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Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
RODRIGO ALVES DIAS
Universidade Federal de Juiz de Fora - UFJFLivro texto: Fısica 3 - Eletromagnetismo
Autores: Sears e ZemanskyEdicao: 12a
Editora: Pearson - Addisson and Wesley
28 de fevereiro de 2012
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este capıtulo voce aprendera:
I Sobre a evidencia empırica de que a variacao de um campo magnetico induzuma fem.
I Como a lei de Faraday relaciona a fem induzida em uma espira a variacao defluxo magnetico atraves da espira.
I Como determinar o sentido de uma fem induzida.
I Como calcular a fem induzida em um condutor que se move atraves de umcampo magnetico.
I Como uma variacao no fluxo magnetico gera um campo eletrico que e muitodiferente daquele produzido por uma combinacao de cargas.
I As quatro equacoes fundamentais que descrevem integralmente a eletricidade e
o magnetismo.
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este capıtulo voce aprendera:
I Sobre a evidencia empırica de que a variacao de um campo magnetico induzuma fem.
I Como a lei de Faraday relaciona a fem induzida em uma espira a variacao defluxo magnetico atraves da espira.
I Como determinar o sentido de uma fem induzida.
I Como calcular a fem induzida em um condutor que se move atraves de umcampo magnetico.
I Como uma variacao no fluxo magnetico gera um campo eletrico que e muitodiferente daquele produzido por uma combinacao de cargas.
I As quatro equacoes fundamentais que descrevem integralmente a eletricidade e
o magnetismo.
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este capıtulo voce aprendera:
I Sobre a evidencia empırica de que a variacao de um campo magnetico induzuma fem.
I Como a lei de Faraday relaciona a fem induzida em uma espira a variacao defluxo magnetico atraves da espira.
I Como determinar o sentido de uma fem induzida.
I Como calcular a fem induzida em um condutor que se move atraves de umcampo magnetico.
I Como uma variacao no fluxo magnetico gera um campo eletrico que e muitodiferente daquele produzido por uma combinacao de cargas.
I As quatro equacoes fundamentais que descrevem integralmente a eletricidade e
o magnetismo.
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Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este capıtulo voce aprendera:
I Sobre a evidencia empırica de que a variacao de um campo magnetico induzuma fem.
I Como a lei de Faraday relaciona a fem induzida em uma espira a variacao defluxo magnetico atraves da espira.
I Como determinar o sentido de uma fem induzida.
I Como calcular a fem induzida em um condutor que se move atraves de umcampo magnetico.
I Como uma variacao no fluxo magnetico gera um campo eletrico que e muitodiferente daquele produzido por uma combinacao de cargas.
I As quatro equacoes fundamentais que descrevem integralmente a eletricidade e
o magnetismo.
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Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este capıtulo voce aprendera:
I Sobre a evidencia empırica de que a variacao de um campo magnetico induzuma fem.
I Como a lei de Faraday relaciona a fem induzida em uma espira a variacao defluxo magnetico atraves da espira.
I Como determinar o sentido de uma fem induzida.
I Como calcular a fem induzida em um condutor que se move atraves de umcampo magnetico.
I Como uma variacao no fluxo magnetico gera um campo eletrico que e muitodiferente daquele produzido por uma combinacao de cargas.
I As quatro equacoes fundamentais que descrevem integralmente a eletricidade e
o magnetismo.
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Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este capıtulo voce aprendera:
I Sobre a evidencia empırica de que a variacao de um campo magnetico induzuma fem.
I Como a lei de Faraday relaciona a fem induzida em uma espira a variacao defluxo magnetico atraves da espira.
I Como determinar o sentido de uma fem induzida.
I Como calcular a fem induzida em um condutor que se move atraves de umcampo magnetico.
I Como uma variacao no fluxo magnetico gera um campo eletrico que e muitodiferente daquele produzido por uma combinacao de cargas.
I As quatro equacoes fundamentais que descrevem integralmente a eletricidade e
o magnetismo.
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Introducao
Uma usina produz energia eletrica mediante a conversao de outras formas deenergia:
I Energia potencial gravitacional em uma usina hidroeletrica.
I Energia quımica em uma usina termoeletrica.
I Energia nuclear em uma usina nuclear.
I Como ocorre essa conversao de energia?
I Qual e a fısica envolvida na producao de quase toda energia que consumimos?
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Introducao
Uma usina produz energia eletrica mediante a conversao de outras formas deenergia:
I Energia potencial gravitacional em uma usina hidroeletrica.
I Energia quımica em uma usina termoeletrica.
I Energia nuclear em uma usina nuclear.
I Como ocorre essa conversao de energia?
I Qual e a fısica envolvida na producao de quase toda energia que consumimos?
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Introducao
Uma usina produz energia eletrica mediante a conversao de outras formas deenergia:
I Energia potencial gravitacional em uma usina hidroeletrica.
I Energia quımica em uma usina termoeletrica.
I Energia nuclear em uma usina nuclear.
I Como ocorre essa conversao de energia?
I Qual e a fısica envolvida na producao de quase toda energia que consumimos?
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Introducao
Uma usina produz energia eletrica mediante a conversao de outras formas deenergia:
I Energia potencial gravitacional em uma usina hidroeletrica.
I Energia quımica em uma usina termoeletrica.
I Energia nuclear em uma usina nuclear.
I Como ocorre essa conversao de energia?
I Qual e a fısica envolvida na producao de quase toda energia que consumimos?
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Introducao
Uma usina produz energia eletrica mediante a conversao de outras formas deenergia:
I Energia potencial gravitacional em uma usina hidroeletrica.
I Energia quımica em uma usina termoeletrica.
I Energia nuclear em uma usina nuclear.
I Como ocorre essa conversao de energia?
I Qual e a fısica envolvida na producao de quase toda energia que consumimos?
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Introducao
Uma usina produz energia eletrica mediante a conversao de outras formas deenergia:
I Energia potencial gravitacional em uma usina hidroeletrica.
I Energia quımica em uma usina termoeletrica.
I Energia nuclear em uma usina nuclear.
I Como ocorre essa conversao de energia?
I Qual e a fısica envolvida na producao de quase toda energia que consumimos?
A resposta e um fenomeno chamado inducao eletromagnetica:
I Quando o fluxo magnetico varia atraves de um circuito, ocorre a inducao deuma fem e de uma corrente no circuito.
I Um campo magnetico que varia em funcao do tempo pode atuar como umafonte de campo eletrico [~B(t)→ ~E(t)].
I Um campo eletrico que varia em funcao do tempo pode atuar como uma fontede campo magnetico [~E(t)→ ~B(t)].
I Ou seja, ~B(t)� ~E(t).
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Introducao
Uma usina produz energia eletrica mediante a conversao de outras formas deenergia:
I Energia potencial gravitacional em uma usina hidroeletrica.
I Energia quımica em uma usina termoeletrica.
I Energia nuclear em uma usina nuclear.
I Como ocorre essa conversao de energia?
I Qual e a fısica envolvida na producao de quase toda energia que consumimos?
A resposta e um fenomeno chamado inducao eletromagnetica:
I Quando o fluxo magnetico varia atraves de um circuito, ocorre a inducao deuma fem e de uma corrente no circuito.
I Um campo magnetico que varia em funcao do tempo pode atuar como umafonte de campo eletrico [~B(t)→ ~E(t)].
I Um campo eletrico que varia em funcao do tempo pode atuar como uma fontede campo magnetico [~E(t)→ ~B(t)].
I Ou seja, ~B(t)� ~E(t).
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Introducao
Uma usina produz energia eletrica mediante a conversao de outras formas deenergia:
I Energia potencial gravitacional em uma usina hidroeletrica.
I Energia quımica em uma usina termoeletrica.
