RING

Suatu ring (R;+;x) adalah himpunan tidak kosong yang pada tiap elemennya berlaku dua operasi biner yaitu penjumlahan dan perkalian yang memenuhi axioma-axioma 1 s/d D.

AXIOMA RING:

1. Tertutup terhadap (+)

2. Asosiatif terhadap (+) (a + b) + c = a + (b+c)

3. Ada elemen identitas terhadap penjumlahan ( 0

4. Tiap elemen terdapat invers terhadap penjumlah

5. Komutatif terhadap penjumlahan

1’ tertutup terhadap (x)

2’ asosiatif terhadap (x) (a x b) x c = a x (b x c)

. Distributif perkalian kiri dan kanan terhadap penjumlahan a x (b + c) = (a x b) + (a x c)

x a = (b x a) + (c x a)

TIPE – TIPE RING

1. Ring Komutatif Definisi: Ring (R ; +; x) yang memenuhi

sifat komutatif perkalian disebut ring komutatif ( axioma 1 s/d D + 5’ )

5’ komutatif terhadap ( x) a x b = b x a

2. Ring dengan Elemen SatuanDefinisi: ring ( R; +; x) yang mempunyai elemen satuan terhadap (x) disebut ring dengan elemen satuan terhadap perkalian (axioma 1 s/d D + 3’)3’ terdapat elemen satuan (x) 1x a = a x 1 =a

Contoh soalSelidiki apakah himpunan bilangan bulat modulo 7 terhadap + dan x suatu ring komutatif dengan elemen satuan

= { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

1. Tertutup (+) ) ( ) a + b = c

Misal: 1 + 2 = 3 2. Asosiatif (+)

( a, b, c ) (a + b) + c = a + (b+c) Misal: 1,2,3 (1 + 2) + 3 = 1 + (2+3) 5 = 5

3. Elemen identitas penjumlahan ) 0 + a = a + 0 = a 0 +3 = 3+0 = 3

4. Setiap elemen dalam punya invers invers (+) dari 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 masing-masing adalah 0, 6, 5, 4, 3, 2, 1 sebab: 0 + 0 = 0 (mod 7) 1 + 6 = 0 (mod 7)

5. Komutatif (+) ) a + b = b+a

1+2 = 2+1=3

1’ tertutup (x)

) ( ) a x b = c

Misal: 1 x 2 = 6 2’ asosiatif (x)

( a, b, c ) (a x b) x c = a x (bxc) Misal: 1,2,3 (1 x 2) x 3 = 1 x (2x3) 6 = 6

D. distributif perkalian terhadap penjumlahan a x (b + c) = (a x b) + (a x c) dan (b + c) x a = (b x a) + (c x a) Misal: 2 x (3+1) = (2x3) + (2 x 1) 8 = 8 5’ Komutatif terhadap perkalian

) a x b = bxa

1x2 = 2x1=2 3’ elemen satuan perkalian 1 x a= a x1 = a Misal: a = 2 maka 1 x 2=2 x1 =2

Jadi himpunan bilangan bulat modulo 7 merupakan ring

IDEAL

Definisi:Suatu himpunan bagian tidak kosong I dan ring R disebut ideal kiri bila hanya bila memenuhi sifat-sifat berikut:1. 2.

Definisi:Suatu himpunan bagian tidak kosong I dari ring R disebut ideal kanan bila hanya bila memenuhi sifat berikut:1.2.

Definisi:Suatu himpunan bagian tidak kosong I dan ring R disebut ideal dua sisi (ideal) bila hanya bila memenuhi sifat berikut:1. 2. dan

Contoh soal:Bila I dan J masing-masing ideal kiri dari ring R, maka I + J = { a + b | a I dan b J) adalah juga ideal kiri dari ring R.

Ambil x1 = a1 + b1 dengan a1 I dan b1 J X2 = a2 + b2 dengan a2 I dan b2 J Maka akan dibuktikan I + J suatu ideal kiri dari ring R 1) x1 – x2 = (a1 + b1) – (a2 + b2)

= (a1 – a2) + (b1 – b2) A1, a2 I (karena I ideal kiri) a1 – a2 I dan B1, b2 J (karena J ideal kiri) b1 – b2 J Jadi (a1 –a2) + (b1 – b2) I + J

2. ambil x = a + b I + J dengan a I dan b J

dan r Ring R berlaku

rx = r (a + b) = ra + rb

a I dan r R (karena I ideal kiri dari ring R) ra I

b J dan r R (karena J ideal kiri dari ring R) rb J

jadi ra + rb I + J

Karena syarat (1) dan (2) dipenuhi oleh I + J maka I + J adalah ideal kiri dari ring R