RIBA - klevas.mif.vu.ltstepanauskas/AM1/R.pdf · 1apibrežimas.˙...

RIBA

G. Stepanauskas

2019 09 20

Turinys1 SKAIČIAI 3

1.1 Naturalieji skaičiai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Sveikieji skaičiai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Racionalieji skaičiai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Realieji skaičiai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 FUNKCIJA 32.1 Funkcijos apibrežimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Atvirkštine funkcija. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Sudetine funkcija. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.4 Funkciju periodiškumas ir lygiškumas. . . . . . . . . . . . . . 62.5 Elementariosios funkcijos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.5.1 Pagrindines elementariosios funkcijos . . . . . . . . . . 62.5.2 Elementariosios funkcijos . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.6 Hiperbolines funkcijos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.7 Atvirkštines hiperbolines funkcijos . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 AIBES 113.1 Aibes sąvoka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2 Aibiu palyginimas ir kitos operacijos . . . . . . . . . . . . . . 113.3 Aibiu režiai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4 SEKA 134.1 Montonines sekos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5 SEKOS RIBA 155.1 Seku savybes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165.2 Skaičius e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1

TURINYS TURINYS

5.3 Sekos konvergavimo Koši kriterijus . . . . . . . . . . . . . . . 235.4 Begalines ribos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.5 Dalines sekos ribos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

6 FUNKCIJOS RIBA 266.1 Funkcijos ribos taške sąvoka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266.2 Funkcijos ribos pagrindines savybes . . . . . . . . . . . . . . . 276.3 Begalines funkcijos ribos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276.4 Vienpuses funkcijos ribos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296.5 Fukcijos apatine ir viršutine ribos . . . . . . . . . . . . . . . . 306.6 Neapibrežtumai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316.7 Keletas svarbiu ribu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326.8 Nykstamosios funkcijos. Ju palyginimas . . . . . . . . . . . . . 32

7 GRAIKIŠKOS RAIDES 34

2

2 FUNKCIJA

1 SKAIČIAI

1.1 Naturalieji skaičiai

1.2 Sveikieji skaičiai

1.3 Racionalieji skaičiai

1.4 Realieji skaičiai

Algebriniai, transcendentiniai.

2 FUNKCIJA

2.1 Funkcijos apibrežimas. Jos grafikas. Ivairiai duotosfunkcijos

Tegul X ir Y yra dvi aibes. Gali buti skaičiu aibes, bet gali buti ir kitokiuobjektu aibes. Aibiu X ir Y narius žymekime x ir y.

1 apibrežimas. Taisykle aibesX nariui x priskirianti vieninteli aibes Y nariy vadinama funkcija. Ši taisykle (funkcija) visiems x ∈ X priskiria narius išY . Skirtingiems x tie nariai gali buti skirtingi, bet gali ir sutapti. Aibe Xvadinama funkcijos apibrežimo aibe (arba apibrežimo sritimi). Ta aibes Ydalis, kurios nariai priskiriami aibes X nariams, vadinama funkcijos reikšmiuaibe (arba reikšmiu sritimi) Yf . Dydis x vadinamas laisvuoju kintamuojuarba funkcijos argumentu, o y priklausomu kintamuoju.

1 pastaba. Taisykle aibes bent vienam X nariui x priskirianti daugiau kaipvieną (keletą) aibes Y nariu vadinama daugiareikšme funkcija.

Paprastai funkcijos žymimos: y = f(x) arba f : X → Y , arba X f−→ Y .

2 apibrežimas. Tašku aibes

(x, y) : x ∈ X, y = f(x)

vaizdas plokštumoje (naudojant koordinačiu sistemą, kai statmenos koor-dinatines ašys yra x ir y), vadinamas funkcijos y = f(x) grafiku. Tokiakoordinačiu sistema vadinama Dekarto koordinačiu sistema.

3

2.2 Atvirkštine funkcija. 2 FUNKCIJA

Taisykles vienos aibes nariams priskiriančios kitos aibes narius gali butilabai ivairios. Taigi, ir funkcijos gali buti ivairiai duotos. Tai gali butiapibudinta žodžiais, formulemis, lentelemis, tik grafiku ar dar kaip nors ki-taip.

1 pavyzdys. Yra trys vaikai ir keturi vaisiai: obuolys, kriauše, mandarinasir ananasas. Pirmajam vaikui duodame obuoli ir mandariną, antrajam –kriaušę, o trečiajam – ananasą. Turime funkciją, kuri vaisiu aibę paskirstovaiku aibei.

2 pavyzdys. Funkcija duota formule:

y = x2, X = (−∞,+∞).

3 pavyzdys.x y1 102 103 154 205 16√

617 0

4 pavyzdys. Grafikas

2.2 Atvirkštine funkcija.

Tarkime, turime funkciją y = f(x) ir funkcijos reikšmiu aibe Yf neturitokiu nariu, kurie buvo priskirti skirtingiems x. Tai yra funkcija tokia, kadskirtingiems apibrežimo aibes X nariams priskirti skirtingi nariai iš Y .

Jei paimsime y ∈ Yf surasime vieninteli x, kuriam jis buvo priskirtas.Taigi turime funkciją, kuri aibes Yf nariams priskiria aibes X narius. Šifunkcija vadinama atvirkštine funkcijos y = f(x) funkcija ir žymima x =f−1(y) arba f−1 : Yf → X. Čia jau y yra argumentas (nepriklausomaskintamasis), o x priklausomas kintamasis.

5 pavyzdys. Funkcijosy = 2x+ 1

atvirkštine funkcija yra

x =y − 1

2.

4

2.3 Sudetine funkcija. 2 FUNKCIJA

6 pavyzdys. Funkcijay = x2,

kai funkcijos apibrežimo aibe X = (−∞,+∞), atvirkštines neturi, nes yraaibes X nariu, kuriems priskiriami tie patys y. Pavyzdžiui, kai x = −1 arbax = 1, abiem atvejais y = 1.

7 pavyzdys. Bet funkcijay = x2,

kai funkcijos apibrežimo aibe X = (0,+∞), atvirkštinę funkciją turi:

x =√y.

2.3 Sudetine funkcija.

Tegul yra duotos dvi funkcijos. Viena

f : X → Y (y = f(x)),

kitag : Y → Z (z = g(y)).

Galime paimti x ∈ X ir jam priskirti y = f(x). O toliau šiam y dar priskirtiz = g(y). Turime tokią sudetingą taisyklę (funkciją) kaip su dvieju funkcijupagalba pasirinktam x ∈ X priskiriame z ∈ Z:

h : X → Z (h : X → Y → Z).

Ši funkcija h, gauta su dvieju funkciju f ir g pagalba vadinama sudetinefunkcija arba funkciju f ir g kompozicija.

Ši sudetine funkcija h žymima taip:

z = h(x) = g(f(x)).

8 pavyzdys. Tegul y = sinx, o z = y2. Tuomet sudetine funkcija

z = sin2 x.

9 pavyzdys. Tegul y = sinx, o z =√y. Šiuo atveju sudetine funkcija visoje

funkcijos y = sin x apibrežimo aibeje X = (−∞,+∞) negali buti apibrežta,nes funkcijos z =

√y apibrežimo aibe Y yra mažesne už funkcijos y = sinx

reikšmiu aibę. Sudetinę funkciją z = g(f(x)) =√

sinx galima apibrežti tiksiauresneje apibrežimo aibeje

X =⋃n∈Z

[2πn, 2πn+ π]

= . . . , [−4π,−3π], [−2π,−π], [0, π], [2π, 3π], [4π, 5π], . . . .