I Energia nuclear em uma usina nuclear.
I Como ocorre essa conversao de energia?
I Qual e a fısica envolvida na producao de quase toda energia que consumimos?
A resposta e um fenomeno chamado inducao eletromagnetica:
I Quando o fluxo magnetico varia atraves de um circuito, ocorre a inducao deuma fem e de uma corrente no circuito.
I Um campo magnetico que varia em funcao do tempo pode atuar como umafonte de campo eletrico [~B(t)→ ~E(t)].
I Um campo eletrico que varia em funcao do tempo pode atuar como uma fontede campo magnetico [~E(t)→ ~B(t)].
I Ou seja, ~B(t)� ~E(t).
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Experiencias de Inducao
I Um ıma em repouso nao induz corrente nogalvanometro.
I Um ıma em movimento induz corrente nogalvanometro.
I Uma segunda bobina que transporta correnteem movimento induz corrente nogalvanometro.
I Variando a corrente na segunda bobina induzcorrente no galvanometro.
I Se ~B = 0 ou ~B = Constante, nao induzcorrente no galvanometro.
I Se d~B 6= 0, induz corrente no galvanometro.
I Se mudamos a area da bobina, ∆A 6= 0,
induz corrente no galvanometro.
I Se giramos a bobina, induz corrente no galvanometro.
I Se mudamos o numero N de espiras, induz corrente no galvanometro.
I Quanto mais rapido fazemos os experimentos acima, maior e a inducao de
corrente no galvanometro.
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Experiencias de Inducao
I Um ıma em repouso nao induz corrente nogalvanometro.
I Um ıma em movimento induz corrente nogalvanometro.
I Uma segunda bobina que transporta correnteem movimento induz corrente nogalvanometro.
I Variando a corrente na segunda bobina induzcorrente no galvanometro.
I Se ~B = 0 ou ~B = Constante, nao induzcorrente no galvanometro.
I Se d~B 6= 0, induz corrente no galvanometro.
I Se mudamos a area da bobina, ∆A 6= 0,
induz corrente no galvanometro.
I Se giramos a bobina, induz corrente no galvanometro.
I Se mudamos o numero N de espiras, induz corrente no galvanometro.
I Quanto mais rapido fazemos os experimentos acima, maior e a inducao de
corrente no galvanometro.
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Experiencias de Inducao
I Um ıma em repouso nao induz corrente nogalvanometro.
I Um ıma em movimento induz corrente nogalvanometro.
I Uma segunda bobina que transporta correnteem movimento induz corrente nogalvanometro.
I Variando a corrente na segunda bobina induzcorrente no galvanometro.
I Se ~B = 0 ou ~B = Constante, nao induzcorrente no galvanometro.
I Se d~B 6= 0, induz corrente no galvanometro.
I Se mudamos a area da bobina, ∆A 6= 0,
induz corrente no galvanometro.
I Se giramos a bobina, induz corrente no galvanometro.
I Se mudamos o numero N de espiras, induz corrente no galvanometro.
I Quanto mais rapido fazemos os experimentos acima, maior e a inducao de
corrente no galvanometro.
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Experiencias de Inducao
I Um ıma em repouso nao induz corrente nogalvanometro.
I Um ıma em movimento induz corrente nogalvanometro.
I Uma segunda bobina que transporta correnteem movimento induz corrente nogalvanometro.
I Variando a corrente na segunda bobina induzcorrente no galvanometro.
I Se ~B = 0 ou ~B = Constante, nao induzcorrente no galvanometro.
I Se d~B 6= 0, induz corrente no galvanometro.
I Se mudamos a area da bobina, ∆A 6= 0,
induz corrente no galvanometro.
I Se giramos a bobina, induz corrente no galvanometro.
I Se mudamos o numero N de espiras, induz corrente no galvanometro.
I Quanto mais rapido fazemos os experimentos acima, maior e a inducao de
corrente no galvanometro.
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Experiencias de Inducao
I Um ıma em repouso nao induz corrente nogalvanometro.
I Um ıma em movimento induz corrente nogalvanometro.
I Uma segunda bobina que transporta correnteem movimento induz corrente nogalvanometro.
I Variando a corrente na segunda bobina induzcorrente no galvanometro.
I Se ~B = 0 ou ~B = Constante, nao induzcorrente no galvanometro.
I Se d~B 6= 0, induz corrente no galvanometro.
I Se mudamos a area da bobina, ∆A 6= 0,
induz corrente no galvanometro.
I Se giramos a bobina, induz corrente no galvanometro.
I Se mudamos o numero N de espiras, induz corrente no galvanometro.
I Quanto mais rapido fazemos os experimentos acima, maior e a inducao de
corrente no galvanometro.
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Experiencias de Inducao
I Um ıma em repouso nao induz corrente nogalvanometro.
I Um ıma em movimento induz corrente nogalvanometro.
I Uma segunda bobina que transporta correnteem movimento induz corrente nogalvanometro.
I Variando a corrente na segunda bobina induzcorrente no galvanometro.
I Se ~B = 0 ou ~B = Constante, nao induzcorrente no galvanometro.
I Se d~B 6= 0, induz corrente no galvanometro.
I Se mudamos a area da bobina, ∆A 6= 0,
induz corrente no galvanometro.
I Se giramos a bobina, induz corrente no galvanometro.
I Se mudamos o numero N de espiras, induz corrente no galvanometro.
I Quanto mais rapido fazemos os experimentos acima, maior e a inducao de
corrente no galvanometro.
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Experiencias de Inducao
I Um ıma em repouso nao induz corrente nogalvanometro.
I Um ıma em movimento induz corrente nogalvanometro.
I Uma segunda bobina que transporta correnteem movimento induz corrente nogalvanometro.
I Variando a corrente na segunda bobina induzcorrente no galvanometro.
I Se ~B = 0 ou ~B = Constante, nao induzcorrente no galvanometro.
I Se d~B 6= 0, induz corrente no galvanometro.
I Se mudamos a area da bobina, ∆A 6= 0,
induz corrente no galvanometro.
I Se giramos a bobina, induz corrente no galvanometro.
I Se mudamos o numero N de espiras, induz corrente no galvanometro.
I Quanto mais rapido fazemos os experimentos acima, maior e a inducao de
corrente no galvanometro.
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Experiencias de Inducao
I Um ıma em repouso nao induz corrente nogalvanometro.
I Um ıma em movimento induz corrente nogalvanometro.
I Uma segunda bobina que transporta correnteem movimento induz corrente nogalvanometro.
I Variando a corrente na segunda bobina induzcorrente no galvanometro.
I Se ~B = 0 ou ~B = Constante, nao induzcorrente no galvanometro.
I Se d~B 6= 0, induz corrente no galvanometro.
I Se mudamos a area da bobina, ∆A 6= 0,
induz corrente no galvanometro.
I Se giramos a bobina, induz corrente no galvanometro.
I Se mudamos o numero N de espiras, induz corrente no galvanometro.
I Quanto mais rapido fazemos os experimentos acima, maior e a inducao de
corrente no galvanometro.
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Experiencias de Inducao
I Um ıma em repouso nao induz corrente nogalvanometro.
I Um ıma em movimento induz corrente nogalvanometro.
I Uma segunda bobina que transporta correnteem movimento induz corrente nogalvanometro.
I Variando a corrente na segunda bobina induzcorrente no galvanometro.
I Se ~B = 0 ou ~B = Constante, nao induzcorrente no galvanometro.
I Se d~B 6= 0, induz corrente no galvanometro.
I Se mudamos a area da bobina, ∆A 6= 0,
induz corrente no galvanometro.
I Se giramos a bobina, induz corrente no galvanometro.
I Se mudamos o numero N de espiras, induz corrente no galvanometro.
