Rotor de laval

7/26/2019 Rotor de laval

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Influencia do Desbalanceamento naDeformacao de um eixo

Estudo sobre o Rotor de Laval

Matheus Mendes-1220979

Professor: Rubens Sampaio

Rio de Janeiro, Junho de 2016


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Sumario

1 Introducao 2

2 Analise dinamica do sistema 2

2.1 Forcas atuantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.3 Regime Permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.4 Velocidade crtica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.5 Regime Transiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Simulacao matematica 6

3.1 Regime Permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.2 Regime Transiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4 Conclusao e comentarios 9

5 Bibliografia 10

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1 Introducao

Desde a concepcao de uma maquina, o projetista tem como missao a otimizacao de seus componentes.Isto e, desenvolve-los de tal forma que a maquina tenha uma performance otima. Porem, devido a algunsfatores, tais como imperfeicoes da materia prima, desvios de forma e dimensionais, a peca acaba tendouma assimetria. Essa assimetria acarreta em um desbalanceamento da peca, ou seja, o centro de massa

real da peca, nao e coincidente com o centro de massa projetado. Durante o movimento de rotacao deum ou mais corpos, o desbalanceamento pode trazer graves consequencias. Alem de causar vibracao nosistema, ele resulta em uma forca radial no eixo, agravando ainda mais este fenomeno e sua influenciadevido a deformacao.

Este relatorio tem como objetivo a modelagem e simulacao matematica deste efeito em um sistema deum rotor centrado sobre um eixo. Para a realizacao deste estudo, o sistema sera montado com 2 mancaisrgidos, 1 eixo flexvel e um rotor tambem rgido no centro do eixo. Isto e, equidistante de ambos osmancais. Este e o Rotor de Laval, tambem conhecido como Rotor de Jeffcot ou Foppl

A analise teorica sera divida em 2 etapas. Na primeira, sera avaliado o sistema em regime permanente.Ou seja, apos o sistema ter atingido a condicao de equilbrio. Apos esta analise, sera avaliado o compor-tamento dinamico no regime transiente, isto e, partindo do repouso ate que o sistema atinja a condicaode equilibrio. Em ambos os casos, sera desenvolvida a dinamica do problema e, atraves do Matlab, seraorealizadas simulacoes numericas para diferentes parametros, visando uma melhor compreensao de comocada fator influencia a dinamica do sistema.

2 Analise dinamica do sistema

Neste problema, o eixo e flexvel, e os mancais e o rotor idealmente rgidos. Ou seja, apenas o eixo sedeformara. Devido a rigidez dos mancais, nao havera deslocamento radial nem axial nos pontos de contatocom o eixo, porem, como este e flexvel, todos os pontos, exceto estes citados, sofrerao deslocamento lateralna presenca de alguma forca radial. Alem disso, como o plano medio do rotor esta no centro do sistema,todo o movimento deste plano estara contido em um plano perpendicular ao eixo, sem deslocamento

axial. Isto e, se for estabelecido um sistema de coordenadas XYZ onde o eixo X e coincidente com derotacao do sistema e, cuja origem esta posicionada no centro deste rotor, como representado na figura 2,toda movimentacao do rotor estara contida no plano YZ

Figura 1: Sistema com o eixo de coordenadas XYZ e com o eixo deformado.

Antes de comecar o desenvolvimento da dinamica, e importante frisar que a forca peso tambem causauma deformacao neste rotor. Esta deformacao e chamada de deformacao estaticauma vez que ela nao evariante no tempo. Portanto, a origem do sistema esta sendo definida no ponto de deformacao estatico,ou seja, no ponto em que o centro do rotor fica posicionado quando em repouso.

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Substituindo estes valores na equacao (1) e separando as equacoes de i e j obtem-se o seguinte sistema:

mx+ (bi+b)x+kx biy = m2e cos(t)

my+ (bi+b)y+ky bix = m2e sin(t) (1)

Ambas essas equacoes demonstram o comportamento do sistema quando uma velocidade angular e

aplicada. Multiplicando-se a segunda equacao do sistema (1) por i e somando com a primeira, e obtidaa seguinte expressao

m(x+iy) + (bi+b)(x+iy) +k(x+iy) bi(ix+y) =m2a[cos(t) +i sin(t)] (2)Segundo a formula de Euler,

ei = cos +i sin .