5

2.4 Funkciju periodiškumas ir lygiškumas. 2 FUNKCIJA

2.4 Funkciju periodiškumas ir lygiškumas.

3 apibrežimas. Funkcija y = f(x) vadinama periodine, jei ∃P > 0, toks,kad ∀x ∈ X

(1) f(x+ P ) = f(x).

Mažiausias iš tokiu P > 0 vadinamas funkcijos f(x) periodu.

Funkcija cosx yra periodine, nes

cos(x+ 4π) = cos x.

Bet funkcijos periodas yra lygus 2π, nes mažiausias teigiamas P , kuriamteisinga lygybe (1) yra 2π.

Kita periodine funkcija yra skaičiaus trupmenine dalis:

x+ z = x ∀z ∈ Z.

Jos periodas yra lygus 1.

4 apibrežimas. Funkcija y = f(x) vadinama lygine, jei ∀x ∈ X

f(−x) = f(x).

5 apibrežimas. Funkcija y = f(x) vadinama nelygine, jei ∀x ∈ X

f(−x) = −f(x).

Funkcija y = x2 yra lygine, nes

(−x)2 = x2,

o funkcija y = x5 yra nelygine, nes

(−x)5 = −x5.

2.5 Elementariosios funkcijos

2.5.1 Pagrindines elementariosios funkcijos

1.Laipsnine funkcijay = xα, α ∈ R.

Funkcijos apibrežimo aibe X priklauso nuo α. Pavyzdžiui, jei α ∈ N, taiX = R. Koks α bebutu, visuomet X gali buti bent jau R+.

6

2.5 Elementariosios funkcijos 2 FUNKCIJA

2. Rodikline funkcija

y = ax, a > 0, a 6= 1.

Funkcijos apibrežimo aibeX = R. Labai dažnai naudojama rodikline funkcijasu pagrindu e: y = ex.

3. Logaritmine funkcija

y = loga x, a > 0, a 6= 1.

Funkcijos apibrežimo aibe X = R+. Labai dažnai naudojama logaritminefunkcija su pagrindu e: y = loge x = log x = lnx. Logaritmine funkcija supagrindu 10 žymima log10 x = lg x.

4. Trigonometrines funkcijos.4.1. Sinusas

y = sinx.

Jo apibrežimo aibe X = R.4.2. Kosinusas

y = cosx.

Jo apibrežimo aibe X = R.4.3. Tangentas

y = tgx = tanx.

Jo apibrežimo aibe x ∈ R, x 6= π

2+ πk, k ∈ Z.

4.4. Kotangentasy = ctgx = cotx.

Jo apibrežimo aibe x ∈ R, x 6= πk, k ∈ Z.Rečiau naudojamos trigonometrines funkcijos.4.5. Sekantas

y = secx :=1

cosx.

Jo apibrežimo aibe x ∈ R, x 6= π

2+ πk, k ∈ Z.

4.6. Kosekantasy = cscx :=

1

sinx.

Jo apibrežimo aibe x ∈ R, x 6= πk, k ∈ Z.5. Atvirkštines trigonometrines funkcijos.5.1. Arksinusas

y = arcsinx.

Jo apibrežimo aibe x ∈ [−1, 1].

7

2.5 Elementariosios funkcijos 2 FUNKCIJA

5.2. Arkkosinusasy = arccosx.

Jo apibrežimo aibe x ∈ [−1, 1].5.3. Arktangentas

y = arctgx = arctanx.

Jo apibrežimo aibe X = R.5.4. Arkkotangentas

y = arcctgx = arccotx.

Jo apibrežimo aibe X = R.

2.5.2 Elementariosios funkcijos

Elementariosios funkcijos gaunamos iš pagrindiniu elementariuju funkcijubaigtini skaičiu kartu naudojant pagrindines aritmetines operacijas (sudeti,atimti, daugybą, dalybą) ir šiu funkciju kompoziciją.

10 pavyzdys. Funkcijos

1) y =73x

sin2 ln(x+ x5)+ arcsin ex,

2) y = |x| =√x2

yra elementarios.

11 pavyzdys. Dirichle funkcija

D(x) =

1, kai x ∈ [0, 1]

⋂Q,

0, kai x ∈ [0, 1]⋂R \Q,

nera elementari.

1 užduotis. Irodykite, kad funkcija

y = xcosx

yra elementari.

8

2.6 Hiperbolines funkcijos 2 FUNKCIJA

2.6 Hiperbolines funkcijos

1. Hiperbolinis sinusas

(2) sinhx =ex − e−x

2.

Jo apibrežimo aibe X = R.2. Hiperbolinis kosinusas

coshx =ex + e−x

2.

Jo apibrežimo aibe X = R.3. Hiperbolinis tangentas

tanhx =ex − e−x

ex + e−x.

Jo apibrežimo aibe X = R.4. Hiperbolinis kotangentas

cothx =ex + e−x

ex − e−x.

Jo apibrežimo aibe X = R \ 0.Kai kurios hiperboliniu funkciju savybes labai panašios i trigonometriniu

funkciju savybes. Pavyzdžiui

(3) cosh2 x− sinh2 x = 1.

2 užduotis. Patikrinkite (3) lygybę.

3 užduotis. Irodykite, kad

sinh(x± y) = sinh x cosh y ± coshx sinh y.

5. Hiperbolinis sekantas

sechx =2

ex + e−x.

Jo apibrežimo aibe X = R.6. Hiperbolinis kosekantas

cschx =2

ex − e−x.

Jo apibrežimo aibe X = R \ 0.

9

2.7 Atvirkštines hiperbolines funkcijos 2 FUNKCIJA

2.7 Atvirkštines hiperbolines funkcijos

1. Hiperbolinis areasinusas. Išsprendę lygybę (2) x atžvilgiu ir sukeitęžymejimus. T.y. funkciją žymedami y, o argumentą x, gausime

arsinhx = ln(x+√x2 + 1

).

Jo apibrežimo aibe X = R.Spręsdami kitas hiperboliniu funkciju apibrežimo lygtis, gausime kitas

atvirkštines hiperbolines funkcijas.2. Hiperbolinis areakosinusas

arcoshx = ln(x+√x2 − 1

).

Jo apibrežimo aibe X = [1,+∞).3. Hiperbolinis areatangentas

artanhx =1

2ln

(x+ 1

x− 1

).

Jo apibrežimo aibe X = (−1, 1).4. Hiperbolinis areakotangentas

arcothx =1

2ln

(1 + x

1− x

).

Jo apibrežimo aibe X = (−∞,−1)⋃

(1,+∞).5. Hiperbolinis areasekantas

arsechx = ln

(1

x+

√1

x2− 1

)= ln

(1 +√

1− x2x

).

Jo apibrežimo aibe X = (0, 1].6. Hiperbolinis areakosekantas

arcschx = ln

(1

x+

√1

x2+ 1

)= ln

(1 + sgnx

√1 + x2

x

).

Jo apibrežimo aibe X = (−∞, 0)⋃

(0,+∞).

10

3 AIBES

3 AIBES

3.1 Aibes sąvoka

6 apibrežimas. Aibe – aiškiai apibrežtu objektu (nesutampančiu) rinkinys.