I Quanto mais rapido fazemos os experimentos acima, maior e a inducao de
corrente no galvanometro.
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Experiencias de Inducao
I Um ıma em repouso nao induz corrente nogalvanometro.
I Um ıma em movimento induz corrente nogalvanometro.
I Uma segunda bobina que transporta correnteem movimento induz corrente nogalvanometro.
I Variando a corrente na segunda bobina induzcorrente no galvanometro.
I Se ~B = 0 ou ~B = Constante, nao induzcorrente no galvanometro.
I Se d~B 6= 0, induz corrente no galvanometro.
I Se mudamos a area da bobina, ∆A 6= 0,
induz corrente no galvanometro.
I Se giramos a bobina, induz corrente no galvanometro.
I Se mudamos o numero N de espiras, induz corrente no galvanometro.
I Quanto mais rapido fazemos os experimentos acima, maior e a inducao de
corrente no galvanometro.
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Lei de Faraday
I O fenomeno comum em todos os efeitos deinducao e a variacao do fluxo magneticoatraves de um circuito.
I Para um elemento de area infinitesimal d~Aem um campo magnetico ~B, o elemento defluxo magnetico e dado por:
I dΦB = ~B · d~A = B⊥dA = BdA cosφ
I O fluxo total em uma determinada area edada por, ΦB =
∫~B · d~A =
∫BdA cosφ.
I A fem induzida em uma espira fechada e
dada pela taxa de variacao do fluxo
magnetico, com o sinal negativo, atraves da
area delimitada pela espira.
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Lei de Faraday
I O fenomeno comum em todos os efeitos deinducao e a variacao do fluxo magneticoatraves de um circuito.
I Para um elemento de area infinitesimal d~Aem um campo magnetico ~B, o elemento defluxo magnetico e dado por:
I dΦB = ~B · d~A = B⊥dA = BdA cosφ
I O fluxo total em uma determinada area edada por, ΦB =
∫~B · d~A =
∫BdA cosφ.
I A fem induzida em uma espira fechada e
dada pela taxa de variacao do fluxo
magnetico, com o sinal negativo, atraves da
area delimitada pela espira.
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Lei de Faraday
I O fenomeno comum em todos os efeitos deinducao e a variacao do fluxo magneticoatraves de um circuito.
I Para um elemento de area infinitesimal d~Aem um campo magnetico ~B, o elemento defluxo magnetico e dado por:
I dΦB = ~B · d~A = B⊥dA = BdA cosφ
I O fluxo total em uma determinada area edada por, ΦB =
∫~B · d~A =
∫BdA cosφ.
I A fem induzida em uma espira fechada e
dada pela taxa de variacao do fluxo
magnetico, com o sinal negativo, atraves da
area delimitada pela espira.
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Lei de Faraday
I O fenomeno comum em todos os efeitos deinducao e a variacao do fluxo magneticoatraves de um circuito.
I Para um elemento de area infinitesimal d~Aem um campo magnetico ~B, o elemento defluxo magnetico e dado por:
I dΦB = ~B · d~A = B⊥dA = BdA cosφ
I O fluxo total em uma determinada area edada por, ΦB =
∫~B · d~A =
∫BdA cosφ.
I A fem induzida em uma espira fechada e
dada pela taxa de variacao do fluxo
magnetico, com o sinal negativo, atraves da
area delimitada pela espira.
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Lei de Faraday
I O fenomeno comum em todos os efeitos deinducao e a variacao do fluxo magneticoatraves de um circuito.
I Para um elemento de area infinitesimal d~Aem um campo magnetico ~B, o elemento defluxo magnetico e dado por:
I dΦB = ~B · d~A = B⊥dA = BdA cosφ
I O fluxo total em uma determinada area edada por, ΦB =
∫~B · d~A =
∫BdA cosφ.
I A fem induzida em uma espira fechada e
dada pela taxa de variacao do fluxo
magnetico, com o sinal negativo, atraves da
area delimitada pela espira.
ε = −NdΦB
dt
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Lei de Faraday
I O fenomeno comum em todos os efeitos deinducao e a variacao do fluxo magneticoatraves de um circuito.
I Para um elemento de area infinitesimal d~Aem um campo magnetico ~B, o elemento defluxo magnetico e dado por:
I dΦB = ~B · d~A = B⊥dA = BdA cosφ
I O fluxo total em uma determinada area edada por, ΦB =
∫~B · d~A =
∫BdA cosφ.
I A fem induzida em uma espira fechada e
dada pela taxa de variacao do fluxo
magnetico, com o sinal negativo, atraves da
area delimitada pela espira.
ε = −NdΦB
dt
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Lei de Faraday
I O fenomeno comum em todos os efeitos deinducao e a variacao do fluxo magneticoatraves de um circuito.
I Para um elemento de area infinitesimal d~Aem um campo magnetico ~B, o elemento defluxo magnetico e dado por:
I dΦB = ~B · d~A = B⊥dA = BdA cosφ
I O fluxo total em uma determinada area edada por, ΦB =
∫~B · d~A =
∫BdA cosφ.
I A fem induzida em uma espira fechada e
dada pela taxa de variacao do fluxo
magnetico, com o sinal negativo, atraves da
area delimitada pela espira.
ε = −NdΦB
dt
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Lei de Faraday
I O fenomeno comum em todos os efeitos deinducao e a variacao do fluxo magneticoatraves de um circuito.
I Para um elemento de area infinitesimal d~Aem um campo magnetico ~B, o elemento defluxo magnetico e dado por:
I dΦB = ~B · d~A = B⊥dA = BdA cosφ
I O fluxo total em uma determinada area edada por, ΦB =
∫~B · d~A =
∫BdA cosφ.
I A fem induzida em uma espira fechada e
dada pela taxa de variacao do fluxo
magnetico, com o sinal negativo, atraves da
area delimitada pela espira.
ε = −NdΦB
dt
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Lei de Lenz
Lei de Lenz
O Sentido de qualquer efeito de inducaomagnetica e tal que ele se opoe a causa queproduz o efeito.
I Quando o fluxo magnetico varia em umcircuito em repouso, a propria correnteinduzida produz um campo magnetico.
I No interior da area limitada pelo circuito,esse campo e oposto ao campo originalquando ele estiver crescendo.
I No interior da area limitada pelo circuito,esse campo possui o mesmo sentido docampo original quando ele estiver diminuindo.
I A corrente induzida se opoe a variacao do
fluxo magnetico atraves do circuito (e nao ao
proprio fluxo).
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Lei de Lenz
Lei de Lenz
O Sentido de qualquer efeito de inducaomagnetica e tal que ele se opoe a causa queproduz o efeito.
I Quando o fluxo magnetico varia em umcircuito em repouso, a propria correnteinduzida produz um campo magnetico.
I No interior da area limitada pelo circuito,esse campo e oposto ao campo originalquando ele estiver crescendo.
I No interior da area limitada pelo circuito,esse campo possui o mesmo sentido docampo original quando ele estiver diminuindo.
I A corrente induzida se opoe a variacao do
fluxo magnetico atraves do circuito (e nao ao
proprio fluxo).
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Lei de Lenz
Lei de Lenz
O Sentido de qualquer efeito de inducaomagnetica e tal que ele se opoe a causa queproduz o efeito.
I Quando o fluxo magnetico varia em umcircuito em repouso, a propria correnteinduzida produz um campo magnetico.
I No interior da area limitada pelo circuito,esse campo e oposto ao campo originalquando ele estiver crescendo.
I No interior da area limitada pelo circuito,esse campo possui o mesmo sentido docampo original quando ele estiver diminuindo.
I A corrente induzida se opoe a variacao do
fluxo magnetico atraves do circuito (e nao ao
proprio fluxo).
