Résoudre les équations de propagation...- les ondes mécaniques, comme celles résultant de la...
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Electromagnétisme
Résoudre les équations de propagation
NOTIONS MATHEMATIQUES- RAPPEL -
Composantes d ’un vecteur
Pour représenter un vecteur, on se définit un repère orthonormé Oxyz.
=
++=
++=
zyx
OM
kzjyixOM
kOCjOBiOAOMrrr
rrr
Produit scalaire
Il s ’agit de la mesure algébrique de la projection d ’un vecteur sur un axe.
uWW rr•=
( )VWVWVW
VWVWVWVW zzyyxxrrrr
rr
,cos⋅⋅=•
⋅+⋅+⋅=•
Wr
ur W
Dans un repère orthonormé, on peut l’exprimer en fonction des composantes des vecteurs
Produit vectoriel
Il s ’agit du vecteur perpendiculaire au plan formé par les vecteurs initiaux de sens tel que le trièdre formé soit direct
Pr
1Wr
2Wr
( )
21
21
21
212121 ,sin
zzkyyjxxi
P
WWWWWWP
r
r
r
r
rrrrr
=
⋅⋅=⊗=
Gradient
UzUyUxU
kzUj
yUi
xUUgrad
∇=
∂∂∂∂∂∂
=∂∂
+∂∂
+∂∂
=
r
rrr
kz
jy
ix
rrrr
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇
Le gradient : - est normal aux surfaces de niveau- orienté dans le sens des valeurs croissantes du champ
Divergence
On appelle divergence d ’un vecteur le scalaire :
Wz
Wy
Wx
WWdiv zyx
rr
r
•∇=
∂∂
+∂
∂+
∂∂
=
La divergence est un opérateur qui mesure la tendance d’un vecteur de provenir ou de converger vers un point :
kz
jy
ix
rrrr
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇
Rotationnel
Le rotationnel d ’un vecteur est donné par :
∂∂
−∂
∂∂
∂−
∂∂
∂
∂−
∂∂
=
yW
xW
xW
zW
zW
yW
Wrot
xy
zx
yz
r
z
y
x
Wz
k
Wy
j
Wx
i
WWrot
∂∂∂∂∂∂
=⊗∇=
r
r
r
rrr kz
jy
ix
rrrr
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇
Laplacien
On peut calculer la divergence du gradient d ’un scalaire
UzU
yU
xUWdiv
kzUj
yUi
xUUgradW
∆=∂∂
+∂∂
+∂∂
=
∂∂
+∂∂
+∂∂
==
2
2
2
2
2
2r
rrrr
2
2
2
2
2
22
zyx ∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇=∇•∇=∆rrr k
zj
yi
x
rrrr
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇
ONDES ELECTROMAGNETIQUES
1. Ondes - Généralités2. Modélisation mathématique3. Relation de dispersion
4. Equations du champ électromagnétique5. Onde électromagnétique dans le vide6. Etat de polarisation
7. Ondes électromagnétiques dans un milieu8. Ondes électromagnétiques dans un conducteur
9. Ondes électromagnétiques dans un isolant
10. Réflexion et transmission entre deux milieux11. Réflexion sur un conducteur parfait
12. Propagation par guide d’onde
1. Ondes - Généralités1. Concept d’onde
Une onde se définit comme une perturbation (en général périodique) du milieu dans lequel elle se propage.
