Ricardo Ehlers [email protected] · sofreram infarto sortear 3 sem reposi˘c~ao e contar quantos...
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Modelos Probabilisticos Discretos
Ricardo [email protected]
Departamento de Matematica Aplicada e EstatısticaUniversidade de Sao Paulo
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A distribuicao Uniforme Discreta
Suponha um experimento com um numero finito de possıveisresultados, todos com a mesma probabilidade de ocorrer. Definauma v.a. X cujos possıveis valores {x1, . . . , xk} estao associadosaos resultados deste experimento. Entao,
P(X = xi ) =1
k, i = 1, . . . , k.
E (X ) =1
k
k∑i=1
xi
Var(X ) =1
k
k∑i=1
[xi − E (X )]2 =1
k
[k∑
i=1
x2i − kE (X )2
]
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A distribuicao de Bernoulli
▶ Estamos interessados na ocorrencia de um sucesso ou falhacom
P(sucesso) = p e P(fracasso) = 1− p
▶ Define-se a variavel aleatoria,
X =
{1, se ocorre sucesso0, se ocorre fracasso
▶ A funcao de probabilidade fica,
P(X = x) =
{px(1− p)1−x se x ∈ {0, 1}
0 caso contrario.
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Dizemos que X tem distribuicao de Bernoulli com parametro p,
X ∼ Bernoulli(p), 0 < p < 1.
E (X ) = 1× P(X = 1) + 0× P(X = 0) = p
E (X 2) = 1× P(X = 1) + 0× P(X = 0) = p
Var(X ) = E (X 2)− E 2(X ) = p − p2 = p(1− p).
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A distribuicao Binomial
▶ Sejam n ensaios de Bernoulli independentes, com n fixo eP(sucesso) = p.
▶ Seja X o numero total de sucessos obtidos, independente daordem em que eles ocorrem.
▶ A variavel aleatoria X tem distribuicao Binomial comparametros n e p,
X ∼ Binomial(n, p), 0 < p < 1.
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Funcao de probabilidade,
P(X = k) =
(n
k
)pk(1− p)n−k
=n!
k!(n − k)!pk(1− p)n−k , k = 0, 1, . . . , n
E (X ) =n∑
k=0
k
(n
k
)pk(1− p)n−k = np
Var(X ) = np(1− p)
ϕX (t) = (p et + 1− p)n
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Representacao Alternativa
Sejam X1, . . . ,Xn variaveis aleatorias independentes eidenticamente distribuidas tais que
Xi ∼ Bernoulli(p), i = 1, . . . , n.
Entao,
X =n∑
i=1
Xi ∼ Binomial(n, p).
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0 1 2 3 4 5
p = 0.2
Pro
babi
lidad
es
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0 1 2 3 4 5
p = 0.5
Pro
babi
lidad
es
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0 1 2 3 4 5
p = 0.7
Pro
babi
lidad
es
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0 1 2 3 4 5
p = 0.9
Pro
babi
lidad
es
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
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0 3 6 9 12 16 20
p = 0.2
Pro
babi
lidad
es
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0 3 6 9 12 16 20
p = 0.5
Pro
babi
lidad
es
0.00
0.05
0.10
0.15
0 3 6 9 12 16 20
p = 0.7
Pro
babi
lidad
es
0.00
0.05
0.10
0.15
0 3 6 9 12 16 20
p = 0.9
Pro
babi
lidad
es
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
9 / 30
0 13 28 43 58 73 88
p = 0.2
Pro
babi
lidad
es
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0 13 28 43 58 73 88
p = 0.5
Pro
babi
lidad
es
0.00
0.02
0.04
0.06
0 13 28 43 58 73 88
p = 0.7
Pro
babi
lidad
es
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0 13 28 43 58 73 88
p = 0.9
Pro
babi
lidad
es
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
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Exemplo. Em uma linha de montagem estima-se que a proporcaode itens defeituosos e aproximadamente 0.1.
▶ Assume-se que esta proporcao e (aproximadamente) constanteao longo do processo.
▶ 20 itens sao selecionados de forma independente.
