RevistaDigital Batanero V14 n1 2013

Revista digital

Matemtica, Educacin e Internet(http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/).

Vol 14, No 1. Setiembre Febrero 2014. ISSN 1659 -0643

La paradoja del nio o nia: aplicaciones parala clase de probabilidad

Jos M. [email protected]

Universidad de GranadaEspaa

Carmen [email protected]


Gustavo [email protected]


Pedro [email protected]


Recibido: 1 Enero, 2013 Aceptado: 20 Mayo 2013

Resumen. En la historia de la probabilidad encontramos diferentes paradojas que permiten al profesororganizar actividades didcticas en la enseanza y el aprendizaje. Como ejemplo, en este trabajoanalizamos la paradoja del nio o nia, su historia, algunas variantes, soluciones, objetos matemticostrabajados y dificultades de los estudiantes, tales como la sesgo de equiprobabilidad y confusin entreprobabilidad condicional y conjunta.

Palabras clave: Probabilidad, probabilidad condicional, paradojas, aplicaciones docentes

Abstract. In the history of probability there are various paradoxes which aid in organizing teachingand learning activities. As an example, in this paper we analyze the Boy and Girl paradox, its history,several variations, solutions, and the mathematical objects involved and students? potential difficulties,such as the equiprobability bias and confusion between joint and conditional probability.

KeyWords: Probability, conditional probability, paradoxes, didactic applications

1.1 Introduccin

Aunque la probabilidad se incluye en la educacin secundaria desde hace ms de veinte aos, en lasorientaciones curriculares recientes (ej. NCTM, 2000; Ministerio de Educacin y Ciencia (MEC), 2006)se propone un cambio metodolgico con la finalidad de mejorar las intuiciones, que en el campo de laprobabilidad, son, con frecuencia, errneas.

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En trabajos anteriores (Contreras, Batanero, Arteaga y Caadas, 2011 a y b) hemos sugerido el intersdel uso de paradojas, como herramienta didctica que permite enfrentar a los estudiantes con sus in-tuiciones incorrectas y hacerlas evolucionar de forma positiva, a la vez que aumenta su motivacin. Lahistoria de la probabilidad presenta situaciones muy atractivas que pueden conducir a reflexionar sobrela presencia del azar en la cotidianidad y son asequibles a los estudiantes. Por su carcter paradjico,enfrentan al alumno a una situacin de resolucin de un verdadero problema. El debate de las solu-ciones obtenidas por parte de los mismos estudiantes y la posterior aceptacin de la solucin correctapermiten tambin aplicar en aula las diferentes etapas en la teora de situaciones didcticas propuestapor Brousseau (1986).

En este trabajo, describimos la paradoja del nio o nia (Gardner, 1959), analizada con frecuencia en laliteratura sobre alfabetizacin estadstica, presentando algunas variantes y soluciones, los contenidosmatemticos que se trabajan y posibles dificultades.

1.2 Inters didctico de las paradojas

Son muchos los autores que defienden el inters de utilizar algunas paradojas sencillas en la clase dematemticas, pues permiten plantear situaciones motivadoras en el aula, refuerzan la motivacin y lameta-cognicin de los estudiantes, y les hace descubrir conexiones entre la historia y la vida cotidiana.El uso inteligente de las mismas apoya una pedagoga constructivista, promoviendo un aprendizajeprofundo, partiendo de las creencias previas (con frecuencia errneas) que los alumnos pueden revisaral resolverlas (Lesser, 1998). A la vez, el anlisis y discusin de las soluciones a las mismas exige alalumno una reflexin sobre sus propios procesos de pensamientos, lo que es tan importante como elaprendizaje de la solucin correcta y un paso vital para alcanzar la capacidad matemtica abstracta(Falk y Konold, 1992).

Len (2009) indica que podemos servirnos de algunas de estas paradojas clsicas para crear situacionesdidcticas que sirvan para provocar la reflexin didctica de los alumnos. No es difcil encontrar estetipo de situaciones, pues la construccin de la teora de la probabilidad no ha sido sencilla y solucionesincorrectas a problemas de probabilidad fueron a veces publicadas por matemticos famosos (Batanero,Henry y Parzysz, 2005). Un proceso similar se desarrolla en el aprendizaje de los alumnos, pues el er-ror puede convertirse en un factor de aprendizaje, siempre que se reconozca como tal por parte de losestudiantes, quienes deben construir su conocimiento mediante un proceso gradual (Borassi, 1987).

Gonzlez (2004) seala que el uso de la historia con fines didcticos depende del conocimiento histricodel profesor y su iniciativa para adaptar este saber a los intereses y necesidades del grupo, por lo queha de exponer los avances de la disciplina junto con su estado actual terico y de aplicabilidad. Elestudio de la historia de la probabilidad y de las paradojas asociadas a la misma ser entonces uncomponente importante en la preparacin de formadores.

El profesor que participa en estos cursos ya conoce los conceptos bsicos de probabilidad, pero nosiempre es consciente de las dificultades de los estudiantes o incluso de sus propias intuiciones incor-rectas. El formador de profesores podra proponer algunos de estos problemas al comienzo del curso.La bsqueda de la solucin correcta y el debate de las incorrectas, ser un factor motivador, que lleve

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al profesor a interesarse por mejorar su formacin sobre la didctica de la probabilidad, a la vez que lelleva a reconocer sus propios sesgos de razonamiento.

