado 3 tipos de arroz: 80kg de S/.2,5 por kg; 120 kg de S/.1,5 por kg y 50kg de S/.2,0 por kg. Cul es el precio medio de un kg de la mezcla? a) 1,96 b) 1,48 c) 1,92 d) 2,05 e) 2,75 02.- En un barril se mezclan 60 litros de vino de S/.15 el litro, 50 litros de vino de S/.18 el litro y 40 litros de vino de S/.12. Si al venderlo se desea ganar dos soles por litro, cual es el precio de venta por litro?. a) 17,2 b) 18,2 c) 14,6 d) 16,6 e) 15,8 03.- Un comerciante compr 120kg de caf a S/.8 el kg y los mezcl con 80kg de caf de S/.10, a cmo debe vender el kg de mezcla, si quiere ganar el 25% del costo? a) S/.12 b) 13 c) 12,5 d) 11,5 e) 11


I.E.P. MARIA REYNA RAZ.MATEMATICO 04.- Mario mezcla 35 litros de aceite de S/.5 el litro con 20 litros de otro aceite de S/.4 el litro de otro aceite de S/.3,24. Si la mezcla se est vendiendo a S/.5,3 por litro, cunto se est ganando por litro vendido? a) S/.1,1 b) 1,5 c) 1,56 d) 1,3 e) 1,72 05.- Se mezclaron vino de 10; 6 y 8 soles, cuyos volmenes respectivamente son 18 litros, 10 litros y 22 litros. Si al vender, por litro de mezcla se quiere ganar el 25%, cul es el precio de venta del litro de la mezcla? a) S/.10,8 b) 10,4 c) 9,6 d) 9,2 e) 9,32 06.- Un bodeguero compr 36kg de t a 15 soles el kg; 22kg de t a 12 soles el kg y 42kg de t a 30 soles el kg. Si combina las tres cantidades, cul debe ser el precio de venta por kg, si se quiere ganar 1,20 soles por kg? a) S/.20,64 b) 21,64 c) 21,84 d) 22,36 e) 22,48 07.- Se quiere preparar una mezcla de 40 litros de vino que cuesta S/.24 el litro; para esto se disponen de 24 litros de vino de S/.28 el litro y 16 litros de vino de otra calidad, cul es el precio por litro del segundo vino? a) S/.15 b) 16 c) 18 d) 20 e) 21 08.- Cul es el grado que resulta de mezclar 25 litros de alcohol de 72, 15 litros de alcohol de 80 y 20 litros de alcohol puro? a) 83,3 b) 79,4 c) 82,1 D) 85,2 E) 87,2 09.- Si tenemos 18 litros de alcohol de 80, cuntos litros de alcohol de 55 se deben aadir, para que el grado de la mezcla sea 70? a) 12 litros b) 140 c) 150 d) 100 e) 210


I.E.P. MARIA REYNA RAZ.MATEMATICO 10.- Se tiene 8 litros de alcohol de 72. Si le agregamos 2 litros de alcohol puro, en cuntos grados aumenta la pureza de la mezcla? a) 5,6 b) 5,2 c) 4,8 d) 3,2 e) 3,6 11.- Se mezclan ron de 10 ; 8 y 5 soles el litro cuyos volmenes respectivos son: 60; 25 y 15 litros. Hallar el precio de venta por litro si se desea ganar el 20%. a) S/.10,2 b) 10,5 c) 12,5 d) 11,2 e) 11,5 12.- Al mezclar 20kg de arroz de S/.1,2 el kg y 30kg de arroz de S/.2 el kg, se obtiene una mezcla que se vende a S/.2,5 el kg, cunto se gana de mezcla? a) S/.0,48 b) 0,56 c) 0,64 d) 0,82 e) 0,76 13.- Dada la siguiente tabla:

Vino A B C P. Unitario S/.8 S/.12 S/.15 Volumen 300 50

Cuantos litros de vino B se necesitan para que el litro de vino de la mezcla cueste S/.10,25? a) 200 b) 225 c) 250 d) 180 e) 150 14.- En un tonel de 100 litros de capacidad se echan 40 litros de vino de S/.12 el litro; 50 litros de S/.16 el litro y se acaba de llenar con agua, cul es el precio de venta por litro, si se quiere ganar el 25% del costo? a) S/.12,8 b) 16 c) 14,4 d) 9 e) 10 15.- Se han mezclado tres cantidades de arroz de los siguientes precios: S/.3 ; S/.2,5 y S/.2 . La cantidad de arroz ms caro es a la cantidad de arroz ms barato como 3 es a 4 y del arroz intermedio se tiene 120kg. Si el precio de un kg de esta mezcla es S/.2,45. Hallar al cantidad d arroz ms caro empleado. a) 60kg b) 120 c) 50 d) 80 e) 180