Il existe une grande diversité d’ondes :- les ondes mécaniques, comme celles résultant de la déformation de la surface
d’un liquide - les ondes sonores, qui résultent de variations de la pression de l’air- les ondes électromagnétiques qui n’ont pas besoin de support matériel
Point fondamental
Seule la perturbation se propage, et non le milieu lui-même
1. Ondes - Généralités2. Onde éléctromagnétique
Rayonnement omniprésent (GSM, micro-onde, lumière)
Dualité onde-corpuscule :- composée d’un grand nombre de corpuscules, les photons- comportement ondulatoire du fait des propriétés quantiques
du photon
Approche ondulatoire = approximation similaire de la relativité par la mécanique classique
Construction d’une onde électromagnétique
Association combinée d’un champ électrique et d’un champ magnétique (champ électromagnétique) oscillants à la même fréquence
1. Ondes - GénéralitésType d’onde
-transverse : déplacement perpendiculaire à la direction de propagation-longitudinale : déplacement parallèle
Ondes électromagnétiques = ondes transverses
La fonction représentative d’une onde doit représenter la perturbation.Elle dépend donc du temps et de l’espace
( )txf ,=φ
( ) ( ) vtxxavecxftx −== '',φ
Pour décrire la propagation, il suffit de définir la fonction f dans un système deréférence qui se déplace à une vitesse constante v par rapport à l’origine
2. Modélisation mathématique
Le physicien d’Alembert (1717-1783) fit appel au formalisme mathématiquedes dérivées partielles pour décrire les fonctions d’ondes
2. Modélisation mathématique
Equation d’onde ou équation de propagation
012
2
22
2
=∂∂
−∂∂
tcxφφ
en une dimension
012
2
22
2
2
2
2
2
=∂∂
−∂∂
+∂∂
+∂∂
tczyxφφφφ
Généralisation 3D
Équation de d’Alembert
Une onde est une fonction de x et de t qui est une solution de l’équation d’ondes ded’Alembert
La solution la plus simple de l’équation d’ondes différentielle est une fonction sinusoïdale ou harmonique
2. Modélisation mathématique
Onde harmonique
[ ])(cos)'cos(),( vtxkAkxAtx −==φ
Périodicité spatiale : λ longueur d’onde en m
Les ondes harmoniques présentent une double périodicité : dans l’espace et dans le temps
),(),( txtx λφφ ±=
On en déduit la valeur de k, nombre d’onde, exprimé en m-1 :
λπ2
=k
2. Modélisation mathématique
D’où
Relation fondamentale
),(),( Ttxtx ±= φφ Périodicité temporelle : Τ période en s
On peut également en déduire la valeur de k :
vTk π2
= vT=λ
fv λ=
2. Modélisation mathématique
Tπω 2
=
Tf 1
= λπ2
=k
pulsation
fréquence nombre d’onde
fv λ=
Onde harmonique
[ ]tkxAtx ωφ ±= cos),(
Récapitulatif
célérité ou vitesse
Un signe – correspond au cas où la vitesse de propagation est orientée dansle sens des x croissants, le signe + à une propagation vers les x décroissants
On parle d’onde progressive si il existe une direction et un sens de propagation
2. Modélisation mathématique
Ondes planes harmoniques
( )( )trkAtr
tzyxtr
ωφ
φφ
−⋅=
=rrr
r
sin),(
,,,),(
On étudie les fronts d’onde, lieux géométriques où la phase de l’onde est constante
nc
nk rrr ωλπ
==2
vecteur d’onde
plan d’onde (perpendiculaire à la direction de propagation)
2. Modélisation mathématique
Ondes sphériques
( )tkrrAtr ωφ −= sin),(r
Les fronts d’onde sont des sphères
2. Modélisation mathématique
Notation complexe d’un champ
( )trkEtrE ω−⋅=rrrrr
cos),( 0
( )[ ]( )[ ]rktiEtrE
trkiEtrErrrrr
rrrrr
⋅−=
−⋅=
ω
ω
exp),(
exp),(
0
0
On associe une onde complexe à l’onde réelle; la partie imaginairen ’a pas de signification physique
Raccourcis mathématiques
∫∂∂
ω
ω
ipartionmultiplicadt
ipartionmultiplicat
1a
a
VkiVVgrad
EkiEErot
EkiEEdiv
rr
rrrrr
rrrrr
−=∇=
⊗−=⊗∇=
•−=•∇=
La relation de dispersion est une relation entre la pulsation et le vecteur d'onded'une onde monochromatique.
3. Relation de dispersion
Dans l’équation de l’onde, ω caractérise la source, k la propagation de l’onde de pulsation ω dans le milieu.
Milieu non-dispersif : quelque soit ω la vitesse de propagation est la même, la relation ω = ck est linéaire (harmoniques à même vitesse).