Com isso

m(x+iy) + (bi+b)(x+iy) +k(x+iy) bi(ix+y) =m2aeiwt

Se for definido quez = x+iy, O sistema de equacoes fica reduzido a

mz+ (bi+b)z+kz izbi = m2

eit

(3)

Se for considerado que o coeficiente de amortecimento interno e desprezvel, bi = 0. expressao:

mz+bz+kz = m2aeit (4)

A solucao para esse tipo de equacao e dada por:

z(t) =zh(t) +zp(t)

Ondezh(t) e a solucao homogenea do sistema e zp(t) e a solucao particular.

zh(t) =C e1t+ ezp(t) =Ae

t+

z(t) =C e1t+ +Aei(t+)

Sendo C, A,, , constantes a serem determinadas.

2.3 Regime Permanente

O primeiro termo da equacao demonstra um comportamento transiente (et). Com o desenvolvi-mento do tempo este termo nao afetara a equacao, pois ele tendera a 0. Logo, para calcular o regimepermanente, sera estabelecido um valor t0 que torne este primeiro termpo desprezvel. Portanto, para oregime permanente basta substituirz (t0) na eq.(4), relembrando que nao ha aceleracao angular.

z(t0) =mA2ei(t0+) +bAei(t0+) +kAei(t0+) =m2aeit

De acordo com a ref. [4], a resolucao para um sistema desses e

z(t0) = me2

sqrt(k m2) + (b)2 cos(t ) + me2

(k m2) + (b)2sin(t )i

Onde

= arctan( b

k m2 )

Pela equacao (2.3), e percebido que o raio da orbita e constante

R= 2

(k m2)2 + (b)2(5)

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2.4 Velocidade crtica

Se for considerado que os coeficientes de amortecimento interno e externo sao desprezvel, bi= be= 0a equacao (3) fica reduzida a forma mX+ kX = eit. Esta e a equacao caracterstica de um sistemamassa-mola. A frequencia natural de um sistema desta forma en=

k/m, portanto, caso a frequencia

seja igual an, o sistema entrara em ressonancia e a deflexao do eixo somente aumentara com o tempo

ate que ocorra a fratura da peca. A definicao de uma variavel r que represente a razao da frequencia derotacao do sistema e desta frequencia natural n ajuda na apresentacao dos resultados. Alem disso,sabe-se que o fator de amortecimento e descrito por= b/

km. Substituindo estes valores naa eq. (2.3):

er2(1 r2)2 + (2r)2

(6)

Para um sistema sem amortecimento, ou seja, = 0, a velocidade angular que apresente uma amplitudemaxima e a frequencia natural, porem, a presenca de um fator de amortecimento altera esta velocidade.Estruturalmente, este ponto tende a ser evitado, uma vez que as tensoes agindo sobre o eixo, tambemsao maximas, e podem acarretar na fratura do material. Convencionalmente este ponto e chamado develocidade crtica. Para encontrar a velocidade crtica de um sistema, basta derivar a eq. (6) em respeitoa r.

rmax= 1

2

1 2(7)

Como e possvel perceber, a velocidade crtica do sistema aumenta a medida que o fator de crescimentoaumenta. Esta equacao e valida somente para


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Portanto, no sistema de equacoes (1), surge um termo resultante da derivada no tempo de . Juntandoambas estas equacoes com a eq. (2.5).

mx+ (b+bi)x+kx+biy = m2e cos(t) +mesin(t)

my+ (b+bi)y+ky +bix = m2e sin(t) mecos(t)

mex sin(t) +meycos(t) +Ip= mex cos(t) +meysin(t) +T megcos(t)(11)

3 Simulacao matematica

Nesta sessao serao analisadas as influencias de diferentes parametros em casa equacao. Para istoserao analisados os graficos obtidos com as equacoes desenvolvidas na sessao2 variando os parametros.Inicialmente serao analisadas as influencias da constante de amortecimento b e a razao r da velocidadeangular e frequencia natural do sistema n. Em seguida, sera analisada a influencia da distancia docentro de massa e o eixo de rotacao, chamada de excentricidade e. Para ambos os casos sera primeiramenteanalisado o regime permanente e, em seguida, o transiente.

