RPP Kelas XII Klp 6
-
Upload
novita-sari -
Category
Documents
-
view
105 -
download
0
description
Transcript of RPP Kelas XII Klp 6
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN MATEMATIKA
UNTUK SISWA SMA KELAS XII IPA SEMESTER GANJIL
Diajukan Untuk Memenuhi Tugas Akhir Semerter
Dalam Mata Kuliah Perencanaan Pembelajaran Matematika
Oleh Kelompok 6:
NINING YURIANI : 2411.037IRWANSYAH P.A : 2411.040LISMAWATI : 2411.051NOVITA SARI : 2411.053ASMA MURNI : 2411.059
Dosen Pembimbing:
M. Imammudin,M.Pd
JURUSAN TARBIYAH
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA VB
STAIN SYECH M.DJAMIL DJAMBEK
BUKITTINGGI
2013/2014
Rencana Pelaksanaan Pembelajaran
(RPP)
Nama selokah : SMA
Kelas/semester : XII/ I (satu)
Mata pelajaran : Matematika IPA
Pertemuan ke : 1 (satu)
A. Standar kompetensi: Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah
B. Kompetensi dasar:
1. Memahami konsep integral tak tentu dan integral tentu
2. Menghitung integraltak tentu dan integral tentu dari fungsi aljabaar dan trigonometri
C. Indikator:
1. Memahami konsep dasar integral tak tentu
2. Menghitung integral tentu dari fungsi aljabar
D. Tujuan Pembelajaran:
1. Siswa mampu memehami konsep dasar integral tak tentu
2. Siswa mampu menghitung integral tentu dari fungsi aljabar
E. Materi ajar:
Pengertian integral
Jika f(x) adalah turunan dari F(x), maka integral dari f(x) adalah F(x).
Hal ini dapat ditulis : F’(x) = f(x) ↔ ∫ f(x) dx = F(x)+c
Dikatakan integral adalah anti dari turunan.
Perhatikan tabel berikut :
F(x) F’(x)=f(x
)
F(x) F’(x)=f(x
)
-1/2 x-2
-x-1
X
½ x2
1/3 x3
1 x n+1
n + 1
x-3
x-2
1 = x0
X
x2
xn
2x5
2x5+30
2x5-2000
2x5+1/2
2x5-0,35
2x5+c
10x4
10x4
10x4
10x4
10x4
10x4
Dari table diatas dapat disimpulkan :
Jika F(x) = 1 xn+1 +c → F’(x) = f(x) = xn
n+1
atau :
f(x) = xn → ∫ f(x) dx = 1 xn+1 +c
n+1
Dengan kata lain :
∫ xn dx = 1 xn+1+c
n+1
Sifat-sifat integral tak tentu fungsi aljabar
1. ∫ dx = x + c
2. ∫ k dx = kx + c
3. • ∫ xn dx = 1/n+1 xn+1 + c n ≠ -1
• ∫ kxn dx = k/n+1 xn+1 + c
• ∫ kx-1 dx = ∫ k/x dx = k lnx + c
4. ∫ k f(x) dx = k ∫ f(x) dx
5. ∫ ( f(x) + g(x) ) dx = ∫ f(x) dx + g(x) dx
6. ∫ ( f(x) - g(x) ) dx = ∫ f(x) dx - g(x) dx
Contoh :
Selesaikan integral tak tentu berikut ini :
1. ∫ (5x + 7) dx = 5/2 x2 + 7x + c
2. ∫ (4x2 - x +2/√x) dx = ∫ (4x2-x+2)x-1/2dx
= ∫ (4x3/2-x1/2+2x-1/2) dx
= 8/5x5/2-2/3x3/2+4x1/2 + c
Menentukan fungsi F(x), jika F’(x) dan F(a) diketahui.
Langkah-langkah:
1.Tentukan F(x) = ∫ F’(x) dx
2. Masukkan nilai x=a kedalam ∫ f(x) dx untuk memperoleh nilai c
Contoh :
Tentukan nilai F(x) jika F’(x)=5x3-4x2+6 dan F(1)=4
Jawab :
F(x) = ∫ F’ (dx)
= ∫ 5x3-4x2+6 dx
= 5/4 x4-4/3x3+6x+c
F(1) = 5/4-4/3+6+c=4
C=-23/12
Jadi F(x) = 5/4x4-4/3x3+6x-23/12
F. Alokasi waktu:
Waktu Kegiatan pembelajaran
Tm : 2x 45’ Proses balajar mengajar antara guru dan siswa
Pt : 30’ Guru member latihan
Kmtt : 45’ Guru member tugas rumah pada siswa
G. Metode pembelajaran:
Ekspositiri dan model pembelajaran cooperatif tipe STAD
H. Kegiatan pembelajaran:
No Kegiatan Pembelajaran Oleh Guru Kegiatan Siswa Alokasi
Waktu
1 Pendahuluan:
Guru membuka pelajaran
dengan mengucapkan
salam dan memimpin
siswa berdoa
Guru menanyakan
bagaimana keadaan siswa
dan mengecek kehadiran
siswa
Guru mengaitkan atau
menghubungkan pelajaran
hari ini dengan pelajaran
yang telah lalu
Guru memotivasi tentang
kegunaan mempelajari
materi ini
Guru menyampaiakn
Siswa mendengarkan
guru berbicara dan
mengikuti doa yang
dipimpin oleh guru
Siswa menjawab
pertanyaan dari guru
Siswa mendengarkan
dan memperhatikan
yang disampaikan oleh
guru
Siswa mendengarkan
dan memperhatikan
yang disampaikan oleh
guru
Siswa mendengarkan
10 menit
tujuan pembelajaran pada
siswa
dan memperhatikan
yang disampaikan oleh
guru
2 Kegiatan inti:
Eksplorasi
Guru meminta siswa
duduk berkelompok yang
terdiri dari 4 – 5 orang
perkelompok
Guru membagikan LKS
tentang integral tak tentiu
dari fungsi aljabar pada
siswa sebagai bahan yang
akan didiskusikan siswa
Elaborasi
Siswa melakukan diskusi
dengan anggota kelompok
untuk melaksanakan
kegiatan yang diberikan
guru
Guru mengamati siswa
dalam diskusi kelompok
dan membimbing siswa
dalam diskusi
Konfirmasi:
Guru meminta salah satu
kelompok untuk
menyampaikan hasil
diskusi kelompok didepan
kelas
Guru meminta tanggapan
dari kelompok lain
Siswa mendengarkan
perintah dari guru
Siswa menerima lks
yang dibagikan oleh
guru
Siswa melakukan
diskusi dalam
kelompok masing-
masing
Siswa berdiskusi dan
menanyakan pada guru
jika terdapat kesulitan
Siswa mendengarkan
perintah dari guru
Siswa menganggapi
penampilan dari
kelompok yand tampil
65 menit
Guru meluruskan dan
penegasan dengan
memberikan penguatan
tentang konsep pada siswa
Siswa mendengarkan
guru meluruskan dan
menguatkaan konsep
untuk siswa
3 Penutup:
guru memberikan
kesempatan kepada siswa
menanyakan materi yang
belum dimengerti.
Siswa dengan bimbingan
guru menyimpulkan
pelajaran
Sebagai evaluasi dilakukan
kuis tentang integral tak
tentu funfsi aljabar.
Peserta didik diberi PR
soal latihan 1 no 1-10
Guru menyampaikan
materi yang akan datang
dan menugaskan siswa
untuk membaca terlebih
dahulu di rumah
Guru menutup pelajaran
dan mengucapkan salam.
Siswa bertanya pada
guru tentang hal yang
belum dipahami
Siswa menyimpulkan
yang dibimbing oleh
guru
Siswa mengerjakan
soal yang diberikan
oleh guru
Siswa mencatat tugas
yang diberikan oleh
guru
Siswa mendengarkan
yang disampaikan oleh
guru
Siswa mendenagrkan
guru bicara dan
menjawab salam dari
guru
15 menit
I. Penilaian:
1. Teknik instrumen
Tes tertulis
Penugasan
2. Bentuk instrument: uraian
3. Contoh instrument
no Soal Jawaban skor
1∫0
4
( x2+4 ) dx=¿¿ ∫0
4
( x2+4 ) dx=13
x3+4 x+c (30)
¿13
× 43+4 × 4−¿ (8)
¿
¿13
(64+16 )−13(0+0) (5)
¿803
−0 (4)
¿803
¿2623
(3)
2∫0
1 (x5−1)x2 dx=¿ ∫
0
1 ( x5−1 )x2 dx=∫
0
1x5
x2 dx−∫0
11x2 dx (15)
¿∫0
1
x3 dx−∫0
1
x−2dx (10)
¿14
x4− 1−2+1
x−2+1+c (10)
¿14
x4−1x+c (5)
¿( 14
× 14−14 )−0 (5)
¿0 (5)
Jumlah skor: 100
J. Sumber:
1. Sumber :
Buku Matematika SMA Kelas XII IPA , Sartono Wirodikromo, Erlangga
Internet
2. Alat / Bahan
LKS
Bahan Ajar
Laptop
LCD
Dll
Mengetahui Gadut, 1 Desember2013
Kepala SMA Guru Mata Pelajaran
Drs. Rosman Rasyid, M.Pd Dra. Asma Murni. M.Pd
NIP: 19620429 03 2 012 NIP: 19680118 19 005
Rencana Pelaksanaan Pembelajaran
(RPP)
Nama selokah : SMA
Kelas/semester : XII/ I (satu)
Mata pelajaran : Matematika IPA
Pertemuan ke : 2 (Dua)
A. Standar kompetensi: Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah
B. Kompetensi dasar:
2. Menghitung integral tak tentu dan integral tentu dari fungsi aljabar dan trigonometri
C. Indikator:
3. Menghitung integral tentu dari fungsi trigonometri
4. Mengitung integral tentu
5. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan integral tak tentu dan integral tentu
D. Tujuan Pembelajaran:
3. Siswa mampu menghitung integral tentu dari fungsi trigonometri
4. Siswa mampu menghitung integral tentu
5. Siswa mampu Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan integral tak tentu dan
integral tentu
E. Materi ajar
Integral tak tentu fungsi trigonometri.
Perhatikan table berikut :
No F(x) F’(x)=f(x)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Sin x
Cos x
Tan x
Cotan x
Sec x
Cosec x
Cos x
-sin x
Sec2x
-cosec2 x
Tan x.sec x
-cotan x.cosec x
Dari table diatas dapat dirumuskan integral tak tentu fungsi trigonometri, yaitu:
1. ∫ cos x dx = sin x+c
2. ∫ sin x dx = -cos x+c
3. ∫ sec2x dx = tan x+c
4. ∫ cosec2 xdx = -cotan x+c
5. ∫ tan x.sec x = sec x+c
6. ∫ cotan x.cosec x = -cosec x+c
Dari konsep tabel diatas juga dapat dirumuskan
1. ∫ cos ax dx = 1/asin ax+c
2 ∫ sin ax dx = -1/acos ax+c
3. ∫ sec2ax dx = 1/atan ax+c
4. ∫ cosec2 axdx = -1/acotan ax+c
5. ∫ tan ax.sec ax = 1/asec ax+c
6. ∫ cotan ax.cosec ax = -1/acosec ax+c
Contoh :
Selesaikanlah integral trigonometri berikut :
1. ∫(cos x-2x3) dx = sinx-1/2x4+c
2. ∫ sin 2x dx = -1/2 cos 2x + c
3. ∫ cos (3x+8) dx = 1/3 sin (3x+8) +c
Integral Tentu
Defenisi:
Jika y=f (x ) adalah fungsi kontinu dan terdefenisi dalam interval tertutup [a,b]
sehingga limn → ∞
∑i=1
n
f (xi)∆ xi ada mempunyai nilai, maka integral tentu f (x) terhadap x
dari x=a sampai x=b dinyatakan oleh:
∫a
b
f ( x )dx= limn→ ∞
∑i=1
n
f (xi)∆ xi
Dengan n adalah jumlah sub interval di dalam interval [a,b].
Maka
∫b f(x) dx = F(x) ]b = F(b) – F(a)
a a
Sifat-sifat integral Tentu :
1. ∫a
b
f ( x )dx = f(b) – f(a)
2. ∫a
b
f ( x )dx= −∫b
a
f ( x ) dx
3. ∫a
b
f ( x )dx = 0
∫a
b
f ( x )dx ≥ 0, jika f ( x ) ≥ 0
∫a
b
f ( x )dx ≤ 0, jika f ( x ) ≤ 0
4. ∫a
b
k f ( x )dx=k∫a
b
f ( x ) dx
5. ∫a
b
{f ( x )± g ( x ) }dx=∫a
b
f ( x ) dx±∫a
b
g (x ) dx
6. ∫a
c
f ( x )dx ±∫c
b
f ( x )dx=∫a
b
f ( x ) dx
Contoh :
Hitunglah nilai dari :
1. ∫5
8
(x2¿−1)¿ dx = 1/3 x3 – x ]8
= (1/3 . 83 – 8) – (1/3 . 53 – 5 )
= 126
2. ∫2 6(1-4x3) dx = ∫2 (6-24x3) dx -2 -2
= 6x – 6x4 ]2
-2
= -84+108
= 24
Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan integral tak tentu dan integral
tentu
Contoh :
Tentukan persamaan kurva f(x) jika diketahui m gradiennya dinyatakan dengan persamaan
6x-3 dan melalui titik (3,2)
jawab:
dy/dx = 6x-3
dy = (6x-3)dx
∫ dy = ∫(6x-3)dx
Y = 3x2-3x+c
2) → 2 = 27-9+c
Jadi persamaan kurva adalah :
c = -16
y = 3x2 – 3x – 1
F. Alokasi waktu
Waktu Kegiatan pembelajaran
Tm : 2x 45’ Proses balajar mengajar antara guru dan siswa
Pt : 30’ Guru memberi latihan
Kmtt : 45’ Guru member tugas rumah pada siswa
K. Metode pembelajaran:
Model pembelajaran cooperatif tipe NHT
L. Kegiatan pembelajaran:
No Kegiatan Pembelajaran
Oleh Guru
Kegiatan Siswa Alokasi
Waktu
1 Pendahuluan:
Guru membuka pelajaran
dengan mengucapkan salam
dan memimpin siswa
berdoa
Guru menanyakan
bagaimana keadaan siswa
dan mengecek kehadiran
siswa
Guru mengingatkan
kembali pelajaran yang
telah lalu
Guru memotivasi tentang
kegunaan mempelajari
materi ini
Guru membahas tugas
Siswa mendengarkan guru
dan memgikuti doa yang
dipimpin oleh guru
Siswa menjawab
pertanyaan dari guru
Siswa mendengarkan dan
memperhatikanyang
dibicarakan oleh guru
Guru mendengarkan dan
memperhatikan yang
disampaikan oleh guru
Siswa memperhatikan
yang dijelaskan oleh guru
10 menit
rumah yang dirasa sukar
oleh siswa
Guru menyampaiakn tujuan
pembelajaran pada siswa
Siswa mendenngarkan
guru berbicara
2 Kegiatan inti:
Eksplorasi
Guru meminta siswa duduk
berkelompok yang terdiri
dari 4 – 5 orang
perkelompok, masing-
masing kelompok terbagi
atas siswa yang heterogen
Guru member nomor
masing-masing anggota
kelompok per kepala.
Guru membagikan LKS
tentang integral tak tentu
dari fungsi trigonometri dan
integral tentu pada siswa
sebagai bahan yang akan
didiskusikan siswa
Elaborasi
Siswa melakukan diskusi
dengan anggota kelompok
untuk menemukan rumus-
rumus turunan dari integral
trigonometri dari rumus-
rumus dasar trigonometri
yang sudah dipelajari dan
mengerjakan soal-soal
diberikan guru
Guru mengamati siswa
Siswa mendenagrkan
perintah dari guru
Siswa mendengarkan dan
mengingat yang
disampaikan guru
Siswa mengambil lks
yang dibagikan oleh guru
Siswa melakukan diskusi
dalam kelompok masing-
masing
65 menit
dalam diskusi kelompok
dan membimbing siswa
dalam diskusi
Konfirmasi:
Guru meminta salah satu
siswa sebagai perwakilan
dari kolompok dengan
menyebutkan nomor kepala
siswa tersebut untuk
menyampaikan hasil diskusi
kelompok didepan kelas
Guru meminta kelompok
lain untuk memberikan
tanggapan tanggapan
Guru meluruskan dan
penegasan dengan
memberikan penguatan
tentang konsep pada siswa
Guru menjelaskan konsep
integral tentu dan
menegaskan bahwa luas
daerah dibawah kurva
adalah integral tentu dengan
batas-batas yang diberikan
dan diberikan dengan :
∫a
b
f (x ) dx = F(b) – F(a)
Guru memberikan contoh
soal
Siswa berdiskusi dan
menanyakan pada guru
jika ada yang kurang
dipahami
Siswa mendengarkan
perintah dari guru
Siswa mendengarkan
yang disampaikan oleh
guru
Siswa mendengarkan dan
memperhatikan yang
dijelaskan oleh guru
Siswa mendengarkan dan
memperhatikan yang
dijelaskan oleh guru
Siswa memperhatikan dan
memahami contoh yang
diberikan oleh guru
3 Penutup:
guru memberikan
kesempatan kepada siswa
menanyakan materi yang
belum dimengerti.
Siswa dengan bimbingan
guru menyimpulkan
pelajaran
Sebagai evaluasi dilakukan
kuis tentang integral tak
tentu fungsi trigonometri
dan integral tentu
Peserta didik diberi PR soal
latihan 2 no 1-4 dan latihan
5 no1-3
Guru menyampaikan materi
yang akan datang dan
menugaskan siswa untuk
membaca terlebih dahulu di
rumah
Guru menutup pelajaran
dan mengucapkan salam.
Siswa bertanya pada guru
tentang hal yang belum
dipahami
Siswa menyimpulkan
materi dengan
dibimbingan oleh guru
Siswa mengerjakan soal-
soal yang diberikan oleh
guru
Siswa menginagat dan
mencatat tugas yang
diberikan oleh guru
Siswa mendengarkan guru
menyampaikan
Siswa mendengarkan guru
dan menjawab salam dari
guru
15 menit
I. Penilaian:
4. Teknik instrumen
Tes tertulis
Penugasan
5. Bentuk instrument: uraian
6. Contoh instrument
no Soal Jawaban skor
1 ∫( sin 5x cos 3x ) dx ∫( sin 5x cos 3x ) dx = ∫ ½ [ sin 8x + sin 2x ] dx (15)
= ½ ∫ [ sin 8x + sin 2x ] dx (10)
= 1/2 [ - 1/8 cos 8x – ½ cos 2x] (5)
+ c
= - 1/16 cos 8x – ¼ cos 2x + c (10)
Skor total : 40
2∫0
2
(x2¿+3 x )dx¿ ∫2 ( x2 + 3x ) dx = 1/3 x3 + 3/2 x2 ]2 (15)0 0
= [ 1/3 . 8 + 3/2 . 4 ] – 0 (10)
= 26/3 (5)Skor total: 30
3∫0
2
π2 cos 2x dx ∫2∏ 2 cos 2x dx = 2 [ ½ sin 2x ]2∏ (15) 0 0
= sin 2x ]2∏ (8) 0
= sin 4∏ - sin 0 (4)
= 0 – 0 (3)
= 0
Skor total: 30
J. Sumber:
1. Sumber :
Buku Matematika SMA Kelas XII IPA , Sartono Wirodikromo, Erlangga
Internet
2. Alat / Bahan
LKS
Bahan Ajar
Laptop
LCD
Dll
Mengetahui gadut, 1 desember2013
Kepala SMA Guru Mata Pelajaran
Drs. Rosman rasyid, m.pd dra. Asma murni. M.pd
Nip: 19620429 03 2 012 nip: 19680118 19 005
Rencana Pelaksanaan Pembelajaran
(RPP)
Nama selokah : SMA
Kelas/semester : XII/ I (satu)
Mata pelajaran : Matematika IPA
Pertemuan ke : 3 (tiga)
G. Standar kompetensi: Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah
H. Kompetensi dasar:
2. Menghitung integral tak tentu dan integral tentu dari fungsi aljabar dan trigonometri
I. Indikator:
6. Menghitung pengintegralan dengan rumus integral subsitusi
6.1 pengintegralan yang dapat diubah ke dalam bentuk ∫ f (u ) du
6.2 pengintergralan yang memuat bentuk-bentuk √a2−x2, √a2+x2 dan √ x2−a2
J. Tujuan Pembelajaran:
6. Siswa mampu menghitung pengintegralan dengan rumus integral subsitusi yaitu
subsitusi pengintegralan yang dapat diubah ke dalam bentuk ∫ f (u ) dudan
pengintergralan yang memuat bentuk-bentuk √a2−x2, √a2+x2 dan √ x2−a2
K. Materi ajar
Pengintegralan yang dapat diubah ke dalam bentuk ∫ f (u ) du
Teorema:
Misalkan dengan menggunakan subsitusi u = g (x) dengan g adalah fungsi yang
mempunyai turunan, sehingga ∫ f ( g(x)) g '(x )dx dapat diubah menjadi ∫ f (u ) du
∫ f ( g(x)) g '(x )dx=∫ f (u ) du=F (u )+C=F ( g ( x ) )+C
Teknik Pengintegralan yang dapat diubah ke dalam bentuk ∫ f (u ) du memerlukan
dua langkah yaitu:
1. Memilih fungsi u = g (x) sehingga ∫ f ( g(x)) g '(x )dx dapat diubah menjadi
∫ f (u ) du
2. Tentukan fungsi integral umum f (u ) yang bersifat F ' (u )=¿f(u)
Rumus-rumus:
1. ∫cos u du=sinu+C
2. ∫sin udu=−cosu+C
3. ∫ sec2u du= tan u+C
4. ∫ cosec2udu=−cot u+C
5. ∫ tan u . sec u du=sec u+C
6. ∫cot u . cosec udu=−cosec u+C
Contoh:
Tentukan integral berikut: ∫ (2 x+3 ) cos(x¿¿2¿+3 x )dx=¿¿¿¿ ….
