Risposte Test Allenamento - dm.unipi.it · 92 Esercizi di Analisi Matematica II (Parte A) –...
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Capitolo 4: Schede di Esercizi – Risposte 91
Risposte Test Allenamento
Inf-Sup-Max-Min 1
Max P.ti Max Min P.ti Min
1 1 !9 1
9 1 1 1
8 4 0 1
5 1 0 1
13 2 0 1
4 2 !4 2
4 1 !2 2
4 2 !4 2
5 2 !1 1
2 2 !1/4 2
3 2 0 1
6 2 !2 2
22 1 !3 1
4 2 !2 2
2 2 !1/4 2
4"
6/9 1 !4"
6/9 1
Inf-Sup-Max-Min 2
Max P.ti Max Min P.ti Min
2 1 0 1
3 1 0 1
4 2 0 1
1 1 !1 1
4 3 0 1
1 2 1/2 1
1/4 1 0 +#"
2 1 !"
2 1
2 2 0 #
8 1 !8 1
"2 1 !
"2 1
"10 1 !2
"2 1
1 1 !1/4 1
0 3 !1 1
1/4 1 !3 1
1/4 2 !2 1
Risposte Test Allenamento
92 Esercizi di Analisi Matematica II (Parte A) – Versione 2009/2010
Risposte Test Allenamento
Inf-Sup-Max-Min 3
Max P.ti Max Min P.ti Min
"2 2 !
"2 2
"2 2 !
"2 2
2 4 0 4
"2/ 4
"27 2 !
"2/ 4
"27 2
"5 4 0 1
"5 4 1 2
1 2 !2 2
3/8 2 !12 1
4"
6/9 2 !4"
6/9 2
3 1 !3 1
4 2 0 1
4 2 7/8 4
6 2 0 1
6 2 2 2
3 +"
3 2 0 1
175/27 2 !3 2
Inf-Sup-Max-Min 4
Max P.ti Max Min P.ti Min
8 4 2!
3 2
16"
5/125 2 !16"
5/125 2
27 1 !27 1
1 2 0 #"
15/30 # !"
15/30 #
4/33 1 0 #
1/e 2 0 #
e2 4 0 #
3/8 1 0 1
4/27 1 !4 1
27/16 2 0 1
9 1 !9 1
9 1 9/5 1
!/4 4 0 #
!/4 4 0 4
2 cos(2"1/4) 4 1 + cos 1 4
Risposte Test Allenamento
Capitolo 4: Schede di Esercizi – Risposte 93
Risposte Test Allenamento
Inf-Sup-Max-Min 5
Max P.ti Max Min P.ti Min
2 2 0 #
3 1 0 #
4 1 0 1
5 1 1 1
5 1 1 1
3 1 0 #
7 1 3 1
1 2 0 #
6 1 2 1
2 1 0 #
2 1 0 1
3 1 0 #
e 1 0 #
17/4 2 0 #
2"
2 2 !2 1
2"
2 2 0 #
Inf-Sup-Max-Min 6
Sup P.ti Max Inf P.ti Min A.Staz.
+# 0 0 1 0
+# 0 !# 0 1
+# 0 !# 0 1
+# 0 0 1 0
+# 0 !# 0 1
+# 0 0 # 0
+# 0 !# 0 1
+# 0 !# 0 3
+# 0 0 1 0
+# 0 !# 0 3
+# 0 !94/8 2 1
1 0 0 # 0
1/2 1 !1/2 1 0
+# 0 0 1 0
+# 0 2 ! ! 2 1
+# 0 !!/2 0 1
Risposte Test Allenamento
94 Esercizi di Analisi Matematica II (Parte A) – Versione 2009/2010
Risposte Test Allenamento
Limiti 1
R2 D1 D2 D3 D4 D5
N.E. +# +# N.E. +# +#
N.E. N.E. N.E. N.E. +# N.E.