Tie objektai vadinami aibes nariais arba aibes elementais. Objektais galibuti bet kas: skaičiai, žmones, kitos aibes, kažkokiu objektu savybes ir t.t.Aibes paprastai yra žymimos didžiosiomis rademis. Gali buti išrašomi iraibes elementai, rašant juos tarp riestiniu skliaustu ir atskiriant kableliais.

Apibrežiama ir tuščia aibe, t.y. aibe neturinti nei vieno elemento. Jižymima ∅.

Matematikoje aibe yra pirmine sąvoka ir viena iš svarbiausiu pagrindiniusąvoku.

12 pavyzdys. Pirmieji keturi lyginiai skaičiai

A = 2, 4, 6, 8.

13 pavyzdys. Lietuvos veliavos spalvos

B = geltona, žalia, raudona.

3.2 Aibiu palyginimas ir kitos operacijos

7 apibrežimas. Jei ∀a ∈ A ⇒ a ∈ B, tuomet aibe A vadinama aibes Bpoaibiu ir žymima A ⊂ B.

Aibe A yra lygi aibei B, kai jos abi turi tuos pačius elementus. RašomaA = B. Aišku, kad A = B tada ir tik tada, kai A ⊂ B ir B ⊂ A.

14 pavyzdys. Teigiamu lyginiu skaičiu aibe yra naturaliuju skaičiu aibespoaibis

2, 4, 6, . . . , 2n, . . . ⊂ N.

8 apibrežimas. Aibe C, kurią sudaro visi aibes A ir aibes B elementai,vadinama aibiu A ir B sąjunga ir žymima C = A ∪B.

15 pavyzdys.2, 4, 6, 8 ∪ 1, 2 = 2, 4, 6, 8, 1.

9 apibrežimas. Aibe C, kurią sudaro elementai priklausantys ir aibei A, iraibei B, vadinama aibiu A ir B sankirta ir žymima C = A ∩B.

11

3.3 Aibiu režiai 3 AIBES

16 pavyzdys.

2, 4, 6, 8 ∩ 1, 2, 4, 0, 7,−3 = 2, 4.

10 apibrežimas. Aibe C, kurią sudaro elementai priklausantys aibei A, betnepriklausantys aibei B, vadinama aibiu A ir B skirtumu ir žymima C =A \B.

17 pavyzdys.

2, 4, 6, 8 \ 1, 2, 4, 0, 7,−3 = 6, 8,

1, 2, 3 \ 4 = 1, 2, 3,

Yra ir daugiau aibiu operaciju, bet mes ju nenagrinesime.

3.3 Aibiu režiai

Šiame skyrelyje kalbesime tik apie skaičiu aibes. Del to, kad ju elementusgalima palyginti.

11 apibrežimas. Skaičius M vadinamas aibes A viršutiniu režiu, jei

∀a ∈ A a 6M.

Tokiu atveju pati aibe vadinama aprežta iš viršaus.

12 apibrežimas. Pats mažiausias iš visu aibes A viršutiniu režiu M (jeitokio baigtinio skaičiaus nera, tai +∞) vadinamas tiksliuoju viršutiniu režiuir žymimas supA:

supA := minM arba +∞.

13 apibrežimas. Skaičius m vadinamas aibes A apatiniu režiu, jei

∀a ∈ A a > m.

Tokiu atveju pati aibe vadinama aprežta iš apačios.

14 apibrežimas. Pats didžiausias iš visu aibes A apatiniu režiu m (jei tokiobaigtinio skaičiaus nera, tai −∞) vadinamas tiksliuoju apatiniu režiu ir žymi-mas inf A:

inf A := maxm arba −∞.

12

4 SEKA

18 pavyzdys.

supN = +∞, sup(0, 1) = 1, sup0, 5, 8 = 8,

inf N = 1, inf(0, 1) = 0, inf0, 5, 8 = 0.

Be irodymo pateiksime vieną teoremą. Veliau ja naudosimes.

1 teorema. Netuščia aibe, kuri yra aprežta iš viršaus (iš apačios), turi tiksluviršutini (apatini) reži.

4 SEKA15 apibrežimas. Seka – sunumeruotas objektu rinkinys, kuriame leidžiamipasikartojimai.

Tie objektai vadinami sekos nariais arba sekos elementais. Elemento pozi-cija sekoje – indeksas ( naturalusis skaičius, kurio vaizdas (funkcijos reikšme)yra pats sekos narys). Sekos ilgis – elementu skaičius sekoje. Taigi, kaielementu skaičius baigtinis, turime baigtines sekas, jei elementu be galo daug,turime begalines sekas. Kitais žodžiais tariant, begaline seka – funkcija, ku-rios apibrežimo aibe yra N.

Toliau mes nagrinesime tik begalines sekas.Seku žymejimai:

x1, x2, . . . , xn, . . . arba xn, n = 1, 2, . . .,

arba tiesiog xn, arba xn.

Jeigu iš sekos xn išmetame kažkiek elementu ir nekeičiame likusiu elementunumeravimo tvarkos gauname sekos poseki. Posekis paprastai žymimas xnk

,k = 1, 2, 3, . . . Aišku, kad posekio indeksu seka n1, n2, n3, . . . yra naturaliujuskaičiu aibes N poaibis, išrašytas didejimo tvarka. Pati seka xn taip patlaikoma sekos xn posekiu (trivialiuoju posekiu).

19 pavyzdys. Seku pavyzdžiai:

(4) xn = n− naturaliuju skaičiu seka,

(5) yn = 2n− lyginiu naturaliuju skaičiu seka,

zn = 1 +n

n2 + 6,

13

4.1 Montonines sekos 4 SEKA

un = ln

(1 +

1

n

),

(5) seka yn yra (4) sekos xn posekis,

(6) 1, 0, 2, 0, 3, 0, 4, 0, . . . , n, 0, . . .

− seka, kurioje yra pasikartojančiu skaičiu,

(4) seka xn ir (5) seka yn yra (6) sekos posekiai.

(6) seką galima užrašyti ir taip un =(1− (−1)n)(n+ 1)

4

arba dar kitaip un =

0, kai n = 2k,n+ 1

2, kai n = 2k − 1.

4.1 Montonines sekos

16 apibrežimas. Seka xn vadinama didejančia, jei ∀n xn+1 > xn. Žymesimexn ↑.

17 apibrežimas. Seka xn vadinama mažejančia, jei ∀n xn+1 < xn. Žymesimexn ↓.

18 apibrežimas. Seka xn vadinama nemažejančia, jei ∀n xn+1 > xn. Žymesimexn 6↓.

19 apibrežimas. Seka xn vadinama nedidejančia, jei ∀n xn+1 6 xn. Žymesimexn 6↑.

Didejančios, mažejančios, nemažejančios ir nedidejančios sekos vadinamosmonotoninemis sekomis. Didejančios ir mažejančios sekos vadinamos griežtaimonotoninemis sekomis.

20 pavyzdys. 1. Seka xn =1

nyra mažejanti.

2. Seka yn = n yra didejanti.

3. Seka zn =(−1)n

nnera monotonine.