Jawab:
Misalkan u= ( x2+3 x ) maka du = (2 x+3 )
Subsitusi ( x2+3 x ) = u dan (2 x+3 )=du
Maka
∫ (2 x+3 ) cos(x¿¿2¿+3 x )dx ¿¿
∫cos u du=sinu+C
¿ sin(x2¿+3 x)¿
Pengintegralan yang memuat bentuk-bentuk √a2−x2, √a2+x2 dan √ x2−a2
∫√a2−x2dx ,√a2+x2dx ,√x2−a2 dx ,
Hasil subsitusi:
Fungsi integral Subsitusi integral Hasil subsitusi
√a2−x2 x=a sin θ a√1−sin2θ=acosθ
√a2+x2 x=a tan θ a√1+ tan2θ=a secθ
√ x2−a2 x=a sec θ a√ sec2−1=a tanθ
Contoh:
∫√a2−x2dx=¿……
jawab :
√a2−x2=√a2−a2sin2 θ
¿√a2(1−sin2θ)
¿√a2 cos2θ
¿a cosθ
√a2−x2=a cosθ ,
dengan dx = a cos θ dθ , maka dapat diubah menjadi:
¿∫¿¿
maka
a2∫cos2θ dθ=a2
2∫¿¿
¿ a2
2∫¿¿
¿ a2
2(θ+sinθcosθ )+C
L. Alokasi waktu
Waktu Kegiatan pembelajaran
Tm : 2x 45’ Proses balajar mengajar antara guru dan siswa
Pt : 30’ Guru memberi latihan
Kmtt : 45’ Guru member tugas rumah pada siswa
M. Metode pembelajaran:
Model pembelajaran cooperatif tipe STAD
N. Kegiatan pembelajaran:
No Kegiatan pembelajaran Kegiatan siswa Alokasi
waktu
1 Pendahuluan:
Guru membuka pelajaran
dengan mengucapkan salam
dan memimpin siswa
berdoa
Guru menanyakan
bagaimana keadaan siswa
dan mengecek kehadiran
siswa
Guru mengingatkan
kembali pelajaran yang
telah lalu
Guru memotivasi tentang
kegunaan mempelajari
materi ini
Guru membahas tugas
rumah yang dirasa sukar
oleh siswa
Guru menyampaiakn tujuan
pembelajaran pada siswa
Siswa mendengarkan guru
dan memgikuti doa yang
dipimpin oleh guru
Siswa menanggapi
pertanyaan guru
Siswa memperhatikan dan
mendengarkan guru
Siswa mendengarkan
motivasi dari guru
Siswa memperhatikan
guru menjelaskan
Siswa mendengarkan guru
menyampaikan tujuan
pembelajaran
10 menit
2 Kegiatan inti:
Eksplorasi
Guru meminta siswa duduk
berkelompok yang terdiri
dari 4 – 5 orang
perkelompok, masing-
masing kelompok terbagi
atas siswa yang heterogen
Guru memberi nomor
masing-masing anggota
kelompok per kepala.
Guru membagikan LKS
tentang integral tak tentu
dari fungsi trigonometri dan
integral tentu pada siswa
sebagai bahan yang akan
didiskusikan siswa
Elaborasi
Siswa melakukan diskusi
dengan anggota kelompok
untuk menemukan rumus-
rumus turunan dari integral
trigonometri dari rumus-
rumus dasar trigonometri
yang sudah dipelajari dan
mengerjakan soal-soal
diberikan guru
Guru mengamati siswa
dalam diskusi kelompok
dan membimbing siswa
dalam diskusi
Konfirmasi:
Siswa mendenagrkan
perintah yang diberikan
guru
Siswa mendengarkan guru
Siswa menerimka lks
yang diberikan oleh guru
Siswa diskusi kelompok
Siswa berdiskusi dalam
kelompok masing-masing
65 menit
Guru meminta salah satu
siswa sebagai perwakilan
dari kolompok dengan
menyebutkan nomor kepala
siswa tersebut untuk
menyampaikan hasil diskusi
kelompok didepan kelas
Guru kelompok lain untuk
memberikan tanggapan
tanggapan
Guru meluruskan dan
penegasan dengan
memberikan penguatan
tentang konsep pada siswa
Guru menjelaskan konsep
integral tentu dan
menegaskan bahwa luas
daerah dibawah kurva
adalah integral tentu dengan
batas-batas yang diberikan
dan diberikan dengan :
∫a
b
f (x ) dx = F(b) – F(a)
Guru memberikan contoh
soal
Siswa memperhatikan
aba-aba dari guru
Siswa memberikan
tanggapan terhadap
kelompok yang tampil
Siswa memperhatikan dan
mendengarkan guru
Siswa mendengarkan dan
memperhatikan guru
berbicara
Siswa memperhatikan dan
memahami contoh yang
diberikan oleh guru
3 Penutup:
guru memberikan kesempatan
kepada siswa menanyakan
materi yang belum dimengerti.
Siswa bertanya tentang
hal-hal yang belum
dimengerti
15 menit
Siswa dengan bimbingan
guru menyimpulkan
pelajaran
Sebagai evaluasi dilakukan
kuis tentang integral tak
tentu fungsi trigonometri
dan integral tentu
Peserta didik diberi PR soal
latihan 2 no 1-4 dan latihan
5 no1-3
Guru menyampaikan materi
yang akan datang dan
menugaskan siswa untuk
membaca terlebih dahulu di
rumah
Guru menutup pelajaran
dan mengucapkan salam.
Siswa bersama-sama
menyimpulkan pelajaran
dengan bimbingan guru
Siswa mengerjakan soal-
soal kuis yang diberikan
guru
Siswa mencatat tugas
yang diberikan oleh guru
Siswa mendengarkan guru
menyampaikan materi
yang akan dating
Siswa mendenagarkan
guru dan menjawab salam
dari guru
K. Penilaian:
7. Teknik instrumen
Tes tertulis
Penugasan
8. Bentuk instrument: uraian
9. Contoh instrument
No Soal Jawaban skor
1 ∫√4−x2 dx=¿ ∫√4−x2 dx=∫√22+x2dx (10)
¿ 42
arc sin θ( x2¿)+
x2
√4−x2+C ¿ (15)
Skor total : 25
2 ∫√25−x2dx=¿ ∫√25−x2dx=∫√52+x2 dx ( 10)
¿ 252
arc sin θ ( x5¿)+
x2
√25−x2+C ¿ (15)
Skor total :25
3 ∫sin √x dx= ¿√x
¿ Misal u = √ x = x12 maka du=1
2x
−12 dx (15)
Subsitusi ke
∫ sin√ xdx√x
(10)
Maka ∫sin u (2 du )=2∫sin u du (10)
2∫ sin udu=−2 cosu+C (10)
¿−2cos√x +C (5)
Skor total: 50
L. Sumber:
1. Sumber :
Buku Matematika SMA Kelas XII IPA , Sartono Wirodikromo, Erlangga
Internet
2. Alat / Bahan
LKS
Bahan Ajar
Laptop
LCD
Dll
Mengetahui Gadut, 1 Desember2013
Kepala SMA Guru Mata Pelajaran
Drs. Rosman Rasyid, M.Pd Dra. Asma Murni. M.Pd
NIP: 19620429 03 2 012 NIP: 19680118 19 005
Rencana Pelaksanaan Pembelajaran
(RPP)
Nama selokah : SMA
Kelas/semester : XII/ I (satu)
Mata pelajaran : Matematika IPA
Pertemuan ke : 4 (empat)
A. Standar kompetensi: Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah
B. Kompetensi dasar:
2. Menghitung integral tak tentu dan integral tentu dari fungsi aljabar dan trigonometri
C. Indikator:
7. Menghitung pengintegralan dengan rumus integral parsial
D. Tujuan Pembelajaran:
7. Siswa mampu menghitung pengintegralan dengan rumus integral parsial
E. Materi ajar
Misalkan diketahui u= u(x) dan fungsi v = v (x). hasil kali kedua fungsi itu
ditentukan oleh y= uv. Berdasarkan aturan hasil kali fungsi-fungsi maka diperole
hubungan:
y’ = u’v + x’u
dydx
=dudx
v+udvdx
dy = v du + u dv
misalkan u(x) dan v(x) masing-masing adalah fungsi dalam variabel x, maka ∫udv
ditentukan oleh hubungan:
∫u dv=uv−∫ vdu
Hubungan tersebut menunjukan bahwa pengintegralan ∫udv dapat diubah menjadi
pengintegralan ∫ v du dan sebaliknya. Berhasil atau tidaknya pengintegralan dengan
menggunakan rumus integral parsil ditentukan oleh hal berikut:
1. Memilih bagian dv, sehingga v dengan segera dapat ditentukan melalui hubungan
v=∫ dv
2. ∫ v du harus lebih mudah diselesaikan dari pada ∫u dv
F. Alokasi waktu
Waktu Kegiatan pembelajaran
Tm : 2x 45’ Proses balajar mengajar antara guru dan siswa
Pt : 30’ Guru memberi latihan
Kmtt : 45’ Guru member tugas rumah pada siswa
G. Metode pembelajaran:
Model pembelajaran cooperatif tipe STAD
H. Kegiatan pembelajaran:
No Kegiatan Pembelajaran
Oleh Guru
Kegiatan Siswa Alokasi
Waktu
1 Pendahuluan:
Guru membuka pelajaran
dengan mengucapkan
salam dan memimpin
siswa berdoa
Guru menanyakan
bagaimana keadaan siswa
dan mengecek kehadiran
siswa
Guru mengingatkan
Siswa mendengarkan
guru dan memgikuti doa
yang dipimpin oleh guru
Siswa menanggapi
pertanyaan guru
Siswa memperhatikan
dan mendengarkan guru
10 menit
kembali pelajaran yang
telah lalu
Guru memotivasi tentang
kegunaan mempelajari
materi ini
Guru membahas tugas
rumah yang dirasa sukar
oleh siswa
Guru menyampaiakn
tujuan pembelajaran pada
siswa
Siswa mendengarkan
motivasi dari guru
Siswa memperhatikan
guru menjelaskan
Siswa mendengarkan
guru menyampaikan
tujuan pembelajaran
2 Kegiatan inti:
Eksplorasi
Guru meminta siswa
duduk berkelompok yang
terdiri dari 4 – 5 orang
perkelompok, masing-
masing kelompok terbagi
atas siswa yang heterogen
Guru membagikan LKS
tentang integral tak tentu
dari fungsi trigonometri
dan integral tentu pada
siswa sebagai bahan yang
akan didiskusikan siswa
Elaborasi
Siswa melakukan diskusi
dengan anggota kelompok
untuk menemukan rumus-
rumus turunan dari
integral trigonometri dari
rumus-rumus dasar
Siswa mendenagrkan
perintah yang diberikan
guru
Siswa menerimka lks
yang diberikan oleh guru
dan mendiskusikannya
dalam kelpmpok masing-
masing
Siswa diskusi kelompok
65 menit
trigonometri yang sudah
dipelajari dan
mengerjakan soal-soal
diberikan guru
Guru mengamati siswa
dalam diskusi kelompok
dan membimbing siswa
dalam diskusi
Konfirmasi:
Guru meminta salah satu
siswa sebagai perwakilan
dari kolompok dengan
menyebutkan nomor
kepala siswa tersebut
untuk menyampaikan
hasil diskusi kelompok
didepan kelas
Guru kelompok lain untuk
memberikan tanggapan
tanggapan
Guru meluruskan dan
penegasan dengan
memberikan penguatan
tentang konsep pada siswa
Siswa berdiskusi dalam
kelompok masing-
masing
Siswa memperhatikan
aba-aba dari guru
Siswa memberikan
tanggapan terhadap
kelompok yang tampil
Siswa memperhatikan
dan mendengarkan guru
3 Penutup:
guru memberikan
kesempatann kepada siswa
menanyakan materi yang
belum dimengerti.
Siswa dengan bimbingan
guru menyimpulkan
pelajaran
Siswa bertanya tentang
hal-hal yang belum
dimengerti
Siswa bersama-sama
menyimpulkan pelajaran
dengan bimbingan guru
15 enit
Sebagai evaluasi
dilakukan kuis tentang
konsep dan rumus- rumus
tentang pengintegralan
dengan rumus integral
parsial secara lisan, nama
siswa dipanggil satu
persatu untuk diberikan
pertanyaan
Peserta didik diberi PR
soal latihan 2 no 1
Guru menyampaikan
materi yang akan datang
dan menugaskan siswa
untuk membaca terlebih
dahulu di rumah
Guru menutup pelajaran
dan mengucapkan salam.
Siswa menjawab soal-
soal kuis yang
ditanyakan oleh guru
Siswa mencatat tugas
yang diberikan oleh guru
Siswa mendengarkan
guru menyampaikan
materi yang akan dating
Siswa mendenagarkan
guru dan menjawab
salam dari guru
I. Penilaian:
1. Teknik instrumen
Tes lisan
Penugasan
2. Bentuk instrument: jawaban singkat
3. Contoh instrument
1. Sebutkan defenisi dari ∫udv !
Jawab:
Misalkan u(x) dan v(x) masing-masing adalah fungsi dalam variabel x, maka
∫u dv=uv−∫ vdu
Skor : 50
2. Hal apa yang mempengaruhi berhasil atau tidaknya pengintegralan menggunakan
rumus integral parsial !
Jawab:
1. Memilih bagian dv sehingga v dengan segera dapat ditentukan melalui
hubungan v=∫ dv
2. ∫ v du harus lebih mudah diselesaikan dibanding ∫udv
Skor : 50
Total skor: 100
J. Sumber:
1. Sumber :
Buku Matematika SMA Kelas XII IPA , Sartono Wirodikromo, Erlangga
Internet
2. Alat / Bahan
LKS
Bahan Ajar
Laptop
LCD
Dll
Mengetahui Gadut, 1 Desember2013
Kepala SMA N Guru Mata Pelajaran
Drs. Rosman Rasyid, M.Pd Dra. Asma Murni. M.Pd
NIP: 19620429 03 2 012 NIP: 19680118 19 005
Rencana Pelaksanaan Pembelajaran
(RPP)
Nama selokah : SMA
Kelas/semester : XII/ I (satu)
Mata pelajaran : Matematika IPA
Pertemuan ke : 5 (lima)
A. Standar kompetensi: Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah
B. Kompetensi dasar:
3. menggunakan integral untuk menghitung luas daerah dibawah kurva dan volume
benda putar
C. Indikator:
a. Mengaplikasikan integral tentu untuk menghitung luas daerah (luas daerah yang
dibatasi oleh kurva dengan sumbu x dan luas daerah yang dibatasi oleh beberapa
kurva
D. Tujuan Pembelajaran:
a. Siswa mampu mengaplikasikan integral tentu untuk menghitung luas daerah (luas
daerah yang dibatasi oleh kurva dengan sumbu x dan luas daerah yang dibatasi
oleh beberapa kurva
E. Materi ajar
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva dengan sumbu x
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y= f(x) sumbu x = a dan gari x=b,
ditentukan oleh:
a. L=∫a
b
f ( x ) dx , untuk f ( x )≥ 0
L=−∫a
b
f ( x )dx ,untuk f ( x ) ≥0
Atau
L=|∫a
b
f ( x )dx|Contoh:
Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=f(x) = 3x2 + 6x terhadap sumbu x dengan garis x = 0 dan x = 2 !
Jawab:
y=f(x) = 3x2 + 6x
L=∫0
2
(3 x2¿+6 x )dx¿
¿ x3+3x2+C
¿¿
¿8+3 ( 4 )
¿8+12
¿20
Luas daerah yang dibatasi oleh beberapa kurva
Luas yang dibatasi oleh kurva y = x , kurva v = g (x), garis x= a dan garis x=b,
ditentukan dengan rumus berikut:
L=∫a
b
f ( x )−g (x ) dx
Dengan f(x) ≥ g (x) dalam interval tertutup a ≤ x≤ b
Contoh :
Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=x, kurva y =2x, dan garis x=1
dan x=2!
Jawab:
L=∫1
2
f ( x )−g (x ) dx
L=∫1
2
{(2 x)−( x ) dx
L=∫1
2
( x ) dx
¿ 12
x2+C
¿ 12
(22 )−12
¿2−12
¿112
F. Alokasi waktu
Waktu Kegiatan pembelajaran
Tm : 2x 45’ Proses balajar mengajar antara guru dan siswa
Pt : 30’ Guru memberi latihan
Kmtt : 45’ Guru member tugas rumah pada siswa
G. Metode pembelajaran:
Model pembelajaran cooperatif tipe TAI
H. Kegiatan pembelajaran:
No Kegiatan Pembelajaran
Oleh Guru
Kegiatan Siswa Alokasi
Waktu
1 Pendahuluan:
Guru membuka pelajaran
dengan mengucapkan
salam dan memimpin
siswa berdoa
Guru menanyakan
bagaimana keadaan siswa
dan mengecek kehadiran
Siswa mendengarkan
guru dan memgikuti doa
yang dipimpin oleh guru
Siswa menanggapi
pertanyaan guru
10 menit
siswa
Guru mengingatkan
kembali pelajaran yang
telah lalu
Guru memotivasi tentang
kegunaan mempelajari
materi ini
Guru membahas tugas
rumah yang dirasa sukar
oleh siswa
Guru menyampaiakn
tujuan pembelajaran pada
siswa
Siswa memperhatikan
dan mendengarkan guru
Siswa mendengarkan
motivasi dari guru
Siswa memperhatikan
guru menjelaskan
Siswa mendengarkan
guru menyampaikan
tujuan pembelajaran
2 Kegiatan inti:
Eksplorasi
Guru meminta siswa
duduk berkelompok yang
terdiri dari 4 – 5 orang
perkelompok, masing-
masing kelompok terbagi
atas siswa yang heterogen
Guru membagikan LKS
tentang integral tak tentu
dari fungsi trigonometri
dan integral tentu pada
siswa sebagai bahan yang
akan didiskusikan siswa
Elaborasi
Siswa melakukan diskusi
dengan anggota kelompok
tentang menghitung luas
daerah (luas daerah yang
Siswa mendenagrkan
perintah yang diberikan
guru
Siswa menerimka lks
yang diberikan oleh guru
Siswa diskusi
kelompokSiswa
berdiskusi dalam
kelompok masing-
65 menit
dibatasi oleh kurva
dengan sumbu x dan luas
daerah yang dibatasi oleh
beberapa kurva
Guru mengamati siswa
dalam diskusi kelompok
dan membimbing siswa
dalam diskusi
Konfirmasi:
Guru meminta salah satu
siswa sebagai perwakilan
dari kolompok dengan
menyebutkan nomor
kepala siswa tersebut
untuk menyampaikan hasil
diskusi kelompok didepan
kelas
Guru kelompok lain untuk
memberikan tanggapan
tanggapan
Guru meluruskan dan
penegasan dengan
memberikan penguatan
tentang konsep pada siswa
masing masing-masing
siswa mengerjakan lks
yang ada sesuai
kemampuan masing-
masing, kemudian
setelah selasai siswa
bertukar pikiran dengan
teman lain yang
membahas pokok
bahasan yang berbeda
Siswa melakukan diskusi
dan bertanya pada guru
jika terjadi kesulitan
Siswa memperhatikan
aba-aba dari guru
Siswa memberikan
tanggapan terhadap
kelompok yang tampil
Siswa memperhatikan
dan mendengarkan guru
3 Penutup:
guru memberikan
kesempatan kepada siswa
Siswa bertanya tentang
hal-hal yang belum
15 enit
menanyakan materi yang
belum dimengerti.
Siswa dengan bimbingan
guru menyimpulkan
pelajaran
Sebagai evaluasi
dilakukan kuis tentang
menghitung luas daerah
(luas daerah yang dibatasi
oleh kurva dengan sumbu
x dan luas daerah yang
dibatasi oleh beberapa
kurva
Peserta didik diberi PR
soal latihan 10 no 1-
2,3,4,6,7
Guru menyampaikan
materi yang akan datang
dan menugaskan siswa
untuk membaca terlebih
dahulu di rumah
Guru menutup pelajaran
dan mengucapkan salam.
dimengerti
Siswa bersama-sama
menyimpulkan pelajaran
dengan bimbingan guru
Siswa mengerjakan soal-
soal kuis yang diberikan
guru
Siswa mencatat tugas
yang diberikan oleh guru
Siswa mendengarkan
guru menyampaikan
materi yang akan dating
Siswa mendengarkan
guru dan menjawab
salam dari guru
I. Penilaian:
1. Teknik instrumen
Tes tertulis
Penugasan
2. Bentuk instrument: uraian
3. Contoh instrument
1. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=f(x) = 4x2 + 6x terhadap sumbu x dengan garis x = 0 dan x = 2 !