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Lei de Lenz
Lei de Lenz
O Sentido de qualquer efeito de inducaomagnetica e tal que ele se opoe a causa queproduz o efeito.
I Quando o fluxo magnetico varia em umcircuito em repouso, a propria correnteinduzida produz um campo magnetico.
I No interior da area limitada pelo circuito,esse campo e oposto ao campo originalquando ele estiver crescendo.
I No interior da area limitada pelo circuito,esse campo possui o mesmo sentido docampo original quando ele estiver diminuindo.
I A corrente induzida se opoe a variacao do
fluxo magnetico atraves do circuito (e nao ao
proprio fluxo).
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Lei de Lenz
Lei de Lenz
O Sentido de qualquer efeito de inducaomagnetica e tal que ele se opoe a causa queproduz o efeito.
I Quando o fluxo magnetico varia em umcircuito em repouso, a propria correnteinduzida produz um campo magnetico.
I No interior da area limitada pelo circuito,esse campo e oposto ao campo originalquando ele estiver crescendo.
I No interior da area limitada pelo circuito,esse campo possui o mesmo sentido docampo original quando ele estiver diminuindo.
I A corrente induzida se opoe a variacao do
fluxo magnetico atraves do circuito (e nao ao
proprio fluxo).
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Lei de Lenz
Gerador 1: Um alternador Simples
I Uma versao simples de um alternador e umabobina quadrada que gira com velocidadeangular ω.
I No instante t = 0 , φ = 0 e ~B e uniforme econstante.
I Calcule a fem induzida.
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Lei de Lenz
Gerador 1: Um alternador Simples
I Uma versao simples de um alternador e umabobina quadrada que gira com velocidadeangular ω.
I No instante t = 0 , φ = 0 e ~B e uniforme econstante.
I Calcule a fem induzida.
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Lei de Lenz
Gerador 1: Um alternador Simples
I Uma versao simples de um alternador e umabobina quadrada que gira com velocidadeangular ω.
I No instante t = 0 , φ = 0 e ~B e uniforme econstante.
I Calcule a fem induzida.
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Lei de Lenz
Gerador 1: Um alternador Simples
I Uma versao simples de um alternador e umabobina quadrada que gira com velocidadeangular ω.
I No instante t = 0 , φ = 0 e ~B e uniforme econstante.
I Calcule a fem induzida.
ΦB = BA cos(φ) = BA cos(ωt)
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Lei de Lenz
Gerador 1: Um alternador Simples
I Uma versao simples de um alternador e umabobina quadrada que gira com velocidadeangular ω.
I No instante t = 0 , φ = 0 e ~B e uniforme econstante.
I Calcule a fem induzida.
ΦB = BA cos(φ) = BA cos(ωt)
dΦB
dt= −BAω sin(ωt)
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Lei de Lenz
Gerador 1: Um alternador Simples
I Uma versao simples de um alternador e umabobina quadrada que gira com velocidadeangular ω.
I No instante t = 0 , φ = 0 e ~B e uniforme econstante.
I Calcule a fem induzida.
ΦB = BA cos(φ) = BA cos(ωt)
dΦB
dt= −BAω sin(ωt)
ε = −NdΦB
dt
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Lei de Lenz
Gerador 1: Um alternador Simples
I Uma versao simples de um alternador e umabobina quadrada que gira com velocidadeangular ω.
I No instante t = 0 , φ = 0 e ~B e uniforme econstante.
I Calcule a fem induzida.
ΦB = BA cos(φ) = BA cos(ωt)
dΦB
dt= −BAω sin(ωt)
ε = −NdΦB
dtε = NBAω sin(ωt)
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Lei de Lenz
Gerador 2: Um gerador CC e fem de um motor
I Usando um esquema semelhante aoalternador construiremos um gerador decorrente continua(CC) com fem sempre como mesmo sinal.
I Da figura, a fem induzida sera,
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Lei de Lenz
Gerador 2: Um gerador CC e fem de um motor
I Usando um esquema semelhante aoalternador construiremos um gerador decorrente continua(CC) com fem sempre como mesmo sinal.
I Da figura, a fem induzida sera,
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Lei de Lenz
Gerador 2: Um gerador CC e fem de um motor
I Usando um esquema semelhante aoalternador construiremos um gerador decorrente continua(CC) com fem sempre como mesmo sinal.
I Da figura, a fem induzida sera,
|ε| = NBAω| sin(ωt)|
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Lei de Lenz
Gerador 2: Um gerador CC e fem de um motor
I Usando um esquema semelhante aoalternador construiremos um gerador decorrente continua(CC) com fem sempre como mesmo sinal.
I Da figura, a fem induzida sera,
|ε| = NBAω| sin(ωt)|
I A fem induzida media e encontradasubstituindo | sin(ωt)| por seu valor medio.
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Lei de Lenz
Gerador 2: Um gerador CC e fem de um motor
I Usando um esquema semelhante aoalternador construiremos um gerador decorrente continua(CC) com fem sempre como mesmo sinal.
I Da figura, a fem induzida sera,
|ε| = NBAω| sin(ωt)|
I A fem induzida media e encontradasubstituindo | sin(ωt)| por seu valor medio.
(| sin(ωt)|)med =1
T/2
∫ T/2
0sin(ωt)dt
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Lei de Lenz
Gerador 2: Um gerador CC e fem de um motor
I Usando um esquema semelhante aoalternador construiremos um gerador decorrente continua(CC) com fem sempre como mesmo sinal.
I Da figura, a fem induzida sera,
|ε| = NBAω| sin(ωt)|
I A fem induzida media e encontradasubstituindo | sin(ωt)| por seu valor medio.
(| sin(ωt)|)med =1
T/2
∫ T/2
0sin(ωt)dt
(| sin(ωt)|)med =1
π/ω
∫ π/ω
0sin(ωt)dt =
2
π
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Lei de Lenz
Gerador 2: Um gerador CC e fem de um motor
I Usando um esquema semelhante aoalternador construiremos um gerador decorrente continua(CC) com fem sempre como mesmo sinal.
I Da figura, a fem induzida sera,
|ε| = NBAω| sin(ωt)|
I A fem induzida media e encontradasubstituindo | sin(ωt)| por seu valor medio.
(| sin(ωt)|)med =1
T/2
∫ T/2
0sin(ωt)dt
(| sin(ωt)|)med =1
π/ω
∫ π/ω
0sin(ωt)dt =
2
π
εmed =2NBAω
πou ω =
πεmed
2NBA
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Lei de Lenz
Gerador 3: Um gerador com haste deslizante
I Uma condutor em forma de U esta imerso em~B que e uniforme e constante.
I Uma haste de tamanho L e puxada com ~v .
I Calcule a fem induzida.
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Lei de Lenz
Gerador 3: Um gerador com haste deslizante
I Uma condutor em forma de U esta imerso em~B que e uniforme e constante.
I Uma haste de tamanho L e puxada com ~v .
I Calcule a fem induzida.
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Lei de Lenz
Gerador 3: Um gerador com haste deslizante
I Uma condutor em forma de U esta imerso em~B que e uniforme e constante.
I Uma haste de tamanho L e puxada com ~v .
I Calcule a fem induzida.
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Lei de Lenz
Gerador 3: Um gerador com haste deslizante
I Uma condutor em forma de U esta imerso em~B que e uniforme e constante.
I Uma haste de tamanho L e puxada com ~v .
I Calcule a fem induzida.
dΦB = BdA = BLvdt
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Lei de Lenz
Gerador 3: Um gerador com haste deslizante
I Uma condutor em forma de U esta imerso em~B que e uniforme e constante.
I Uma haste de tamanho L e puxada com ~v .