4. Seka 1, 1, 2, 2, 3, 3, . . . , n, n, . . . yra nemažejanti.

5. Seka 2, 2, 2, . . . , 2, . . . yra nemažejanti ir nedidejanti.

14

5 SEKOS RIBA

5 SEKOS RIBA20 apibrežimas. Skaičius a vadinamas sekos xn riba, jei kiekvienam teigia-mam skaičiui ε egzistuoja (galima surasti) toks naturalusis skaičius N , kadvisiems n > N teisinga nelygybe

|xn − a| < ε.

Ribu trumpiniai (žymejimai): limn→∞

xn = a arba xnn→∞−−−→ a, arba xn → a.

Sekos ribos apibrežimą galima užrašyti ir simboliais:

limn→∞

xn = a ⇔ ∀ε > 0 ∃N : n > N ⇒ |xn − a| < ε.

Sekos, turinčios (baigtines) ribas, vadinamos konverguojančiomis sekomis.Jeigu seka ribos neturi arba ta riba begaline (begalinę ribą apibrešime veliau),tai seka vadinama diverguojančia.

21 pavyzdys. Irodykime, kad sekos

xn =2n

n− 1, n = 2, 3, . . . ,

riba yra lygi 2, t.y.

(7) limn→∞

2n

n− 1= 2.

Tegul ε > 0. Mums reikia surasti toki N = N(ε), kad

(8) n > N ⇒∣∣∣∣ 2n

n− 1− 2

∣∣∣∣ < ε.

Turime ∣∣∣∣ 2n

n− 1− 2

∣∣∣∣ =2

n− 1.

Beto ∀n > 2 turime, kad n− 1 > n/2, nes

n− 1 > n/2 ⇔ 2n− 2 > n ⇔ n > 2.

Taigi,2

n− 1< ε ⇐ 2

n2

=4

n< ε ⇔ n >

4

ε.

PasirinkimeN =

4

ε.

Tuomet,kai

n > N, turesime, kad∣∣∣∣ 2n

n− 1− 2

∣∣∣∣ < ε.

Taigi, (8) yra teisinga. Kartu teisinga ir (7).

15

5.1 Seku savybes 5 SEKOS RIBA

5.1 Konverguojančiu seku savybes

2 teorema. Seka gali tureti ne daugiau kaip vieną ribą.

Irodymas. Tarkime, kad seka xn turi dvi skirtingas ribas a ir b, a 6= b. Išribos apibrežimo turime, kad

∀ε > 0 ∃N1 : n > N1 ⇒ |xn − a| < ε,

∀ε > 0 ∃N2 : n > N2 ⇒ |xn − b| < ε.

Kai n > N = max(N1, N2), abi parašytos nelygybes yra teisingos. Jos

teisingos ∀ε > 0, taigi ir, kai ε =|a− b|

4. Bet, kai n > N ,

4ε = |a− b| = |a− xn + xn − b| 6 |a− xn|+ |xn − b| < ε+ ε = 2ε.

Gautas prieštaravimas, 4ε < 2ε, paneigia prielaidą, kad seka gali tureti dviskirtingas ribas. Teorema irodyta.

3 teorema. Konverguojanti seka yra aprežta.

Irodymas. Iš konverguojančios sekos apibrežimo išplaukia, kad

∀ε > 0 ∃N : n > N ⇒ |xn − a| < ε.

Iš paskutiniosios nelygybes turime, kad

a− ε < xn < a+ ε,

kai n > N . Už intervalo (a − ε, a + ε) ribu gali buti tik baigtinis skaičiussekos xn nariu, t.y. tik nariai x1, x2, . . . , xN . Galime paimti

m = min(a− ε, x1, . . . , xN), M = max(a+ ε, x1, . . . , xN).

Skaičiai m ir M ir bus sekos xn apatinis ir viršutinis režiai. Seka xn yraaprežta:

∀n m 6 xn 6M.

Teorema irodyta.

4 teorema. (Ribinis perejimas nelygybese.) Tegul xn → a, yn → b ir∀n xn > yn. Tuomet a > b.

16


Irodymas. Tarkime, priešingai, a < b. Iš ribos apibrežimo turime, kad

∀ε > 0 ∃N1 : n > N1 ⇒ |xn − a| < ε,

∀ε > 0 ∃N2 : n > N2 ⇒ |xn − b| < ε.

Kai n > N = max(N1, N2), abi parašytos nelygybes yra teisingos. Jos

teisingos ∀ε > 0, taigi ir, kai ε =b− a

2. Bet, kai n > N , iš ju gauname, kad

xn < a+ ε = a+b− a

2=b+ a

2= b− b− a

2= b− ε < yn.

Gautas prieštaravimas, xn < yn, paneigia prielaidą, kad a < b. Taigi a > b.Teorema irodyta.

5 teorema. (Veiksmai su ribomis.) Tegul xn → a, yn → b (a ir b –baigtines ribos). Tuomet

1.

(9) xn + yn → a+ b;

2.

(10) xn · yn → a · b;

3.

(11)xnyn→ a

b, b 6= 0.

Irodymas. Iš ribos apibrežimo turime, kad

∀ε > 0 ∃N1 : n > N1 ⇒ |xn − a| < ε,

∀ε > 0 ∃N2 : n > N2 ⇒ |yn − b| < ε.

1. Kai n > N = max(N1, N2), abi parašytos nelygybes yra teisingos.Kadangi

|(xn+yn)−(a+b)| = |(xn−a)+(yn−b)| 6 |xn−a|+|yn−b| < ε+ε = 2ε = ε1,

kai n > N , tai (9) lygybe teisinga.Pastebekime, jeigu griežtai laikytumes ribos apibrežimo, tai paskutines

nelygybes dešiniojoje puseje turetume gauti ε, bet gautasis ε1 nekeičia esmes.

17


Nesunku suprasti, kad ir ε1 gali buti bet koks teigiamas skaičius, kai ε yrabet koks teigiamas skaičius, t.y. kai ε perbega visus teigiamus skaičius, tai ε1taip pat perbega visus teigiamus skaičius. Kituose irodymuose nekreipsimei tai demesio. Svarbu, kad panašiu nelygybiu dešiniosiose pusese gautumepakankamai mažus dydžius, kai tik ε maži (tai gales buti šaknys, laipsniai,daugikliai, kuriuose yra ε, ir pan.).

2. Kaip ir anksčiau, iš ribos apibrežimo turime, kad

(12) |xnyn − ab| = |(xnyn − xnb) + (xnb− ab)|6 |xn||yn − b|+ |b||xn − a| 6 |xn|ε+ |b|ε,

kai n > N = max(N1, N2). Kadangi konverguojanti seka yra aprežta (žr. 3teoremą), tai egzistuoja toks M , kad |xn| 6 M ∀n. Tęsdami (12) nelygybęgausime

|xnyn − ab| 6Mε+ |b|ε = (M + |b|)ε.Taigi (10) nelygybe teisinga.

3. Šioje dalyje pirmiausia parodysime, kad

(13) |yn| >|b|2,

kai tik n pakankamai dideli, t.y. n > N3. Iš ribos apibrežimo turime, kad

teigiamam skaičiui ε =|b|2

∃N3 : n > N3 ⇒ |yn − b| < ε =|b|2

arba

(14) b− |b|2< yn < b+

|b|2.

Tegul b > 0. Tuomet iš kairiosios (14) nelygybes puses gausime

|yn| = yn > b− |b|2

=|b|2.