Jawab:
y=f(x) = 4x2 + 6x
L=∫0
2
(4 x2¿+6 x )dx ¿ (15)
¿ 43
x3+3 x2+C=¿ (25)
¿ 6427
+12 (5)
¿ 38827
=141027
(5)
Skoe total : 50
2. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=x, kurva y =2x, dan garis x=1
dan x=3!
Jawab:
L=∫1
3
f ( x )−g (x ) dx (15)
L=∫1
3
{(2 x)−( x ) dx (10)
L=∫1
3
( x ) dx (10)
¿ 12
x2+C(5)
¿ 12
(32 )−12
(5)
¿ 92−1
2 (5)
¿ 82=4
Skor total : 50
Jadi, jumlah skor yaitu 100
J. Sumber:
1. Sumber :
Buku Matematika SMA Kelas XII IPA , Sartono Wirodikromo, Erlangga
Internet
2. Alat / Bahan
LKS
Bahan Ajar
Laptop
LCD
Dll
Mengetahui Gadut, 1 Desember2013
Kepala SMA Guru Mata Pelajaran
Drs. Rosman Rasyid, M.Pd Dra. Asma Murni. M.Pd
NIP: 19620429 03 2 012 NIP: 19680118 19 005
Rencana Pelaksanaan Pembelajaran
(RPP)
Nama selokah : SMA
Kelas/semester : XII/ I (satu)
Mata pelajaran : Matematika IPA
Pertemuan ke : 6 (enam)
A. Standar kompetensi: Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah
B. Kompetensi dasar:
3. menggunakan intergral untuk menghitung luas daerah dibawah kurva dan volume
benda putar
C. Indikator:
2. mengaplikasikan integral tentu untuk menghitung volume benda putar
D. Tujuan Pembelajaran:
Siswa mampu mengaplikasikan integral tentu untuk menghitung volume benda putar
E. Materi ajar
Penggunaan integral tentu untuk menghitung volume benda putar
a. Terhadap sumbu x
Jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = f (x) , sumbu x, dan garis x = a, dan x
= b, dupitar sejauh 360 mengelililngi sumbu x maka volume atau isi benda
putar tersebut ditentukan dengan rumus:
V=π∫a
b
y2 dx atau π∫a
b
f (x )2dx
b. Terhadap sumbu y
Jika daerah yang dibatasi oleh kurva x = g(y) , sumbu y, dan garis y = c, dan y =
d, diputar sejauh 360 mengelililngi sumbu y maka volume atau isi benda putar
tersebut ditentukan dengan rumus:
V=π∫c
d
x2dy atau π∫c
d
g( y)2 dy
c. Benda putar dari bawah kurva antara dua kurva yang dipurat terhadap sumbu
x
Jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x) , kurva y = g (x) , dan garis x = a,
dan x = b, diputar sejauh 360 mengelililngi sumbu y maka volume atau isi benda
putar tersebut ditentukan dengan rumus:
V=π∫a
b
y 12− y 22 dxatau π∫a
b
f (x)2−g (x)2 dx
d. Benda putar dari bawah kurva antara dua kurva yang dipurat terhadap sumbu
y
Jika daerah yang dibatasi oleh kurva x = f(y) dan x = g (y) , sumbu y, dan garis y
= c, dan y = d, diputar sejauh 360 mengelililngi sumbu y maka volume atau isi
benda putar tersebut ditentukan dengan rumus:
V=π∫c
d
x12− x22 dy atau π∫c
d
f ( y )2−g( y )2 dy
Contoh:
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh
garis-garis y= x, y= 2x, x= 1 dan x= 2, diputar 360 mengelilingi sumbu x!
Jawab:
Diputar terhadap sumbu
V=π∫a
b
f (x)2−g (x)2 dx
V=π∫1
2
(2 x )2−(x )2dx
V=π∫1
2
(x )2 dx
V=π13
x3+C
V=π ¿ ×23 ¿−13
×1
V=83−1
3π
V=73
π
F. Alokasi waktu
Waktu Kegiatan pembelajaran
Tm : 2x 45’ Proses balajar mengajar antara guru dan siswa
Pt : 30’ Guru memberi latihan
Kmtt : 45’ Guru member tugas rumah pada siswa
G. Metode pembelajaran:
Model pembelajaran cooperatif tipe STAD
H. Kegiatan pembelajaran:
No Kegiatan pembelajaran Kegiatan siswa Alokasi
waktu
1 Pendahuluan:
Guru membuka pelajaran
dengan mengucapkan salam
dan memimpin siswa
berdoa
Guru menanyakan
bagaimana keadaan siswa
dan mengecek kehadiran
Siswa mendengarkan guru
dan memgikuti doa yang
dipimpin oleh guru
Siswa menanggapi
pertanyaan guru
10 menit
siswa
Guru mengingatkan
kembali pelajaran yang
telah lalu
Guru memotivasi tentang
kegunaan mempelajari
materi ini
Guru membahas tugas
rumah yang dirasa sukar
oleh siswa
Guru menyampaiakn tujuan
pembelajaran pada siswa
Siswa memperhatikan dan
mendengarkan guru
Siswa mendengarkan
motivasi dari guru
Siswa memperhatikan
guru menjelaskan
Siswa mendengarkan guru
menyampaikan tujuan
pembelajaran
2 Kegiatan inti:
Eksplorasi
Guru meminta siswa duduk
berkelompok yang terdiri
dari 4 – 5 orang
perkelompok, masing-
masing kelompok terbagi
atas siswa yang heterogen
Guru membagikan LKS
tentang aplikasi integral
tentu untuk menghitung
volume benda putar
Elaborasi
Siswa melakukan diskusi
dengan anggota kelompok
Guru mengamati siswa
dalam diskusi kelompok
dan membimbing siswa
dalam diskusi
Siswa mendenagrkan
perintah yang diberikan
guru
Siswa menerimka lks
yang diberikan oleh guru
Siswa diskusi kelompok
Siswa berdiskusi dalam
kelompok masing-masing
dan bertanya pada guru
jika ada yang kurang
65 menit
Konfirmasi:
Guru meminta salah satu
siswa sebagai perwakilan
dari kolompok dengan
menyebutkan nomor kepala
siswa tersebut untuk
menyampaikan hasil diskusi
kelompok didepan kelas
Guru kelompok lain untuk
memberikan tanggapan
tanggapan
Guru meluruskan dan
penegasan dengan
memberikan penguatan
tentang konsep pada siswa
dipahami
Siswa memperhatikan
aba-aba dari guru
Siswa memberikan
tanggapan terhadap
kelompok yang tampil
Siswa memperhatikan dan
mendengarkan guru
3 Penutup:
guru memberikan kesempatan
kepada siswa menanyakan
materi yang belum dimengerti.
Siswa dengan bimbingan
guru menyimpulkan
pelajaran
Peserta didik diberi PR soal
latihan 12,13 dan 14 no 1-2
Guru menyampaikan materi
yang akan datang dan
menugaskan siswa untuk
membaca terlebih dahulu di
rumah
Guru menutup pelajaran
dan mengucapkan salam.
Siswa bertanya tentang
hal-hal yang belum
dimengerti
Siswa bersama-sama
menyimpulkan pelajaran
dengan bimbingan guru
Siswa mencatat tugas
yang diberikan oleh guru
Siswa mendengarkan guru
menyampaikan materi
yang akan dating
Siswa mendenagarkan
guru dan menjawab salam
15 menit
dari guru
I. Penilaian:
1. Teknik instrumen
Tes tertulis
Penugasan
2. Bentuk instrument: uraian
3. Contoh instrument
4.
J. Sumber:
1. Sumber :
Buku Matematika SMA Kelas XII IPA , Sartono Wirodikromo, Erlangga
Internet
2. Alat / Bahan
LKS
Bahan Ajar
Laptop
LCD
Dll
Mengetahui Gadut, 1 Desember2013
Kepala SMA Guru Mata Pelajaran
Drs. Rosman Rasyid, M.Pd Dra. Asma Murni. M.Pd
NIP: 19620429 03 2 012 NIP: 19680118 19 005
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
(RPP)
Satuan Pendidikan : SMA
Mata Pelajaran : Matematika
Kelas / Semester : XII / 1
Jumlah Pertemuan : 1 Pertemuan ( 2x 45’)
Standar Kompetensi
2. Menyelesaikan masalah program linear
Kompetensi dasar
2.1 Menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear dua variabel
Indikator Pencapaian Kompetensi
Mengenal arti sistem pertidaksamaan linear dua variable
Menentukan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel
Tujuan Pembelajaran
Siswa dapat mengenal arti sistem pertidaksamaan linear
Siswa dapat menentukan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua
variabel
I. Materi Ajar
Kedudukan Titik-Titik sebagai Daerah Penyelesaiaan Pertidaksamaan Linear pada
Bidang Cartesius
Persamaan linear ax+by=c, dengan x dan y adalah variabel dan a, b, c konstanta, merupakan
sebuah garis lurus yang membagi bidang cartesius menjadi tiga bagian. Kedudukan titik-titik
yang dimaksud adalah :
a. kedudukan titik yang memenuhi ax+by=c
b. kedudukan titik yang memenuhi pertidaksamaan ax+by<c
c. kedudukan titik yang memenuhi pertidaksamaan ax+by>c
Pertidaksamaan linear dengan dua variabel
Pertidaksamaan linear dengan dua variable adalah suatu pertidaksamaan yang didalamnya
memuat dua variable dan masing-masing variable itu berderajat satu.
Pertidaksamaan linear dengan dua variabel merupakan kalimat matematika terbuka yang
menggunakan tanda ketidaksamaan dan mengandung dua variabel x dan y berpangkat satu.
Contoh : x + y ≥ -2, y < 2x +3
Langkah-langkah menentukan daerah penyelesaian :
Gambar persamaan garis yang mennyusun pertidaksamaan
Selidiki letak daerah berdasarkan tanda ≤, ≥ ,<,>¿
Menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear dua variabel
Gabungan dari dua atau lebih pertidaksamaan linear dua variabel disebut sistem
pertidaksamaan linear dengan dua peubah.
Untuk menentukan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel pada
dasarnya sama dengan pertidaksamaan yang telah dipelajari sebelumnya, yaitu :
Gambarkan masing-masing pertidaksamaan yang menyusun sistem
pertidaksamaan
Daerah perpotongan antar pertidaksamaan adalah daerah penyelesaian dari
sistem pertidaksamaan
II. Kegiatan pembelajaran
KegiatanWaktu
Guru Siswa
1. Kegiatan Awal
Guru menyuruh siswa
1. Kegiatan Awal
Siswa memimpin do’a
10 menit
memimpin do’a
Guru memperhatikan kehadiran
siswa
Apersepsi
Guru mengingatkan siswa tentang
pertidaksamaan
Motivasi
Guru menginformasikan tujuan
pembelajaran
Siswa memberikan respon
terhadap guru.
Apersepsi
Siswa mengingat tentang
pertidaksamaan
Motivasi
Siswa mendapat informasi tujuan
pembelajaran
2. Kegiatan Inti
a. Eksplorasi
Guru mengajarkan tentang titik-
titik sebagai daerah
penyelesaian pertidaksamaan
linear pada bidang cartesius
Guru mengajarkan tentang
pertidaksamaan linear dua
variable
Guru mengajarkan tentang
Menyelesaikan sistem
pertidaksamaan linear dua
variabel
b. Elaborasi
Guru memberikan latihan
tentang pertidaksamaan linear
dua variabel danMenyelesaikan
sistem pertidaksamaan linear
dua variabel
Guru membahas soal latihan
yang dianggap sulit oleh siswa
c. Konfirmasi
2. Kegiatan Inti
a. Eksplorasi
Siswa memahami tentang titik-
titik sebagai daerah
penyelesaian pertidaksamaan
linear pada bidang cartesius
Siswa memahami tentang
pertidaksamaan linear dua
variable
Siswa memahami tentang
Menyelesaikan sistem
pertidaksamaan linear dua
variabel
b. Elaborasi
Siswa mengerjakan latihan
tentang pertidaksamaan linear
serta menyelesaikannya.
Siswa mendengar pembahasan
soal latihan yang dianggap
sulit
c. Konfirmasi
65’
Guru bersama siswa
menyimpulkan hasil
pembahasan
Guru bersama siswa
menyimpulkan hasil
pembahasan
3. Kegiatan Penutup
Guru bersama siswa
menyimpulkan hasil
pembahasan
Guru memberikan tugas kepada
siswa
3. Kegiatan Penutup
Siswa bersama guru
menyimpulkan hasil
pembahasan
Siswa mendapat tugas dari
guru
15’
III. Metode pembelajaran
A. Ekspositori
B. Tanya jawab
C. Diskusi
D. Penugasan
IV. Sumber / Bahan Pembelajaran
Adinawan,cholik.Matematika Program Studi Ilmu Alam untuk SMA
dan MA Kelas XII.PT gelora aksaa pratama.2007:jakarta
V. Penilaian
1. Jenis : tugas individu
2. Bentuk : uraian
3. Contoh instrumen
Soal :
1) Tunjukkan daerah penyelesaiann pertidaksamaan 3x + 4y -12 ≥ 0
2) Gambarkan daerah penyelesaian pertidaksamaan :
{8 x+3 y≥ 244 x+9 y ≤36
x≥ 0y ≥0
Kunci Jawaban :
1) Langkah menentukan daerah penyelesaian :
Melukis garis 3x + 4y -12 = 0
Selidiki salah satu koordinat yang berada dikiri dan dikanan garis 3x + 4y -
12 =0
Dari hasil penyelidikan, daerah yang memenuhi 3x + 4y -12 ≥ 0 adalah
daerah disebelah kiri garis
2). Langkah-langkah :
Gambarlah garis 8 x+3 y=24 dan arsirlah daerah 8 x+3 y≥ 24
Gambarlah garis4 x+9 y≤ 36dan arsirlah daerah4 x+9 y≤ 36
Syarat x≥ 0dan y ≥ 0 menunjukkan bahwa daerah yang dimaksud terletak
dikuadran I ( x dan y positif )
Daerah penyelesaian adalah daerah yang memenuhi keempat syarat atau
daerah irisan dari penyelesaian keempat pertidaksamaan
VI. Pedoman Penilaian
Nilai (N) = Jumlah skor perolehan
Jumlah skor maxx100
Bukittinggi, November 2013
Mengetahui
Kepala SMA Guru mata pelajaran
NIP NIP
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
(RPP)
Satuan Pendidikan : SMA
Mata Pelajaran : Matematika
Kelas / Semester : XII / 1
Jumlah Pertemuan : 1 Pertemuan ( 2 x 45’)
Standar Kompetensi
3. Menyelesaikan masalah program linear
Kompetensi dasar
a. Merancang model matematika dari masalah program linear
Indikator Pencapaian Kompetensi
Mengenal masalah yang merupakan program linear
Tujuan Pembelajaran
Siswa dapat mengenal masalah yang merupakan program linear
VII. Materi Ajar
Mengenal masalah yang merupakan program linear
Masalah yang diselesaikan menggunakan Program Linear biasanya adalah masalah
dalam kehidupan sehari-hari. Agar masalah dapat dipecahkan maka masalah harus
diterjemahkan kedalam bahasa matematika.
CONTOH:
Seorang ibu rumah tangga mempunyai 160 gram tepung beras dan 240 gram tepung
terigu untuk membuat dua jenis kue A dan B. Setiap kue A memerlukan 16 gram tepung
beras dan 20 gram tepung terigu, sedangkan setiap kue B memerlukan 12 gram tepung
beras dan 30 gram tepung terigu. Ia hendak membuat lebih dari 2 keping kue A dan
sekurang-kurangnya sekeping kue B. Dalam berapa carakah dua jenis tepung itu dapat
digunakan untuk membuat dua jenis kue tersebut ?
Jawab :
Analisis kasus :
Misalkan x = banyak kue A ; y = banyak kue B
Setiap kue A dan B memerlukan masing-masing 16 gram dan 12 gram tepung
beras. Tepung beras yang tersedia 160 gram.
Banyak tepung beras yang diperlukan untuk membuat kue A dan kue B adalah
(16x + 12y ) gram.
Karena tepung beras yang tersedia 160 gram, maka pertidaksamaan yang dapat
disusun adalah 16x + 12y ≤ 160
Setiap kue A dan B memerlukan masing-masing 20 gram dan 30 gram tepung
terigu. Tepung terigu yang tersedia 240 gram.
Banyak tepung terigu yang diperlukan untuk membuat kue A dan kue B adalah
(20x + 30y ) gram
Karena tepung terigu yang tersedia 240 gram, maka pertidaksamaan yang dapat
disusun adalah 20x + 30y ≤ 240
Ia berencana membuat lebih dari 2 keping kue A, maka x > 2
Ia berencana membuat sekurang-kurangnya satu keping kue B, maka y ≥ 1
VIII. Kegiatan pembelajaran
KegiatanWaktu
Guru Siswa
4. Kegiatan Awal
a. Guru menyuruh siswa memimpin
do’a
b. Guru memperhatikan kehadiran
siswa
Apersepsi
Guru mengingatkan siswa tentang
sistem pertidaksamaan linear dua
variabel
Motivasi
Guru menginformasikan tujuan
pembelajaran
4. Kegiatan Awal
a. Siswa memimpin do’a
b. Siswa memberikan respon
terhadap guru
Apersepsi
Siswa mengingat tentang sistem
pertidaksamaan linear dua
variabel
Motivasi
Siswa mendapat informasi tujuan
pembelajaran
10menit
5. Kegiatan Inti
d. Eksplorasi
Guru mengajarkan siswa
tentang Mengenal masalah yang
merupakan program linear
e. Elaborasi
Guru memberikan latihan
tentang Mengenal masalah yang
merupakan program linear
Guru membahas soal latihan
yang dianggap sulit oleh siswa
f. Konfirmasi
Guru bersama siswa
menyimpulkan hasil
pembahasan
5. Kegiatan Inti
d. Eksplorasi
Siswa memahami masalah yang
merupakan program linear.
e. Elaborasi
Siswa mengerjakan latihan
Mengenal masalah yang
merupakan program linear
Siswa mendengar pembahasan
soal latihan yang dianggap sulit
c. Konfirmasi
Guru bersama siswa
menyimpulkan hasil pembahasan
65menit
IX. Metode pembelajaran
E. Ekspositori
F. Tanya jawab
G. Diskusi
H. Penugasan
X. Sumber / Bahan Pembelajaran
Adinawan,cholik.Matematika Program Studi Ilmu Alam untuk SMA dan
MA Kelas XII.PT gelora aksaa pratama.2007:jakarta
XI. Penilaian
4. Jenis : tugas individu
5. Bentuk : uraian
6. Contoh instrumen
Soal :
1) Analisislah masalah berikut !
Seorang anak diharuskan makan dua jenis tablet setiap hari. Tablet pertama
mengandung 5 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B, sedangkan tablet kedua
mengandung 10 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B. Dalam sehari anak
membutuhkan 20 unit vitamin A dan 5 unit vitamin B. Jika harga tablet
pertama Rp. 4 dan tablet kedua Rp.8, maka pengeluaran minimum untuk
pembelian tablet perhari adalah...
Kunci jawaban :
1) Analisis kasus :
Misalkan x = tablet 1 ; y = tablet 2
Tablet pertama mengandung 5 vitamin A, tablet kedua mengandung 10
vitamin A, sedangkan vitamin A tersedia sebanyak 20
Banyak vitamin A untuk membuat tablet pertama dan kedua adalah (5x +
10y)
Karena vitamin A yang tersedia 20,, maka pertidaksamaannya adalah : 5x +
10y ≤ 20
Tablet pertama mengandung 3 vitamin B, tablet kedua mengandung 1
vitamin B, sedangkan vitamin B tersedia sebanyak 5
Banyak vitamin B untuk membuat tablet pertama dan kedua adalah (3x + y)
Karena vitamin B yang tersedia 5,, maka pertidaksamaannya adalah : 3x + y
≤ 5
XII. Pedoman Penilaian
Nilai (N) = Jumlah skor perolehan
Jumlah skor maxx100
Bukittinggi, November 2013
Mengetahui Guru Mata Pelajaran
Kepala SMA
NIP NIP
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
(RPP)
Satuan Pendidikan : SMA
Mata Pelajaran : Matematika
Kelas / Semester : XII / 1
Jumlah Pertemuan : 1 Pertemuan ( 2 x 45’)
Standar Kompetensi
2. Menyelesaikan masalah program linear
Kompetensi Dasar
2.3 menyelesaikan model matematika dari masalah program linear dan penafsirannya
Indikator
2.3.1 menentukan nilai optimum dari fungsi objektif sebagai penyelesaian dari
program linear
2.3.2 menafsirkan nilai optimum yang diperoleh sebagai penyelesaian masalah
program linear.