I Calcule a fem induzida.
dΦB = BdA = BLvdt
dΦB
dt= BLv
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Lei de Lenz
Gerador 3: Um gerador com haste deslizante
I Uma condutor em forma de U esta imerso em~B que e uniforme e constante.
I Uma haste de tamanho L e puxada com ~v .
I Calcule a fem induzida.
dΦB = BdA = BLvdt
dΦB
dt= BLv
ε = −NdΦB
dt= −BLv
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Lei de Lenz
Gerador 3: Um gerador com haste deslizante
I Uma condutor em forma de U esta imerso em~B que e uniforme e constante.
I Uma haste de tamanho L e puxada com ~v .
I Calcule a fem induzida.
dΦB = BdA = BLvdt
dΦB
dt= BLv
ε = −NdΦB
dt= −BLv
I =|ε|R
=BLv
R
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Lei de Lenz
Gerador 3: Um gerador com haste deslizante
I Uma condutor em forma de U esta imerso em~B que e uniforme e constante.
I Uma haste de tamanho L e puxada com ~v .
I Calcule a fem induzida.
dΦB = BdA = BLvdt
dΦB
dt= BLv
ε = −NdΦB
dt= −BLv
I =|ε|R
=BLv
R
Potdiss = I2R =B2L2v2
R
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Lei de Lenz
Gerador 3: Um gerador com haste deslizante
I Uma condutor em forma de U esta imerso em~B que e uniforme e constante.
I Uma haste de tamanho L e puxada com ~v .
I Calcule a fem induzida.
dΦB = BdA = BLvdt
dΦB
dt= BLv
ε = −NdΦB
dt= −BLv
I =|ε|R
=BLv
R
Potdiss = I2R =B2L2v2
R~F = I~L× ~B ⇒ F = ILB
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Lei de Lenz
Gerador 3: Um gerador com haste deslizante
I Uma condutor em forma de U esta imerso em~B que e uniforme e constante.
I Uma haste de tamanho L e puxada com ~v .
I Calcule a fem induzida.
dΦB = BdA = BLvdt
dΦB
dt= BLv
ε = −NdΦB
dt= −BLv
I =|ε|R
=BLv
R
Potdiss = I2R =B2L2v2
R~F = I~L× ~B ⇒ F = ILB
Potdiss = Fv = ILBv =BLv
RLBv =
B2L2v2
R
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Forca Eletromotriz Produzida pelo Movimento
I Quando uma haste se move em um campomagnetico as cargas sofrem uma forcamagnetica dada por,~FM = q~v × ~B ⇒ FM = qvB.
I Esta forca criara uma separacao de cargascriado assim uma forca eletrica dada por:~FE = q~E ⇒ FE = qE
I No equilıbrio FM = FE , assim E = vB
I Para uma haste de tamanho L e puxada com~v , aparece uma diferenca de potencial Vab
nas extremidades da haste dada por:Vab = EL = vLB.
I Quando esta haste for colocada em contato
com o metal em forma de U teremos
Vab = ε = vLB = IR.
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Forca Eletromotriz Produzida pelo Movimento
I Quando uma haste se move em um campomagnetico as cargas sofrem uma forcamagnetica dada por,~FM = q~v × ~B ⇒ FM = qvB.
I Esta forca criara uma separacao de cargascriado assim uma forca eletrica dada por:~FE = q~E ⇒ FE = qE
I No equilıbrio FM = FE , assim E = vB
I Para uma haste de tamanho L e puxada com~v , aparece uma diferenca de potencial Vab
nas extremidades da haste dada por:Vab = EL = vLB.
I Quando esta haste for colocada em contato
com o metal em forma de U teremos
Vab = ε = vLB = IR.
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Forca Eletromotriz Produzida pelo Movimento
I Quando uma haste se move em um campomagnetico as cargas sofrem uma forcamagnetica dada por,~FM = q~v × ~B ⇒ FM = qvB.
I Esta forca criara uma separacao de cargascriado assim uma forca eletrica dada por:~FE = q~E ⇒ FE = qE
I No equilıbrio FM = FE , assim E = vB
I Para uma haste de tamanho L e puxada com~v , aparece uma diferenca de potencial Vab
nas extremidades da haste dada por:Vab = EL = vLB.
I Quando esta haste for colocada em contato
com o metal em forma de U teremos
Vab = ε = vLB = IR.
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Forca Eletromotriz Produzida pelo Movimento
I Quando uma haste se move em um campomagnetico as cargas sofrem uma forcamagnetica dada por,~FM = q~v × ~B ⇒ FM = qvB.
I Esta forca criara uma separacao de cargascriado assim uma forca eletrica dada por:~FE = q~E ⇒ FE = qE
I No equilıbrio FM = FE , assim E = vB
I Para uma haste de tamanho L e puxada com~v , aparece uma diferenca de potencial Vab
nas extremidades da haste dada por:Vab = EL = vLB.
I Quando esta haste for colocada em contato
com o metal em forma de U teremos
Vab = ε = vLB = IR.
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Forca Eletromotriz Produzida pelo Movimento
I Quando uma haste se move em um campomagnetico as cargas sofrem uma forcamagnetica dada por,~FM = q~v × ~B ⇒ FM = qvB.
I Esta forca criara uma separacao de cargascriado assim uma forca eletrica dada por:~FE = q~E ⇒ FE = qE
I No equilıbrio FM = FE , assim E = vB
I Para uma haste de tamanho L e puxada com~v , aparece uma diferenca de potencial Vab
nas extremidades da haste dada por:Vab = EL = vLB.
I Quando esta haste for colocada em contato
com o metal em forma de U teremos
Vab = ε = vLB = IR.
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Forca Eletromotriz Produzida pelo Movimento
Fem do movimento: Forma Generalizada
~F = q~v × ~B
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Forca Eletromotriz Produzida pelo Movimento
Fem do movimento: Forma Generalizada
~F = q~v × ~BdW = ~F · d~l
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Forca Eletromotriz Produzida pelo Movimento
Fem do movimento: Forma Generalizada
~F = q~v × ~BdW = ~F · d~ldW = qdε
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Forca Eletromotriz Produzida pelo Movimento
Fem do movimento: Forma Generalizada
~F = q~v × ~BdW = ~F · d~ldW = qdε
qdε = (q~v × ~B) · d~l
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Forca Eletromotriz Produzida pelo Movimento
Fem do movimento: Forma Generalizada
~F = q~v × ~BdW = ~F · d~ldW = qdε
qdε = (q~v × ~B) · d~l
dε = (~v × ~B) · d~l
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Forca Eletromotriz Produzida pelo Movimento
Fem do movimento: Forma Generalizada
~F = q~v × ~BdW = ~F · d~ldW = qdε
qdε = (q~v × ~B) · d~l
dε = (~v × ~B) · d~l
ε =
∮(~v × ~B) · d~l
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Forca Eletromotriz Produzida pelo Movimento
Fem do movimento: Forma Generalizada
~F = q~v × ~BdW = ~F · d~ldW = qdε
qdε = (q~v × ~B) · d~l
dε = (~v × ~B) · d~l
ε =
∮(~v × ~B) · d~l
Considere um disco que gira com velocidadeangular ω contante. Calcule a fem.