Tegul b < 0. Tuomet iš dešiniosios (14) nelygybes puses gausime

yn < b+|b|2

= b− b

2=b

2

arba|yn| = −yn > −

b

2=|b|2.

18


Taigi (13) nelygybe teisinga, kai tik n > N3.Dabar iš ribos apibrežimo ir gautosios (13) nelygybes turesime

(15)∣∣∣∣xnyn − a

b

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣xnb− aynbyn

∣∣∣∣ 6 2

b2|xnb− ayn|

=2

b2|(xnb− ab) + (ab− ayn)| 6 2

b2(|xnb− ab|+ |ab− ayn|)

=2

b2(|b||xn − a|+ |a||b− yn|) <

2

b2(|b|ε+ |a|ε) =

2

b2(|b|+ |a|)ε,

kai n > N = max(N1, N2, N3). Taigi (11) nelygybe teisinga. Teoremairodyta.

6 teorema. (Monotonines sekos ribos egzistavimo požymis.) Jei sekayra monotonine ir aprežta, tai ji turi ribą.

Irodymas. Tegul seka yra nemažejanti, xn 6↓. Kadangi ji yra aprežta išviršaus, tai ji turi tikslu viršutini reži supxn = a, be to xn 6 a. Irodysime,kad a yra šios sekos riba.

Iš tikslaus viršutinio režio apibrežimo išplaukia, kad

∀ε > 0 ∃N : xN > a− ε.

Kadangi seka nemažejanti, tai

n > N ⇒ xn > xN > a− ε.

Perrašę turesime

∀ε > 0 ∃N : n > N ⇒ |xn − a| < ε.

Vadinasi xn → a. Teorema irodyta.

7 teorema. (Tarpines sekos ribos teorema.) Tegul xn → a, yn → a, ir∀n xn 6 zn 6 yn. Tuomet ir zn → a.

Irodymas. Iš ribos apibrežimo turime, kad

∀ε > 0 ∃N1 : n > N1 ⇒ |xn − a| < ε⇔ a− ε < xn < a+ ε,

∀ε > 0 ∃N2 : n > N2 ⇒ |yn − a| < ε⇔ a− ε < yn < a+ ε.

Kai n > N = max(N1, N2), abi parašytos nelygybes yra teisingos. Iš teore-mos sąlygos ir šiu nelygybiu lengvai gausime

a− ε < xn < zn < yn < a+ ε.

19


Taigi|zn − a| < ε, kai n > N.

Tai reiškia. kad zn → a. Teorema irodyta.

8 teorema. (Bolcano-Vejerštraso lema.) Kiekviena aprežta seka turikonverguojanti poseki.

Irodymas. Kadangi seka xn aprežta, tai egzistuoja toks intervalas [a1, b1],kad visi xn ∈ [a, b]. Padalykime intervalą [a1, b1] pusiau ir tą jo pusę, ku-rioje yra be galo daug sekos xn nariu, pažymekime [a2, b2]. Toliau jau in-tervalą [a2, b2] padalykime pusiau ir tą jo pusę, kurioje yra be galo daugsekos xn nariu, pažymekime [a3, b3]. Taip toliau dalydami intervalus gausimemažejančiu intervalu seką:

[a1, b1] ⊃ [a2, b2] ⊃ · · · ⊃ [ak, bk] ⊃ . . .

Intervalo [a2, b2] ilgis b2 − a2 =b1 − a1

2. Intervalo [a3, b3] ilgis b3 − a3 =

b1 − a122

. Intervalo [ak, bk] ilgis bk − ak =b1 − a1

2k−1.

Kairiuju intervalu galu seka a1, a2, . . . , ak, . . . yra nemažejanti ir aprežtaiš viršaus. Iš 6 teoremos išplaukia, kad ji turi ribą:

limk→∞

ak = a.

Tokią pat ribą turi ir dešiniuju intervalu galu seka b1, b2, . . . , bk, . . ., nes

limk→∞

bk = limk→∞

((bk − ak) + ak) = limk→∞

b1 − a12k−1

+ limk→∞

ak = 0 + a = a.

Dabar parinkime sekos xn poseki tokiu budu:

xn1 ∈ [a1, b1],

xn2 ∈ [a2, b2], n2 > n1,

. . . . . .

xnk∈ [ak, bk], nk > nk−1,

. . . . . .

Taip parinkti galime, nes intervaluose [ak, bk], k = 1, 2, . . ., yra be galo daugsekos nariu.

Kadangiak 6 xnk

6 bk,

20

5.2 Skaičius e 5 SEKOS RIBA

tai iš 7 teoremos išplaukia, kad posekis xnkyra konverguojantis, t.y. turi

ribą:limk→∞

xnk= a.

Teorema irodyta.Nedaug ką pakeitus teoremos irodyme galima butu irodyti tokią teoremą.

9 teorema. Kiekviena aprežta seka turi monotonini konverguojanti poseki.

5.2 Skaičius e

Imkime seką

(16) xn =

(1 +

1

n

)n.

Irodysime, kad ji turi ribą. Pasinaudosime monotonines sekos ribos egzis-tavimo požymiu, 6 teorema. Parodysime, kad seka yra didejanti ir aprežtaiš viršaus.

1. Pritaikę Niutono binomo formulę, gausime

(17) xn =

(1 +

1

n

)n= 1 + n

1

n+n(n− 1)

2

1

n2+n(n− 1)(n− 2)

2 · 31

n3+ . . .

+n(n− 1) . . . (n− (n− 2))

2 · 3 . . . (n− 1)

1

nn−1+n(n− 1) . . . (n− (n− 1))

2 · 3 . . . n1

nn

= 2 +1

2!

(1− 1

n

)+

1

3!

(1− 1

n

)(1− 2

n

)+ . . .

+1

(n− 1)!

(1− 1

n

)(1− 2

n

). . .

(1− n− 2

n

)+

1

n!

(1− 1

n

)(1− 2

n

). . .

(1− n− 1

n

).

Vietoje n irašę n+ 1 gausime xn+1:

(18) xn+1 = 2 +1

2!

(1− 1

n+ 1

)+

1

3!

(1− 1

n+ 1

)(1− 2

n+ 1

)+ . . .

+1

n!

(1− 1

n+ 1

)(1− 2

n+ 1

). . .

(1− n− 1

n+ 1

)+

1

(n+ 1)!

(1− 1

n+ 1

)(1− 2

n+ 1

). . .

(1− n

n+ 1

).

21

5.2 Skaičius e 5 SEKOS RIBA

Palyginkime xn su xn+1. Atitinkamu demenu daugikliai skliaustuose yradidesni pas xn+1. Beto xn+1 turi vienu demeniu daugiau. Taigi ∀n xn+1 > xn.Seka xn yra didejanti, xn ↑.

2. Parodysime sekos xn aprežtumą. (17) formuleje išmeskime visusdaugiklius, esančius skliaustuose. Jie yra mažesni už 1. Del to reiškinystik padides. Dar pasinaudokime nelygybe k! > 2k−1. Taigi iš (17) formulesturesime, kad

(19) xn < 2 +1

2!+

1

3!+ · · ·+ 1

(n− 1)!+

1

n!

6 2 +1

2+

1

22+ · · ·+ 1

2n−2+

1

2n−1

< 2 +1

2+

1

22+ · · ·+ 1

2n+ · · · = 2 +

1

2

1− 1

2

= 3.