Tujuan Pembelajaran
Siswa dapat menentukan nilai optimum dari fungsi objektif sebagai
penyelesaian dari program linear
Siswa dapat menyelesaikan model matematika dari masalah program linear
linear dan penafsirannya
I. Materi Ajar
Nilai optimum yang diperoleh dari suatu permasalahan program linear dapat berupa
nilai terbesar atau nilai terkecil. Hal yang akan menentukan nilai maksimum atau nilai
minimum adalah permasalahannya, yang dapat dicirikan dengan model kendalanya.
Untuk menentukan nilai optimum suatu fungsi objektif dari sebuah sistem yang diketahui
ada 2 cara, yaitu dengan menggunakan:
a. Uji titik pojok
Pada metode uji titik pojok untuk mencari nilai optimum dari bentuk f(x,y) = ax +
by adalah dengan cara menghitung nilai f(x,y) = ax + by pada tiap titik pojok
daerah himpunan penyelesainnya. Nilai-nilai f(x,y) = ax + by tersebut kita
bandingkan kemudian tetapkan:
Nilai terbesarnya sebagai nilai maksimum dari f(x,y) = ax + by
Nilai terkecilnya sebagai nilai minimum dari bentuk f(x,y) = ax + by
b. Garis selidik
Jika metode yang akan digunakan untuk mencari nilai optimum adalah garis
selidik ax + by = k maka ikuti aturan berikut ini:
Gambar garis ax + by = ab yang memotong sumbu X dititik (b,0) dan
memotong sumbu Y dititik (0,a)
Buatlah garis-garis yang sejajar dengan garis ax + by = ab
- Jika garis ax + by = kmax berada paling kanan dalam daerah himpunan
penyelesaian maka F = Kmax adalah nilai maksimum dari bentuk
objektif F = ax + by
- Jika garis ax + by = kmin berada paling kiri dalam daerah minimum
himpunan penyelesaian maka F = Kmin adalah nilai minimum dari
bentuk objektif F = ax + by
II. Kegiatan Pembelajaran
KegiatanWaktu
Guru Siswa
6. Kegiatan Awal
c. Guru menyuruh siswa memimpin
do’a
d. Guru memperhatikan kehadiran
siswa
Apersepsi
Mengaitkan materi yang
akan dipelajari dengan
mengulang materi
sebelumnya yang telah
6. Kegiatan Awal
c. Siswa memimpin do’a
d. Siswa memberikan respon
terhadap guru
Apersepsi
e. Siswa memberikan respon
terhadap guru
10menit
dipelajari.
Menanyakan kepada siswa
materi yang akan
diberikan guna melihat
apakah ada di pelajari oleh
siswa materi selanjutnya.
Motivasi
Apabila siswa telah
mengetahui gambaran dari
materi yang akan dipelajari
maka siswa akan mudah
paham memahami
konsepnya.
Motivasi
Siswa mendapat informasi tujuan
pembelajaran
7. Kegiatan Inti
Eksplorasi
Guru menjelaskan cara mencari
penyelesaian sistem
pertidaksamaan linear dengan
menentukan titik pojok dari
daerah fisibel menggunakan
daerah selidik. Dan bagaimana
penafsirannya.
Guru memberikan latihan
untuk meningkatkan
pemahaman siswa terhadap
materi yang telah dipelajari.
(komunikatif)
Konfirmasi
Guru meminta siswa untuk
mengerjakan latihan di depan
kelas secara bergantian dan
7. Kegiatan Inti
Eksplorasi
f. Siswa mampu mengelola
informasi dari guru tentang
penjelasan dari guru dan materi
yang tidak dimengerti bertanya
jika ada
konfirmasi
Siswa diminta untuk
memberikan contoh yang lain
tentang sistem pertidaksamaan
65menit
langsung memerikasnya
Elaborasi
Guru menberikan latihan yang
menyangkut materi yang baru
dipelajari
linear dengan menentukan titik
pojok dari daerah fisibel /
menggunakan daerah selidik
Elaborasi
Siswa mengerjakan latihan
yang diberikan guru dengan
teman sebangku
8. Kegiatan Penutup
Guru bersama siswa
menyimpulkan hasil
pembahasan
Guru memberikan tugas kepada
siswa
8. Kegiatan Penutup
Siswa bersama guru
menyimpulkan hasil
pembahasan
Siswa mendapat tugas dari
guru
15menit
III. Metode Pembelajaran
1. Inkuiri
2. Tanya jawab
3. Penugasan
IV. Sumber Pembelajaran
Adinawan,cholik.Matematika Program Studi Ilmu Alam untuk SMA dan
MA Kelas XII.PT gelora aksaa pratama.2007:jakarta
V. Penilaian
Jenis : tugas individu
Bentuk: tes tertulis
Contoh Instrumen :
1. sebuah pabrik bubut kayu sebagai bahan dasar pembuat kursi, memproduksi
dua jenis kayu bubut, dengan menggunakan tiga jenis mesin yang berbeda.
Untuk memproduksi kayu bubut jenis I menggunakan mesin I selama 2 menit,
mesin II selama 3 menit, dan mesin III selama 4 menit. Untuk memproduksi
kayu bubut jenis II, menggunakan mesin I selama 6 menit, mesin II selama 4
menit, dan mesin, dan mesin III selama 3 menit. Tentukan keuntungan
maksimum yang diperoleh pabrik tersebut dalam 3 jam, jika keuntungan setiap
produk jenis I Rp. 2500 dan jenis II Rp. 3000.
Jawab:
Dengan tabel
Produk jenis I Produksi jenis
II
Mesin I 2’ 6’ 180’
Mesin II 3’ 4’ 180’
Mesin III 4’ 3’ 180’
Misalkan:
x = jenis I , y = jenis II, model matematikanya:
2x + 6y ≤ 180
3x + 4y ≤ 180
4x + 3y ≤ 180
x ≥ 0, y ≥ 0
60
45
30
45 60 90
Nilai titik pojoknya :
A (0, 30) à f = 2500 (0) + 3000 (0) = 90000
B (30,20) à f = 2500 (30) + 3000 (20) = 135000
C (45,0) à f = 2500 (45) + 3000 (0) = 112500
Jadi, keuntungan maksimum yang diperoleh selama 3 jam adadlah Rp. 135000
dengan memperoleh 30 jenis I dan 20 jenis II
VI. Pedoman Penilaian
Nilai (N) = jumlah skor perolehan
jumlah skor max x 100
Bukittinggi, November 2013
Mengetahui Guru Mata Pelajaran
Kepala SMA
NIP NIP
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
Nama Sekolah : SMA
Mata pelajaran : Matematika
Kelas/semester : XII/I
Jumlah pertemuan : 3 X 45’ (1x Pertemuan)
Pertemuan ke : ............................
A. Standar Kompetensi : 3. Menggunakan konsep matriks, vektor dan transformasi
dalam pemecahan masalah.
B. Kompetensi Dasar : 3.1 menggunakan sifat-sifat dan operasi matrik untuk
menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers dari matriks persegi
lain.
C. Indikator :
3.1.1 Mengenal bentuk dan ciri matriks persegi
3.1.2 Mengetahui dan memahami notasi dan ordo matriks
3.1.3 Mengetahui jenis-jenis matriks
3.1.4 Mengetahui transpose suatu matriks
3.1.5 Menuliskan dan memahami informasi dalam bentuk matriks
D. Tujuan Pembelajaran :
1. Siswa dapat mengetahui apa itu matriks persegi
2. Siswa dapat mengetahui dan memahami notasi dan ordo matriks
3. Siswa dapat mengetahui jenis-jenis matriks
4. Siswa mengetahui transpose suatu matriks
5. Siswa bisa menuliskan informasi dalam bentuk matriks
E. Materi Ajar
1. Pengertian Matriks
Sebuah matriks didefenisikan sebagai susunan bilangan yang diatur dalam baris dan
kolom yang berbentuk persegi / persegi panjang dan diletakkan diantara dua kurung biasa
“( )” atau kurung siku “[ ]”.
a. Notasi matriks
Bilangan-bilangan yang tersusun dalam matriks disebut elemen (enti) matriks. Baris
sebuah matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang mendatar (horizontal), sedangakan
kolom atau lajur sebuah matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang tegak (vertikal)
dalam matriks iu.
Letak sebuah elemen dalam sebuah matriks ditentukan berdasarkan baris dan kolom
dimana elemen itu terletak pada baris ke-i dan kolom ke-j sebuah matriks A akan
dilambangkan dengan aij.
A
=(a 11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33 )
baris
kolom
Suatu matriks lazimnya diberi notasi dengan huruf-huruf kapital misalnay: A, B, C, D,
.....,P, Q dst.
Bentuk umum suatu matriks:
A= (aij)
=( a11 a12 . . . a1n. .. . .. .. . . . .. .am 1 am2 . . amn )
Keterangan:
Bentuk aij menyatakan elemen a terletak pada baris ke-i dan kolom ke-j sehingga:
a11 = elemen matriks baris ke-1 kolom ke – 1
a12 = elemen matriks baris ke-1 kolom ke – 2
a1n = elemen matriks baris ke-1 kolom ke – n
a32 = elemen matriks baris ke-3 kolom ke – 2
am1 = elemen matriks baris ke-m kolom ke – 1
b. Ordo matriks
Ordo sebuah matriks ditentukan oleh banyaknya baris dan kolom pada matriks
tersebut. Ordo sebuah matriks disebut juga ukuran sebuah matriks. Perhatikan dalam
menyatakan ordo sebuah matriks selalu didahului oleh banyaknya kolom. Sebuah matriks A
yang mempunyai m baris dan n kolom, maka ordonya adalah m x n dan dituliskan sebagai
Am× x.
c. Jenis-jenis matriks
1) Matriks persegi
Suatu matriks yang memiliki banyaknya baris sama dengan banyak kolom, disebut
matriks persegi. A= [2 95 7 ]
2) Matriks baris
Matriks yang hanya mempunyai satu baris saja disebut matriks baris. Ordo matriks
baris ditulis (1 x n ) dengan n > 1, dan n bilangan asli.
S1x2 = [1 12] Q1x4 = [ 4 5 6 13 ]
3) Matriks kolom
Matriks yang hanya mempunyai satu kolom disebut matriks kolom. Ordo matriks
kolom ditulis (m x 1) dengan m ≥ 2, dan m∈ A.
4) Matriks diagonal
Matriks diagonal adalah matriks persegi yang semua elemen atau unsur di luar
diagonal utamanya adalah nol
A2x2 [7 00 −3]
5) Matriks identitas
Suatu matriks dikatakan sebagai matriks identitas, apabila diagonal yang elemen-
elemen atau unsur-unsur diagonal utamanya bernilai 1 (satu). Perhatikan contoh
berikut:
I2x2 = [1 00 1]
6) Matriks nol
Dikatakan sebagai suatu matriks nol, apabila semua elemen atau unsurnya adalah nol.
A2x2 = [0 00 0]
7) Matriks simetris / setangkup
Matriks simetris adalah matriks persegi yang unsur pada baris ke-i kolom ke-j sama
dengan unsur pada baris ke-j kolom ke-i.
A3x3 =
=(10 4 14 0 25 2 0 )
, dimana a21 = a12 =4, a32 = a23 =2
8) Matriks segitiga
Matriks segitiga adalah matriks persegi yang mempunyai elemen-elemen diatas
diagonal utamanya bernilai nol atau elemen-elemen dibawah diagonal utamanya
bernilai nol.
A3x3 =
=(10 0 04 2 05 2 3 )
, disebut matriks segitiga bawah
A3x3 =
=(10 3 10 2 20 0 3 )
, disebut matriks segitiga atas.
d. Transpose suatu Matriks
Transpose dari suatu matriks Amxn dapat dibentuk dengan cara menukarkan baris
matriks A menjadi kolom matriks baru dan kolom matriks A menjadi baris matriks baru.
Matriks baru dinyatakan dengan lambang An× m' atau An× m
t .
A3× 1=[896]→ A1 ×3t =[ 8 9 6 ]
e. Kesamaan Dua Matriks
Dua buah matriks A dan B dikatakan sama (ditulis A=B ), jika dan hanya jika kedua
matriks itu mempunyai ordo yang sama dan elemen-elemen yang seletaknya sama. Karena
menggunakan ungkapan “jika dan hanya jika“ maka pengertian ini berlaku menurut dua arah,
yaitu:
1) Jika A=B maka haruslah ordo kedua matriks itu sama, dan elemen-elemen yang
seletak sama.
2) Jika dua buah matriks mempunyai ordo yang sama, elemen-elemen yang seletak juga
sama maka A=B.
F. Alokasi Waktu
Tatap Muka : 2 x 45 menit = 90 menit
Penugasan terstruktur : 30 menit
Kerja Mandiri tak terstruktur : 45 menit
G. Metode Pembelajaran
Ekspositiri dan model pembelajaran cooperatif tipe STAD
H. Kegiatan Pembelajaran
Langkah-langkah kegiatan pembelajaran:
Tahap
Kegiatan
Alokasi
WaktuGuru Siswa
Pendahuluan Kegiatan awal
- Guru mengucapkan salam dan
membimbing siswa untuk berdo’a
dan membaca al-Qur’an.
- Guru memeriksa kesiapan siswa
- Guru menyampaikan tujuan
pelajaran yang akan dicapai pada
pertemuan ini.
- Guru menyampaikan batasan
pelajaran.
- Berdo’a
- Siswa
memperhatikan
10’
Apersepsi: Guru mengingatkan
kembali materi yang telah dipelajari
sebelumnya dan mengaitkan dengan
materi yang akan dipelajari.
Memperhatikan
guru
Motivasi:
Menyampaikan manfaat dari materi
pembelajaran
Memperhatikan
guru
Kegiatan inti Guru meminta siswa duduk
berkelompok yang terdiri dari
4 – 5 orang perkelompok
Memperhatikan,
mendengarkan dan
melakukan perintah
guru
65’
Guru membagikan LKS
tentang integral tak tentiu dari
fungsi aljabar pada siswa
sebagai bahan yang akan
didiskusikan siswa
Mengerjakan
latihan
Mengerjakan
latihan dibawah
bimbingan guru
Beberapa siswa
mengerjakan
latihan kedepan
15
menit
Elaborasi
Memperhatikan
apa yang
disampaikan guru
Penutup Membimbing siswa membuat
kesimpulan.
Memberikan PR dirumah
/ beberapa soal untuk dirumah.
Meminta kepada siswa untuk
mempelajari materi pembelajaran
pada pertemuan berikutnya.
Menyimpulkan
materi dibawah
bimbingan guru
Mengerjakan PR
Memperhatikan
guru
15’
I. Penilaian
1. Jenis :
Tugas individu
Kuis
2. Bentuk:
Tes tertulis dalam uraian singkat
3. Contoh Instrumen :
1) Tentukan banyak kolom dan baris dari matriks berikut:
(1 0 02 2 01 3 3 )
Jawab: Adapun bentuknya sebagai berikut: (1 0 02 2 01 3 3 )
atau [1 0 02 2 01 3 3 ]
Banyaknya baris 3 bobot 4
sedangkan banyaknya kolom 3 bobot 4
sehingga ordo matiks adalah 3 x 3. Bobot 2
2) Dua matriks A dan matriks B dikatakan sama apabila ordonya sama dan elemen-
elemen yang seletak juga sama
A= (x+ y 5
4 x− y )dan B=
(5 54 1 )
. Tentukan x!
Jawab :
A=B ↔(x+ y 54 x− y )
= (5 54 1 )
bobot 3
↔ x+ y=5 bobot 1.5
↔ x− y=1 bobot 1.5
Eliminasi, sehingga:
↔ 2 x=6 bobot 3
↔ x=3 bobot 1
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
Satuan pendidikan : SMA
Mata pelajaran : Matematika
Kelas/semester : XII/I
Jumlah pertemuan : 3 X 45’ (1x Pertemuan)
Pertemuan ke : .......................................
A. Standar Kompetensi : 3. Menggunakan konsep matriks, vektor dan transformasi
dalam pemecahan masalah.
B. Kompetensi Dasar : 3.1 Menggunakan sifat-sifat dan operasi matrik untuk
menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers dari matriks persegi
lain.
C. Indikator :
1.1.1 Melakukan operasi matriks dalam bentuk pemjumlahan matriks
1.1.2 Melakukan operasi matriks dalam bentuk pengurangan matriks
1.1.3 Melakukan operasi matriks dalam bentuk perkalian matriks
1.1.4 Melakukan operasi matriks dalam bentuk pembagian matriks
D. Tujuan Pembelajaran :
1. Siswa mampu menyelesaikan operasi matriks dalam bentuk penjumlahan matriks
2. Siswa mampu menyelesaikan operasi matriks dalam bentuk pengurangan matriks
3. Siswa mampu menyelesaikan operasi matriks dalam bentuk perkalian matriks
4. Siswa mampu menyelesaikan operasi matriks dalam bentuk pembagian matriks
E. Materi Ajar
1. Konsep
a. Penjumlahan matriks
Jika A dan B adalah dua buah matriks borordo ssama maka jumlah matriks A dan B
ditulis A + B adalah sebuah matriks baru C yang diperoleh dengan menjumlahkan elemen-
elemen matriks A dengan elemen-elemen B yang seletak. Penjumlahan matriks A dan B
terdefenisi hanya jika ordo A sama dengan ordo B.
Sifat-sifat penjumlahan matriks:
Komutatif, A + B = B + A
Asosiatif, (A + B )+ C = A + (B + C )
Sifat lawan, A + (-A )= 0
Identitas penjumlahan, A + 0 = A
b. Pengurangan matriks
Pengurangan matriks A dengan B adalah suatu matriks yang elemen-elemennya
diperoleh dengan cara mengurangkan elemen matriks A dengan elemen matriks B yang
bersesuaian (seletak), atau dapat pula diartikan sebagai menjumlahkan matriks A dengan
lawan (negatif) dari B, dituliskan : A – B = A + (-B). Pengurangan matriks A dan B
terdefenisi hanya jika ordo A sama dengan ordo B.
c. Perkalian Matriks
Misalkan A adalah suatu matriks berordo m ×n dengan elemen-elemen a ij dan k
adalah suatu bilangan real. Jika matriks C adalah hasil perkalian bilangan real k
terhadap matriks A, ditulis C=kA , maka matriks C berordo m ×n dengan elemen-
elemen matriks C ditentukan oleh:
c ij=ka ij(untuk semua i dan j)
Sifat-sifat perkalian matriks:
( p+q ) A=pA+qA
p ( A+B )=pA+ pB
p (qA )=( pq ) A
1 A=A
(−1 ) A=−A
1. Perkalian matriks berordo 1 ×n terhadap matriks berordo n ×1
Defenisi:
Misalkan A adalah matriks baris berordo 1 ×n
A=(a11 , a12 , a13…, a1n)
Dan B adalah matriks kolom berordo n ×1
B=(b11
b21
b31
⋮bn1
)Jika C adalah matriks hasil perkalian matriks A terhadap B atau C=AB, maka
Matriks C berordo 1 ×1, dalam hal ini C adalah sebuah skalar.
Matriks C ditentukan oleh:
C=[a11 b11+a12b21+a13b31+…+a1 nbn 1 ].
F. Alokasi Waktu
Tatap Muka : 2 x 40 menit = 80 menit
Penugasan terstruktur : 60% x 80 menit = 48 menit
Kerja Mandiri tak terstruktur : 30 menit
G. Metode pembelajaran
Ikuiri, tanya jawab, penugasan
H. Kegiatan Pembelajaran
Langkah-langkah kegiatan pembelajaran:
Tahap
Kegiatan
Alokasi
WaktuGuru Siswa
Pendahuluan Kegiatan awal
- Guru mengucapkan salam dan
membimbing siswa untuk berdo’a
- Berdo’a 5 menit
dan membaca al-Qur’an.
- Guru memeriksa kesiapan siswa
- Guru menyampaikan tujuan
pelajaran yang akan dicapai pada
pertemuan ini.
- Guru menyampaikan batasan
pelajaran.
- Siswa
memperhatikan
Apersepsi: Guru mengingatkan
kembali materi yang telah dipelajari
sebelumnya dan mengaitkan dengan
materi yang akan dipelajari.
Memperhatikan
guru
8 menit
Motivasi:
Menyampaikan manfaat dari materi
pembelajaran
Memperhatikan
guru
5 menit
Kegiatan inti Eksplorasi:
Guru mengadakan Tanya jawab
dengan siswa untuk mengetahui
pengetahuan awal siswa terhadap
operasi matriks.
Guru menjelaskan bentuk operasi-
operasi matriks
Melibatkan peserta didik secara
aktif dalam setiap kegiatan
pembelajaran.
Memberikan contoh soal
Memperhatikan,
mendengarkan
dan mencatat yang
di jelaskan guru
45
menit
Elaborasi:
Memberikan latihan
Membimbing siswa dalam
mengerjakan latihan
Meminta beberapa siswa untuk
mengerjakan latihan kedepan kelas
Mengerjakan
latihan
Mengerjakan
latihan dibawah
bimbingan guru
Beberapa siswa
15
menit
mengerjakan
latihan kedepan
Konfirmasi:
Memberikan umpan balik positif
dan penguatan dalam bentuk lisan,
tulisan, isyarat, maupun hadiah
terhadap keberhasilan peserta
didik,
Memberikan konfirmasi terhadap
hasil eksplorasi dan elaborasi
peserta didik melalui berbagai
sumber.
memfasilitasi peserta didik
melakukan refleksi untuk
memperoleh pengalaman belajar
yang telah dilakukan.
