Risposta meccanica di un elastomero reale Studente: Giovanni Rillo Relatore: Dr. Tullio Scopigno...
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Risposta meccanica di Risposta meccanica di un elastomero realeun elastomero reale
Studente: Giovanni RilloRelatore: Dr. Tullio ScopignoCorrelatore: Dr. Carino Ferrante
Perché la gomma?Perché la gomma?Esempio di sistema
termodinamico (f, L, T)Proprietà macroscopiche peculiari
Modello microscopico basato su macromolecole (polimeri)
Alta elasticità
Coefficiente di dilatazione termica negativo
Equilibrio termodinamico
In condizioni di equilibrio termodinamico possiamo studiare il comportamento elastico dell’elastomero
Misure statiche: forza vs elongazione
Condizioni dinamiche
In condizioni dinamiche l’elastomero non è un sistema conservativo: possiamo studiare il suo comportamento viscoelastico
Misure dinamiche: forza vs tempo a elongazione costante
Il modello di Kuhn:Il modello di Kuhn:un network di cateneun network di catene La singola molecola può essere assimilata a una lunga
catena: i legami tra i singoli atomi costituenti la catena possono ruotare liberamente.
Deboli forze tra le singole catene Le catene sono tra di loro connesse in pochi punti, detti
crosslinks
La singola catenaLa singola catenaLa singola catena consta di n giunzioni di lunghezza l: ogni giunzione ha una direzione completamente random nello spazio. Tale assunzione porta alla densità di probabilità di un estremo della catena nello spazio:
dxdydzzyxbb
dxdydzzyxp )}(exp{),,( 2222
2
3
3
22
2
3
nlb
EntropiaEntropia
Definizione di Boltzmann: s=k ln(N) N configurazioni
2222 lncostlnln rc-kb( dV) k r)-kb(k ) dV] [ p(x,y,zk s
Processo di deformazioneProcesso di deformazione
X=1 X0
Y=2 Y0
Z=3 Z0
})1()1()1{( 20
23
20
22
20
21
20 zyxkbsss
•Deformazione affine: il rapporto L/L0 è uguale per la singola catena e per il materiale nel suo insieme•Il volume del materiale rimane costante durante il processo di deformazione (=1)
Entropia e forzaEntropia e forzaPosto che la direzione di una catena nello spazio sia completamentecasuale, si ha
20
20
20
20
20 3
1
3
1rNrzyx
)3(2
1 23
22
21 NksS
Configurazioni assumibili da catene sono isoenergetiche tT
TsdTdsdwcos
)(
Mancanza di interazione TSW
Derivando
ii
Wf
)1
(21
11 Gf NKTG
Dati sperimentaliDati sperimentali
Fit eseguito a partire dalla funzione
)(2
20
0 L
L
L
LGf
NG 02.001.1 cmL 10.006.70
Risultati:
Confrontabile con il valore di L0 misurato sperimentalmente:
cm1.07.7
Il modello di Mooney-Il modello di Mooney-RivlinRivlin
Assunzioni:•Isotropia•Incompressibilità•Invarianza sotto rotazioni attorno a un asse
Dipendenza da i2
È quindi possibile cercare opportune funzioni W a partire dai più semplici polinomi rispondenti a queste caratteristiche:
.23
22
211 I 2
123
23
22
22
212 I 2
322
213 I
Il modello di Mooney-Rivlin: Il modello di Mooney-Rivlin: la forzala forza
La generica funzione W sarà esprimibile come
ji
jiij IICW )3()3( 21
0,0
La funzione lineare di I1 e I2 più generale è invece
3)-111
(C)3(C
3)-(IC3)-(IC
23
22
21
0123
22
2110
201110
W
Nel caso di estensione semplice, derivando rispetto a otteniamo
))(1
(21
01102
11
CCf
Dati sperimentaliDati sperimentali
Fit eseguito a partire dalla funzione
))((2 001102
20
0 L
LCC
L
L
L
Lf
NC 009.0909.02 10
cmL 04.001.80
Risultati:
NC 04.078.02 01
Seconda parte: panoramica Seconda parte: panoramica dei rilassamentidei rilassamenti
Elastico sollecitato a lunghezza costante
•Sollecitazioni termiche, effettuate riscaldando la gomma
•Sollecitazioni meccaniche, effettuate contraendo e rilassando rapidamente la gomma
Rilassamenti termiciRilassamenti termicifdlQdU
cost,cost,
lpTp T
f
l
S
Nel modello di Kuhn S=S(S(l)
Variazione di forza esercitata dall’elastomero ricondotta alla variazione di temperatura nel processo
cost
lTf
Thdt
TdC
dt
dQ
)(t
eTT
)0(
Solido standard lineareSolido standard lineareTeoria viscoelastica lineare:Oggetto schematizzabile come insieme di molle e dissipatori viscosi variamente connessi
•Molla: f =-kx•Dissipatore: f=-x’
Insieme di equazioni lineari
021
21
xxx
xkx
t
efff
txkxkf
))()0((
)(|| 113
Dati sperimentaliDati sperimentaliRilassamenti termici:Lo schema basato sul trasporto conduttivo riproduce bene i risultati sperimentali
s2015
Rilassamenti viscoelastici:Il modello dei solido standard lineare non riesce a riprodurre il rilassamento.
Non definito
Il modello di Maxwell Il modello di Maxwell generalizzatogeneralizzato
Presupponendo più tempi caratteristici di rilassamento una generalizzazione naturale è quella mostrata in figura
i
iff 121 iiiiiii xxxkf
i
t
iieCf
RisultatiRisultati
2121
tt
eCeCff
Fit eseguito con due tempi di rilassamento a partire dalla funzione
In generale ogni rilassamento viscoelastico risulta scisso significativamente in due esponenziali con molto diversi tra loro
s1051 s2001002
ConclusioniConclusioni