Taip pat aišku (nes seka yra didejanti), kad xn > x1 = 2. Taigi seka xn yraaprežta:

2 6 xn < 3.

3. Monotonine ir aprežta seka turi ribą (žr. 6 teoremą). Sekos xn =(1 +

1

n

)nriba vadinama skaičiumi e ir žymima taip pat e:

limn→∞

xn = limn→∞

(1 +

1

n

)n= e.

Apytiksle skaičiaus e reikšme 5 ženklu po kablelio tikslumu yra tokia:

e ≈ 2, 71828.

Skaičius e yra vienas iš svarbesniu skaičiu matematikoje ir fizikoje. Dažnainaudojami logaritmai pagrindu e. Jie vadinami naturaliaisiais logaritmais iržymimi

loge x = log x = lnx.

Rodikline funkcija, kurios pagrindas e, taip pat svarbi ir dažnai pasitaiko.Ji vadinama eksponentine funkcija ir žymima

ex = expx.

22

5.3 Sekos konvergavimo Koši kriterijus 5 SEKOS RIBA

5.3 Sekos konvergavimo Koši kriterijus

21 apibrežimas. Seka xn vadinama Koši seka, jei

(20) ∀ε > 0 ∃N : n > N,m > N ⇒ |xn − xm| < ε.

Koši sekos apibrežimo (20) sąlygas galima pakeisti ekvivalenčiomis:

(21) ∀ε > 0 ∃N : n > N,∀p ∈ N⇒ |xn+p − xn| < ε.

10 teorema. Seka xn konverguoja tada ir tik tada, kai ji yra Koši seka.

Irodymas. Butinumas. Tarkime, kad xn → a. Tuomet

∀ε > 0 ∃N : n > N ⇒ |xn − a| < ε.

Aišku, jei m > N , tai |xm − a| < ε. Iš parašytu pareinamybiu turesime, kad

(22) ∀ε > 0 ∃N : n > N,m > N ⇒ |xn − xm| = |(xn − a) + (a− xm)|6 |xn − a|+ |xn − a| < ε+ ε = 2ε = ε1.

Taigi xn yra Koši seka. Teoremos butinumas irodytas.Pakankamumas. Tarkime,kad xn yra Koši seka.1. Pirmiausia irodysime Koši sekos aprežtumą. Iš Koši sekos apibrežimo

išplaukia, kad|xn − xm| < ε,

kai tik n ir m > N . Paimkime m = N + 1. Tuomet

|xn − xN+1| < ε, kai tik n > N.

ArbaxN+1 − ε < xn < xN+1 + ε, kai n > N.

Matome, kad už intervalo (xN+1− ε, xN+1 + ε) ribu gali papulti tik baigtinisskaičius sekos xn nariu, t.y. tik nariai x1, x2, . . . , xN . Paimkime

m = min(xN+1 − ε, x1, x2, . . . , xN),M = max(xN+1 + ε, x1, x2, . . . , xN).

Dabar jau aišku, kad ∀n m 6 xn 6M . Taigi Koši seka yra aprežta.

23

5.4 Begalines ribos 5 SEKOS RIBA

2. Iš Koši sekos apibrežimo išplaukia, kad

(23) ∀ε > 0 ∃N1 : n > N1,m > N1 ⇒ |xn − xm| < ε.

Kadangi pagal pirmąją irodymo dali seka yra aprežta, tai ji turi konverguojantiposeki (žr. 8 teoremą) xnk

→ a.Iš ribos apibrežimo išplaukia, kad

(24) ∀ε > 0 ∃N2 : k > N2 ⇒ |xnk− a| < ε.

Paimkime N = max(N1, N2) ir ivertinkime |xk − a|, kai k > N . Galimeužrašyti

|xk − a| = |(xk − xnk) + (xnk

− a)| 6 |xk − xnk|+ |xnk

− a|.

Iš posekio apibrežimo turesime, kad indeksas nk yra nemažesnis už k, nk > k.Todel, kai k > N , iš (23) pareinamybes gausime, kad

|xk − xnk| < ε.

Atsižvelgę dar ir i (24) pareinamybę, turesime

|xk − a| < ε+ ε = 2ε = ε1, kai k > N.

Taigi seka xn konverguoja. Teoremos pakankamumas irodytas.

5.4 Begalines ribos

22 apibrežimas. Sakysime, kad sekos xn riba yra begalybe (seka diverguojai begalybę), jei

∀E > 0 ∃N : n > N ⇒ |xn| > E.

Trumpiniai (žymejimai): limn→∞

xn =∞ arba xnn→∞−−−→∞, arba xn →∞.

23 apibrežimas. Sakysime, kad sekos xn riba yra plius begalybe (seka di-verguoja i plius begalybę), jei

∀E > 0 ∃N : n > N ⇒ xn > E.


xn = +∞ arba xnn→∞−−−→ +∞, arba xn →

+∞.

24 apibrežimas. Sakysime, kad sekos xn riba yra minus begalybe (sekadiverguoja i minus begalybę), jei

∀E > 0 ∃N : n > N ⇒ xn < −E.


xn = −∞ arba xnn→∞−−−→ −∞, arba xn →

−∞.

24

5.5 Dalines sekos ribos 5 SEKOS RIBA

5.5 Dalines sekos ribos

Iš Bolcano-Vejerštraso lemos išplaukia, kad kiekviena aprežta seka turi konver-guojanti poseki. Jeigu seka nera aprežta iš viršaus (iš apačios), ji tures poseki,kuris diverguos i +∞ (−∞).

Iš sekos xn = (−1)n galime išskirti du konverguojančius posekius, vienąkonverguojanti i −1, kitą i 1.

25 apibrežimas. Skaičius a (taip pat ir ±∞) yra vadinamas sekos dalineriba, jei egzistuoja toks sekos posekis xkn ,kad

limn→∞

xkn = a.

26 apibrežimas. Pati didžiausia iš visu daliniu sekos ribu vadinama viršu-tine sekos riba ir žymima

limn→∞

xn = lim supn→∞

xn.

27 apibrežimas. Pati mažiausia iš visu daliniu sekos ribu vadinama apatinesekos riba ir žymima

limn→∞

xn = lim infn→∞

xn.

Aišku,kad jei seka turi ribą, tai visos jos dalines ribos yra lygios tai ribai.Visi posekiai konverguos i sekos ribą. Ir jei visos dalines ribos lygios, tai sekaturi ribą, lygią toms dalinems riboms.

22 pavyzdys. Suraskime sekos

xn = n+ (−1)n+1n

dalines ribas.

Lyginiai sekos nariai sudaro vieną konverguojanti poseki

x2k = 0, limk→∞

x2k = 0.

Nelyginiai sekos nariai sudaro kitą poseki, kuris diverguoja i +∞

x2k−1 = 4k − 2, limk→∞

x2k−1 = +∞.

Šiuo atvejulim infn→∞

xn = 0, lim supn→∞

xn = +∞.

25

6 FUNKCIJOS RIBA

6 FUNKCIJOS RIBA

6.1 Funkcijos ribos taške sąvoka

28 apibrežimas. Skaičius b vadinamas funkcijos f riba taške a (arba kaix→ a), jei

∀ε > 0 ∃δ : 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)− b| < ε.

Rašysimelimx→a

f(x) = b arba f(x)x→a−−→ b.