Milieu dispersif : la vitesse de propagation dépend de ω (propagation des harmoniques à des vitesses différentes)
La dispersion est le phénomène affectant une onde se propageant dans un milieu dit « dispersif », c'est-à-dire dans lequel les différentes fréquences constituant l'onde ne se propagent pas à la même vitesse.
k(ω) = relation de dispersion
3. Relation de dispersion
Vitesse de phase = vitesse de propagation de la phase (kx−ωt), vitesse apparentek
v ωϕ =
dkdvgω
=Vitesse de groupe = vitesse de propagation de l’énergie de l’onde = vitesse de déplacement du paquet d’ondes, vitesse réelle
3. Relation de dispersion
Milieu non dispersif : vitesse de phase et de groupe égales
Mileu dispersif : vitesse de phase pente à l’originevitessse de groupe pente de la tangente à la courbe ω(k) au point considéré
4. Equations du champ électromagnétique
Caractéristiques électromagnétique d’un milieu
ρ : densité de charge volumiqueil s’agit de la quantité de charge électrique par unité d’espace (C/m3)
ε : permittivite électriquec’est une propriété physique qui décrit la réponse d‘un milieu donné à un champ électrique appliqué (F/m)
µ : perméabilité magnétiqueelle caractérise la faculté d'un matériau à modifier un champmagnétique (H/m)
j : densité de courantdécrit le courant électrique qui circule à l'échelle locale, en un point d'un matériau (A/m2)
4. Equations du champ électromagnétique
Cas général - Equations de Maxwell
∂∂
+=⊗∇⇔
∂∂
+=
=•∇⇔=
∂∂
−=⊗∇⇔∂∂
−=
=•∇⇔=
tEjB
tEjBrot
EEdiv
tBE
tBErot
BBdiv
rrrr
rrr
rrr
rrr
rr
rrr
εµεµ
ερ
ερ
)4(
)3(
)2(
00)1(
4. Equations du champ électromagnétique
Propagation de l’énergie La propagation de l’énergie se manifeste expérimentalement dans de nombreux cas :– On peut ressentir son effet si l’on s’expose aux rayons solaires ou au rayonnement d’une source chaude – De même tout émetteur radio expédie de l’énergie à travers l’espace, une infime partie de cette dernière étant captée par votre récepteur radio
µBERrr
r ⊗=
Vecteur de Poynting
La direction et le sens du vecteur de Poynting sont ceux de l’écoulement de l’énergieIl s’exprime en W/m2
4. Equations du champ électromagnétique
Densité d’énergie électromagnétique Elle est liée au deux composantes, électrique et magnétique, du champ :
+= 2
2
21 EBw ε
µ
∫∫ •=S
r SdRPrr
se calcule par le flux du vecteur de Poynting à travers la surface illuminée
Puissance rayonnée par une onde électromagnétique
somme d'une énergie purement magnétique et d'une énergie purement électrique.
5. Onde électromagnétique dans le vide
∂∂
=⊗∇
=•∇∂∂
−=⊗∇
=•∇
tEB
EtBE
B
rrr
rr
rrr
rr
00)4(
0)3(
)2(
0)1(
εµ
Equations de Maxwell
Relation de dispersion
200
2 ωεµ=k ωεµ 00=k
cvv G ====0000
1εµεµω
ωϕ
1-120
-170
mF1085,8
mH104−
−
⋅=
⋅=
ε
πµ
5. Onde électromagnétique dans le vide
Structure de l’onde
EkBr
rr
⊗=ω
kBrr
⊥ kErr
⊥
Par conséquent :- les champs électrique et magnétique sont transverseset orthogonaux-le trièdre est direct-Les normes des champs sont dans le rapport :
( )kBErrr
,,
BEc =
5. Onde électromagnétique dans le vide
Spectre électromagnétique
5. Onde électromagnétique dans le vide
Spectre électromagnétique
Les ondes ne diffèrent que par le procédé d’émission :- Hertzien : rayonnement d’une antenne- IR, V, UV : désexcitation électronique, vibration, rotation- X : désexcitation électronique interne, bremsstrahlung- γ : désexcitation des noyaux, interactions entre particules de HE.
fc λ=
6. Etats de polarisation
La direction de polarisation d’une onde correspond à la direction dans laquellele champ électrique oscille.
La figure décrite au cours du temps par le champ électrique en un point donnépeut être alors :•un segment de droite, cas de la polarisation rectiligne;•une ellipse, cas de la polarisation elliptique;•un cercle, cas de la polarisation circulaire.