+# +# +# +# +# +#
N.E. N.E. +# N.E. N.E. +#
N.E. +# +# N.E. +# +#
+# +# +# +# +# +#
N.E. +# +# N.E. +# +#
N.E. N.E. +# N.E. N.E. +#
N.E. N.E. N.E. N.E. +# 0
N.E. N.E. +# N.E. N.E. +#
N.E. N.E. N.E. N.E. +# 1
0 0 0 0 0 0
N.E. N.E. 0 N.E. N.E. 0
N.E. N.E. 0 N.E. +# 0
0 0 0 0 0 0
N.E. N.E. +# N.E. N.E. +#
Limiti 2
R2 D1 D2 D3 D4 D5
N.E. N.E. +# N.E. +# +#
N.E. N.E. N.E. N.E. +# 0
+# +# +# +# +# +#
+# +# +# +# +# +#
N.E. +# N.E. N.E. N.E. +#
N.E. N.E. +# N.E. N.E. +#
+# +# +# +# +# +#
N.E. +# +# N.E. +# +#
N.E. N.E. +# N.E. N.E. +#
N.E. N.E. +# N.E. +# 0
N.E. +# N.E. N.E. N.E. +#
0 0 0 0 0 0
N.E. N.E. N.E. N.E. N.E. 0
N.E. N.E. N.E. N.E. N.E. 0
N.E. +# +# N.E. +# +#
N.E. +# +# N.E. N.E. +#
Risposte Test Allenamento
Capitolo 4: Schede di Esercizi – Risposte 95
Risposte Test Allenamento
Inf-Sup-Max-Min 7
Sup P.ti Max Inf P.ti Min
+# 0 9/2 1
+# 0 !# 0
+# 0 !1/4 1
+# 0 !# 0
0 1 !# 0
+# 0 !# 0
+# 0 1 2
+# 0 !# 0
+# 0 8"
2 2
1/2 1 !# 0
0 2 !# 0
+# 0 !3 1
+# 0 !2 1
2 + !/2 0 !!/2 0
"5/2 1 !
"5/2 1
"5/2 1 0 #
Inf-Sup-Max-Min 8
Sup P.ti Max Inf P.ti Min
6 1 0 1
5 1 !9 1
6 1 0 #
1/2 2 !1/2 2
1 1 !1 1
3/2 2 !3/2 2
19/6 2 !"
2 2
3 +"
2 2 !"
2 1
49/12 2 !2 1
22/3 · 33/4 4 !22/3 · 33/4 4
1/432 8 0 #
+# 0 !# 0
2 1 !1/4 #
+# 0 3 1
2 2 !# 0
"2/2 1 !
"2/2 1
Risposte Test Allenamento
96 Esercizi di Analisi Matematica II (Parte A) – Versione 2009/2010
Risposte Test Allenamento
Punti stazionari 1
m.L. A.S.
A.S. M.L.
m.L. m.L.
A.S. A.S.
A.S. A.S.
m.L. N.S.
m.L. m.L.
A.S. N.S.
A.S. N.S.
A.S. A.S.
A.S. A.S.
A.S. M.L.
N.S. A.S.
M.L. m.L.
m.L. A.S.
A.S. A.S.
Punti stazionari 2
Min glob. Min loc. Max glob. Max loc. Altri staz.
1 1 1 1 0
2 2 0 0 1
0 0 0 0 1
0 0 0 1 2
0 0 0 0 2
1 1 0 0 0
0 1 0 0 4
0 0 0 0 1
2 2 2 2 1
2 2 2 2 1
# # 0 0 0
0 1 0 0 2
0 0 0 0 1
0 0 0 0 1
0 0 0 0 1
0 1 4 4 4
Risposte Test Allenamento
Capitolo 4: Schede di Esercizi – Risposte 97
Risposte Test Allenamento
Integrali Doppi 1
1 9
1 0
9/2 19/2
3/2 35/6
1 9
2 log 2 ! 1 4
0 !3/2
0 !1
(e ! 1)(e4 ! 1)/2 (e ! 1)(e6 ! 1)/(2e)
2(e ! 1) + (e4 ! 1)/2 2(e2 ! 1)
log"
2 (3/2) log 2
1/4 !3/4
!/8 3!/2
!/12 !/24
8/3 + !/2 ! log 2 8/3 ! !/2 + log 2
0 0
Integrali Doppi 2
e ! 2 0
(e2 ! 1)/4 (e2 ! 1)/4
2 2/!