23 pavyzdys. Irodykime, kad

(25) limx→1

(x2 + 1) = 2.

Tegul ε > 0. Mums reikia surasti δ = δ(ε), kad

(26) 0 < |x− 1| < δ ⇒ |(x2 + 1)− 2| < ε.

Turime

|(x2 + 1)− 2| = |x2 − 1| < ε ⇔ |x− 1||x+ 1| < ε.

Kadangi x→ 1, tai galime tarti, kad x yra arti 1. Sakykime,

(27) |x− 1| < 1.

Tuomet 0 < x < 2, o 1 < x+ 1 < 3. Dabar

|x− 1||x+ 1| < ε ⇐ 3|x− 1| < ε ⇔

(28) ⇔ |x− 1| < ε

3.

Pasirinkimeδ = min

(ε3, 1),

Tuomet,kai0 < |x− 1| < δ,

bus teisingos abi ir (27), ir (28) nelygybes. Taigi (26) teisinga. Kartu teisingair (25).

Kartais yra vertingas ir naudojamas kitas, ekvivalentus pirmajam, funkci-jos ribos apibrežimas. Pirmasis apibrežimas yra apibrežimas "ε − δ kalba",o antrasis naudojasi jau žinoma sekos riba.

29 apibrežimas. Skaičius b vadinamas funkcijos f riba taške a, jei bet kuriąkonverguojančią prie a argumento reikšmiu seką xn (xn 6= a) atitinka kon-verguojanti prie b funkcijos reikšmiu seka f(xn), kai n→∞.

26

6.2 Funkcijos ribos pagrindines savybes 6 FUNKCIJOS RIBA

6.2 Funkcijos ribos pagrindines savybes

Funkciju, turinčiu baigtines ribas, pagrindines savybes yra labai panašios ikonverguojančiu seku savybes. Ju irodymai irgi labai panašus, todel mes juneirodinesime, o tik jas suformuluosime. Irodymus, atsižvelgdami i skirtumustarp sekos ribos ir funkcijos ribos apibrežimu, galetute lengvai parašyti.

1 savybe. Taške a funkcija f(x) gali tureti ne daugiau kaip vieną ribą.

2 savybe. Funkcija f(x), taške a turinti baigtinę ribą, yra aprežta taško aaplinkoje, išskyrus galbut pati tašką a. T.y. egzistuoja toks δ > 0 ir M , kad∀x ∈ (a− δ, a+ δ), x 6= a, |f(x)| < M .

3 savybe. (Ribinis perejimas nelygybese.) Tegul limx→a

f(x) = b, limx→a

g(x) =

c ir f(x) > g(x) taško a aplinkoje, išskyrus galbut pati tašką a. Tuomet b > c.

4 savybe. (Veiksmai su ribomis.) Tegul limx→a

f(x) = b, limx→a

g(x) = c (b irc – baigtines ribos). Tuomet

1.limx→a

(f(x) + g(x)) = b+ c;

2.limx→a

(f(x) · g(x)) = b · c;

3. Jei g(x) 6= 0 taško a aplinkoje, išskyrus galbut pati tašką a ir c 6= 0, tai

limx→a

f(x)

g(x)=b

c.

5 savybe. (Tarpines funkcijos ribos teorema.) Tegul limx→a

f(x) = b, limx→a

g(x) =

b (b – baigtine riba) ir f(x) 6 h(x) 6 g(x) taško a aplinkoje, išskyrus galbutpati tašką. Tuomet lim

x→ah(x) = b.

6.3 Begalines funkcijos ribos ir ribos, kai argumentastolsta i ∞,±∞

30 apibrežimas. Sakysime, kad funkcijos f riba yra ∞, kai x→ a, jei

∀E > 0 ∃ δ : 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)| > E.

Rašysimelimx→a

f(x) =∞.

27

6.3 Begalines funkcijos ribos 6 FUNKCIJOS RIBA

31 apibrežimas. Sakysime, kad funkcijos f riba yra +∞, kai x→ a, jei

∀E > 0 ∃ δ : 0 < |x− a| < δ ⇒ f(x) > E.

Rašysimelimx→a

f(x) = +∞.

32 apibrežimas. Sakysime, kad funkcijos f riba yra −∞, kai x→ a, jei

∀E > 0 ∃ δ : 0 < |x− a| < δ ⇒ f(x) < −E.

Rašysimelimx→a

f(x) = −∞.

33 apibrežimas. Skaičius b vadinamas funkcijos f riba, kai x→∞, jei

∀ε > 0 ∃∆ : |x| > ∆⇒ |f(x)− b| < ε.

Rašysimelimx→∞

f(x) = b.

4 užduotis. Pateikite ribu

a) limx→+∞

f(x) = b,

b) limx→−∞

f(x) = b

apibrežimus "ε−∆" kalba.

34 apibrežimas. Sakysime, kad funkcijos f riba yra ∞, kai x→∞, jei

∀E > 0 ∃∆ : |x| > ∆⇒ |f(x)| > E.

Rašysimelimx→∞

f(x) =∞.

35 apibrežimas. Sakysime, kad funkcijos f riba yra −∞, kai x→ +∞, jei

∀E > 0 ∃∆ : x > ∆⇒ f(x) < −E.

Rašysimelim

x→+∞f(x) = −∞.

28

6.4 Vienpuses funkcijos ribos 6 FUNKCIJOS RIBA

5 užduotis. Pateikite ribu

a) limx→∞

f(x) = +∞,

b) limx→∞

f(x) = −∞,

c) limx→+∞

f(x) =∞,

d) limx→+∞

f(x) = +∞,

e) limx→−∞

f(x) =∞,

f) limx→−∞

f(x) = +∞,

g) limx→−∞

f(x) = −∞

apibrežimus "E −∆" kalba.

6.4 Vienpuses funkcijos ribos

Praeitame skyrelyje nagrinejome funkcijos ribą taške, kai x igyja visas reikšmesiš taško a aplinkos (δ aplinkos) (a − δ, a + δ), x 6= a, tiek iš kaires, tiek išdešines. Kartais tenka ieškoti ribu, kai x→ a, ir apsiribojama x reikšmemis,esančiomis tik i kairę arba tik i dešinę nuo a. Tokios ribos vadinamos ribomisiš kaires arba iš dešines.

36 apibrežimas. Skaičius b1 vadinamas funkcijos f riba iš kaires (arba kairineriba) taške a, jei

∀ε > 0 ∃δ : 0 < a− x < δ ⇒ |f(x)− b1| < ε.

Rašysime

limx→a−0

f(x) = b1 arba f(a− 0) = b1, arba f(x)x→a−0−−−−→ b1.

37 apibrežimas. Skaičius b2 vadinamas funkcijos f riba iš dešines (arbadešinine riba) taške a, jei

∀ε > 0 ∃δ : 0 < x− a < δ ⇒ |f(x)− b2| < ε.

29

6.5 Fukcijos apatine ir viršutine ribos 6 FUNKCIJOS RIBA

Rašysime

limx→a+0

f(x) = b2 arba f(a+ 0) = b2, arba f(x)x→a+0−−−−→ b2.

Funkcijos ribos iš kaires ir iš dešines vadinamos funkcijos vienpusemisribomis.

Kai vienpuses ribos b1 ir b2 yra lygios b1 = b2, tai funkcija f turi ribą btaške a ir ta riba b = b1 = b2. Jei funkcijos f vienpuses ribos taške a neralygios b1 6= b2, tai funkcija f taške a ribos neturi.