Memperhatikan
apa yang
disampaikan guru
10
menit
Penutup Membimbing siswa membuat
kesimpulan.
Memberikan PR dirumah
/ beberapa soal untuk dirumah.
Meminta kepada siswa untuk
mempelajari materi pembelajaran
pada pertemuan berikutnya.
Menyimpulkan
materi dibawah
bimbingan guru
Mengerjakan PR
Memperhatikan
guru
12
menit
I. Penilaian
1. Jenis :
Tugas individu
2. Bentuk:
Tes tertulis dalam uraian singkat
3. Contoh Instrumen :
1). Jika A = (−3 2
1 0 ), B =
(4 −12 5 )
dan C = (−2 −2
3 3 )a. Tentukan A + B
b. Tentukan A – C
c. Tentukan A . B
d. Tentukan B . C
Jawab:
a. A + B = (−3 21 0)+(4 −1
2 5 )=(1 13 5) bobot 2
b. A−C=(−3 21 0)−(−2 −2
3 3 )=(−1 4−2 −3) bobot 2
c. A . B=(−3 21 0) .(4 −1
2 4 )=( (−3 ) .4+2.2 (−3 ) (−1 )+2.41.4+0.4 1. (−1 )+0.4 ) bobot 3
¿(−8 114 −1)
d. B .C=(4 −12 5 ) .(−2 −2
3 3 )=(4. (−2 )+(−1 ) .3 ¿¿2 (−2 )+5.3¿ (−2 ) .2+5.3¿ )
¿( −8−3 −8−3−4+15 −4+15)
¿(−11 −1111 11 ) bobot 3
2). A= (1 52 3 )
. B= (5 54 1 )
. Carilah A + B dan A – B
Jawab:
a) A + B = (1 52 3 )
+ (5 54 1 )
= (1+5 5+52+4 3+1 )
bobot 5
= (6 106 4 )
b) A – B = (1 52 3 )
- (5 54 1 )
= (1−5 5−52−4 3−1 )
= (−4 0−2 2 )
bobot 5
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
Satuan pendidikan : SMA
Mata pelajaran : Matematika
Kelas/semester : XII/I
Jumlah pertemuan : 3 X 45’ (1x Pertemuan)
Pertemuan ke : .......................................
A. Standar Kompetensi : 3. Menggunakan konsep matriks, vektor dan transformasi
dalam pemecahan masalah
B. Kompetensi Dasar : 3.1 menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk
menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers dari matriks persegi lain
C. Indikator : 3.1.2 mengenal invers matriks persegi berordo 2
D. Tujuan Pembelajaran : 1. siswa bisa mengenal invers matriks persegi
E. Materi Ajar
1. Pengertian dua matriks saling invers
Jika A dan B adalah matriks persegi dengan ordo yang sama sehingga AB = BA = I,
maka B merupakan invers dari A dan A merupakan invers dari B.
A = (1 11 2 )
B = ( 2 −1−1 1 )
, maka
AB = (1 11 2 )( 2 −1
−1 1 )=
(1 00 1 )
= 1
BA = ( 2 −1−1 1 )(1 1
1 2 )=
(1 00 1 )
=1
Terlihat bahwa AB=BA= 1. Hal ini berarti bahwa matriks B merupakan invers dari
matriks A, sebaliknay matriks A merupakan invers dari matriks B. Invers dari Matriks A
dituliskan A-1,sehingga diperoleh:
A.A-1 = A-1.A =1
Contoh:
1 . A= (1 52 3 )
. carilah A-1
Jawab:
A-1 =
17
( 3 −5−2 1 )
=
(37
−57
−27
17
)F. Alokasi Waktu
Tatap Muka : 2 x 40 menit = 80 menit
Penugasan terstruktur : 60% x 80 menit = 48 menit
Kerja Mandiri tak terstruktur : 30 menit
G. Metode pembelajaran
Ikuiri, tanya jawab, penugasan
H. Kegiatan Pembelajaran
Langkah-langkah kegiatan pembelajarannya sebagai berikut:
Tahap
Kegiatan
Alokasi
WaktuGuru Siswa
Pendahuluan Kegiatan awal
- Guru mengucapkan salam dan
membimbing siswa untuk berdo’a
dan membaca al-Qur’an.
- Guru memeriksa kesiapan siswa
- Guru menyampaikan tujuan
pelajaran yang akan dicapai pada
pertemuan ini.
- Guru menyampaikan batasan
pelajaran.
- Berdo’a
- Siswa
memperhatikan
10
menit
Apersepsi: Guru mengingatkan
kembali materi yang telah dipelajari
sebelumnya dan mengaitkan dengan
materi yang akan dipelajari.
Memperhatikan
guru
Motivasi:
Menyampaikan manfaat dari materi
pembelajaran
Memperhatikan
guru
Kegiatan inti Eksplorasi:
Guru mengadakan Tanya jawab
dengan siswa untuk mengetahui
pengetahuan awal siswa terhadap
jenis-jenis operasi matriks.
Guru menjelaskan bentuk operasi-
operasi matriks
Melibatkan peserta didik secara
aktif dalam setiap kegiatan
pembelajaran.
Memberikan contoh soal
Memperhatikan,
mendengarkan
dan mencatat yang
di jelaskan guru
65
menit
Elaborasi:
Memberikan latihan
Membimbing siswa dalam
mengerjakan latihan
Meminta beberapa siswa untuk
mengerjakan latihan kedepan kelas
Mengerjakan
latihan
Mengerjakan
latihan dibawah
bimbingan guru
Beberapa siswa
mengerjakan
latihan kedepan
Konfirmasi:
Memberikan umpan balik positif
dan penguatan dalam bentuk lisan,
tulisan, isyarat, maupun hadiah
terhadap keberhasilan peserta
didik,
Memberikan konfirmasi terhadap
hasil eksplorasi dan elaborasi
peserta didik melalui berbagai
sumber.
memfasilitasi peserta didik
melakukan refleksi untuk
memperoleh pengalaman belajar
yang telah dilakukan.
Memperhatikan
apa yang
disampaikan guru
Penutup Membimbing siswa membuat
kesimpulan.
Memberikan PR dirumah
/ beberapa soal untuk dirumah.
Meminta kepada siswa untuk
mempelajari materi pembelajaran
pada pertemuan berikutnya.
Menyimpulkan
materi dibawah
bimbingan guru
Mengerjakan PR
Memperhatikan
guru
15
menit
I. Penilaian
1. Jenis :
Tugas individu
Kuis
2. Bentuk:
Tes tertulis dalam uraian singkat
3. Contoh Instrumen :
Tentukan A
-1, jika diketahui A =
(−3 21 0 )
Jawab:
A-1 = 1
det ( 0 −2−1 −3 )
= 1
−2 ( 0 −2−1 −3 )
= ( 0 1
12
32 )
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
Satuan pendidikan : SMA
Mata pelajaran : Matematika
Kelas/semester : XII / 1
Program :IPA
Jumlah pertemuan : 6 x 45 menit (2 x pertemuan)
A. Standar Kompetensi : Menggunakan konsep matriks vektor dan transformasi dalam
pemecahan masalah.
B. Kompetensi Dasar : Menentukan determinan dan invers dari matriks 2 x 2
C. Indikator :
Menentukan determinan dari matriks 2 x 2
Menentukan invers dari matriks 2 x 2
D. Tujuan pembelajaran
Siswa dapat menentukan determinan dari matriks 2 x 2
Siswa dapat menentukan invers dari matriks 2 x 2
E. Materi Ajar
1. Determinan Matriks 2 x 2
Secara sederhana, dapat dikatakan bahwa determinan suatu matrik 2x2 adalah
pengurangan dari hasil kali antara elemen-elemen diagonal utama dan diagonal
lainnya.
Misalkan matriks A = [a bc d ] yang dimaksud determinan dari matrik A
adalah :
Det A = ⌊A ⌋ = |a bc d| = ad – bc
2. Invens matriks 2x2
Beberapa langkah untuk invers dari suatu matrik :
Mempertukarkan elemen pada diagonal utama.
Mengubah tanda elemen-elemen pada diagonal utama.
Kalikan dengan super determinan matriks tersebut.
Berdasarkan uraian diatas dapat disimpulkan bahwa jika suatu matriks
A = [a bc d ] maka invers dari matrik A = [ a ]-1 dapat ditulis dengan rumus :
A-1 = 1
det A [ a −b−c d ]=
1ad−bc [ a −b
−c d ]
1. Determinan matriks 2 x 2
1) Tentukanlah det A jika A = [1 23 4]
Jawab :
Det A = (1 x 4-2 x 3) = 4 – 6 = -2
2) Tentukanlah det B jika B = [5 76 9]
Jawab :
Det B = (5 x 9 – 6 x 7) = 45 – 42 = -2
2. Invers matriks 2 x 2
1) Jika diketahui matriks A = [2 13 5] maka tentukanlah A-1
Jawab :
A-1 = 1
ad−bc [ a −b−c d ]
= 1
2−5−1−3 [ 5 −1−3 2 ]
= 17
[ 5 −1−3 2 ]
= [ 5 /7 −1/7−37 2/7 ]
F. Alokasi Waktu
Tatap Muka : 2 x 40 menit = 80 menit
Penugasan terstruktur : 60% x 80 menit = 48 menit
Kerja Mandiri tak terstruktur : 30 menit
G. Metode Pembelajaran
Metode yang digunakan adalah metode ekspositasi inkuisi
H. Kegiatan pembelajaran
TahapKegiatan Alokasi
waktuGuru Siswa
Pendahuluan Kegiatan awal
- Guru mengucapkan salam
dan membimbing siswa
untuk berdo’a dan
membaca al-Qur’an.
- Guru memeriksa kesiapan
siswa
- Guru menyampaikan tujuan
pelajaran yang akan dicapai
pada pertemuan ini.
Guru menyampaikan
batasan pelajaran.
10 menit
Kegiatan Inti
Kegiatan
Penutup
Apersepsi
Mengingatkan kembali materi
yang lalu.
Motivasi
Apabila materi ini dapat
dikuasai dengan baik oleh
siswa, siswa dapat menjelaskan
konsep-konsep determinan
matriks 2x 2.
Eksplorasi
Guru menjelaskan
determinan matriks 2 x 2
Guru memberikan contoh
soal tentang determinan
matriks 2 x 2
Guru memberikan soal
latihan kepada siswa
Elaborasi
Guru menyerahkan kegiatan
siswa atau memeriksa apakah
siswa mengerjakan latihan.
Konfirmasi
Guru meminta siswa
mengerjakan soal latihan di
depan kelas.
Guru meminta penegasan
terhadap apa yang dikerjakan
siswa.
Guru menyampaikan batasan
pelajaran. Guru meminta
salah seorang siswa untuk
menyimpulkan materi.
Siswa memperhatikan dan
menanggapi apa yang
disampaikan oleh guru.
Siswa mencatat dan
menanggapi pernyataan
dari guru.
Siswa mengerjakan soal
latihan.
Siswa berdiskusi dengan
teman sebangkunya untuk
mengatasi kesulitan-
kesulitan mereka dalam
menelesaikan soal latihan.
65 menit
15 menit
Guru memberikan
kesempatan kepada siswa
untuk memahami materi yang
dipelajari tadi.
Guru memberikan Quis
diakhir pelajaran.
I. Penilaian
1. Jenis penilaian
Quis
2. Bentuk Penilaian
1) Tes tertulis dalam bentuk uraian
3. Contoh Instrumen
1. Determinan Matriks 2 x 2
1) Matriks A = [ 4 −6−5 8 ] adalah ………..
Jawab:
A = [ 4 −6−5 8 ]
= (8.4) - ((-6).(-5)) bobot 8
= 32 – 30 = 2 bobot 2
2) Jika F = [2 11 a ] dan det F = ∅ maka nilai a adalah ……..
Jawab:
F = [2 11 a ] = ¿ det F = [2 1
1 a ] bobot 8
9 = 2a – 1 bobot 1
a = 5 bobot 1
3) Diketahui C = [3 −1x 9 ] dan det c = s maka nilai x + 2 adalah ……
Jawab:
Det C = 27 + x nilai x + 2 = -32 + 2
-S = 27 + x = -30 bobot 5
X = -32 bobot 5
2. Invers
1) A-1 dari matriks A = [−7 12 5 ] adalah ………
Jawab:
A-1 ¿ 1det A
[ 5 −1−2 −7 ]
= - 7
37 [ 5 −1−2 −7 ] bobot 8
= [−5/37 1/372/37 737 ] bobot 2
2) Jika bc ≠ 0 , invers dari matriks [a bc 0] adalah ………...
Jawab:
M-1 = 1
det M [ 0 −b−c a ]
= - 7bc
[ 0 −b−c a ] bobot 10
3) Invers dari matriks [1 00 1] adalah ………
Jawab:
H-1 ¿ 1det H
[1 00 1]
= - 11
[1 00 1] bobot 8
= [1 00 1] bobot 2
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
Satuan pendidikan : SMA
Mata pelajaran : Matematika
Kelas/semester : XII / 1
Program : IPA
Jumlah pertemuan : 6 x 45 menit (2 x pertemuan)
A. Standar Kompetensi : Menggunakan konsep matriks, vektor, dan Transformasi
dalam pemecahan masalah.
B. Kompetensi Dasar : Menggunakan konsep determinan dan invers dalam
menyelesaikan system persamaan linear dua variabel
Sistim persamaan dan dua variabel.
C. Indikator :
Menentukan persamaan matriks dan SPLDV.
Menentukan penyelesaian SPLDV dengan determinan.
Menylesaikan SPLDV dengan invens matriks
D. Tujuan Pembelajaran:
Siswa dapat menentukan persamaan matriks dan SPLDV.
Siswa dapat menentukan penyelesain SPLDV dengan
determinan.
Siswa dapat mnyelesaikan SPLDV dengan invens matriks.
E. Materi Ajar
1. Persamaan matrik dan SPLDV
Misalkan terdapat sistim persamaan linear dua variabel yaitu :
ax + by =d bentuk tersebut dapat diubah menjadi bentuk matriks
cx + gy = e
yaitu : [a bc g ] [ x
y ]= [de ]
2. Menyelesaikam SPLDV dengan determinan matriks
Misalkan terdapat SPLDV dengan persamaan sebagai berikut :
[a bc d ] [ x
y ]= [ pq ]
Berdasarkan prhitungan invens didapat nilai x dan y ditumjukkan oleh
persamaan sebagai berikut :
[ xy ] =
1ad−bc
[ d −b−c a ] [ p
q ]
= [ dp−bqad−bcaq−cpad−bc
] Dalam bebtuk yang terpisah diperoleh :
x = dp−bqad−bc
dan y = aq−cpad−bc
jika ditulis dalam bentuk matriks
x = [ p bq d]
[a bc d ]
dan y = [a pc q ][a bc d]
secara luas ditulis :
x = DxD
dan y = DyD
, dan D ≠ ∅
3. Menyelesaikan SPLDV dengan invens matriks
Misalka terdapat SPLDV dengan bentuk
ax + by = p
cx + dy = q
Langkah-langkah menentukan penyelesaian SPLDV tersebut dengan invens matriks
adalah :
1) Nyatakan SPLDV dalam bentuk matriks
[a bc d ] [ x
y ]= [ pq ]
2) Tentukan invers matriks A=[a bc d ] yaitu
1ad−bc
[ d −b−c a ]
A−1= Adj Adet A
3) Kalikan persamaan matriks pada langkah (7) dengan langkah (2) dari kiri
sebagi berikut :
[ xy ] =
1ad−bc
[ d −b−c a ] [ p
q ]
Dari langkah (3) ini didapat nilai x dan y
1. Menyelesaikan SPLDV dengan determinan matriks
1) Tentukanlah himpunan penyelesaian dari
2x – sy = 9
4x + 3y = 5
Dengan menggunakan metode determinan.
Jawab :
Dalam bentuk matriks SPLDV tersebut adalah :
Jawab :
Dalam bentuk matriks SPLDV tersebut adalah :
[2 −54 3 ] [ x
y ]= [gs ]
D = [2 −54 3 ] = 26 Dx = [9 −5
5 3 ] = S2 , DY = [2 94 5] = -26
X = DxD
= 5226
= 2 y = DyD
= −2626
= -1
Jadi : himpunan penyelesaiannya adalah : [ (2 ,−1 ) ]
2. Menyelesaikan SPLDV dengan invens matriks
1) Tentukan himpunan penyelesaian dari :
2x + 3y = 16
3x + 5y = 5
Dengan menggunakan invens matriks.
Jawab :
[2 33 −5 ] [ x
y ]= [165 ]
Invens dari [2 33 −5 ] adalah
119
[−5 −3−3 2 ]
[ xy ]= 1
19 [−5 −3−3 2 ][16
5 ]
= [ −95193819
] = [−52 ]
Jadi himpunan penyelesainnya adalah [ (−5 , 2 ) ]
F. Metode pembelajaran
Metode yang digunakan adalah metode ekspositasi.
G. Kegiatan pembelajaran
Tahap
Kegiatan
Alokasi
WaktuGuru Siswa
Pendahuluan Kegiatan awal
- Guru mengucapkan salam dan
membimbing siswa untuk berdo’a
dan membaca al-Qur’an.
- Guru memeriksa kesiapan siswa
- Guru menyampaikan tujuan
pelajaran yang akan dicapai pada
pertemuan ini.
- Guru menyampaikan batasan
pelajaran.
- Berdo’a
- Siswa
memperhatikan
10 menit
Apersepsi: Guru mengingatkan
kembali materi yang telah dipelajari
sebelumnya dan mengaitkan dengan
materi yang akan dipelajari.
Memperhatikan guru
Motivasi: Memperhatikan guru
Menyampaikan manfaat dari materi
pembelajaran
Kegiatan inti 1) Eksplorasi
Guru menjelaskan tentang
penelesaian SPLDV dengan
invens matriks.
Guru memberikan kesempatan
untk siswa bertanya.
Guru memberikan soal latihan
kepada siswa.
2) Elaborasi
Guru mengecek pekerjaan
siswa.
Guru memberikan penguatan
kepada siswa.
3) Konfirmasi
Guru dan siswa membahas
soal latihan tersebut bersama-
sama.
Memperhatikan,
mendengarkan
dan mencatat yang di
jelaskan guru
65 menit
Penutup Membimbing siswa membuat
kesimpulan.
Memberikan PR dirumah
/ beberapa soal untuk dirumah.
Meminta kepada siswa untuk
mempelajari materi pembelajaran
pada pertemuan berikutnya.
Menyimpulkan
materi dibawah
bimbingan guru
Mengerjakan PR
Memperhatikan guru
15 menit
H. Penilaian
1. Jenis penilaian
1) Quis
2. Bentuk Penilaian
1) Tes tertulis dalam bentuk uraian.
3. Contoh Instrumen
1. Penelesaian SPLDV dengan determinan matriks.
1) Tentukanlah himpunan penyelesaian SPLDV berikut dengan menggunakan
determinan matriks.
2x + 5y = 11
x + y = 4
Jawab:
[2 51 1] [ x
y ]= [114 ] bobot 1
D = [2 51 1] = -3 bobot 2
Dx = [11 54 1 ] = -9 , Dy = [2 11
1 4 ] = 3 bobot 5
X = DxD
= −9−3
= 3 y = DyD
= −33
= 1 bobot 2
Jadi : himpunan penyelesaiannya adalah : [ (3 , 1 ) ]
2) 4x – 5y = 22
3x + 3y = 15
Jawab:
[4 −53 3 ] [ x
y ]= [2215] bobot 1
D = [4 −53 3 ] = 27 bobot 2
Dx = [22 −515 3 ] = 141 , Dy = [4 15
3 5 ] = - 6 bobot 5
x = DxD
= 14127
, y = DyD
= −627
bobot 2
Jadi : himpunan penyelesaiannya adalah : [( 14127
,−627 )]
2. Penyelesaian invers SPLDV dengan invers matriks.
1) Tentukanlah himpunan penyelesaian SPLDV berikut dengan menggunakan
invers matriks.
2x + y = 12
3x – 2y = 25
Jawab:
[2 13 −2] [ x
y ]= [1225] bobot 2
[ xy ] = -
17
[−2 −1−3 2 ] [12
25] = - 17
[−4914 ]=¿ [72] bobot 8
2) 5x – 3y = 9
7x – 6y = 9
Jawab:
[5 −37 −2] [ x
y ]= [99] bobot 2
[ xy ] = -
19
[−6 3−7 5] [99] = -
19
[−27−18]=¿ [ 27
9189
] bobot 8
Rancangan Perencanaan Pembelajaran
Nama sekolah :
Kelas / semester :
Mata Pelajaran :
Pertemuan : I
A. Standar Kompetensi
Menggunakan konsep matriks, vektor dan transformasi dalam pemecahan masalah.
B. Kompetensi Dasar
1. Menggunakan sifat – sifat dan opersai aljabar vektor dalam pemecahan
masalah.