6. Etats de polarisation
Modélisation mathématiqueExpression générale d’une onde plane monochromatiquese propageant selon l’axe des x
( )( )
+−=−=
=
ϕωω
kxtEEkxtEE
EE
bz
ay
x
coscos
0r
ϕ = mπ
a
y
b
z
EE
EE
±=
ϕ ≠ mπ
ϕϕ 222
sincos2 =−
+
a
y
b
z
a
y
b
z
EE
EE
EE
EE
polarisation rectiligne
équation caractéristique d ’une ellipsepolarisation elliptique
6. Etats de polarisation
7. Ondes électromagnétiques dans un milieu
Milieux linéaires, homogènes et isotropes
Il est linéaire si ses perméabilités diélectrique et magnétique ne dépendent pas des champs appliqués.
Il est homogène si ses propriétés sont les mêmes en tout point
Il est isotrope si ses propriétés sont les mêmes dans toutes les directions.
Ej
BH
ED
rr
rr
rr
σ
µ
ε
=
=
=1
déplacement électrique
excitation magnétique
densité de courant
Les relations constitutives relient entre elles les champs, charges et courants et sont habituellement dépendantes de la fréquence
7. Ondes électromagnétiques dans un milieu
Equations de Maxwell
∂∂
+==⊗∇
∂∂
−==⊗∇
==•∇
==•∇
tEEBrotB
tBErotE
BdivB
EdivE
rrrrr
rrrr
rrr
rrr
εσµ
ερ
0
Relation de dispersion dans un milieu non chargé
22 1 ωωεσµε
−= ik
7. Ondes électromagnétiques dans un milieu
k2 complexe quelconque kikk ′′−′=rrr
- la partie réelle k’ caractérise la propagation- La partie imaginaire k’’ caractérise l ’atténuation
kv
′=
ωϕ
kddvg ′
=ω
( )[ ][ ] ( )[ ]trkirkEtrE
trkiEtrE
ω
ω
−⋅′⋅′′−=
−⋅=rrrrrrr
rrrrr
expexp),(
exp),(
0
0
La vitesse est définie par rapport à la propagation
L’équation de dispersion admet une racine imaginaire telle que :
7. Ondes électromagnétiques dans un milieu
k2 réel positif
2
22
vω
=k
vitesse de phase = vitesse apparente
v==k
v ωϕ
vitesse de groupe = vitesse de transmission d ’un signal ϕ
ω vdkdvg <=
L’équation de dispersion admet une racine réelle k = k’ telle que :
v : vitesse de l’onde
kk ′=rr
7. Ondes électromagnétiques dans un milieu
k2 réel négatif kik ′′−=
Il n’y a donc pas de propagation possible dans le milieu
L’onde s’évanouit en pénétrant le milieu.Elle est dite évanescente
L’équation de dispersion admet une racine imaginaire:
7. Ondes électromagnétiques dans un milieu
( )v
inkikk ωκ−=′′−= '
- n : partie réelle = indice de réfraction, caractérise la propagation
- κ : partie imaginaire = indice d ’extinction, caractérise l ’atténuation qui accompagne la propagation
Lorsqu’une onde passe du vide à un milieu d’indice n, se fréquence reste constante mais sa longueur d’onde diminue d’un facteur 1/n
n0λλ =
Relation avec l’optique classique
nvv
vnk ==′ ϕ
ω
Impédance d ’un milieu
EkBr
rr
⊗=ω d ’où ZHH
kB
kE ===
ωµω
soitk
Z ωµ= Z : impédance caractéristique du milieu
- si k, ε, µ sont réels, Z est réel :
εµµ ϕ == vZ on pose Z0 impédance caractéristique su vide :
0
00 ε
µ=Z
d ’où
r
rZZεµ
0=n
ZZ 0=soit pour un milieu non absorbant d ’indice
de réfraction n
7. Ondes électromagnétiques dans un milieu
Conducteur parfait
correspond au cas d ’une conductivité infinie
0
0rv
rr
=
=
B
E
se comporte comme un écran : pas de propagation possible
8. Ondes électromagnétiques dans un conducteur
L’onde met en mouvement les charges en surface du conducteur.