1 0
(e ! 1)2/2 0
0 9(1 ! 2 3"
2)/28
0 !(e3! + 1)/5
!/4 ! (1/2) log 2 !/2 ! log 2
a a
1/4 + log 6!
3/8 1/4 + log 6!
3/8
!/16 ! (1/8) log 2 0
0 4!
8!2 4!2
log(27/16) log(16/27)
1/2 + log(3"
3/4) 1/2 ! log(3"
3/4)
b b
a =3
2log2 3 ! 2 log2 2 + log
16
27, b = 14 log 2 !
9
2log 3 ! 3
Risposte Test Allenamento
98 Esercizi di Analisi Matematica II (Parte A) – Versione 2009/2010
Risposte Test Allenamento
Insiemi Normali 1
A = {(x, y) $ R2 : 0 % x % 1, 0 % y % x}
= {(x, y) $ R2 : 0 % y % 1, y % x % 1}
B = {(x, y) $ R2 : 0 % x % 1, x % y % 1}
= {(x, y) $ R2 : 0 % y % 1, 0 % x % y}
C = {(x, y) $ R2 : 0 % x % 1, 0 % y % 1 ! x}
= {(x, y) $ R2 : 0 % y % 1, 0 % x % 1 ! y}
D = {(x, y) $ R2 : 0 % x % 1, 1 ! x % y % 1}
= {(x, y) $ R2 : 0 % y % 1, 1 ! y % x % 1}
E = {(x, y) $ R2 : !1 % x % 1, |x| % y % 1}
= {(x, y) $ R2 : 0 % y % 1, !y % x % y}
F = {(x, y) $ R2 : 0 % x % 1, 0 % y % x} & [1, 2] ' [0, 1] &
& {(x, y) $ R2 : 2 % x % 3, 0 % y % 3 ! x}
= {(x, y) $ R2 : 0 % y % 1, y % x % 3 ! y}
G = {(x, y) $ R2 : 0 % x % 2, 0 % y % x/3} & {(x, y) $ R2 : 2 % x % 3, x ! 2 % y % x/3}
= {(x, y) $ R2 : 0 % y % 1, 3y % x % 2 + y}
H = {(x, y) $ R2 : 0 % x % 1, 1 ! x % y % 1} & {(x, y) $ R2 : 1 % x % 3, (x ! 1)/2 % y % 1}
= {(x, y) $ R2 : 0 % y % 1, 1 ! y % x % 2y + 1}
Risposte Test Allenamento
Capitolo 4: Schede di Esercizi – Risposte 99
Risposte Test Allenamento
Insiemi Normali 2
A = {(x, y) $ R2 : !1 % x % 1, x2 % y % 1}
= {(x, y) $ R2 : 0 % y % 1, !"y % x % "
y}
B = {(x, y) $ R2 : !1 % x % 1, 0 % y %"
1 ! x2}
= {(x, y) $ R2 : 0 % y % 1, !!
1 ! y2 % x %!
1 ! y2}
C = {(x, y) $ R2 : !2 % x % 0, !"
4 ! x2 % y %"
4 ! x2}
= {(x, y) $ R2 : !2 % y % 2, !!
4 ! y2 % x % 0}
D = {(x, y) $ R2 : 0 % x % 1, x2 % y % x}
= {(x, y) $ R2 : 0 % y % 1, y % x % "y}
E = {(x, y) $ R2 : 0 % x % 1, x2 % y %"
x}
= {(x, y) $ R2 : 0 % y % 1, y2 % x % "y}
F = {(x, y) $ R2 : !2 % x % !"
3, 0 % y %"
4 ! x2} & [!"
3,"
3] ' [0, 1] &
& {(x, y) $ R2 :"
3 % x % 2, 0 % y %"
4 ! x2}
= {(x, y) $ R2 : 0 % y % 1, !!
4 ! y2 % x %!
4 ! y2}
G = [0, 1] ' [0, 1] & {(x, y) $ R2 : 1 % x %"
2, 0 % y % 2 ! x2}
= {(x, y) $ R2 : 0 % y % 1, 0 % x %"
2 ! y}
H = {(x, y) $ R2 : !1 % x % 0, !(1/2)"
1 ! x4 % y % 0}
= {(x, y) $ R2 : !1/2 % y % 0, ! 4!