3.1 Regime Permanente

Como visto na sessao2.4, o sistema possui uma velocidade crtica na qual a deformacao e maxima.Nesta sessao sera demonstrado a influencia da variacao da velocidade angular na ampliude de movimentodo sistema e do fator de amortecimento. O grafico3demonstra o comportamento da amplitude em funcaoda velocidade angular para diferentes fatores de amortecimento. A excentricidade altera linearmente ovalor da amplitude, portanto a o grafico representa uma razao da amplitude R com esta excentricidade.

r

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

R/e

0

2

4

6

8

10

12

Amplitude

=0

=0.1

=0.2

=0.3

=0.4

=0.5

=0.75

=1

Figura 3: Amplitude em funcao da razao r da velocidade angular

Para uma velocidade angular muito baixa, a amplitude do movimento (raio de orbita) tem um valormuito pequeno, ou seja, o centro de gravidade do sistema esta muito proximo do eixo de rotacao. Amedida que a razao r se aproxima de 1, esta amplitude tem um crescimento brusco tendendo a um valormaximo proximo a 1. Ou seja, o CG do sistema se afasta do eixo de rota cao. No ponto r=1, a amplitudedo sistema e praticamente maxima, ou seja, a deformacao do eixo e maxima. Para r1, a amplitude dosistema decresce, porem de forma mais lenta que seu crescimento. E a medida que r vai se aproximandode 3, o raio de orbita tende a se manter constante.

Alem disso, para um sistema sem fator de amortecimento, o sistema entrara em ressonancia e o valorda amplitude tendera ao infinito. A medida que o fator de amortecimento for aumentando, a amplitude

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rmax0 1.00

0.1 1.010.2 1.040.3 1.100.4 1.21

0.5 1.41

maxima decai e a velocidade crtica do sistema aumenta, conforme visto na (7). Para estes fatores deamortecimento, foram encontrados os seguintes valores para as velocidades crticas E importante destacarque para os fatores de amortecimento maiores que 0.5, o valor m aximo deles nao esta proximo a 1, ouseja, esta equacao nao representa a velocidade crtica.

Outro fator afetado por estes parametros e a defasagem do sistema em relacao a entrada. o grafico4demonstra o comportamento da defasagem a medida que estes parametros sao variados.

r

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

phi

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

Defasagem

=0

=0.1

=0.2

=0.3

=0.4

=0.5

=0.75

=1

Figura 4: defasagem em funcao da razao r da velocidade angular

Antes de comecar a analise, e importante destacar que o arco-tangente de e o mesmo que o de180o +, logo o arco-tangente de91o e o mesmo de 91o e a simulacao nao levou isso em consideracao.

Porem, de acordo com a lei da continuidade, e facil perceber que os valores de para r1 sao os apresen-tados no grafico acrescidos de 180o.

Para as velocidades angulares muito baixas, praticamente nao ha defasagem, ou seja, sem atraso, dolado externo da orbita. A medida que a velocidade angular se aproxima da velocidade crtica, o centro degravidade tende a se aproximar da parte intera, ou seja, o angulo e aumentado ate que nesta velocidadeele atinge 90o. Neste ponto o CG esta orbitando na mesma orbita que o centro teorico. Apos este ponto,o angulo de fase continua a aumentar e, como ja atingiu a orbita do rotor, ele agora esta orbitando naparte interna da orbita. Quando a velocidade angular atinge um valor muito maior que 1, a fase tende a180o e o CG esta o mais proximo o possvel do eixo de rotacao, perpendicular a orbita. Este fenomenode aproximacao do eixo a medida que a velocidade angular se torna muito superior a frequencia naturalrecebe o nome de autocentragem. Para sistemas nao amortecidos, este fenomeno ocorre para velocidadesaproximadamente 3 vezes maiores que a frequencia natural. A figura5 representa essas posicoes

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a b c d

e

Figura 5: As figuras representam respectivamente as posicoes citadas. A velocidade angular aumenta deuma figura para a outra. Na imagem a. r 0.2, em b r 0.5, na c r=1, em d r 2 e em e r 3.