Le champ électromagnétique émis par les charges en mouvement à la surface du conducteur compense exactement le champ incident à l’intérieur du conducteur : la surface émet une onde de même amplitude que le champ incident et en opposition de phase.
Cas des bons conducteurs 1>>ωεσ
22 1 ωωεσµε
−= ik µσωik −≈2 ( )ik −= 1
2µσω
On définit l ’épaisseur de peau par :ωµσ
δ 21=
′′=
k
δ est une distance caractéristique du milieu au bout de laquelle l ’amplitudede l ’onde est diminuée d ’un facteur e
8. Ondes électromagnétiques dans un conducteur
Il y a propagation et atténuation progressive de l’onde dans le milieu
Isolant parfait
22 1 ωωεσµε
−= ik 22 µεω=k µεω=k
Il y a propagation sans atténuation : le milieu est dit transparent
9. Ondes électromagnétiques dans un isolant
Diélectrique faiblement conducteur
( )222 1 kikik ′′−′=
−= ω
ωεσµε
avec
kk ′<<′′⇒<< 1ωεσ
εµσ
µεω
2=′′
=′
k
k
9. Ondes électromagnétiques dans un isolant
−=
εωσµεω
21 ik
Il y a atténuation importante de l’onde dans le milieu
On peut également utiliser la notiond’épaisseur de peau
k ′′=
1δ
∂∂
+==⊗∇
∂∂
−==⊗∇
==•∇
==•∇
tDEHrotH
tBErotE
BdivB
DdivD
rrrrr
rrrr
rrr
rrr
σ
ρ
0
Equations générales
10. Réflexion et transmission entre deux milieux
nr(1) (2)
On considère le passage de l’onde d’un milieu (1) à un milieu (2).L’interface entre les deux milieux est plan.
Conditions de passage ou relations de continuité
1212
12
12
1212
0
0
njHH
EE
BB
nDD
stt
tt
nn
nn
rrrr
rrr
rrr
rrr
⊗=−
=−
=−
=− σ σ : densité de charge surfaciquejs : densité de courant surfacique
10. Réflexion et transmission entre deux milieux
Les équations de Maxwell à l’interface des deux milieux donnent ce quel’on nomme relations de continuité.
les indices n et t correspondent aux composantes du champnormales à la surface et tangentielles.n12 est la normale à la surface dirigée du milieu 1 vers lemilieu 2.
10. Réflexion et transmission entre deux milieux
On a au total trois ondes planesprogressives : l’onde incidente(indice i ), l’onde réfléchie (indice r )et l’onde transmise (indice t )
Dans le milieu (1), le champ électromagnétique correspond à lasuperposition de l’onde incidente et réfléchie.
Seul le champ transmis est présent dans le milieu (2)
Le conducteur est considéré parfait : les champs sont nuls à l’intérieur du milieu(2). Le milieu (1) correspond au vide. L’incidence de l’onde est normale.
11. Réflexion sur un conducteur parfait
(1) (2)
ox
y
ikriE
r
iBr
rEr
rBr
rkr
Le conducteur reçoit une onde incidente et renvoie une onde réfléchie.L’onde transmise est nulle.
Les conditions de passage deviennent :
11. Réflexion sur un conducteur parfait
Or D1n = 0 (les champs incident et réfléchi s’annulent) : la densitésurfacique de charge est nulle.
Les champs magnétiques incident et réfléchi se somment.
Quand l’onde arrive sur le conducteur elle met en mouvement descharges et provoque un courant surfacique. Ces charges sont accéléréeset rayonnent un champ électromagnétique.