I.E.P. MARIA REYNA RAZ.MATEMATICO 16.- Una mezcla de vino y agua tiene 1800 litros, siendo el 80% de vino, cuntos litros de agua se debe aadir para que el vino represente ahora el 75%? a) 120 b) 150 c) 180 d) 200 e) 250 17.- Con dos clases de azcar de S/.4 y S/.5,2 el kg, se quiere hacer una mezcla de S/.4,8 el kilogramo, de tal manera que del ms barato se tenga 25kg menos que el ms caro, Cul es el peso de toda la mezcla? a) 90kg b) 75 c) 120 d) 60 e) 150 18.- Se mezcla 90 litros de vino de S/.20 el litro con vino de S/.12 el litro y con un tercero de S/.18 el litro, resultando un precio medio de S/.17. Sabiendo que por cada 5 litros del segundo hay 7 litros del tercero. Cunto se recaudar si se vende toda la mezcla? a) S/.3620 b) 4080 c) 3780 d) 4590 e) 5100 19.- Tenemos 54 litros de alcohol de 90 y se mezclan con 81 litros de otro alcohol de 72, cuantos litros de agua deben aadirse a esta mezcla, para obtener una mezcla de 60 de pureza? a) 81,4 b) 64,8 c) 32,7 d) 43,2 e) 86,4 20.- Se han mezclado 50 litros de alcohol de 96 de pureza, con 46 litros de alcohol de 60 y 54 litros de otro alcohol, cul es la pureza de este ltimo alcohol, si la mezcla tiene 68,4 de pureza? PROBLEMAS 01.- Jorge realiza una mezcla de 4 litros de agua y 6 litros de zumo de naranja. Si luego extrae 5 litros de esta mezcla, cuntos litros de zumo de naranja se extraen? a) b) 1 c) 2 d) 3 e) L3

11

32

1


I.E.P. MARIA REYNA RAZ.MATEMATICO 02.- El profesor Chvez prepara una mezcla de 24cc de HCI con 18cc de H2O. Si luego extrae 14cc de esta mezcla, cuntos cc de HCI se extraen? a) 6 b) 12 c) 9 d) 8 e) 5 03.- Se tiene una mezcla de 30 litros de lquido Acon 70 litros de lquido B . Si se extrae 60 litros de dicha mezcla, cuntos litros de lquido B quedan? a) 40 b) 28 c) 36 d) 42 e) 27 04.- Se llena un recipiente de 8 litros con 6 litros de alcohol y el resto con agua. Se utiliza una cuarta parte de la mezcla y se remplaza con agua Cuntos litros de alcohol queda en el recipiente? a) 2,5 b) 2 c) 4,5 d) 3 e) 3,5 05.- Un recipiente contiene 30 litros de vino, del cual se extrae 1/5 de su contenido y se y se remplaza totalmente por agua, enseguida se extrae 1/3 de la mezcla y tambin se remplaza por agua. Cuntos litros de vino queda en el recipiente? a) 12 b) 13 c) 18 d) 15 e) 21 06.- Un depsito contiene 60 litros de vino del cual se extrae 20 litros de su contenido y se remplaza por agua, enseguida se extrae de la mezcla y tambin se reemplaza por agua. Por ltimo se extrae 1/3 de la nueva mezcla y tambin se remplaza por agua. Cuntos litros de vino quedan en el deposito? a) 15 b) 20 c) 30 d) 35 e) 40 07.- Se mezclan 12 litros de agua con 18 litros de alcohol, se extrae de est mezcla 5 litros y se remplaza con agua. Luego se extrae 10 litros de la nueva mezcla y tambin son remplazados por agua. Qu cantidad de alcohol queda finalmente en el recipiente? a) 5 b) 9 c) 10 d) 12 e) 15 08.- De un depsito de 64 litros de vino y 16 litros de agua, se extrae 20 litros de la mezcla y se remplaza con agua y


I.E.P. MARIA REYNA RAZ.MATEMATICO nuevamente se sacan 20 litros de la nueva mezcla y son remplazados por agua. Cuntos litros de vino y de agua hay en la ltima mezcla? a) 30 y 50 b) 48 y 32 c) 36 y 44 d) 27 y 53 e) 34 y 46 09.- De un frasco lleno de alcohol se extrae un cuarto de su cociente y se remplaza con agua. Luego se extrae de la mezcla y se llena con agua pero slo hasta lo 2/3 de su capacidad. Cunto de alcohol y agua hay? ( indicar en que relacin se encuentran). a) 9/5 b) 1/9 c) 3/13 d) 9/23 e) 23/9 10.- Se tiene una botella de vino de la cual se extrae la cuarta parte y se remplaza por agua, luego se extrae la quinta parte del nuevo contenido y se llena con agua solo hasta los 5/6 de la botella. Si en la mezcla fina hay 28 litros de agua, Cuntos litros de vino hay en dicha mezcla? a) 36 b) 44 c) 28 d) 72 e) 18 11.- Un recipiente A contiene 8 litros de vino puro y 4 litros de agua. Un segundo recipiente B contiene 9 litros de vino puro y 6 litros de agua. Se sacan 3 litros de las mezclas de cada recipiente y se hace el intercambio respectivo. Cunto ms de vino hay en uno que en el otro recipiente? a) 2,4 b) 1,8 c) 1,4 d) igual e) no se precisar 12.- A karina se le pide que mezcle Coca Cola con pisco en la relacin de 1 a 3, pero por error hizo lo contrario. Qu parte de la mezcla se tiene que cambiar por pisco para obtener lo requerido? a) b) 1/3 c) 2/3 d) e) 2/9 13.- Calcular el peso de un litro de mezcla que contiene 7/10 de agua y el resto de alcohol, sabiendo que el litro de agua pesa 1Kg y un litro de mezcla de de alcohol y un cuarto de agua pesa 960g a) 988g b) 940 c) 984 d) 1000 e) 1007


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