24 pavyzdys. Ženklo funkcijos

sgnx =

1, kai x > 0,

0, kai x = 0,

−1, kai x < 0,

riba iš kaires taške x = 0 yra

limx→−0

sgnx = −1,

o riba iš dešineslimx→+0

sgnx = 1.

Vienpusiu funkcijos ribu pagrindines savybes yra tos pačios kaip ir funkci-jos ribu.

Begalines vienpuses funkcijos ribos apibrežiamos panašiai kaip funkcijosbegalines ribos ir ju savybes yra labai panašios.

6.5 Fukcijos apatine ir viršutine ribos

Jei ribos, kai x→ a (arba i ±∞), funkcija neturi, galime kalbeti apie dalinesfunkcijos ribas (analogiškai kaip apie dalines seku ribas). Iš (29) funkcijosribos apibrežimo išplaukia, kad funkcijos riba gali buti pakeista sekos riba.

38 apibrežimas. Skaičius b (taip pat ir ±∞) vadinamas funkcijos f(x) da-line riba, kai x→ a (arba i ±∞), jei egzistuoja funkcijos argumento reikšmiuseka, knverguojanti i a, o atitinkama funkcijos reikšmiu seka konverguoja ib, t.y. ∃xn → a : f(xn)→ b.

39 apibrežimas. Mažiausia iš visu funkcijos daliniu ribu, kai x → a, vadi-nama funkcijos apatine riba, kai x→ a, ir žymima

limx→a

f(x) = lim infx→a

f(x).

30

6.6 Neapibrežtumai 6 FUNKCIJOS RIBA

40 apibrežimas. Didžiausia iš visu funkcijos daliniu ribu, kai x→ a, vadi-nama funkcijos viršutine riba, kai x→ a, ir žymima

limx→a

f(x) = lim supx→a

f(x).

Funkcija f(x) = sin1

xribos, kai x → 0, neturi, nes, pavyzdžiui, gal-

ime parinkti dvi skirtingas funkcijos argumento sekas, artejančias i nuli, oatitinkančios funkcijos reikšmiu sekos tures skirtingas ribas:

x′n =1

2πn

n→∞−−−→ 0, x′′n =1

2πn+ π2

n→∞−−−→ 0,

f(x′n) = sin(2πn)[= 0]n→∞−−−→ 0, f(x′′n) = sin

(2πn+

π

2

)[= 1]

n→∞−−−→ 1.

Kadangi niekada sinusas neviršija 1, tai aišku, kad

lim supx→0

sin1

x= 1.

Parinkę seką

x′′′n =1

2πn− π2

n→∞−−−→ 0,

turesimef(x′′′n ) = sin

(2πn− π

2

)[= −1]

n→∞−−−→ −1.

Sinusas niekada nera mažesnis už −1, tai apatine riba

lim infx→0

sin1

x= −1.

6.6 Neapibrežtumai

Naudodamiesi funkciju ribu (4) savybe (veiksmai su ribomis) galime skaiči-uoti funkciju ribas, kai sumos, skirtumo, sandaugos ir dalmens ribos baigtines.Kai ribos begalines šia savybe naudotis negalime. Reikia suprastinti arpadaryti tokius ekvivalenčius reiškiniu pertvarkymus, kad galetume pasin-audoti (4) savybe.

(4) savybe pasinaudoti tiesiogiai negalime 7 atvejais. Jie vadinami neapibrežtumais.juos čia ir pateiksime.

1. limx→a

(u(x)− v(x)) =∞−∞.

2. limx→a

(u(x) · v(x)) = 0 · ∞.

31

6.7 Keletas svarbiu ribu 6 FUNKCIJOS RIBA

3. limx→a

u(x)

v(x)=

0

0.

4. limx→a

u(x)

v(x)=∞∞.

5. limx→a

(u(x))v(x) = 00.

6. limx→a

(u(x))v(x) =∞0.

7. limx→a

(u(x))v(x) = 1∞.

6.7 Keletas svarbiu ribu

1.limx→∞

(1 +

1

x

)= e.

2.limx→0

sinx

x= 1.

3.limx→0

ln(1 + x)

x= 1.

4.limx→0

ex − 1

x= 1.

5.limx→0

(1 + x)α − 1

x= α.

6.limx→0

1− cosx

x2=

1

2.

6.8 Nykstamosios funkcijos. Ju palyginimas

41 apibrežimas. Sakysime, kad funkcija α = α(x) nyksta, kai x→ a (arba x→∞), jei lim

x→aα(x) = 0.

Tegul funkcijos α ir β nyksta, kai x → a. Tokias funkcijas lyginsime,

atsižvelgdami i ju santykio ribą limx→a

α(x)

β(x), jei ta riba egzistuoja.

32

6.8 Nykstamosios funkcijos. Ju palyginimas 6 FUNKCIJOS RIBA

42 apibrežimas. Jei limx→a

α(x)

β(x)= b 6= 0, tai α ir β vadinamos tos pačios eiles

nykstamosiomis funkcijomis.


α(x)

β(x)= 0, tai α vadinama aukštesnes eiles negu β

nykstamoji funkcija. Žymime α(x) = o(β(x)).


α(x)

(x− a)k= b 6= 0, tai α yra k-osios eiles nyksta-

moji funkcija.


α(x)

β(x)= 1, tai α ir β vadinamos ekvivalenčiomis

nykstamosiomis funkcijomis. Žymime α(x) ∼ β(x).

25 pavyzdys. Funkcijos 1−cosx ir x2 yra tos pačios eiles nykstamos funkci-jos, kai x→ 0, nes

limx→0

1− cosx

x2=

1

2.

26 pavyzdys. Funkcija (x− 2)7/3 = o((x− 2)2), kai x→ 2, nes

limx→2

(x− 2)7/3

(x− 2)2= lim

x→2(x− 2)1/3 = 0.

27 pavyzdys. Funkcija ln(x2− 2x+ 2) yra 2-os eiles nykstanti funkcija, kaix→ 1, nes

limx→1

ln(x2 − 2x+ 2)

(x− 1)2= lim

x→1

ln(1 + (x− 1)2)

(x− 1)2= 1.

28 pavyzdys. Funkcija ln(1 + x) ∼ x, kai x→ 0, nes

limx→0

ln(1 + x)

x= 1.

33

7 GRAIKIŠKOS RAIDES

7 GRAIKIŠKOS RAIDESNr. Didžiosios raides Mažosios raides Tarimas1 α alfa2 β beta3 Γ γ gama4 ∆ δ delta5 ε, ε epsilion6 ζ dzeta7 η eta8 Θ θ, ϑ teta9 ι jota10 κ,κ kapa11 Λ λ lambda12 µ miu13 ν niu14 Ξ ξ ksy15 o o16 Π π,$ py17 ρ, % ro18 Σ σ, ς sigma19 τ tau20 Υ υ upsilion21 Φ ϕ, φ fy22 χ chy23 Ψ ψ psy24 Ω ω omega

34

RIBA - klevas.mif.vu.ltstepanauskas/AM1/R.pdf · 1apibrežimas.˙...

Documents

Transcript of RIBA - klevas.mif.vu.ltstepanauskas/AM1/R.pdf · 1apibrežimas.˙...