C. Indikator
1. Memahami vektor sebagai ruas garis berarah
2. Mengenal vektor satuan
3. Menentukan operasi aljabar vektor : jumlah, selisih, hasil kali vektor dengan
skalar, dan lawan suatu vektor pada sudut pandang geometri
D. Tujuan Pembelajaran
1. Siswa dapat memahami vektor sebagai ruas garis berarah
2. Siswa dapat mengenal vektor satuan
3. Siswa dapat menentukan operasi aljabar vektor : jumlah, selisih, hasil kali
vektor dengan skalar, dan lawan suatu vektor pada sudut pandang geometri
E. Materi Ajar
1. Pengertian besaran vektor dan besaran skalar
Besaran skalar adalah suatu besaran yang hanya memiliki nilai saja, tetapi
tidak mempunyai arah. Aljabar yang berlaku bagi besaran skalar adalah
aljabar bilangan real biasa.
Besaran vektor adalah suatu besaran yang mempunyai nilai sekaligus arah,
dan didalamnya berlaku aljabar khusus yang dikenal sebagai aljabar vektor.
Suatu vektor dapat ditulis dengan notasi huruf kecil yang dicetak tebal,
misalnya : a,b,c,...,p,q,r,...,u,v,w,..., dan seterusnya. Atau dengan cara lain,
misalnya : a , b , c , …, dan seterusnya.
2. Aljabar vektor ditinjau dari sudut pandang geometri
αA
o
Vektor di R-2 Vektor di R-3
i. Vektor yang diwakili oleh ruas garis berarah yang terletak pada bidang
datar dinamakan sebagai vektor dibidang atau vektor di R-2,
sedangkan vektor yang diwakili oleh ruas garis berarah yang terletak
pada ruang dinamakan dengan vektor di ruang atau vektor di R-3.
ii. Kesamaan dua vetor
Misalkan diketahui vektor a dan vektor b. Vektor a dikatakan sama
atau ekuivalen dengan vektor b ditulis (a=b),jika dan hanya jika :
Panjang vektor a sama dengan panjang vektor b
Arah vektor a sama dengan arah vektor b
iii. Penjumlahan dan pengurangan dua vektor
Penjumlahan dua vektor dapat dirumuskan menjadi c= a+b. Dan
vektor c disebut vektor resultan. Menjumlahkan vektor dapat
menggunakan aturan segitiga dan aturan jajargenjang. Sifat – sifat
penjumlahan :
Sifat komutatif a+ b= b+a
Sifat asosiatif ( a+b )+ c=a+(b+ c)
Unsur identitas 0+ a= a+0=a
Dalam operasi penjumlahan vektor, setiap vektor mempunyai
lawan bagi vektor itu. Misal vektor a adalah lawan bagi vektor
b, maka berlaku sifat a+ b= 0
Pengurangan vektor a dengan vektor b ditentukan sebagai jumlah
vektor a dengan lawan dari vektor b, ditulis : a−b=a+(−b)
iv. Hasil kali skalar dengan vektor
P(x,y)
Hasil kali skalar m dengan vektor a, ditulis sebagai c=ma ditentukan
sebagai berikut:
Jika nilai m > 0, maka vektor c searah dengan vektor a
Jika nilai m < 0, maka vektor c berlawan arah dengan vektor a
3. Vektor di bidang ditinjau dari sudut pandang aljabar
i. Vektor basis dalam bidang
Bilangan – bilangan x dan y disebut komponen vektor r ,dan berpadanan
dengan koordinat titk P(x,y). Vektor i dan jdisebut sebagai vektor basis di
bidang atau di R-2 dalam arah sumbu X positif dan sumbu Y positif.
ii. Aljabar vektor dalam bidang
Misalkan diketahui vektor a=( xa
ya)dan vektor b=( xb
yb). Vektor a =
vektor b, jika dan hanya jika xa=xb dan ya= y b
Penjumlahan dua vektor di bidang :
c=( xa
ya)+( xb
yb)=( xa+xb
ya+ yb)
Pengurangan dua vektor dibidang ;
c=( xa
ya)−( xb
yb)=( xa−xb
ya− yb)
Hasil kali skalar dengan vektor di bidang :
R(x,y)
A
B
O
c=m( xa
ya)=(mxa
mya)
iii. Panjang vektor dalam bidang
Panjang ruas OR dapat ditentukan dengan : ¿=√x2+ y2
F. Alokasi waktu
1. TM : 2x45 menit guru menjelaskan materi
2. PT : 30 menit siswa mengerjakan latihan
3. KMTT : 45 menit siswa mengerjakan tugas dirumah
G. Metode Pembelajaran
Ceramah, problem solving method
H. Kegiatan Pembelajaran
No Kegiatan Guru Kegiatan Siswa Waktu
1 Pendahuluan Apresepsi :
siswa diberikan pengenalan
mengenai vektor dan
mengaitkan dengan kehidupan
sehari – hari
Motivasi :
menimbulkan minat siswa
untuk mempelajari tentang
Peserta didik
menyimak dan
memperhatikan
penjelasan guru
15 menit
vektor
2 Inti Eksplorasi :
peserta didik menerima
stimulus dari Guru tentang
vektor sebagai besaran yang
memiliki besar dan arah,
penentuan operasi aljabar
vektor : jumlah, selisih, hasil
kali vektor dengan skalar, dan
lawan suatu vektor pada sudut
pandang geometri.
Elaborasi :
guru memberikan contoh soal
kepada peserta didik mengenai
pemabahasan tentang vektor
satuan
Konfirmasi : guru menanyakan
tentang hal – hal yang belum
di mengerti oleh peserta didik
Peserta didik
menyimak dan
memperhatikan
penjelasan guru
Peserta didik
mengerjakan
contoh soal yang
diberikan guru
Peserta didik
menanyakan
materi yang tidak
di mengerti kepada
guru
60 menit
Penutup Guru menyuruh peserta didik
merangkum materi yang
diajarkan
Guru memberikan pekerjaan
rumah (PR) berkaitan dengan
materi yang diajarkan
Peserta didik
merangkum
materi yang
diberikan
Peserta didik
mencatat pekerjaan
rumah (PR) yang
diberikan
15 menit
I. Penilaian
Teknik : tugas individu
Bentuk instrumen : uraian singkat
Contoh instrumen :
Pada gambar dibawah digambarkan vektor u dan vektor v . Gambarlah secara
diagram vektor berikut ini :
o 2 u+v
Jawab :
o Mula – mula digambarkan terlebih dahulu vektor 2 u, (bobot 20)
kemudian vektor 2 u ini dijumlahkan dengan vektor v (bobot 20)
Secara diagram,vektor 2 u+v diperlihatkan pada gambar :
(bobot 60)
P(x,y,z)
Rancangan Perencanaan Pembelajaran
Nama sekolah :
Kelas / semester :
Mata Pelajaran :
Pertemuan : II
A. Standar Kompetensi
1. Menggunakan konsep matriks, vektor dan transformasi dalam pemecahan
masalah.
B. Kompetensi Dasar
1. Menggunakan sifat – sifat dan opersai aljabar vektor dalam pemecahan
masalah.
C. Indikator
1. Menentukan operasi aljabar vektor : jumlah, selisih, hasil kali vektor dengan
skalar, dan lawan suatu vektor pada sudut pandang aljabar
2. Menerapkan rumus perbandingan vektor dan koordinat
D. Tujuan Pembelajaran
1. Siswa dapat menentukan operasi aljabar vektor : jumlah, selisih, hasil kali
vektor dengan skalar, dan lawan suatu vektor pada sudut pandang aljabar
2. Siswa dapat menerapkan rumus perbandingan vektor dan koordinat
E. Materi Ajar
1. Vektor diruang ditinjau dari sudut pandang aljabar
i. Vektor basis dalam ruang
O
Bilangan-bilangan x, y,z disebut sebagai komponen vektor r. Vektor
i , j , k disebut sebagai vektor basis di ruang R-3 masing – masing
dalam arah sumbu X positif, sumbu Y positif, dan sumbu Z positif.
Cara penulisannya yaitu : vektor r=x i+ y j+z k.
ii. Aljabar vektor dalam ruang
Kesamaan dua vektor di ruang
Vektor a dan vektor b dikatakan sama jika dan hanya jika
xa=xb , ya= yb , za=zb
Penjumlahan dua vektor di ruang
c=( xa
ya
za)+( xb
yb
zb)=( xa+xb
ya+ yb
za+zb)
Pengurangan duaaa vektor di ruang
c=( xa
ya
za)−( xb
yb
zb)=( xa−xb
ya− yb
za−zb)
Hasil kali skalar dengan vektor di ruang
c=m( xa
ya
za)=( mxa
m ya
m za)
iii. Panjang vektor dalam ruang
Panjang atau besar vektor r ditentukan dengan rumus : ´r=√ x2+ y2+z2
2. Rumus perbandingan vektor dan koordinat
i. Rumus perbandingan vektor
Titik C terletak pada garis AB dengan perbandingan AC : AB = m : n
maka vektor posisi C ditentukan dengan rumus : c=m b+n am+n
ii. Rumus perbandingan koordinat
Misalkan titik A ( x1 , y1 ) dan titik B(x2 , y2). Titik C membagi ruas garis
AB dengan perbandingan m : n, maka koordinat C(x,y) ditentukan
dengan rumus : x=m x2+n x1
m+ndan y=
m y2+n y1
m+n
F. Alokasi waktu
1. TM : 2x45 menit guru menjelaskan materi
2. PT : 30 menit siswa mengerjakan latihan
3. KMTT : 45 menit siswa mengerjakan tugas dirumah
G. Metode Pembelajaran
Ceramah, problem solving method
H. Kegiatan Pembelajaran
no Kegiatan Guru Kegiatan Siswa waktu
1 Pendahuluan Apersepsi :
guru mengingatkan kembali
materi yang sebelumnya
Motivasi :
agar pesesta didik mengingat
kembali materi yang
diajarkan sebelumnya
Peserta didik
menyimak dan
memperhatikan Guru
15 menit
2 Inti Ekspolrasi :
guru menyuruh siswa
membaca materi tentang
Menentukan operasi aljabar
vektor : jumlah, selisih, hasil
kali vektor dengan skalar, dan
lawan suatu vektor pada sudut
pandang aljabar. Dan rumus
perbandingan vektor dan
koordinat
Elaborasi :
guru menanyakan materi yang
Peserta didik
membaca dan
memahami materi
yang sedang
dipelajari
Peserta didik
menyimak dan
memerhatikan
materi yang
dijelaskan oleh
guru
60 menit
tidak dipahami dan
menjelaskan materi yang
ditanyakan peserta didik.
Konfirmasi :
guru memberikan penekanan
pada materi yang ditanyakan
peserta didik
3 Penutup Guru menyuruh siswa
menyimpulkan materi
yang telah diajarkan
Guru memberikana
pekerjaan rumah (PR)
kepada siswa
Guru menyuruh siswa
untuk membaca materi
yang akan dipelajari pada
pertemuan selanjutnya
Siswa
menyimpulkan
materi yang telah
diajarkan
Siswa mencatat
pekerjaan rumah
(PR) yang
diberikan
Siswa melihat
materi yang akan
dipelajari pada
pertemuan
selanjutnya
15 menit
I. Teknik Penilaian
Teknik : Tugas individu
Bentuk instrumen : uraian singkat
Contoh intrumen :
Diketahui titik A(3,-2) dan titik B (-1,5). Ruas garis berarah AB sebagai wakil vektor
p dan garis berarah BA sebagai wakil vektor q dalam bentuk vektor kolom.
Jawab :
A (3 ,−2 )⇒ xa=3 , ya=−2 dan B (1 ,−5 )⟹ xb=−1 , yb=5 (bobot 10)
p= AB=( xb−xa
yb− yb)=( (−1 )−3
5−(−2 ))=(−47 ) (bobot 40)
q=BA=( xb−xa
yb− yb)=(3−(−1 )
(−2 )−5)=( 4−7) (bobot 40)
Jadi, vektor p= AB = (−47 ) dan vektor q=BA= ( 4
−7). (bobot 10)
Rancangan Perencanaan Pembelajaran
Nama sekolah :
Kelas / semester :
Mata Pelajaran :
Pertemuan : III
A. Standar Kompetensi
Menggunakan konsep matriks, vektor dan transformasi dalam pemecahan masalah.
B. Kompetensi Dasar
1. Menggunakan sifat – sifat dan operasi perkalian skalar dua vektor dalam
pemecahan masalah.
C. Indikator
1. Menghitung dan menggunakan sifat – sifat hasil kali skalar dua vektor
D. Tujuan Pembelajaran
1. Siswa dapat menghitung hasil kali skalar dua vektor
E. Materi Ajar
1.Hasil kali skalar dua vektor
iii. Defenisi : misalkan diketahui vektor a dan vektor b hasil kali kedua
vektor tersebut ditentukan oleh hasil kali panjang vektor a, panjang
vektor b, dan kosinus sudut terkecil antara kedua vektor tersebut :
a . b=∥ a∥∥ b∥cosθ
iv. Hasil kali skalar dua vektor skalar dua vektor dalam bentuk vektor
kolom:
Di bidang : a . b=x1 x2+ y1 y2
Di ruang : a . b=x1 x2+ y1 y2+z1 z2
v. Tanda hasil kali skalar dua vektor
a . b> 0 maka cos θ > 0
a . b = 0 maka cos θ = 0 atau θ = 900
a . b< 0 maka cos θ < 0
a . b=∥ a∥∥ b∥ maka cos θ = 1
a . b=−∥ a∥∥ b∥ maka cos θ= -1
F. Alokasi waktu
1. TM : 2x45 menit guru menjelaskan materi
2. PT : 30 menit siswa mengerjakan latihan
3. KMTT : 45 menit siswa mengerjakan tugas dirumah
G. Metode Pembelajaran
Ceramah, problem solving method
H. Kegiatan Pembelajaran
No Kegiatan guru Kegiatan siswa Alokasi
waktu
1 Pendahuluan Apersepsi :
guru menyuruh siswa
mengumpulkan
pekerjaan rumah (PR)
yang diberikan pada
pertemuan
sebelumnya
guru mengingatkan
kembali pelajaran
sebelumnya
Motivasi :
Agar peserta didik dapat
menentukan hasil kali
skalar dua vektor
dibidang dan ruang,
menjelaskan sifat-sifat
perkalian skalar dua
vektor
siswa mengumpulkan
tugas yang diberikan
pada pertemuan
sebelumnya
siswa memperhatikan
penjelasan guru
20 menit
2 inti Eksplorasi : Peserta didik 60 menit
guru memberikan
materi tentang
menghitung dan
menggunakan sifat –
sifat hasil kali skalar
dua vektor
guru memberikan
contoh – contoh soal
untuk dikerjakan
peserta didik
Elaborasi :
guru menjelaskan
materi tentang
menghitung dan
menggunakan sifat –
sifat hasil kali skalar
dua vektor kepada
peserta didik
konfirmasi :
Guru menekankan
kembali materi yang
kurang dipahami
peserta didik
membahas materi
yang diberikan guru
Peserta didik
mengerjakan contoh
soal yang diberikan
guru
Peserta didik
memperhatikan
penjelasan guru
3 Penutup Peserta didik
didingatkan untuk
mempelajari materi
berikutnya yaitu tentang
menghitung sudut
antara dua vektor
Peserta didik menyimak
apa yang dikatakan
guru
10 menit
I. Teknik Penilaian
Teknik : tugas individu, kuis.
Bentuk instrumen : uraian singkat
Contoh instrumen :
Diketahui vektor a dan vektor b membentuk sudut 600. Panjang vektor a adalah |a| =
4 satuan dan panjang vektor |b| = 5 satuan. Tentukan :
a. Nilai dari a .( a+b) !
b. Nilai dari b .( a+b) !
Jawab :
Dengan menggunakan sifat distributif kiri pada hasil kali skalar dua vektor, maka diperoleh :
a) a . (a+ b )=a . a+ a. b
= |a||a|cos 00+|a||b|cos 600
= (4 x 4 x 1) +( 4 x 5 x 12
) (bobot 50)
= 16 + 10
=26
b) b . (a+ b )=b . a+b . b
= |b||a|cos 600+|b||b|cos00
= (5 x 4 x 12
) + 5 x 5 x 1 (bobot 50)
= 10 + 25
= 35
Rancangan Perencanaan Pembelajaran
Nama sekolah :
Kelas / semester :
Mata Pelajaran :
Pertemuan : IV
A. Standar Kompetensi
1. Menggunakan konsep matriks, vektor dan transformasi dalam pemecahan
masalah.
B. Kompetensi Dasar
1. Menggunakan sifat – sifat dan operasi perkalian skalar dua vektor dalam
pemecahan masalah.
C. Indikator
1. Menghitung sudut antara dua vektor
2. Menentukan vektor proyeksi dan panjang proyeksinya
D. Tujuan Pembelajaran
1. Siswa dapat menghitung sudut antara dua vektor
2. Siswa dapat menentukan vektor proyeksi dan panjang proyeksinya
E. Materi ajar
1. Sudut antara dua vektor
cosθ=x1 x2+ y1 y2
√x12+ y1
2 √x22+ y2
2
2. Vektor proyeksi dan panjang proyeksi
i. Proyeksi skalar ortogonal : ∥c ∥= a . b∥ b∥
ii. Proyeksi vektor ortogonal : c=( a . b
∥ b∥2 ) b
F. Alokasi waktu
1. TM : 2x45 menit guru menjelaskan materi
2. PT : 30 menit siswa mengerjakan latihan
3. KMTT : 45 menit siswa mengerjakan tugas dirumah
G. Metode Pembelajaran
Ceramah, problem solving method, diskusi
H. Kegiatan Pembelajaran
No Kegiatan Guru Kegiatan Siswa Alokasi
Waktu
1 pendahulua
n
Apresepsi :
Guru mengigatkan kembali materi
pembelajaran sebelumnya
Motivasi :
Agar peserta didik dapat
menyelesaikan soal – soal kuis
yang berkaitan dengan materi
sebelumnya
Peserta didik
menjawab
pertanyaan guru
tentang
pembelajaran
sebelumnya
15 menit
inti Eksplorasi :
Guru menyuruh peserta didik
membentuk anggota kelompok
untuk melakukan diskusi
Elaborasi :
Guru memberikan lembaran kerja
sisiwa untuk didiskusikan
Konfirmasi :
Guru menjelaskan tentang hal –
hal yang belum dipahami siswa
Peserta didik
membentuk
anggota
kelompok
Peserta didik
mendiskusikan
lembaran kerja
siswa yang
diberikan
Peserta didik
memperhatikan
keterangan guru
60 menit
penutup Guru memberikan kuis tentang
materi yang didiskusikan peserta
Peserta didik
mengerjakan kuis
15 menit
didik yang diberikan guru
I. Teknik penilaian
Teknik : tugas individu, kuis
Bentuk intrumen : uraian singkat
Contoh instrumen :
Diketahui vektor a=(21) dan vektor b=(3
4) adalah vektor – vektor dibidang yang
disajikan dalam bentuk vektor kolom.
a. Tentukan proyeksi skalar ortogonal dari vektor a pada arah vektor b !
b. Tentukan proyeksi vektor ortogonal dari vektor a pada arah vektor b !
Jawab :
a. Proyeksi skalar ortogonal vektor a pada arah vektor b, ditentukan oleh :
|c|= a . b
|b|=2 ×3+1× 4
√¿¿¿ (bobot 50)
Jadi, Proyeksi skalar ortogonal vektor a pada arah vektor b adalah |c|=2.
b. proyeksi vektor ortogonal vektor a pada arah vektor b, ditentukan oleh :
c=( a . b
|b| )b=¿ (bobot 50)
Jadi, proyeksi vektor ortogonal vektor a pada arah vektor b adalah c=25 (34)
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
(RPP 1)
Nama Sekolah : SMAN 1
Mata Pelajaran : Matematika
Kelas / Program : XII / IPA
Semester : Ganjil
A. Standar Kompetensi : Menggunakan konsep matriks, vektor, dan
transformasi dalam pemecahan masalah.
B. Kompetensi Dasar : Menggunakan transformasi geometri yang dapat
dinyatakan dengan matriks dalam pemecahan masalah.
C. Indikator:
C.1 memahami tentang transformasi geometri pada bidang.
C.2 memahami translasi geometri geometri
pada bidang.
D. Tujuan Pembelajaran
a. Peserta didik dapat mengenal tentang transformasi geometri pada
bidang.
a. Peserta didik dapat memahami translasi pada transformasi geometri .
E. Materi Ajar
a. Arti geometri dari suatu transformasi di bidang
Transformasi digunakan untuk memindahkan suatu titik atau bangun pada
sebuah bidang dari suatu tempat ke tempat yang lain. Transfomasi T pada suatu
bidang memetakan titik P pada bidang menjadi P ' di tempat lain pada bidang
tersebut. Titik P ' disebut bayangan titik P sebagai hasil transformasi T.
Jenis-jenis transformasi geometri :
1. Translasi
2. Rotasi
3. Refleksi
4. Dilatasi
Translasi adalah perpindahan setiap titik pada bidang dengan jarak
dan arah tertentu, Refleksi adalah transformasi yang memindahkan titik
pada bidang dengan menggunakan sifat bayangan cermin
(Pencerminan), Rotasi adalah transformasi yang memindahkan titik pada
bidang dengan perputaran yang ditentukan oleh pusat rotasi, besar
sudut rotasi dan arah sudut rotasi, dan Dilatasi adalah suatu
transformasi yang mengubah ukuran suatu bangun tanpa merubah
bentuk bangun itu. Suatu dilatasi ditentukan oleh pusat dilatasi dan
faktor skala dilatasi.