1 ! 4y2 % x % 0}
Risposte Test Allenamento
100 Esercizi di Analisi Matematica II (Parte A) – Versione 2009/2010
Risposte Test Allenamento
Integrali Doppi 3
32/3 32/5
4 8/5
16/3 32/3
3/40 1/15
0 0
(2/3)!3 ! 4! 0
!8/15 0
1024/105 0
!1/6 0
5/28 1/5
1/2 1
1/3 1/2
(16"
2 ! 19)/15 7/12
125/12 125/6
(e ! 1)/6 1/15
!(1/4) sin(!2) 1
Integrali Doppi 4
3/2 3
2 5/2
1/3 4/3
4/3 4/3
11/30 11/5
11/30 23/15
3/2 3
2 5/2
5!/2 ! 4 !/8 ! 1 + 3"
3/4
!1 1 !"
2/4
10/9 5/12
!1 !2
1/3 7/3
1 11/60
3/2 188/15
4 ! ! 16 ! 4!
Risposte Test Allenamento
Capitolo 4: Schede di Esercizi – Risposte 101
Risposte Test Allenamento
Integrali Doppi 5
Insieme x y |x| |y| x2 + y2 |x ! y| |x + y|
0 0 4/3 4/3 !/2 (4/3)"
2 (4/3)"
2
0 2/3 2/3 2/3 !/4 (2/3)"
2 (2/3)"
2
0 !2/3 2/3 2/3 !/4 (2/3)"
2 (2/3)"
2
2/3 0 2/3 2/3 !/4 (2/3)"
2 (2/3)"
2
!2/3 0 2/3 2/3 !/4 (2/3)"
2 (2/3)"
2
1/3 1/3 1/3 1/3 !/8 2("
2 ! 1)/3 2/3
!1/3 1/3 1/3 1/3 !/8 2/3 2("
2 ! 1)/3
!1/3 !1/3 1/3 1/3 !/8 2("
2 ! 1)/3 2/3
1/3 !1/3 1/3 1/3 !/8 2/3 2("
2 ! 1)/3
!"
2/3"
2/3 2/3 2/3 !/4 (2/3)"
2 (2/3)"
2
"2/3 !
"2/3 2/3 2/3 !/4 (2/3)
"2 (2/3)
"2
"2/3
"2/3 2/3 2/3 !/4 (2/3)
"2 (2/3)
"2
"2/6
1
3!
"2
6
"2/6
1
3!
"2
6!/16 !1/3 +
"2/3 1/3
"2/6
1
3+
"2
6
2
3!
"2
6
1
3+
"2
63!/16 !1/3 + 2
"2/3 1/3 +
"2/3
!"
2/61
3!
"2
6
"2/6
1
3!
"2
6!/16 1/3 !1/3 +
"2/3
"2/6 !
1
3!
"2
6
2
3+
"2
61 !
"2
65!/16 !1/3 +
"2 !1/3 +
"2
Risposte Test Allenamento
102 Esercizi di Analisi Matematica II (Parte A) – Versione 2009/2010
Risposte Test Allenamento
Integrali Doppi 6
4"
2/3 !4"
2/3
! 2!"
2/3
0 0
28"
2/3 28"
2/3
38!/3 76/3
e4(e5 ! 1)!/8 19"
2/6
2! 2!
0 2"
3
128/15 128/15
32/3 32/3
"3 + !/6 1
8"
3/3 + 4!/3 8"
3/3 + 4!/3
5!/4 0
2"
3 ! 2!/3 11/12
32/9 3!/2
(1/6) log(3 + 2"
2) +"
2/3 2/3
Integrali Doppi 7
4/15 4
0 1024/9
2! 3!
48! 40!
2! !
!13!/8 !65!/16
2! !/2
16/3 8/3
!
3/2 9/16
!6"
2 4"
2
9 · 54 · 2"13! 125!/256
!36 124
45/16 295/96
0 8
"3 ! 1/3 6
3/2 a
a =16
3
"2 !
35
24
"5 !
17
24
"17
Risposte Test Allenamento
Capitolo 4: Schede di Esercizi – Risposte 103
Risposte Test Allenamento
Attenzione: le risposte di “Integrali Tripli 3” sono nella pagina successiva.
