Risolvere equazioni goniometriche riconducibili a … grafici delle funzioni circolari e le...
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Risolvere equazioni goniometriche riconducibili a quelle elementari
1 Daniela Valenti, Treccani scuola
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Metodi per risolvere equazioni trigonometriche non elementari
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A. Ricondurre l’equazione ad equazioni elementari con procedimenti algebrici, che utilizzano anche varie formule studiate.
B. Risolvere l’equazione con metodi grafici, basati anche sulle trasformazioni del piano.
Vediamo i due metodi su qualche esempio.
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Risolvere 2sin(x) – 1 = 0
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Procedimento algebrico organizzato in due passi:
Ripeto il procedimento per risolvere tutte le equazioni del tipo
dove al posto di a e b posso trovare qualunque numero reale.
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Risolvere
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Procedimento algebrico organizzato in due passi:
€
sin 2x+π3
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟ =12
Ho così ottenuto le soluzioni
€
xk = −π12
+ kπ , x'k =π4
+ kπ
Ripeto il procedimento per risolvere tutte le equazioni del tipo
dove al posto di a e b posso trovare qualunque numero reale.
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Equazioni e identità trigonometriche Tante uguaglianze scritte in trigonometria. Ecco alcuni esempi per riflettere
€
A. sin x +π3
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟ =
32
cos x +12
sin x
€
C. 32
cos x +12
sin x =12
€
B. sin x +π3
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟ =
12
Formula di addizione del seno Identità, cioè uguaglianza vera per qualunque numero reale x.
Equazione, cioè uguaglianza vera solo per alcuni numeri reali x da determinare.
Equazioni equivalenti
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Dividetevi in gruppi di 2 – 4 persone; ad ogni gruppo viene data una scheda di lavoro da completare.
Avete 30 minuti di tempo
Il lavoro di gruppo è dedicato a due attività: - risolvere equazioni trigonometriche
riconducendole a quelle elementari; - confrontare identità ed equazioni
trigonometriche.
Attività 2. Equazioni e identità
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Che cosa abbiamo ottenuto
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Equazioni risolte
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Equazioni e identità
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B. Metodi grafici e trasformazioni del piano
Vediamo ora a qualche equazione risolta con metodi grafici, che applicano anche le trasformazioni del piano
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Metodo grafico Un primo esempio
€
sin 2x( ) =12
€
sin(x) =12⇔
y = sin(x)
y =12
⎧ ⎨ ⎪
⎩ ⎪
€
sin(2x) =12⇔
y = sin(2x)
y =12
⎧ ⎨ ⎪
⎩ ⎪
Contrazione del piano che dimezza le ascisse
€
xk =π6
+ 2kπ , x'k =56π + 2kπ
€
xk =π
12+ kπ , x'k =
512π + kπ
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Confronto fra metodo algebrico e grafico
€
sin 2x( ) =12
Procedimento algebrico organizzato in due passi:
Ritrovo così le soluzioni
€
xk =π12
+ kπ , x'k =5
12π + kπ
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Metodo grafico Un secondo esempio
€
sin x +π3
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟ =12
€
sin(x) =12⇔
y = sin(x)
y =12
⎧ ⎨ ⎪
⎩ ⎪
€
sin x +π3
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟ =
12⇔
y = sin x +π3
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟
y =12
⎧
⎨ ⎪
⎩ ⎪
T r a s l a z i o n e verso sinistra, che sottrae π/3 alle ascisse
€
xk =π6−π3
+ 2kπ = −π6
+ 2kπ , x'k =56π −
π3
+ 2kπ =π2
+ 2kπ
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Risolvere
14 Daniela Valenti, Treccani scuola
Procedimento algebrico organizzato in due passi:
€
sin x+π3
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟ =12
Ritrovo così le soluzioni
€
xk = −π6
+ 2kπ , x'k =π2
+ 2kπ
Confronto fra metodo algebrico e grafico
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Metodi grafici e algebrici a confronto Requisiti del punto di vista grafico Conoscere e applicare correttamente i grafici delle funzioni circolari e le trasformazioni del piano
Requisiti del punto di vista algebrico Conoscere e applicare correttamente le formule risolutive delle equazioni elementari e le identità trigonometriche.
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16 Daniela Valenti, Treccani scuola
Metodi grafici e algebrici a confronto Caratteristiche del punto di vista grafico Posso sviluppare l’intuizione grafica e ‘vedere’ le soluzioni anche senza disegnare i grafici.
Caratteristiche del procedimento algebrico Posso sviluppare l’abilità nel manipolare formule ed espressioni e saper risolvere varie equazioni.
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Metodi grafici e algebrici a confronto
Una ‘saggia’ mescolanza dei due metodi può essere una scelta vincente: - pensare ai grafici per ‘vedere’ le soluzioni e controllare i risultati dei calcoli;
- conoscere formule risolutive e identità trigonometriche per verificare le intuizioni grafiche.