Transformasi di bidang dapat diartikan sebagai perubahan letak
atau perubahan bentuk dari suatu bangun geometri yang lain.
Transformasi isometri bahwa bayangan sama atau sebangun dengan
bangun geometri semula dan dalam transformasi isometri besaran jarak
merupakn besaran yang tidak berubah atau invarian
b. Translasi
Translasi dan Operasinya.
Berdasarkan gambar di atas, segitiga ABC yang mempunyai koordinat
A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) .
Translasi (pergeseran) adalah pemindahan suatu objek sepanjang garis
lurus dengan arah dan jarak tertentu.
Jika translasi memetakan titik P (x, y) ke titik P’(x’, y’) maka x’
= x + a dan y’ = y + b atay P’ (x + a, y + b ) ditulis
dalam bentuk :
Keterangan:
· a dan b masing-masing disebut sebagai komponen translasi
· a menyatakan komponen translasi dalam arah sumbu X
Ø Jika a > 0, maka arah pergeserannya adalah a satuan ke kanan
Ø Jika a < 0, maka arah pergeserannya adalah |a| satuan ke kiri
· b menyatakan komponen translasi dalam arah sumbu Y
Ø Jika b > 0, maka arah pergeserannya adalah b satuan ke atas
Ø Jika b < 0, maka arah pergeserannya adalah |b| satuan ke bawah
F. Alokasi waktu
TM : 2 x 45 guru memberikan materi.
PT : 20’ siswa membuat latihan.
KMTT : 45’ siswa mengerjakan tugas di rumah.
G. METODE PEMBELAJARAN
CTL
H. Kegiatan pembelajaran
KEGIATAN GURU KEGIATAN SISWA WAKTU
Pendahu
luan
-guru mengucapkan salam.
-guru mengecek kehadiran
siswa.
-apersepsi
Guru meningkatkan kembali
materi
-motivasi
Guru memberikan motivasi
kepada siswa
-tujuan
Guru memberikan tujuan
pembelajaran kepada
siswatentang manfaat
pelajaran transformasi dalam
kehidupan.
Siswa menjawab
salam.
Siswa
memperhatikan
dan mendengarkan
penyampaian guru.
15’
Kegiata
n inti
-Eksplorasi
Guru memfasilitasi siswa agar
terjadi interaksi siswa dengan
guru.
Guru menjelaskan materi
Siswa
memperhatikan
70’
transformasi dan translasi pada
bidang.
Guru membagi siswa dalam
setiap kelompok mendapat
nomor.
Guru memberikan tugas dan
masing- masing kelompok
mengerjakan tugas yang di
berikan guru tentang
transformasi dan translasi yang
berkaitan dengan kehidupan.
Kelompok mendiskusikan
jawaban yang benar dan
memastikan setiap anggota
kelompok mengerti dan dapat
mengerjakannya.
Elaborasi
Guru memberikan lembar soal
agar di kerjakan dalam
kelompok dan guru
membimbing kelompok agar
meinspirasikan pemikranya
dalam memecahkan masalah.
-Konfirmasi
Guru memanggil salah satu
nomor kelompok agar dapat
melaporkan hasil kerjanya.
Guru memberikan penekanan
terhadap pekerjaan siswa atau
membahas jawaban yang di
anggap sulit.
Guru memberikan kesempatan
kepada siswa untuk bertanya
tentang yang tidak dimengerti.
Penutup Guru bersama siswa
meyimpulkan pelajaran. Guru
memberikan pekerjaan rumah
untuk di kerjakan sebagai
pengambilan nilai.
Guru memberikan informasi
materi selanjutnya.
15’
I.PENILAIAN
I.1 TEKNIK PELAJARAN
Tes tertulis dan tes penugasan
I.2 BENTUK INSTRUMEN
Tes uraian
I.3 CONTOH INSTRUMEN
Sebuah garis dengan koordinat A(10,10) dan B(15,30) ditranslasikan
dengan translation vector (10,20).
Jawab :
Titik A : Xai = Xa + Tx = 10+10 = 20
Yai = Ya + Ty = 10+20 = 30
Hasil translasi titik A = (20,30)
Titik B : Xbi = Xb + Tx = 15+10 = 25
Ybi = Yb + Ty = 30+20 = 50
Hasil translasi titik B = (25,50).
J. Alat dan Sumber Belajar Sumber :
- Buku paket, yaitu buku Matematika SMA ERLANGGA Kelas XII Semester
Ganjil Jilid 3A, Prog. IPS karangan SSUGIYONO, dkk, hal. 179-185
- Buku referensi lain.
Alat :
- Laptop – LCD
Kepala sekolah guru matematika
( ) ( )
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
(RPP 2)
Nama Sekolah : SMAN 1
Mata Pelajaran : Matematika
Kelas / Program : XII / IPA
Semester : Ganjil
A. Standar Kompetensi : Menggunakan konsep matriks, vektor,
dan transformasi dalam pemecahan masalah.
B. Kompetensi Dasar : Menggunakan transformasi geometri yang dapat
dinyatakan dengan matriks dalam pemecahan masalah.
C. Indikator
1. memahami persamaan transformasi rotasi pada bidang.
2. Menentukan persamaan transformasi rotasi pada bidang, matriks
rotasinya dan hasil rotasi dari suatu titik atau bangun.
D. Tujuan pembelajaran
1. Siswa dapat menjelaskan transformasi tentang rotasi pada bidang.
2. Siswa dapat menentukan persamaan transformasi rotasi pada bidang
dan matrik rotasi pada bidang.
E. Materi ajar
Rotasi ( Perputaran )
Rotasi adalah transformasi yang memetakan setiap titik pada bidang
ketitik lainnya dengan cara memutar pada pusat titik tertentu. Titik pusat rotasi
adalah titik tetap atau titik pusat yang digunakan sebagai acuan untuk
menentukan arah dan besar sudut rotasi. Titik pusat dapat berada di dalam,
pada, atau di luar bangun geometri yang hendak dirotasi.
Arah rotasi disepakati dengan aturan bahwa jika perputaran berlawanan
dengan arah jarum jam, maka rotasi bernilai positif, sedangkan jika perputaran
searah jarum jam, maka rotasi bernilai negatif. Besarnya sudut putar rotasi
menentukan jauhnya rotasi. Jauh rotasi dinyatakan dalam bilangan pecahan
terhadap satu kali putaran penuh (360°) atau besar sudut dalam ukuran derajat
atau radian.
Bayangan titik P (x,y) yang dirotasikan terhadap pusat O (0,0) sebesar θ
adalah P’(x’ ,y’ ) dengan:
X’ = x cos θ – y sin θ
Y’ = x sin θ + y cos θ
Bayangan titik P (x,y) yang dirotasikan terhadap pusat A (a,b) sebesar θ
adalah P’(x’ , y’) dengan:
X’ – a = (x-a) cos θ – (y-b) sin θ
Y’ – a = (x-a) sin θ + (y-b) cos θ
0
Y
X(x, y)
(–y, x)90
0
Y
X(x, y)
(y, –x)
–90
R[O, ] R[O, 90] R[O, –90]
(x 'y ')=(cosθ −sin θ
sinθ cosθ )(xy ) (x '
y ')=(0 −11 0 )(x
y) (x 'y ')=( 0 1
−1 0 )(xy)
dibalik depan
dinegasi
dibalik belakang
dinegasi
Rotasi Rumus Matriks
Rotasi
dengan
pusat
(0,0)
dan
sudut
putar α
A ( x , y ) R (0 , α ) A ' (x ', y ' )dengan x '=xcos α− y sin α
y '=x sin α+ y cos α
(x 'y ')=(cosα −sin α
sin α cosα )(xy )
Rotasi
dengan
pusat
P(a,b)
dan
sudut
putar α
A ( x , y ) R ( P , α ) A ' ( x ', y ' )dengan x '−a= (x−a ) cosα−( y−b ) sin α
y '−b=( x−a )sin α+( y−b ) cosα
(x 'y ')=(cosα −sin α
sin α cosα )(x−ay−b)+(ab )
F. Alokasi waktu
TM : 2 x 45 guru memberikan materi.
PT : 20’ siswa membuat latihan.
KMTT : 45’ siswa mengerjakan tugas di rumah.
G. Metode pelajaran
Tanya jawab, peragaan, diskusi, pekerjaan kelompok dan individual
H. Kegiatan Pembelajaran
Kegiatan guru Kegiatan
siswa
waktu
pendahuluan Guru mengucapkan
salam dan
mengabsen siswa
1. Apersepsi
• Membahas PR
dari pertemuan
sebelumnya.
• Mengingat
kembali materi
pertemuan
sebelumnya.
• Menyampaikan
kegunaan materi
yang akan dipelajari
dalam ke-
hidupan sehari-hari
(khususnya yang
berkaitan dengan
kompetensi
dasar).
2. Pemberian
motivasi:
• Memberikan
contoh-contoh hal-
hal yang berkaitan
dengan trans-
formasi dalam
kehidupan sehari-
hari.
Kegiatan inti Eksporasi
Dengan tanya jawab
guru menjelaskan
arti geometri dari
suatu trans-
formasi di bidang.
2. Dengan tanya
jawab guru
menjelaskan
bagaimana
menentukan persa-
maan transformasi
translasi pada
bidang dan hasil
translasi suatu titik
atau bangun.
elaborasi
3. Secara
berkelompok siswa
membahas soal tes
kemampuan dan
me-
ngumpulkan
hasilnya (selama
diskusi berlangsung
guru memantau
kerja siswa dan
mengarahkan siswa
yang mengalami
kesulitan).
konfirmasi
4. Meminta
beberapa
perwakilan
kelompok untuk
mempresentasikan
hasil
diskusinya,
sedangkan
kelompok lain
memberikan
tanggapan (guru
memandu diskusi
dan merumuskan
jawaban yang
benar).
Penututp Membimbing siswa
untuk merangkum
materi yang baru
saja dipelajari.
Guru memberi
pekerjaan rumah
(PR).
I.Penilaian
1. Teknik pelajaran
Tes tertulis dan uraian
2. Bentuk instrumen
Tes uraian
3. Contoh instrumen
a. Tentukan bayangan dari titik P (2,1) jika dirotasikan terhadap :
1. R=[O , 30o ]2. R=[O ,−30o ]
Jawab :
1. x '=2 cos30o−1sin 30o=2 .12
√3−1.12=√3−1
2
y '=2 sin 30o+1 cos30o=2 .12−1.
12
√3=1+12
√3
Jadi bayangan titik P (2,1) yang dirotasikan terhadap R=[O , 30o ] adalah
P' (√3−12
, 1+ 12√3)
2. x '=2 cos (−30o )−1sin (−30o )=2 .12√3+1.
12=√3+ 1
2
y '=2 sin(−30o¿)+1cos (−30¿¿ o¿)=−2 .12−1.
12
√3=−1+ 12√3¿¿¿
Jadi bayangan dari titik P (2,1) yang dirotasikan terhadap R=[O ,−30o ] adalah
P' (√3+ 12
,−1+ 12√3)
b. Tentukan bayangan dari titik P (3,3) yang dirotasikan terhadap titik pusat
M (1,1) sejauh 90o.
Jawab :
Karena ( x , y )=(3,3 )dan (a , b )=(1,1 ) maka
x '−1=(3−1 ) cos90o−(3−1 ) sin 90o=2 . 0−2.1=0−2=−2
x '=−2+1=−1
y '−1=(3−1)sin 90o+(3−1)cos90o=2 .1−0=2
y '=2+1=3
Jadi bayangan dari titik P (3,3) yang dirotasikan terhadap titik pusat M (1,1)
adalah P' (−1,3 )
J. Alat dan Sumber Belajar Sumber :
- Buku paket, buku Matematika SMA ERLANGGA Kelas XII Semester Ganjil
Jilid 3A, Prog. IPS karangan SSUGIYONO, dkk, hal. 179-185
- Buku referensi lain.
Alat :
- Laptop – LCC
Kepala sekolah guru matematika
( ) ( )
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
(RPP 3)
Nama Sekolah : ………………………..
Mata Pelajaran : Matematika
Kelas : XII (Dua Belas) / IPA
Semester : Ganjil
A. Standar Kompetensi: Menggunakan konsep matriks, vektor,
dan transformasi dalam pemecahan masalah.
B. Kompetensi Dasar: Menggunakan transformasi geometri yang
dapat Dinyatakan dalam matriks dalam pemecahan masalah.
C. Indikator
1. Melakukan operasi jenis transformasi refleksi (pencerminan)
2. Menentukan persamaan matriks dari transformasi refleksi pada
bidang
3. Menentukan hasil ( bayangan) oleh tranformasi refleksi
D. Tujuan Pembelajaran
1. Peserta didik dapat menjelaskan arti geometri dari suatu transformasi
(refleksi) di bidang.
2. Peserta didik dapat menentukan persamaan transformasi refleksi pada
bidang serta aturan dan matriks refleksinya.
E. Materi ajar
Refleksi
Gambar di atas:
Dari gambar tersebut, kalian dapat mengatakan bahwa:
Lingkaran Q kongruen dengan bayangannya, yaitu lingkaran Q’
Jarak setiap titik pada lingkaran Q ke cermin sama dengan jarak setiap titik
bayangannya ke cermin, yaitu QA = Q’A dan PB = P’ B.
Sudut yang dibentuk oleh cermin dengan garis yang menghubungkan setiap titik
ke bayangannya adalah sudut siku-siku.
Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) dicerminkan:
terhadap sumbu Y menjadi segitiga A2B2C2 dengan koordinat A2(-3, 9),
B2(-3, 3), C2(-6, 3)
terhadap sumbu X menjadi segitiga A3B3C3 dengan koordinat A3(3, -9),
B3(3, -3), C3(6, -3)
terhadap titik (0, 0) menjadi segitiga A4B4C4 dengan koordinat A4(-3, -9),
B4(-3, -3), C4(-6, -3)
Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) dicerminkan:
terhadap garis x = -2 menjadi segitiga A5B5C5 dengan koordinat A5(-7,
9), B5(-7, 3), C5(-10, 3)
terhadap sumbu y = 1 menjadi segitiga A6B6C6 dengan koordinat A6(3, -
7), B6(3, -1), C6(6, -1)
Segitiga PQR dengan koordinat P(6, 4), Q(6, 1), R(10, 1) dicerminkan:
terhadap garis y = x menjadi segitiga P2Q2R2 dengan koordinat P2(4, 6),
Q2(1, 6), R2(1, 10)
terhadap garis y = -x menjadi segitiga P3Q3R3 dengan koordinat P3(-4, -
6), Q3(-1, -6), R3(-1, -10)
Refleksi atau pencerminan merupakan suatu transformasi yang mencerminkan
suatu objek.
Refleksi Rumus Matriks
Refleksi
terhadap
sumbu-x
A ( x , y ) sb . x A ' ( x ,− y ) (x 'y ')=(1 0
0 −1 )(xy)
Refleksi
terhadap
sumbu-y
A ( x , y ) sb . y A ' (−x , y ) (x 'y ')=(−1 0
0 1 )(xy)
Refleksi
terhadap
garis y=x
A ( x , y ) y=x A ' ( y , x ) (x 'y ')=(0 1
1 0 )( xy )
Refleksi
terhadap
garis y=-x
A ( x , y ) y=−x A ' ( y ,−x ) (x 'y ')=( 0 −1
−1 0 )(xy )
Refleksi
terhadap
garis x=k
A ( x , y ) x=k A ' (2 k−x , y )
Refleksi
terhadap
garis y=k
A ( x , y ) y=k A ' ( x , 2k− y )
Refleksi
terhadap
titik (p,q)
A ( x , y ) ( p ,q ) A ' (x ', y ' )
Sama dengan rotasi pusat
(x '−py '−q )=(cos180 ° −sin 180 °
sin 180 ° cos180 ° )(x−py−q )
(p,q) sejauh 180˚
Refleksi
terhadap
titik pusat
(0,0)
A ( x , y ) ( 0,0 ) A ' (−x ,− y ) (x 'y ')=(−1 0
0 −1 )(xy )
Refleksi
terhadap
garis
y=mx, m=
tan α
A ( x , y ) y=mx A ' ( x ', y ' )dengan x '=xcos2 α + y sin2 α
y '=x sin 2 α− y cos2 α
(x 'y ')=(cos2α sin 2 α
sin2 α −cos2 α )(xy )
Refleksi
terhadap
garis
y=x+k
A ( x , y ) y=x+k A ' ( x ', y ' )dengan x '= y−k
y '=x+k
(x 'y ')=(0 1
1 0 )( xy−k )+(0k )
Refleksi
terhadap
garis y=-
x+k
A ( x , y ) y=−x+k A ' ( x ', y ' )dengan x '=− y+k
y '=−x+k
(x 'y ')=( 0 −1
−1 0 )( xy−k )+(0k )
Sifat-sifat refleksi
a. Dua refleksi berturut-turut terhadap sebuah garis merupakan suatu identitas,
artinya yang direfleksikan tidak berpindah.
b. Pengerjaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang sejajar, menghasilkan
translasi (pergeseran) dengan sifat:
Jarak bangun asli dengan bangun hasil sama dengan dua kali jarak kedua
sumbu pencerminan.
Arah translasi tegak lurus pada kedua sumbu sejajar, dari sumbu
pertama ke sumbu kedua. Refleksi terhadap dua sumbu sejajar bersifat
tidak komutatif.
c. Pengerjaaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus,
menghasilkaan rotasi (pemutaran) setengah lingkaran terhadap titik potong
dari kedua sumbu pencerminan. Refleksi terhadap dua sumbu yang saling
tegak lurus bersifat komutatif.
d. Pengerjaan dua refleksi berurutan terhadap dua sumbu yang berpotongan
akan menghasilkan rotasi (perputaran) yang bersifat:
Titik potong kedua sumbu pencerminan merupakan pusat perputaran.
Besar sudut perputaran sama dengan dua kali sudut antara kedua sumbu
pencerminan.
Arah perputaran sama dengan arah dari sumbu pertama ke sumbu
kedua.
F. Alokasi waktu
TM : 2 x 45 guru memberikan materi.
PT : 20’ siswa membuat latihan.
KMTT : 45’ siswa mengerjakan tugas di rumah.
G. Metode pelajaran
Diskusi, tanya jawab, ceramah, dan pemberian tugas.
H. Kegiatan pembelajaran
Kegiatan guru Kegiatan siswa wakt
u
Pendahul
uan
Guru mengucapkan salam.
Guru mengabsen siswa.
Apersepsi : Mengingat kembali
mengenai persamaan garis.
Motivasi :
Apabila materi ini dikuasai dengan
baik, maka peserta didik
diharapkan dapat menggunakan
transformasi geometri yang dapat
dinyatakan dengan matriks dalam
pemecahan masalah.
Tujuan
Siswa dapat menerapkan dalam
kehidupannya.
Kegiatan
inti
Eksplorasi
Dalam kegiatan eksplorasi, guru:
peserta didik diberikan
stimulus berupa pemberian
masalah realistik mengenai
materi transformasi refleksi,
kemudian antara peserta didik
dan guru mendiskusikan
masalah tersebut (Bahan:
buku paket, yaitu buku
Matematika Kelas XII
Semester 1 mengenai
transformasi geometri untuk
pembahasan materi refleksi).
peserta didik
mengomunikasikan secara
lisan mengenai analisis
masalah refleksi
(pencerminan) menggunakan
beragam pendekatan
pembelajaran, media
pembelajaran, dan sumber
belajar lain.
memfasilitasi terjadinya
interaksi antar peserta didik
serta antara peserta didik
dengan guru, lingkungan, dan
sumber belajar lainnya.
melibatkan peserta didik
secara aktif dalam setiap
kegiatan pembelajaran.
Elaborasi
Dalam kegiatan elaborasi, guru:
peserta didik
mengkomunikasikan secara
lisan atau mempresentasikan
mengenai arti geometri dari
suatu transformasi refleksi di
bidang dan cara menentukan
hasil refleksi pada bidang
beserta aturan dan matriks
transformasinya.
memfasilitasi peserta didik
melalui pemberian latihan,
diskusi, dan lain-lain untuk
memunculkan gagasan baru
baik secara lisan maupun
tertulis..
memfasilitasi peserta didik
dalam pembelajaran
kooperatif dan kolaboratif.
memfasilitasi peserta didik
berkompetisi secara sehat
untuk meningkatkan prestasi
belajar;
memfasilitasi peserta didik
untuk menyajikan hasil kerja
kelompok;
peserta didik mengerjakan
beberapa soal dari Lembar
Kerja yang telah disiapkan
oleh guru mengenai
penentuan bayangan karena
suatu pencerminan pada
bidang serta aturannya dan
matriks yang bersesuaian
dengan pencerminan,
kemudian peserta didik dan
guru secara bersama-sama
membahas beberapa jawaban
soal tersebut.