njH
nD
st
nrrr
rr
⊗=−
=−
1
1 σ(1) (2)
ox
yik
riDr
iHr
rDr
rHr
rkr
Onde incidente :
11. Réflexion sur un conducteur parfait
( )[ ]( )[ ] zi
yi
ukxtiBB
ukxtiEErr
rr
−=
−=
ω
ω
exp
exp
0
0(1) (2)
ox
y
ikriE
r
iBr
rEr
rBr
rkr
Onde réfléchie :
- il y a changement de signe de la composante tangentielle du champ électrique- la réflexion du champ magnétique se fait sans changement de signe- l ’onde réfléchie a la même pulsation ou fréquence que l ’onde incidente- l ’onde réfléchie se propage dans le sens contraire de l ’onde incidente
( )[ ]( )[ ] zr
yr
ukxtiBB
ukxtiEErr
rr
+=
+−=
ω
ω
exp
exp
0
0riir kkketkk ==−=
rr
11. Réflexion sur un conducteur parfait
Onde résultante dans le vide :
ri
ri
BBB
EEErrr
rrr
+=
+=
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) zz
yy
utikxBuikxikxtiBB
utikxiEuikxikxtiEErrr
rrr
ωω
ωω
expcos2expexpexp
expsin2expexpexp
00
00
=+−=
−=−−=
- l ’onde résultante est plane- elle n ’est pas progressive donc stationnaire : les champs vibrent sur place- les champs sont orthogonaux et ne sont pas en phase; ils sont en quadrature- l ’amplitude des champs varient avec x
11. Réflexion sur un conducteur parfait
Onde résultante dans le vide :
Les champs électromagnétiques sont donnés par les expressions réelles:
( ) ( )( ) ( ) z
y
utkxBB
utkxEErr
rr
ω
ω
coscos2
sinsin2
0
0
=
=
Il s’agit d’ondes stationnaires. On observe des noeuds de vibration quand le terme en kx est nul, des ventres de vibration lorsque le terme en kx est maximal
11. Réflexion sur un conducteur parfait
Pression de radiation
Une densité superficielle de courant est induite par l’onde à la surface du conducteur
Ce courant subit de la part du champ magnétique incident une force de Laplace.
Cette force est exercée selon le sens de propagation de l ’onde incidente
On peut montrer que sa valeur moyenne dans le temps est :
200 EPrad ε=
12. Propagation par guide d’onde
12. Propagation par guide d’onde
Modèle mathématique :
Le guide d’onde considéré est un tube dont les parois sont constituées de conducteur parfait et à l ’intérieur duquel règne le vide.
On se limite au mode TE (champ électrique transverse) pour un guide d ’onde constitué de deux plans parallèles.
x
z
a Er k
r
( ) ( )[ ] yukxtizyEE rr−= ωexp,0
L ’équation du champ électrique est :
12. Propagation par guide d’onde
Ce champ doit satisfaire 3 conditions :
Sa divergence doit être nulle :
0=•∇= EEdivrrr ( ) ( )[ ] 0exp,0 =−
∂∂ kxti
yzyE ω
E0 n ’est fonction que de z
Il vérifie l’équation de propagation :
012
2
2 =∂∂
−∆tE
cE
rr
002
2
2
20
2
=
−+ Ek
cdzEd ω
Equation différentielle du second degré en E0: différents cas à distinguer en fonction du signe
12. Propagation par guide d’onde
Cas des basses fréquencesc
k ω>
222
2
αω−=− k
c( ) ( )zBzAE αα −+= expexp0
00 =E pas de propagation
Le champ doit être nul à la limite des conducteurs :
Etudions alors la résolution de l’équation différentielle
Cas de la pulsation critiquec
k ω=
022
2
=− kcω BAzE +=0
00 =E pas de propagation
12. Propagation par guide d’onde
Cas des hautes fréquences
222
2
αω=− k
c( ) ( ) ( )zBzAzE αα cossin0 +=
( ) 0sin =zA α
anπα =
( )
= z
anAzE πsin0
Cette onde ne peut se propager que si k2 > 0 soit :
2
222
2
2
ank
cπω
=− 2
22
2
2
an
ck πω
−=
Il s’agit de la relation de dispersion dans un guide d ’onde
ck ω
<
11. Propagation par guide d’onde
La relation de dispersion impose :
acn
cπωω =>
2
22
2
2
an
ck πω
−=
Un guide d ’onde ne peut donc propager que des ondes de pulsations supérieuresà la pulsation de coupure ωc = filtre passe-haut
soit
Pour déterminer le champ magnétique correspondant, il faut utiliserles équations de Maxwell :
tBEErot
∂∂
−=⊗∇=r
rrr( )
( )
−
−
=
kxtza
nkE
kxtza
nanE
B
ωπω
ωπωπ
cossin
0
sincos
0
0
r
( )[ ] yukxtia
znEE rr−
= ωπ expsin0Finalement