Integrali Tripli 1
3 6
9 8
5/2 15/8
5/2 25/2
1 (e + 1)(e ! 1)3
2!2 0
!3/2 !8
2 0
1/6 2/9
12! 36!
0 6!
0 64/3
0 64/3
16!/3 4!2
!/12 !/12
!/16 0
Integrali Tripli 2
8!/3 4!
16!/3 8/3
2! 32!"
2/21
32!"
2/5 0
0 203!/60
!32!/3 71!/6
!/2 !
0 243!/5
!2 0
!2/2 !3/32
!/3 8/9
!2/4 8/9
!32!/3 256/15
8! !8!
1/6 1/120
1/2 7/12
Integrali Tripli 4
!32! 32!/3
!32!/3 1144!/15
280!"
10/3 40!"
10/3
85!"
34/96 17!"
34/24
2!"
30/45 !"
6/60
4!"
3/81 0
2! !2
2!/3 0
16 · 35!/5 144!
!4! 4!"
2
10(! ! 1)/3 8(! ! 1)
22!"
3/5 0
512/3 ! 2! 4(16 ! !)
8!/3 + 40/3 ! 12"
3 0
16/3 64/45
16 ! 8"
2 0
Risposte Test Allenamento
104 Esercizi di Analisi Matematica II (Parte A) – Versione 2009/2010
Risposte Test Allenamento
Attenzione: le risposte di “Integrali Tripli 4” sono nella pagina precedente.
Integrali Tripli 3
Funzione S1 S2 S3 S4 S5 S6
1 4!/3 2!/3 !/3 !/6 28!/3 2!/3
x 0 0 !/8 !!/16 0 !"
2/8
y 0 0 !!/8 !/16 0 !"
2/8
z 0 !/4 0 !!/16 0 0
|x| !/2 !/4 !/8 !/16 15!/2 !/4
|y| !/2 !/4 !/8 !/16 15!/2 !/4
|z| !/2 !/4 !/8 !/16 15!/2 !/4
x2 + y2 + z2 4!/5 2!/5 !/5 !/10 124!/5 2!/5
x2 4!/15 2!/15 !/15 !/30 124!/15 2!/15
y2 4!/15 2!/15 !/15 !/30 124!/15 2!/15
z2 4!/15 2!/15 !/15 !/30 124!/15 2!/15
x2 + y2 8!/15 4!/15 2!/15 !/15 248!/15 4!/15
|y|3 !/3 !/6 !/12 !/24 21! !/6
x4 4!/35 2!/35 !/35 !/70 508!/35 2!/35
|x + y| !"
2/2 !"
2/4 ("
2 ! 1)!/4 ("
2 ! 1)!/8 15!"
2/2 !"
2/4
|z ! y| !"
2/2 !"
2/4 !"
2/8 !/8 15!"
2/2 " "
Risposte Test Allenamento
Capitolo 4: Schede di Esercizi – Risposte 105
Risposte Test Allenamento
Integrali Impropri 1
No No
No No
No S̀ı
No S̀ı
No No
S̀ı S̀ı
No No
S̀ı S̀ı
No No
S̀ı No
S̀ı S̀ı
No No
No S̀ı
No No
S̀ı S̀ı
S̀ı No
Integrali Impropri 2
No S̀ı
S̀ı No
S̀ı No
No S̀ı
No No
S̀ı S̀ı
No S̀ı
S̀ı S̀ı
S̀ı No
S̀ı No
No No
S̀ı No
No No
No S̀ı
No No
No No
Risposte Test Allenamento
106 Esercizi di Analisi Matematica II (Parte A) – Versione 2009/2010
Risposte Test Allenamento
Integrali Impropri 3
No No
No No
No S̀ı
No No
No No
S̀ı No
No S̀ı
S̀ı No
No No
No No
No S̀ı
No No
No S̀ı
No No
No No
No No
Integrali Impropri 4
No No
S̀ı No
No No
No S̀ı
No No
S̀ı No
S̀ı No
No S̀ı
No S̀ı
S̀ı S̀ı
S̀ı No
S̀ı S̀ı
No No
No No
No S̀ı
No No
Risposte Test Allenamento
Capitolo 4: Schede di Esercizi – Risposte 107
Risposte Test Allenamento
Domini due dimensionali
Area Perimetro xG yG
2! 2! + 8 0 0
2! 2! + 4 !4"
2/(3!) !4"
2/(3!)