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Forca Eletromotriz Produzida pelo Movimento
Fem do movimento: Forma Generalizada
~F = q~v × ~BdW = ~F · d~ldW = qdε
qdε = (q~v × ~B) · d~l
dε = (~v × ~B) · d~l
ε =
∮(~v × ~B) · d~l
Considere um disco que gira com velocidadeangular ω contante. Calcule a fem.
dε = (~v × ~B) · d~l = vBr · d~l = ωrBdr
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Forca Eletromotriz Produzida pelo Movimento
Fem do movimento: Forma Generalizada
~F = q~v × ~BdW = ~F · d~ldW = qdε
qdε = (q~v × ~B) · d~l
dε = (~v × ~B) · d~l
ε =
∮(~v × ~B) · d~l
Considere um disco que gira com velocidadeangular ω contante. Calcule a fem.
dε = (~v × ~B) · d~l = vBr · d~l = ωrBdr
ε =
∫ R
0ωBrdr =
1
2ωBR2
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Campos Eletricos Induzidos
O campo ~B gerado por um solenoide com nespiras por unidade de comprimentotransportando uma corrente I e dado por,
B = µ0nI
I Qual a forca que atua sobre as cargasobrigando-as a se mover ao longo docircuito?
I Somos forcados a concluir que se trata deum campo eletrico induzido no condutorproduzido pela variacao do fluxo magnetico.
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Campos Eletricos Induzidos
O campo ~B gerado por um solenoide com nespiras por unidade de comprimentotransportando uma corrente I e dado por,
B = µ0nI
O fluxo magnetico na espira com area ~A tomadana mesma direcao e sentido de ~B sera,
ΦB = ~B · ~A = BA = µ0nIA
I Qual a forca que atua sobre as cargasobrigando-as a se mover ao longo docircuito?
I Somos forcados a concluir que se trata deum campo eletrico induzido no condutorproduzido pela variacao do fluxo magnetico.
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Campos Eletricos Induzidos
O fluxo magnetico na espira com area ~A tomadana mesma direcao e sentido de ~B sera,
ΦB = ~B · ~A = BA = µ0nIA
Quando a corrente variar no tempo a feminduzida sera,
ε = −dΦB
dt= −µ0nA
dI
dt
I Qual a forca que atua sobre as cargasobrigando-as a se mover ao longo docircuito?
I Somos forcados a concluir que se trata deum campo eletrico induzido no condutorproduzido pela variacao do fluxo magnetico.
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Campos Eletricos Induzidos
O fluxo magnetico na espira com area ~A tomadana mesma direcao e sentido de ~B sera,
ΦB = ~B · ~A = BA = µ0nIA
Quando a corrente variar no tempo a feminduzida sera,
ε = −dΦB
dt= −µ0nA
dI
dt
Dado a resistencia R, da bobina entao a correnteinduzida I
′, sera:
I′
=ε
R= −
µ0nA
R
dI
dt
I Qual a forca que atua sobre as cargasobrigando-as a se mover ao longo docircuito?
I Somos forcados a concluir que se trata deum campo eletrico induzido no condutorproduzido pela variacao do fluxo magnetico.
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Campos Eletricos Induzidos
O fluxo magnetico na espira com area ~A tomadana mesma direcao e sentido de ~B sera,
ΦB = ~B · ~A = BA = µ0nIA
Quando a corrente variar no tempo a feminduzida sera,
ε = −dΦB
dt= −µ0nA
dI
dt
Dado a resistencia R, da bobina entao a correnteinduzida I
′, sera:
I′
=ε
R= −
µ0nA
R
dI
dt
I Qual a forca que atua sobre as cargasobrigando-as a se mover ao longo docircuito?
I Somos forcados a concluir que se trata deum campo eletrico induzido no condutorproduzido pela variacao do fluxo magnetico.
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Campos Eletricos Induzidos
O fluxo magnetico na espira com area ~A tomadana mesma direcao e sentido de ~B sera,
ΦB = ~B · ~A = BA = µ0nIA
Quando a corrente variar no tempo a feminduzida sera,
ε = −dΦB
dt= −µ0nA
dI
dt
Dado a resistencia R, da bobina entao a correnteinduzida I
′, sera:
I′
=ε
R= −
µ0nA
R
dI
dt
I Qual a forca que atua sobre as cargasobrigando-as a se mover ao longo docircuito?
I Somos forcados a concluir que se trata deum campo eletrico induzido no condutorproduzido pela variacao do fluxo magnetico.
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Campos Eletricos Induzidos
I Quando uma carga q completa uma volta oW = q
∮~E · d~l = qε.
I Logo o campo eletrico induzido nao econservativo, porque a integral de linha docampo eletrico em um circuito fechada naoe igual a zero.
I No entanto e igual a,
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Campos Eletricos Induzidos
I Quando uma carga q completa uma volta oW = q
∮~E · d~l = qε.
I Logo o campo eletrico induzido nao econservativo, porque a integral de linha docampo eletrico em um circuito fechada naoe igual a zero.
I No entanto e igual a,
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Campos Eletricos Induzidos
I Quando uma carga q completa uma volta oW = q
∮~E · d~l = qε.
I Logo o campo eletrico induzido nao econservativo, porque a integral de linha docampo eletrico em um circuito fechada naoe igual a zero.
I No entanto e igual a,
ε =
∮~E · d~l
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Campos Eletricos Induzidos
I Quando uma carga q completa uma volta oW = q
∮~E · d~l = qε.
I Logo o campo eletrico induzido nao econservativo, porque a integral de linha docampo eletrico em um circuito fechada naoe igual a zero.
I No entanto e igual a,
ε =
∮~E · d~l
ε = −dΦB
dt
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Campos Eletricos Induzidos
I Quando uma carga q completa uma volta oW = q
∮~E · d~l = qε.
I Logo o campo eletrico induzido nao econservativo, porque a integral de linha docampo eletrico em um circuito fechada naoe igual a zero.
I No entanto e igual a,
ε =
∮~E · d~l
ε = −dΦB
dt∮~E · d~l = −
dΦB
dt
Valida somente quando o percurso utilizado naintegracao permanece constante.
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Campos Eletricos Induzidos
ε =
∮~E · d~l
ε = −dΦB
dt∮~E · d~l = −
dΦB
dt
Valida somente quando o percurso utilizado naintegracao permanece constante.• Do teorema de Stokes temos que,∮
~E · d~l =
∫S
(∇× ~E) · d~A
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Campos Eletricos Induzidos
ε =
∮~E · d~l
ε = −dΦB
dt∮~E · d~l = −
dΦB
dt
Valida somente quando o percurso utilizado naintegracao permanece constante.• Do teorema de Stokes temos que,∮
~E · d~l =
∫S
(∇× ~E) · d~A
−dΦB
dt=
∫S
(−∂~B
∂t) · d~A
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Campos Eletricos Induzidos
ε =
∮~E · d~l
ε = −dΦB
dt∮~E · d~l = −
dΦB
dt
Valida somente quando o percurso utilizado naintegracao permanece constante.• Do teorema de Stokes temos que,∮
~E · d~l =
∫S
(∇× ~E) · d~A
−dΦB
dt=
∫S
(−∂~B
∂t) · d~A
∇× ~E = −∂~B
∂t
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Correntes de Foucault
I O setor Ob se desloca atraves do campomagnetico e possui uma fem induzidaatraves dele.
I Os setores Oa e Oc nao estao no campomagnetico.
I No entanto, permitem um caminho de
retorno para as cargas que se deslocaram
para b retornar para O.
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Correntes de Foucault
I O setor Ob se desloca atraves do campomagnetico e possui uma fem induzidaatraves dele.
I Os setores Oa e Oc nao estao no campomagnetico.
I No entanto, permitem um caminho de
retorno para as cargas que se deslocaram
para b retornar para O.
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Correntes de Foucault
I O setor Ob se desloca atraves do campomagnetico e possui uma fem induzidaatraves dele.
I Os setores Oa e Oc nao estao no campomagnetico.
I No entanto, permitem um caminho de
retorno para as cargas que se deslocaram
para b retornar para O.
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Correntes de Foucault
I O setor Ob se desloca atraves do campomagnetico e possui uma fem induzidaatraves dele.