Konfirmasi
Dalam kegiatan konfirmasi, guru:
memberikan umpan balik
positif dan penguatan dalam
bentuk lisan, tulisan, isyarat,
maupun hadiah terhadap
keberhasilan peserta didik,
memberikan konfirmasi
terhadap hasil eksplorasi dan
elaborasi peserta didik melalui
berbagai sumber,
memfasilitasi peserta didik
melakukan refleksi untuk
memperoleh pengalaman
belajar yang telah dilakukan,
memfasilitasi peserta didik
untuk memperoleh
pengalaman yang bermakna
dalam mencapai kompetensi
dasar:
berfungsi sebagai narasumber
dan fasilitator dalam
menjawab pertanyaan peserta
didik yang menghadapi
kesulitan, dengan
menggunakan bahasa yang
baku dan benar,
membantu menyelesaikan
masalah,
memberi acuan agar peserta
didik dapat melakukan
pengecekan hasil eksplorasi,
memberi informasi untuk
bereksplorasi lebih jauh,
memberikan motivasi kepada
peserta didik yang kurang
atau belum berpartisipasi
aktif.
Penutup Dalam kegiatan penutup, guru:
menunjuk beberapa siswa
untuk mengutarakan secara
lisan mengenai apa yang
telah dipelajari,
melakukan penilaian dan
refleksi terhadap kegiatan
yang sudah dilaksanakan
secara konsisten dan
terprogram,
memberikan umpan balik
terhadap proses dan hasil
pembelajaran,
memberi tugas secara
individu.
Peserta didik diingatkan untuk
mempelajari materi
berikutnya
I. Penilaian
1. Teknik pelajaran
Tes tertulis dan uraian
2. Bentuk instrumen
Tes uraian
3. Contoh instrumen
Tentukan bayangan lingkaran x2+ y2−4 x+6 y=10jika dicerminkan terhadap
garis y=− x .
Jawab:
Persamaan dari pencerminan terhadap garis y=− x adalah x '=− ydan
y '=−x
Subtitusikan −x '= ydan − y '=x ke persamaan x2+ y2−4 x+6 y=10maka
diperoleh
(− y ' )2+(−x ' )2−4 (− y ' )+6 (−x ' )=10
( y ' )2+( x ' )2+4 ( y' )−6 ( x ' )=10
Jadi bayangan dari persamaan lingkaran x2+ y2−4 x+6 y=10 adalah
( y )2+( x )2+4 ( y )−6 ( x )=10
Koordinat titik A dan B berturut-turut adalah (-2, 2) dan (1, 4). Garis yang
menghubungkan A dan B direfleksikan terhadap sumbu x untuk
mendapatkan A’ dan B’. Kemudian A’B’ direfleksikan terhadap garis x= 3
untuk memperoleh A” dan B”. Tentukan koordinat A’, B’, A’, dan B’.
Jawab :
A (−2,2 ) A ' (−2 ,−2 ) A' ' (2.3−(−2) ,−2 )
B (1,4 ) B ' (1 ,−4 ) B' ' (2.3−1 ,−4 )
A' ' (2.3−(−2) ,−2 )=A' ' (6+2 ,−2 )=A ' ' (8 ,−2 )
B' ' (2.3−1 ,−4 )=B' ' (6−1 ,−4 )=B' ' (5 ,−4 )
J. Alat dan Sumber Belajar
Sumber :
- Buku paket, yaitu buku Matematika Kelas XII Semester 1, .
- Buku referensi lain.
- Lembar Kerja Siswa
Alat :
Laptop
LCD
Cermin
KEPALA SEKOLAH GURU MATEMATIKA
x = 3Sb. x
x = 3Sb. x
( ) ( )
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
(RPP 4)
Nama Sekolah : ………………………..
Mata Pelajaran : Matematika
Kelas : XII (Dua Belas) / IPA
Semester : Ganjil
A. Standar Kompetensi
Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan
masalah.
B. Kompetensi Dasar
Menggunakan transformasi geometri yang dapat Dinyatakan dalam matriks
dalam pemecahan masalah.
C. Indikator
1. Melakukan operasi jenis transformasi dilatasi
2. Menentukan persamaan matriks dari transformasi dilatasi pada bidang
3. Menentukan hasil ( bayangan) oleh tranformasi dilatasi.
D. Tujuan Pembelajaran
1. Peserta didik dapat menjelaskan arti geometri dari suatu transformasi dilatasi
di bidang.
2. Peserta didik dapat menentukan persamaan transformasi dilatasi pada bidang
serta aturan dan matriks dilatasinya.
E. Materi Ajar
Dilatasi
Adalah suatu transformasi yang mengubah jarak titik-titik dengan faktor
skala (pengali) tertentu dipusat dilatasi tertentu. Dilatasi suatu bangun
akan mengubah ukuran tanpa mengubah bentuk bangun tersebut.
Gambar 6.
Perhatikan lingkaran pada Gambar dibawah yang berpusat di titik P(4, 2) dan
melalui titik Q(4, 4) berikut yang didilatasi terhadap pusat O(0, 0) dengan faktor
skala 12
. Bayangan yang diperoleh adalah lingkaran yang berpusat di titik P'(2, 1)
dan melalui titik Q' (2, 2). Lingkaran ini sebangun dengan lingkaran P dengan
ukuran diperkecil.
Gambar 7.
Atau kita dapat menentukan lingkaran hasil dilatasi ini dengan menggunakan
matriks seperti berikut
[ x1' x2
'
y1' y2
']=[ 12
0
012][ 4 4
2 4]=[2 21 2]
Dengan dilatasi terhadap pusat O(0, 0) dan faktor skala 12
, diperoleh lingkaran
dengan titik pusat P'(2, 1) dan melalui titik Q'(2, 2).
Transformasi dilatasi dengan faktor skala sebesar k adalah suatu pemetaan
yang didefinisikan sebagai berikut :
T : R2 R2
( x , y )(kx , ky) dimana k adalah bilangan real.
Suatu dilatasi dengan faktor skala k dan pusat dilatasi P ditulis : P , k
Jika P , k :A( x , y ) → A ' (x' , y ') dengan P (a,b) maka terdapat hubungan :
x '=a+k (x−a )
y '=b+k ( y−b )
Jika dengan pusat O (0,0) terdapat hubungan :
x '=kx
y '=ky
dengan matriks yang sesuai [k 00 k ]
Pada dilatasi faktor k akan menentukan ukuran dan letak bangun
bayangannya.
1) Jika k >1, maka bangun bayangan diperbesar dan searah terhadap
pusat dan bangun semula.
2) Jika 0 < k < 1, maka bangun bayangan diperkecil dan searah
terhadap pusat dan bangun semula.
3) Jika -1< k < 0 , maka bayangan diperkecil dan berlawanan arah
dengan pusat dan bangun semula.
4) Jika k < -1, maka bangun bayangan diperbesar dan berlawanan arah
terhadap pusat dan bangun semula
Dilatasi Rumus Matriks
Dilatasi dengan pusat
(0,0) dan faktor dilatasi
k
A ( x , y ) [0 , k ] A ' (kx , ky ) (x 'y ')=(k 0
0 k )(xy )
Dilatasi dengan pusat
P(a,b) dan faktor dilatasi
k
A ( x , y ) [ P , k ] A ' ( x ', y ' )dengan x '−a=k ( x−a )
y '−b=k ( y−b )
(x 'y ')=(k 0
0 k )(x−ay−b)+(a
b)
F. ALKASI WAKTU
TM : 2 x 45 guru memberikan materi.
PT : 20’ siswa membuat latihan.
KMTT : 45’ siswa mengerjakan tugas di rumah.
G. METODE PEMBELAJARAN
Diskusi dan tanya jawab
H. KEGIATAN PEMBELAJARAN
KEGIATAN GURU KEGIATAN
SISWA
WAKTU
PENDAHU
LUAN
Guru mengucapkan salam.
Guru mengabsen siswa.
Apersepsi
Guru mengulang pelajaran
kemaren tentang refleksi yang di
sangkutkan dengan kehidupan
Tujuan
Agar siswa bisa menerapkan
dalam kehidupan dan
memahami tntang dilatasi.
KEGIATAN
INTI
Eksporasi
Guru menerangkan pelajaran
tentang dilatasi.
Guru membagi siswa menjadi
beberapa kelompok yang terjadi
dari 5-6 orang.
Guru memberi lembaran lks agar
siswa mendiskusikan dalam
kelompoknya
Guru memantau jalanya diskusi
elaborasi
3. Secara berkelompok siswa
membahas soal tes kemampuan
dan me-
ngumpulkan hasilnya (selama
diskusi berlangsung guru
memantau
kerja siswa dan mengarahkan
siswa yang mengalami
kesulitan).
konfirmasi
4. Meminta beberapa
perwakilan kelompok untuk
mempresentasikan hasil
diskusinya, sedangkan
kelompok lain memberikan
tanggapan (guru
memandu diskusi dan
merumuskan jawaban yang
benar).
PENUTUP menunjuk beberapa siswa
untuk mengutarakan
secara lisan mengenai apa
yang telah dipelajari,
melakukan penilaian dan
refleksi terhadap kegiatan
yang sudah dilaksanakan
secara konsisten dan
terprogram,
memberikan umpan balik
terhadap proses dan hasil
pembelajaran,
memberi tugas secara
individu.
Peserta didik diingatkan
untuk mempelajari materi
berikutnya.
I. PENILAIAN
1. Teknik pelajaran
Tes tertulis dan uraian
2. Bentuk instrumen
Tes uraian
3. Contoh instrument
1. Tentukan bayangan persegi panjang ABCD dengan
A(2,2) , B(-2,2) , C(-2,-2) dan D(2,-2)
jika dilakukan transformasi Dilatasi pusat O dan skala 3 adalah....
jawab:
Jadi hasilnya A'(6,6) , B'(-6,6) , C'(-6,-6) dan D'(6,-6)
2. Bayangan garis x - y - 3 = 0 oleh D(O,4) adalah.....
jawab:
Transformasinya adalah Dilatasi dengan pusat O(0,0) dan skala 4
dengan menghilangkan tanda aksen dan mengalikan dengan 4 maka
bayangan / peta / hasilnya adalah x - y - 12 = 0
3. Diketahui dilatasi dengan pusat (2,1) dan faktor skala 3. Oleh
dilatasi tsb tentukan bayangan dari :
a. titik A(3,2) dan B(9-4,3)
b. garis y-2x+5=0
Jawab :
a. A' [ x '
y ' ]=[3 00 3 ][3−2
2−1]+[21]=[54 ]B' [ x '
y ']=[3 00 3] [−4−2
3−1 ]+[21]=[−167 ]
b. [ x '
y ']=[3 00 3] [ x−2
y−1]+[21]=[3 x−6+23 y−3+1]=[3 x−4
3 y−2]x '=3 x−4 → x= x '+4
3
y '=3 y−2 → y= y '+23
Subtitusi x dan y tersebut ke y-2x+5=0 sehingga diperoleh
y '+23
−2. x'+4
3+5=0
y '+2−2. (x '+4¿+15=0
y '+2−2 x '−8+15=0
y '−2 x '+9=0
Jadi bayangan dari garis y-2x+5 = 0 adalah y-2x+9=0.
J. Alat dan Sumber Belajar
Sumber :
- Buku paket, yaitu buku Matematika Kelas XII Semester 1, .
- Buku referensi lain.
- Lembar Kerja Siswa
Alat :
Laptop
LCD
Cermin
KEPALA SEKOLAH GURU MATEMATIKA
( ) ( )
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
(RPP 5)
Nama Sekolah : SMAN
Mata Pelajaran : Matematika
Kelas / Program : XII / IPA
Semester : Ganjil
A. Standar Kompetensi
Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam
pemecahan masalah.
B. Kompetensi Dasar
Menentukan komposisi dari beberapa transformasi geometri beserta
matriks transformasinya.
C. Indikator
1. Menjelaskan arti geometri dari komposisi transformasi di bidang.
2. Menentukan aturan transformasi dari komposisi beberapa transformasi.
D. Tujuan Pembelajaran
a. Peserta didik dapat menjelaskan arti geometri dari komposisi
transformasi di bidang.
b. Peserta didik dapat menentukan aturan transformasi dari komposisi
beberapa transformasi.
E. Materi Ajar
Komposisi transformasi
1. Komposisi dua translasi berurutan
Diketahui dua translasi T 1=(ab )
dan T 2=(cd)
. Jika translasi T 1 dilanjutkan
translasi T 2 maka dinotasikan ”T 1∘T 2 ” dan translasi tunggalnya adalah
T=T1+T2=T2+T1 (sifat komutatif).
2. Komposisi dua refleksi berurutan
a. refleksi berurutan terhadap dua sumbu sejajar
Jika titik A(x,y) direfleksikan terhadap garis x=a dilanjutkan terhadap garis
x=b. Maka bayangan akhir A adalah A ' ( x ', y ' ) yaitu:
x' = 2(b-a) + x
y' = y
Jika titik A(x,y) direfleksikan terhadap garis y = a dilanjutkan terhadap garis y
= b. Maka bayangan akhir A adalah A ' ( x ', y ' ) yaitu:
x' = x
y'=2(b-a)+y
b. refleksi terhadap dua sumbu saling tegak lurus
Jika titik A(x,y) direfleksikan terhadap garis x = a dilanjutkan terhadap garis
y=b (dua sumbu yang saling tegak lurus) maka bayangan akhir A adalah
A ' ( x ', y ' ) sama dengan rotasi titik A(x,y) dengan pusat titik potong dua sumbu
(garis) dan sudut putar 180˚
c. refleksi terhadap dua sumbu yang saling berpotongan
Jika titik A(x,y) direfleksikan terhadap garis g dilanjutkan terhadap garis h,
maka bayangan akhirnya adalah A ' ( x ', y ' ) dengan pusat perpotongan garis g
dan h dan sudut putar 2 α (α sudut antara garis g dan h) serta arah putaran
dari garis g ke h.
Catatan
tan α=mk−ml
1+mk⋅ml
ml=gradien garis lmk=gradien garis k
d. sifat komposisi refleksi
Komposisi refleksi (refleksi berurutan) pada umumnya tidak komutatif
kecuali komposisi refleksi terhadap sumbu x dilanjutkan terhadap sumbu y
(dua sumbu yang saling tegak lurus).
3. Rotasi berurutan yang sepusat
a. Diketahui rotasi R1(P(a,b),α) dan R2(P(a,b),β), maka transformasi tunggal
dari komposisi transformasi rotasi R1 dilanjutkan R2 adalah rotasi
R(P(a,b),α+β)
b. Rotasi R1 dilanjutkan R2 sama dengan rotasi R2 dilanjutkan R1
4. Komposisi transformasi
Diketahui transformasi T 1=(a b
c d ) dan T 2=( p qr s )
maka transformasi tunggal
dari transformasi:
a. T1 dilanjutkan T2 (T2 ◦ T1) adalah T=T2 . T1
b. T2 dilanjutkan T1 (T1 ◦ T2) adalah T=T1 . T2
Catatan T1 . T2 = T2 . T1
5. Bayangan suatu kurva/bangun oleh dua transformasi atau lebih
Contoh: Tentukan bayangan garis -4x+y=5 oleh pencerminan terhadap garis
y=x dilanjutkan translasi (32 )
!
Jawab: misal titik P(x,y) pada garis -4x+y=5
P(x,y) dicerminkan terhadap garis y=x, bayangannya P'(y,x)
P'(y,x) ditranslasi (32 )
. Bayangannya P''(y+3, x+2)=P''(x'',y'')
Jadi x'' = y +3 → y = x''-3
y'' = x +2 → x = y'' -2
persamaan -4x+y=5 → -4(y'' -2) + (x'' - 3) = 5
-4y'' + 8 + x'' – 3 = 5
x'' - 4y''= 0
jadi bayangan akhirnya adalah x - 4y= 0
6. Luas bangun hasil tranformasi
Jika suatu bangun (segitiga, lingkaran, dan lain-lain) ditransformasikan
maka:
a. Luas bangun bayangan tetap untuk transformasi : translasi, refleksi,
dan rotasi.
b. Luas bangun bayangan berubah untuk transformasi dilatasi, yaitu
jika luas bangun mula-mula L setelah didilatasi oleh [P(a,b),k], maka
luas bangun bayangannya adalah L' = k2 +L
c. Jika luas bangun semula = L, kemudian bangun itu
ditransformasikan dengan matriks [a bc d ] maka luas bangun
bayangannya adalah L'=|ad−bc|x L
F. alokasi waktu
TM : 2 x 45 guru memberikan materi.
PT : 20’ siswa membuat latihan.
KMTT : 45’ siswa mengerjakan tugas di rumah
G. Metode Pembelajaran
tanya jawab, diskusi kelompok.
H. KEGIATAN PEMBELAJARAN
Kegiatan guru Kegiatan siswa Waktu
Pendahul
uan
-guru mengucapkan salam.
-guru mengecek kehadiran
siswa.
apersepsi
Mengingat kembali materi
mengenai jenis-jenis
transformasi dan matriks yang
bersesuaian dengan suatu
transformasi
Motivasi
Apabila materi ini dikuasai
dengan baik, maka peserta
didik diharapkan dapat
menjelaskan arti geometri dari
komposisi transformasi di
bidang dan menentukan
aturan transformasi dari
komposisi beberapa
transformasi
Kegiatan
inti
Eksoporasi
Peserta didik diberikan
stimulus berupa pemberian
materi secara garis besar oleh
guru (selain itu misalkan
dalam bentuk lembar kerja,
tugas mencari materi dari
buku paket atau buku-buku
penunjang lain, dari
internet/materi yang
berhubungan dengan
lingkungan, atau pemberian
contoh-contoh materi untuk
dapat dikembangkan peserta
didik, dari media interaktif,
dsb) mengenai arti geometri
dari komposisi transformasi di
bidang dan cara menentukan
aturan transformasi dari
komposisi beberapa
transformasi
Peserta didik dikondisikan
dalam beberapa kelompok
diskusi dengan masing-
masing kelompok terdiri dari
3-5 orang.
Dalam kelompok, masing-
masing peserta didik
berdiskusi mengenai:
1. Cara
mendeskripsikan
komposisi
transformasi di
bidang.
2. Aturan transformasi
dari komposisi
beberapa
transformasi.
3. Cara menentukan
hasil dari dua
komposisi dua
translasi berurutan.
4. Cara menentukan
bayangan bangun
oleh komposisi dua
refleksi berurutan
terhadap dua
sumbu yang sejajar
sumbu Y.
5. Cara menentukan
bayangan bangun
oleh komposisi dua
refleksi berurutan
terhadap dua
sumbu yang sejajar
sumbu X.
6. Cara menentukan
bayangan bangun
oleh komposisi dua
refleksi berurutan
terhadap dua
sumbu yang saling
tegak lurus.
7. Cara menentukan
bayangan bangun
oleh komposisi dua
refleksi berurutan
terhadap dua
sumbu yang saling
berpotongan.
8. Cara menentukan
bayangan bangun
oleh komposisi dua
rotasi sepusat yang
berurutan.
9. Cara
mendeskripsikan
matriks komposisi
transformasi di
bidang.
d. Masing-masing
kelompok diminta
menyampaikan hasil
diskusinya, sedangkan
kelompok yang lain
menanggapi.
e. Peserta didik
mengkomunikasikan
secara lisan atau
mempresentasikan
cara mendeskripsikan
komposisi transformasi
di bidang dan cara
menentukan aturan
transformasi dari
komposisi beberapa
transformasi.
Setiap kelompok mengerjakan
beberapa soal mengenai cara
menentukan hasil dari
komposisi dua translasi
berurutan, cara menentukan
bayangan bangun oleh
komposisi dua refleksi
berurutan terhadap dua
sumbu yang sejajar sumbu Y,
cara menentukan bayangan
bangun oleh komposisi dua
refleksi berurutan terhadap
dua sumbu yang sejajar
sumbu X, cara menentukan
bayangan bangun oleh
komposisi dua refleksi
berurutan terhadap dua
sumbu yang saling tegak
lurus, cara menentukan
bayangan bangun oleh
komposisi dua refleksi
berurutan terhadap dua
sumbu yang saling
berpotongan, cara
menentukan bayangan
bangun oleh komposisi dua
rotasi sepusat yang
berurutan, dari “Aktivitas
Kelas“
Peserta didik dan guru secara
bersama-sama membahas
jawaban soal-soal dari
“Aktivitas Kelas”
Peserta didik diingatkan untuk
mempelajari kembali materi
mengenai komposisi
transformasi, yang terdiri dari
komposisi dua translasi
berurutan, komposisi dua
refleksi berurutan, komposisi
dua rotasi sepusat yang
berurutan, dan komposisi
transformasi dengan
menggunakan matriks, untuk
menghadapi ulangan harian
pada pertemuan berikutnya
Penutup Peserta didik membuat
rangkuman dari materi
mengenai komposisi dari
beberapa transformasi
geometri beserta matriks
transformasinya.
Peserta didik diberikan
pekerjaan rumah (PR)
berkaitan dengan materi
mengenai komposisi dari
beberapa transformasi
geometri beserta matriks
transformasinyaberdasarkan
latihan alam uku paket
.
I. Penilaian
a. Teknik pelajaran
Tes tertulis dan uraian
b. Bentuk instrumen
Tes uraian
c. Contoh instrument
J. Alat dan Sumber Belajar
Sumber :
- Buku paket, yaitu buku Matematika Kelas XII Semester 1, .
- Buku referensi lain.
- Lembar Kerja Siswa
Alat :
Laptop
LCD
Cermin
KEPALA SEKOLAH GURU MATEMATIKA
( ) ( )