3.2 Regime Transiente

Nesta parte sera analisada a influencia da aceleracao angular e do fator de amortecimento na amplitudedo movimento do regime transiente. Como feito na simulacao do Regime Permanente3.1,Em um mesmografico estao plotadas a razao da amplitude do movimento com a excentricidade do centro de massa paradiferentes fatores de amortecimento. O mesmo procedimento e repetido para aceleracoes angulares cadavez maiores ate que esteja clara a influencia destes parametros no comportamento do sistema.

Suponto um sistema de controle forca uma aceleracao angular constante aplicada ao rotor, a figura 6representa a amplitude em funcao do tempo para diferentes aceleracoes angulares e fatores de amorteci-mento.

t(s)

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

r

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35Amplitude para =0.001rad/s2

=0.25=0.5

=0.7

=1

a t(s)0 10 20 30 40 50 60 70 80

r

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3


=0.25=0.5

=0.7

=1

b

t(s)

0 5 10 15 20 25 30 35 40

r

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35


=0.25

=0.5

=0.7

=1

c

Figura 6: Relacao da Amplitude com a aceleracao e fator de amortecimento, Na imagem a, =0.01rad/s2, em b, = 0.025 rad/s2 e em c, =0.05 rad/s2

Como e possvel observar nas imagens acima, a medida que a aceleracao angular aumenta, a amplitudetambem aumenta. Isto e explicado pelo fato de uma maior aceleracao angular resultar em uma maiorforca radial, que e a responsavel pela deformacao do eixo. Outra informacao importante e que a medida

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em que o sistema se aproxima de um alto, isto e, r2, a amplitude nao se mantem constante. Isto eexplicado novamente pela forca inercial, gerada pela aceleracao. A presenca de uma forca destas gerauma vibracao no eixo, que oscila radialmente, variando a amplitude do movimento. Esta movimentacaoradial, nao ocorre no regime permanente.

Alem disso e possvel perceber que o apice da amplitude nao esta no ponto da velocidade crtica. Ou

seja, a velocidade crtica tambem e uma funcao da aceleracao angular. Como visto anteriormente, Isto eexplicado pela presenca da derivada no tempo da velocidade angular, na equacao de estado.

Por fim, o fator de amortecimento se comporta de maneira analoga a do regime permanente, comovisto na sessao3.1. A oscilacao no fim do sistema e a mesma para todos os fatores de amortecimento, poiseste e um movimento do eixo, e, durante o desenvolvimento da dinamica, o coeficiente de amortecimentointerno foi desprezado, portanto, o comportamento e oscilatorio puro. A magnitude e uma funcao daconstante elastica do eixo, k, e da aceleracao angular, portanto, o fator de amortecimento externo emnada influencia neste movimento radial.

4 Conclusao e comentarios

Neste relatorio foi possvel a demonstracao do efeito da variacao de varios parametros em um caso dedesbalanceamento. Foi demonstrada a influencia da velocidade de rotacao, do fator de amortecimento eda aceleracao angular a qual o rotor e submetido. Com isto, e possvel afirmar que o trabalho apresentadocumpriu seu objetivo principal.

Durante a realizacao deste trabalho, foram assumidas varias hipoteses. A deformacao estatica negli-genciavel para o desbalanceamento, o sistema de controle agir idealmente, mantendo a acelera cao angularconstante durante todo o processo, rotor e mancais idealmente rgidos, coeficiente de amortecimento in-terno desprezvel, dentre outras aproximacoes. Estas hipoteses geram pequenos erros nos resultados,porem, foi possvel a obtencao de uma boa representacao do comportamento dinamico do sistema. Epossvel ir bem mais a fundo no estudo sobre o comportamento no regime transiente, porem, devido afalta de tempo, isto nao foi possvel neste relatorio. Assim como nao foi possvel a realizacao de umaanalise estrutural do eixo. Um novo estudo abrangindo grande parte do que foi dito neste paragrafo sera

feito futuramente

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5 Bibliografia

Referencias

[1] Reposta ao Desbalanco de Sistemas Rotativos

[2] Inman, Daniel J., Engineering Vibrations, Fourth Edition

[3] Singiresu S. Rad, Mechanical Vibrations, Third Edition, p.576-582.

[4] Rao S.S. Mechanical Vibrations Fourth Edition.

[5] Santos, I.F 2001. Dinamica de sistemas mecanicos-Modelagem, Simulacao, Visualizacao e Verificacao.

[6] Nassar M. Assabi, Using Matlab ode45 to solve differential equations.

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