I Os setores Oa e Oc nao estao no campomagnetico.
I No entanto, permitem um caminho de
retorno para as cargas que se deslocaram
para b retornar para O.
Exemplo de aplicacao:
I Detectores de metais.
I Freios magneticos.
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Correntes de Foucault
I O setor Ob se desloca atraves do campomagnetico e possui uma fem induzidaatraves dele.
I Os setores Oa e Oc nao estao no campomagnetico.
I No entanto, permitem um caminho de
retorno para as cargas que se deslocaram
para b retornar para O.
Exemplo de aplicacao:
I Detectores de metais.
I Freios magneticos.
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Correntes de Foucault
I O setor Ob se desloca atraves do campomagnetico e possui uma fem induzidaatraves dele.
I Os setores Oa e Oc nao estao no campomagnetico.
I No entanto, permitem um caminho de
retorno para as cargas que se deslocaram
para b retornar para O.
Exemplo de aplicacao:
I Detectores de metais.
I Freios magneticos.
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Corrente de deslocamento e equacoes de Maxwell
Generalizacao da Lei de Ampere
I A lei de Ampere: equacao esta incompleta!∮~B · d~l = µ0Iliq
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Corrente de deslocamento e equacoes de Maxwell
Generalizacao da Lei de Ampere
I A lei de Ampere: equacao esta incompleta!∮~B · d~l = µ0Iliq
I Considere o processo de carga de umcapacitor.
I Fios conduzem uma corrente de conducao icde uma placa para outra. A carga Qaumenta e o campo eletrico ~E entre asplacas aumenta.
I Da superfıcie plana vemos que:
I Da superfıcie projetada vemos que:
I Algo esta errado, pois o caminho fechado eo mesmo!
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Corrente de deslocamento e equacoes de Maxwell
Generalizacao da Lei de Ampere
I A lei de Ampere: equacao esta incompleta!∮~B · d~l = µ0Iliq
I Considere o processo de carga de umcapacitor.
I Fios conduzem uma corrente de conducao icde uma placa para outra. A carga Qaumenta e o campo eletrico ~E entre asplacas aumenta.
I Da superfıcie plana vemos que:
I Da superfıcie projetada vemos que:
I Algo esta errado, pois o caminho fechado eo mesmo!
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Corrente de deslocamento e equacoes de Maxwell
Generalizacao da Lei de Ampere
I A lei de Ampere: equacao esta incompleta!∮~B · d~l = µ0Iliq
I Considere o processo de carga de umcapacitor.
I Fios conduzem uma corrente de conducao icde uma placa para outra. A carga Qaumenta e o campo eletrico ~E entre asplacas aumenta.
I Da superfıcie plana vemos que:
I Da superfıcie projetada vemos que:
I Algo esta errado, pois o caminho fechado eo mesmo!
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Corrente de deslocamento e equacoes de Maxwell
Generalizacao da Lei de Ampere
I A lei de Ampere: equacao esta incompleta!∮~B · d~l = µ0Iliq
I Considere o processo de carga de umcapacitor.
I Fios conduzem uma corrente de conducao icde uma placa para outra. A carga Qaumenta e o campo eletrico ~E entre asplacas aumenta.
I Da superfıcie plana vemos que:
I Da superfıcie projetada vemos que:
I Algo esta errado, pois o caminho fechado eo mesmo!
∮~B · d~l = µ0ic
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Corrente de deslocamento e equacoes de Maxwell
Generalizacao da Lei de Ampere
I A lei de Ampere: equacao esta incompleta!∮~B · d~l = µ0Iliq
I Considere o processo de carga de umcapacitor.
I Fios conduzem uma corrente de conducao icde uma placa para outra. A carga Qaumenta e o campo eletrico ~E entre asplacas aumenta.
I Da superfıcie plana vemos que:
I Da superfıcie projetada vemos que:
I Algo esta errado, pois o caminho fechado eo mesmo!
∮~B · d~l = µ0ic∮~B · d~l = 0
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Corrente de deslocamento e equacoes de Maxwell
Generalizacao da Lei de Ampere
I A lei de Ampere: equacao esta incompleta!
I Considere o processo de carga de umcapacitor.
I Fios conduzem uma corrente de conducao icde uma placa para outra. A carga Qaumenta e o campo eletrico ~E entre asplacas aumenta.
I Da superfıcie plana vemos que:
I Da superfıcie projetada vemos que:
I Algo esta errado, pois o caminho fechado e
o mesmo!∮~B · d~l = µ0ic∮~B · d~l = 0
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Corrente de deslocamento e equacoes de Maxwell
I Na superfıcie projetada, a medida que o
capacitor carrega o fluxo eletrico ΦE que
atravessa essa superfıcie aumenta.
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Corrente de deslocamento e equacoes de Maxwell
I Na superfıcie projetada, a medida que o
capacitor carrega o fluxo eletrico ΦE que
atravessa essa superfıcie aumenta.
q(t) = Cv(t)
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Corrente de deslocamento e equacoes de Maxwell
I Na superfıcie projetada, a medida que o
capacitor carrega o fluxo eletrico ΦE que
atravessa essa superfıcie aumenta.
q(t) = Cv(t)
C =ε0A
d
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Corrente de deslocamento e equacoes de Maxwell
I Na superfıcie projetada, a medida que o
capacitor carrega o fluxo eletrico ΦE que
atravessa essa superfıcie aumenta.
q(t) = Cv(t)
C =ε0A
dv(t) = E(t)d
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Corrente de deslocamento e equacoes de Maxwell
I Na superfıcie projetada, a medida que o
capacitor carrega o fluxo eletrico ΦE que
atravessa essa superfıcie aumenta.
q(t) = Cv(t)
C =ε0A
dv(t) = E(t)d
q(t) =ε0A
ddE(t) = ε0AE(t)
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Corrente de deslocamento e equacoes de Maxwell
I Na superfıcie projetada, a medida que o
capacitor carrega o fluxo eletrico ΦE que
atravessa essa superfıcie aumenta.
q(t) = Cv(t)
C =ε0A
dv(t) = E(t)d
q(t) =ε0A
ddE(t) = ε0AE(t)
q(t) = ε0ΦE (t)
ic (t) =dq(t)
dt= ε0
dΦE (t)
dt
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Corrente de deslocamento e equacoes de Maxwell
I Na superfıcie projetada, a medida que o
capacitor carrega o fluxo eletrico ΦE que
atravessa essa superfıcie aumenta.
q(t) = Cv(t)
C =ε0A
dv(t) = E(t)d
q(t) =ε0A
ddE(t) = ε0AE(t)
q(t) = ε0ΦE (t)
ic (t) =dq(t)
dt= ε0
dΦE (t)
dt
I Definiremos que existe uma corrente naregiao entre as placas, chamada de correntede deslocamento iD , dada por:
iD (t) = ε0dΦE (t)
dt
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Corrente de deslocamento e equacoes de Maxwell
I Definiremos que existe uma corrente na
regiao entre as placas, chamada de corrente
de deslocamento iD , dada por:
iD (t) = ε0dΦE (t)
dt
I A lei de Ampere se tornara:∮~B · d~l = µ0(ic + iD )lig∮~B · d~l = µ0
(ic + ε0
dΦE
dt
)liq
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Corrente de deslocamento e equacoes de Maxwell
I Definiremos que existe uma corrente na
regiao entre as placas, chamada de corrente
de deslocamento iD , dada por:
iD (t) = ε0dΦE (t)
dt
I A lei de Ampere se tornara:∮~B · d~l = µ0(ic + iD )lig∮~B · d~l = µ0
(ic + ε0
dΦE
dt
)liq
I Podemos definir uma densidade de correntede deslocamento ~JD por:
iD =
∫~JD · d~A =
∫ (ε0
d~E
dt
)· d~A
~JD = ε0d~E
dt
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Corrente de deslocamento e equacoes de Maxwell
A realidade da corrente de deslocamento
I Aplicando a lei de Ampere em um circulode raio r < R dentro do capacitor termos:∮
~B · d~l = 2πrB = µ0jD A
I Esse resultado e confirmadoexperimentalmente.