▶ Calcular P(no maximo 2 itens defeituosos), o numero mediode defeituosos e sua variancia.
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Definindo a variavel aleatoria X como o numero de itensdefeituosos a P(no maximo 2 itens defeituosos) e dada por,
P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
=
(20
0
)0.10 0.920 +
(20
1
)0.11 0.919 +
(20
2
)0.12 0.918
= 0.1216 + 0.2702 + 0.2852 = 0.677.
E (X ) = np = 2
Var(X ) = np(1− p) = 1.8
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Experimentos nao binomiais
▶ Lancar um dado ate que apareca o numero 6. (Numero derepeticoes nao e fixo).
▶ Testar itens em um lote ate encontrar 5 defeituosos.
▶ De um conjunto de 20 prontuarios de pacientes dos quais 5sofreram infarto sortear 3 sem reposicao e contar quantossofreram infarto.
▶ De um lote de itens manufaturados retirar 15 itens semreposicao e verificar quantos sao defeituosos e naodefeituosos. (Ensaios nao sao independentes).
▶ Calcular a probabilidade de ganhar na Mega-Sena (apostadorescolhe 7 dezenas dentre 60).
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Distribuicao Hipergeometrica
Considere um experimento que resulta em ensaios de Bernoullidependentes. Uma forma de induzir dependencia consiste emamostrar sem reposicao de uma populacao finita.
Suponha que temos uma amostra e uma populacao tais que,
▶ Populacao: tem M elementos do tipo I, N −M do tipo II.
▶ Amostra: tem k elementos do tipo I, n − k do tipo II.
Suponha que itens sao sorteados sem reposicao.
Seja a v.a. X o numero de elementos do tipo I na amostra.
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Dizemos que X tem distribuicao hipergeometrica com funcao deprobabilidade,
P(X = k) =
(M
k
)(N −M
n − k
)(N
n
) ,
k = max(0, n − (N −M)), . . . ,min(M, n).
E (X ) = nM
N= np
Var(X ) = nM
N
N −M
N
(1− n − 1
N − 1
)= np(1− p)
(1− n − 1
N − 1
).
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▶ Se n = 1 entao k = 0 ou k = 1,
P(X = 1) =
(M
1
)(N −M
0
)(N
1
) =M
N, X ∼ Bernoulli(M/N).
▶ Se os itens forem sorteados com reposicao,
X ∼ Binomial
(n,
M
N
).
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Exemplo. Um fabricante garante que produz 10% de itensdefeituosos. De um lote com 100 itens serao selecionados 5 aoacaso, sem reposicao. Qual a probabilidade de nenhum serdefeituoso?
Populacao: N = 100, M=10 (itens defeituosos)Amostra: n = 5, k = 0X : numero de defeituosos na amostra.
P(X = 0) =
(10
0
)(90
5
)(100
5
) ≈ 0, 584
E (X ) = 5× 0.1 = 0.5
Var(X ) = 5× 0.1× 0.9
(1− 5− 1
100− 1
)≈ 0, 4318
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0 1 2 3 4 5
Pro
babi
lidad
es
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
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Distribuicao Geometrica
▶ Suponha que ensaios de Bernoulli sao realizados de formaindependente e com a mesma probabilidade de sucesso (p).
▶ Seja X o numero de ensaios necessarios antes de ocorrerprimeiro sucesso. Por exemplo,
▶ Numero de inspecoes necessarias antes de encontrar-se umitem defeituoso em um lote.
▶ Numero de nascimentos antes de nascer um menino.
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Dizemos que X tem distribuicao Geometrica com parametro p,
X ∼ Geometrica(p), 0 < p < 1,
com funcao de probabilidade,
P(X = k) = (1− p)kp, k = 0, 1, 2, . . . .
E (X ) =1− p
p
Var(X ) =1− p
p2.
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Exemplo. Um motorista ve uma vaga de estacionamento em umarua. Ha 5 carros na frente dele, e cada um deles tem probabilidade0.2 de tomar a vaga. Qual a probabilidade da vaga ser tomadapelo carro que esta imediatamente a frente dele?
