RISPOSTA ALL'ECCITAZIONE ARMONICA - SISTEMA NON SMORZATO
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RISPOSTA ALL'ECCITAZIONE ARMONICA - RISPOSTA ALL'ECCITAZIONE ARMONICA - SISTEMA NON SMORZATOSISTEMA NON SMORZATO
tFtF sin0
tFtkxtxm sin0
Forza impressa
equaz. del moto:
k m
x(t)posizione di equilibrio statico x(t)=0
F 0sint ..kx
N
mx
mg
F 0sint
rr
kF
mk
FX
1 20
20 rapporto
di frequenza
0 0 00 xx trtr
kFtx
sinsin
1 20per
La risposta è la sovrapposizione di due termini armonici di differenti frequenze: moto non armonico.
ttr
kFtx
cos2
sin21 2
0
frequenza della forzante vicina alla frequenza naturale del sistema:
r1,
BATTIMENTI:
ttk
Ftx cos
20
frequenza della forzante uguale alla frequenza naturale del sistema, , r=1
RISONANZA: oscillazione armonica la cui ampiezza aumenta gradualmente fino all'infinito
permanente risposta
sin 21ia transitorrisposta
sincos222
0
trr
kFtBtAetx DD
t
tFtf sin0
2222
0
1
2tan sin
21 r
rt
rr
kFtx
tFtf cos0
2222
0
1
2tan cos
21 r
rt
rr
kFtx
La presenza del fattore esponenziale fa sparire rapidamente la parte transitoria cosicché il moto rimane descritto dalla sola risposta permanente:
RISPOSTA ALL'ECCITAZIONE ARMONICA - RISPOSTA ALL'ECCITAZIONE ARMONICA - SISTEMA SMORZATO SISTEMA SMORZATO
tFtkxtxctxm sin0
crcc
equaz. del moto:
per il sistema sottosmorzato
rmc 2
20 1
2tan sin
r
rθtω ωHFtx
20 1
2tan cos
r
r θtω ωHFtx
22
2
22
21
11)(
mH
Le precedenti possono essere scritte, rispettivamente:
in cui
funzione di risposta in frequenzao
funzione di trasferimento
k
Fxst
0
21 222
0
rr
kFX
222 21
1
rrx
XD
st
deflessione statica del sistema su cui agisce la F0 statica
"FATTORE DI AMPLIFICAZIONE DINAMICA": rapporto fra l’ampiezza della vibrazione e la corrispondente deflessione statica
ampiezza della risposta dinamica
tan eD . ed r variano con
r 1 2 2
12
0 7,
qualsiasiper 90
2
11
rD
Ascissa del picco (derivando rispetto ad r e ponendo = 0):
Il picco si verifica per r<1; per non c'è picco.
Per sistemi leggermente smorzati, l'ampiezza max si verifica per r 1.
Alla risonanza (r 1):
fattore di amplificazione in funzione di r per diversi valori di
per = 0 e r = 1, D diventa infinitamente grande, cioè il moto si amplifica indefinitamente (RISONANZA)
per r grande, cioè per , risulta D<<1, cioè il sistema non risente praticamente dell’effetto di forzanti con pulsazione relativa, , elevata.
angolo di fase in funzione di r per diversi valori di
FORZA TRASMESSA ALLA FONDAZIONE
tFtf sen0
2222
0
1
2tan
21 sin
r
ξrθ
ξrr
kF XθtωXtx
oscillatore smorzato soggetto ad una forza armonica
risposta per lo stato permanente:
kxxc
xckxfT
rk
ctckXfT
2tan sin222
La forza trasmessa al sostegno attraverso la molla è
e attraverso l’elemento smorzante è
forza totale trasmessa al sostegno: sostituendo, si ottiene:
valore massimo della forza trasmessa alla base:
222
2
021
21
rr
rFFT
TRASMISSIBILITÀ Tr : rapporto tra la forza trasmessa
alla base e l’ampiezza della forza applicata:
222
2
0 21
21
rr
r
F
FT T
r
espressione utile, ad esempio, in problemi di isolamento dalle vibrazioni prodotte da motori
Per massimizzare l’isolamento si può intervenire sia sullo smorzamento che sulla frequenza propria dell’oscillatore (r grande perciò piccolo, ovvero k piccolo e/o m grande). Si nota che lo smorzamento tende a ridurre l’efficacia dell’isolamento dalle vibrazioni per frequenze corrispondenti a .2r
Determinazione sperimentale delle caratteristiche dinamiche:
2 - METODO DELLE OSCILLAZIONI FORZATE
Tecnica basata sull'osservazione delle risposte per lo stato permanente ad eccitazioni armoniche in un campo di frequenze prossimo alla risonanza.
Si applica una forzante armonica e si traccia la curva di risposta rilevando le ampiezze di spostamento in funzione della frequenza.
E’ utile tracciare anche il grafico dell’angolo di fase in funzione della frequenza.
L’ampiezza della risposta raggiunge il valore max in prossimità della risonanza. Si commettono errori trascurabili se si confonde l’ampiezza massima con l’ampiezza relativa ad r=1.
In corrispondenza del massimo della risposta, si può quindi valutare frequenza naturale dell’oscillatore.
si può ricavare anche dal grafico dell’angolo di fase, in corrispondenza di 0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
1,5 1,7 1,9 2,1 2,3 2,5
frequenza di eccitazione
Am
piez
za d
i ris
post
a picco
f
Metodo dell'ampiezza di banda (mezza-forza) per la valutazione dello smorzamento
La forma delle curve di risposta è controllata dallo smorzamento, cioè le curve sono tanto più strette quanto minore è lo smorzamento.
La "ampiezza di banda", differenza fra due frequenze che corrispondono allo stesso valore di risposta, è correlata al valore dello smorzamento.
Conviene misurare la larghezza di banda a del picco della curva; le frequenze corrispondenti vengono chiamate "punti di mezza forza", f1 ed f2 .
21
22
1
21 222
stst x
rr
x
21
221 1 221 rr
Analiticamente, i valori di f1 ed f2 si determinano ponendo la risposta uguale a
Per l'ampiezza di risonanza:
Sottraendo la prima dalla seconda delle precedenti, si ottiene:
f
fr
f
fr
f
ffrr 22
211
11212
12 ; 2
1
2
1
2
1
2
21 fff
Per la simmetria della curva di risposta:
12
12
ff
ff
Infine, si ha:
21
2211221 2222r
22
222 1 221 rr