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Corrente de deslocamento e equacoes de Maxwell
A realidade da corrente de deslocamento
I Aplicando a lei de Ampere em um circulode raio r < R dentro do capacitor termos:∮
~B · d~l = 2πrB = µ0jD A
2πrB = µ0ic
πR2πr2
I Esse resultado e confirmadoexperimentalmente.
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Corrente de deslocamento e equacoes de Maxwell
A realidade da corrente de deslocamento
I Aplicando a lei de Ampere em um circulode raio r < R dentro do capacitor termos:∮
~B · d~l = 2πrB = µ0jD A
2πrB = µ0ic
πR2πr2
B =µ0
2π
r
R2ic , se r < R
I Esse resultado e confirmadoexperimentalmente.
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Corrente de deslocamento e equacoes de Maxwell
A realidade da corrente de deslocamento
I Aplicando a lei de Ampere em um circulode raio r < R dentro do capacitor termos:∮
~B · d~l = 2πrB = µ0jD A
2πrB = µ0ic
πR2πr2
B =µ0
2π
r
R2ic , se r < R
B =µ0
2π
ic
R, se r ≥ R
I Esse resultado e confirmadoexperimentalmente.
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Corrente de deslocamento e equacoes de Maxwell
A realidade da corrente de deslocamento
I Aplicando a lei de Ampere em um circulode raio r < R dentro do capacitor termos:∮
~B · d~l = 2πrB = µ0jD A
2πrB = µ0ic
πR2πr2
B =µ0
2π
r
R2ic , se r < R
B =µ0
2π
ic
R, se r ≥ R
I Esse resultado e confirmadoexperimentalmente.
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Corrente de deslocamento e equacoes de Maxwell
Equacoes de Maxwell para o Eletromagnetismo
∮~f · d~A =
∫(∇ · ~f )dV ;
∮~f · d~l =
∫(∇× ~f ) · d~A
Q =
∫ρdV ; I =
∫~J · d~A ; Φf =
∫~f · d~A
∮~E · d~A =
QLig
ε0
∇ · ~E =ρ
ε0
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Corrente de deslocamento e equacoes de Maxwell
Equacoes de Maxwell para o Eletromagnetismo
∮~f · d~A =
∫(∇ · ~f )dV ;
∮~f · d~l =
∫(∇× ~f ) · d~A
Q =
∫ρdV ; I =
∫~J · d~A ; Φf =
∫~f · d~A
∮~E · d~A =
QLig
ε0∮~B · d~A = 0
∇ · ~E =ρ
ε0
∇ · ~B = 0
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Corrente de deslocamento e equacoes de Maxwell
Equacoes de Maxwell para o Eletromagnetismo
∮~f · d~A =
∫(∇ · ~f )dV ;
∮~f · d~l =
∫(∇× ~f ) · d~A
Q =
∫ρdV ; I =
∫~J · d~A ; Φf =
∫~f · d~A
∮~E · d~A =
QLig
ε0∮~B · d~A = 0∮~E · d~l = −
dΦB
dt
∇ · ~E =ρ
ε0
∇ · ~B = 0
∇× ~E = −∂~B
∂t
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Corrente de deslocamento e equacoes de Maxwell
Equacoes de Maxwell para o Eletromagnetismo
∮~f · d~A =
∫(∇ · ~f )dV ;
∮~f · d~l =
∫(∇× ~f ) · d~A
Q =
∫ρdV ; I =
∫~J · d~A ; Φf =
∫~f · d~A
∮~E · d~A =
QLig
ε0∮~B · d~A = 0∮~E · d~l = −
dΦB
dt∮~B · d~l = µ0
(Ic + ε0
dΦE
dt
)liq
∇ · ~E =ρ
ε0
∇ · ~B = 0
∇× ~E = −∂~B
∂t
∇× ~B = µ0~Jc + µ0ε0∂~E
∂t
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Corrente de deslocamento e equacoes de Maxwell
A luz como uma onda eletromagnetica
I No vacuo, nao existe carga assim, ρ = 0 e
~Jc = 0.∇ · ~E = 0
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Corrente de deslocamento e equacoes de Maxwell
A luz como uma onda eletromagnetica
I No vacuo, nao existe carga assim, ρ = 0 e
~Jc = 0.
∇× (∇× ~E) = ∇(∇ · ~E)−∇2~E = −∇2~E
∇× (∇× ~B) = ∇(∇ · ~B)−∇2~B = −∇2~B
∇ · ~E = 0
∇ · ~B = 0
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Corrente de deslocamento e equacoes de Maxwell
A luz como uma onda eletromagnetica
I No vacuo, nao existe carga assim, ρ = 0 e
~Jc = 0.
∇× (∇× ~E) = ∇(∇ · ~E)−∇2~E = −∇2~E
∇× (∇× ~B) = ∇(∇ · ~B)−∇2~B = −∇2~B
∇× (∇× ~E) = ∇× (−∂~B
∂t) = −
∂(∇× ~B)
∂t
∇× (∇× ~B) = ∇× (µ0ε0∂~E
∂t) = µ0ε0
∂(∇× ~E)
∂t
∇ · ~E = 0
∇ · ~B = 0
∇× ~E = −∂~B
∂t
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Corrente de deslocamento e equacoes de Maxwell
A luz como uma onda eletromagnetica
I No vacuo, nao existe carga assim, ρ = 0 e
~Jc = 0.
∇× (∇× ~E) = ∇(∇ · ~E)−∇2~E = −∇2~E
∇× (∇× ~B) = ∇(∇ · ~B)−∇2~B = −∇2~B
∇× (∇× ~E) = ∇× (−∂~B
∂t) = −
∂(∇× ~B)
∂t
∇× (∇× ~B) = ∇× (µ0ε0∂~E
∂t) = µ0ε0
∂(∇× ~E)
∂t
∇× (∇× ~E) = −µ0ε0∂2~E
∂t2
∇× (∇× ~B) = −µ0ε0∂2~B
∂t2
∇ · ~E = 0
∇ · ~B = 0
∇× ~E = −∂~B
∂t
∇× ~B = µ0ε0∂~E
∂t
Capıtulo 29 - Inducao Eletromagnetica
Corrente de deslocamento e equacoes de Maxwell
A luz como uma onda eletromagneticaI No vacuo, nao existe carga assim, ρ = 0 e
~Jc = 0.
∇× (∇× ~E) = ∇(∇ · ~E)−∇2~E = −∇2~E
∇× (∇× ~B) = ∇(∇ · ~B)−∇2~B = −∇2~B
∇× (∇× ~E) = ∇× (−∂~B
∂t) = −
∂(∇× ~B)
∂t
∇× (∇× ~B) = ∇× (µ0ε0∂~E
∂t) = µ0ε0
∂(∇× ~E)
∂t
∇× (∇× ~E) = −µ0ε0∂2~E
∂t2
∇× (∇× ~B) = −µ0ε0∂2~B
∂t2
−∇2~E = −µ0ε0∂2~E
∂t2
−∇2~B = −µ0ε0∂2~B
∂t2
∇ · ~E = 0
∇ · ~B = 0
∇× ~E = −∂~B
∂t
∇× ~B = µ0ε0∂~E
∂t
∂2y(x , t)
∂x2=
1
v2
∂2y(x , t)
∂t2
Equacao de Onda