Seja a v.a. X o numero de carros que passam pela vaga antes queela seja tomada (sucesso). Cada motorista toma a vaga ou nao deforma independente. Entao,
P(X = 4) = (0.8)4 0.2 = 0.08192.
E (X ) = 0.8/0.2 = 4
Var(X ) = 0.8/0.04 = 20
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0 3 6 9 12 16 20
p = 0.2
Pro
babi
lidad
es
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0 3 6 9 12 16 20
p = 0.5
Pro
babi
lidad
es
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0 3 6 9 12 16 20
p = 0.7
Pro
babi
lidad
es
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0 3 6 9 12 16 20
p = 0.9
Pro
babi
lidad
es
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
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Falta de memoria
Se X e uma variavel aleatoria com distribuicao Geometrica,
P(X ≥ j + k|X ≥ j) = P(X ≥ k).
Definicao alternativa. Seja Y o numero de ensaios ate ocorrer oprimeiro sucesso. Entao Y = X + 1,
P(Y = j) = (1− p)j−1p, j = 1, 2, . . . .
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Distribuicao Binomial Negativa
Seja X o numero de ensaios de Bernoulli independentes antes deocorrerem r sucessos.
X tem distribuicao de binomial negativa com parametros r e p,denotando-se X ∼ BN(r , p). Sua funcao de probabilidade e dadapor,
p(x |r , p) =(r + x − 1
x
)pr (1− p)x , x = 0, 1, . . .
para r ≥ 1 e 0 < p < 1.
E (X ) =r(1− p)
p
V (X ) =r(1− p)
p2.
Quando r = 1, X ∼ Geometrica(p). 24 / 30
A distribuicao de Poisson
Usada para modelar o numero de ocorrencias de um certofenomeno, durante um intervalo fixo de tempo ou regiao fixa doespaco. Exemplos,
▶ o numero de chamadas recebidas por uma central telefonicapor hora,
▶ o numero de defeitos por unidade de comprimento de uma fitamagnetica,
▶ o numero de nmetoides encontrados por unidade de superfıciede solo,
▶ o numero diario de novos casos de cancer de mama, etc.
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Seja a variavel aleatoria X o numero de ocorrencias por intervalofixo (de tempo ou espaco). Dizemos que X tem distribuicao dePoisson com parametro λ,
X ∼ Poisson(λ), λ > 0,
com funcao de probabilidade,
P(X = k) =λke−λ
k!, λ > 0, k = 0, 1, . . . .
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E (X ) =∞∑k=0
kλke−λ
k!= λ
Var(X ) =∞∑k=0
(k − E (X ))2λke−λ
k!= λ
lembrando que
ex =∞∑k=0
xk
k!
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0 2 4 6 8 10
λ = 1
Pro
babi
lidad
es
0.000.050.100.150.200.250.300.35
0 2 4 6 8 10
λ = 2
Pro
babi
lidad
es
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0 2 4 6 8 11 14
λ = 5
Pro
babi
lidad
es
0.00
0.05
0.10
0.15
0 4 8 12 17 22 27
λ = 15
Pro
babi
lidad
es
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
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Exemplo. Um vendendor de seguros vende em media 3 apolicespor semana. Calcule a probabilidade dele vender 2 ou mais apolicesnuma dada semana.
Definindo a variavel aleatoria X o numero de apolices vendidas porsemana e assumindo que X ∼ Poisson(λ) segue que λ = 3 e,
P(X ≥ 2) = 1− P(X < 2) = 1− [P(X = 0) + P(X = 1)]
= 1− 30e−3
0!− 31e−3
1!≈ 0.8
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Considerando 5 dias uteis na semana, calcule a probabilidade delevender 1 apolice num dado dia.
O numero medio de apolices vendidas por dia e 3/5=0.6.Definindo a variavel aleatoria Y o numero de apolices vendidas pordia, e assumindo que Y ∼ Poisson(θ) entao θ = 0.6 e,
P(Y = 1) =0.61e−0.6
1!≈ 0.3293.
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