3!/2 + 9"
3/4 ! + 6 + 3"
3 (24 ! 9"
3)/(2! + 3"
3) 0
50 20"
2 0 0
81 18("
2 + 1) 0 6
1/2 2"
2 3 !1/2
32/3 C 2 8/5
9/2 C 3/2 12/5
"2 + 1 "" [!(4 +
"2) + 4]/[4(
"2 + 1)] 1/[4(
"2 + 1)]
!/3 +"
3/2 2! (8! + 3"
3)/(4! + 6"
3) 0
7/6 C 15/14 62/35
1/2 + log 2 "" 5/[6(1 + log 4)] 8/[3(1 + log 4)]
(e ! 2)/2 a [2(3 ! e)]/[3(e ! 2)] (e2 ! 3)/[6(e ! 2)]
5 log 2 "" 19/(15 log 2) 38/(15 log 2)
2! 2! + 4 8/(3"
e2 + !2) 8e/(3!"
e2 + !2)
! "" 32/(15!) 4/(5!)
a = 2"
e2 + 1 !"
2 + log"#"
2 + 1$#"
e2 + 1 ! 1$%
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108 Esercizi di Analisi Matematica II (Parte A) – Versione 2009/2010
Risposte Test Allenamento
Solidi di Rotazione 1
Volume Baricentro Superficie
2! (0, 0, 1) 6!
2!/3 (0, 0, 3/8) (3 +"
2)!
16!/3 (3/4, 0, 0) 4(2 +"
2)!
!/3 (3/4, 0, 0) (1 +"
2)!
!/2 (0, 0, 1/3) (17 + 5"
5)!/6
32!/5 (0, 5/3, 0) C
2! (0, 0, (log 2)/2)
&
6 +"
17 !"
2 + log4(1 +
"2)
1 +"
17
'
!
4!/3 (0, 0, 0) 4!
16!/3 (0, 0, 3/4) 12!
14!/3 (0, 45/56, 0) 13!
! (0, 0,!1/6) 2(1 +"
2)!
3!/2 (2 log 2, 0, 0) C
23!/3 (95/92, 0, 0) (11 +"
2)!
88!"
3/5 (0, 0, 0) C
9!/2 (0, 0,!7/9) 27!"
2/2
(2!4 ! 3!2)/12 3!(!2 ! 3)/(4!2 ! 6) ""
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Capitolo 4: Schede di Esercizi – Risposte 109
Risposte Test Allenamento
Solidi di Rotazione 2
Solido Volume zG Iz Superficie
S1 32!/3 0 256!/15 16!
S2 4!"
2/3 3"
2/8 16!"
2/15 6!
C1 2! 1 ! 6!
C2 8!/3 3/2 16!/5 4!(1 +"
2)
P 2! 4/3 4!/3 19!/3
S1 ( C1 2!(8/3 !"
3) 21/[8(8 ! 3"
3)] (128/15 ! 22"
3/5)! (9 ! 2"
3)!
S2 ( C2 4!("
2 ! 1)/3 3/[8("
2 ! 1)] (16"
2/15 ! 4/13)! (4 !"
2)!
S2 ( P (8"
2 ! 7)!/6 7/[2(8"
2 ! 7)] (16"
2 ! 19)!/15 (5"
5 ! 12"
2 + 23)!/6
S1 ( C2 8!(2 !"
2)/3 3/[4(2 !"
2)] 16(8 ! 5"
2)!/15 2!(4 !"
2)
C1 ( C2 4!/3 21/16 3!/5 (3 +"
2)!
C1 ( P 3!/2 11/9 2!/3 (17 + 5"
5)!/6
C2 ( P 11!/6 31!/22 19!/15 (13/2 +"
2 ! 5"
5/6)!
S2 & C2 4! 9/8 68!/15 (10 + 3"
2)!
C1 & C2 10!/3 51/40 18!/5 (7 + 3"
2)!
S2 \ C2 4!/3 3/8 4!/3 (3"
2 + 2)!
C2 \ C1 4!/3 27/16 13!/5 (5 + 3"
2)!
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