1.3 Historia de la paradoja

Esta paradoja, tambin conocida como el problema de los dos hijos, es una variante de la conocidacomo paradoja de la caja de Bertrand y fue descrita por Gardner (1959), quien lo titul los nios deSmith o el problema del seor Smith. El enunciado inicial de la paradoja se describi mediante dosopciones de la siguiente manera, haciendo el supuesto que los dos sexos son equiprobables:

El Sr. Smith tiene dos hijos. El hijo mayor es una nia. Cul es la probabilidad de que ambos sean nias? El Sr. Smith tiene dos hijos. Al menos uno de ellos es un nio. Cul es la probabilidad de que ambos hijos

sean nios?

La primera solucin que viene a la mente es pensar que la estructura de las dos preguntas es similar,dando la respuesta intuitiva 1/2 para ambas. Esto es debido que la segunda pregunta lleva al lector acreer que los dos posibles casos para el sexo del segundo hijo (es decir, nio y nia) son equiprobables,y que la probabilidad de estos resultados es independiente de la informacin dada.

Gardner (1959) inicialmente dio como solucin 1/2 y 1/3, respectivamente, a las dos preguntas ante-riores, pero ms tarde reconoci que la segunda era ambigua, pues la respuesta podra ser tambin1/2, dependiendo de cmo se obtuvo la informacin de que uno de los hijos del Sr. Smith era un nio.Bar-Hillel y Falk (1982) y Nickerson (2004) confirmaron posteriormente la ambigedad de la anteriorformulacin.

Esta paradoja ha estimulado una gran controversia. En primer lugar, el espacio muestral de todos loseventos posibles puede ser fcilmente enumerado: {Nio-Nio, Nio-Nia, Nia-Nio, Nia-Nia}. Ensegundo lugar, se supone que estos resultados son igualmente probables. Los supuestos son los sigu-ientes:

1. Que cada nio es hombre o mujer.

2. El sexo de cada hijo es independiente del sexo del otro.

3. Que cada hijo tenga la misma probabilidad de ser hombre como de ser mujer.

Estos supuestos no son totalmente ciertos ya que la proporcin de nios y nias no es exactamentede 50:50, y (entre otros factores) la posibilidad de gemelos idnticos significa que la determinacin delsexo no es totalmente independiente. Pero se asumen como verdaderos.

1.3.1 3.1. Algunas soluciones correctas y objetos matemticos que se trabajan

Solucin intuitiva correcta para la primera cuestin. En la primera cuestin, el Sr. Smith tiene dos hijosy el mayor es una nia; se nos pide la probabilidad de que ambos hijos sean nias. En el espacio mues-tral del problema encontramos que hay cuatro eventos igualmente probables, pero que dos de ellos no


cumplen la condicin de que el hijo mayor sea una nia (Tabla 1.1).

Puesto que las dos posibilidades del espacio muestral reducido {Nia-Nio, Nia-Nia}son igualmenteprobables, y slo uno de los dos incluye dos nias, la probabilidad de que el hijo ms pequeo seatambin una nia es 1/2. Aunque no es necesario, se podra usar el diagrama en rbol (Figura 1.1) pararepresentar el problema. La condicin supone que se elimina la rama superior.

Figura 1.1: Posibles resultados del experimento

Hijo mayor Hijo menorNia NiaNia NioNio NiaNio Nio

Tabla 1.1: Espacio muestral del problema

Solucin intuitiva correcta para la segunda cuestin. En la segunda cuestin, se indica que el Sr. Smithtiene dos hijos y al menos uno de ellos es un nio y se pregunta la probabilidad de que ambos hijossean nios. Aunque esta cuestin se parezca a la primera, la condicin dada es diferente pues, en lugarde especificar el sexo del hijo mayor, se dice que al menos uno de los hijos es un nio.

Al considerar el espacio muestral inicial, como en el primer apartado, vemos que hay cuatro posibleseventos en el espacio muestral. Tres de estas familias renen la condicin necesaria y suficiente detener al menos un nio. El espacio muestral reducido se presenta en la Tabla 1.2, donde vemos quehay un caso favorable de tres. Una informacin fundamental para resolver el problema es cmo fueseleccionada la familia del Sr. Smith y cmo se obtuvo la informacin. Si no se sabe nada, se aceptantodos los sucesos posibles y la respuesta a la cuestin 2 sera 1/3.

Hijo mayor Hijo menorNia NiaNia NioNio NiaNio Nio

Tabla 1.2: Espacio muestral de la variable aleatoria

Solucin analtica correcta para la segunda cuestin. A partir de la regla del producto en el experi-mento compuesto, podemos calcular probabilidades a priori de los tres casos posibles:

1. Ambos son nias (Nia-Nia), con probabilidad P(Nia-Nia) = 1/4;

2. Ambos son varones (Nio-Nio), con probabilidad de P(Nio-Nio) = 1/4, y

3. Un hijo es nio y el otro nia, O = {Nia-Nio, Nio-Nia}, con una probabilidad de P(O) = 1/2.


Sea H el suceso al menos uno es un nio. Aplicando el teorema de Bayes, tenemos:

P (Nio-Nio/H) =P (Nio-Nio H)

P(H)

=P (H/Nio-Nio) P (Nio-Nio)

P(H)

=1 1/4

3/4= 1/3.

Un diagrama en rbol como el que se muestra en la Figura 1.2 podra facilitar la comprensin detodos los pasos en la solucin del problema, ya que se identifica fcilmente la reduccin del espaciomuestral y las probabilidades condicionadas del suceso H a cada una de los tipos de familias. Estasdos soluciones se pueden trabajar en el aula, dependiendo de los conocimientos de los estudiantes y elnivel educativo en el que estemos trabajando. En la Tabla 3 presentamos los objetos matemticos quese trabajan, que pueden variar dependiendo de la solucin dada.


Tipo Objetos matemticos Significado en el problema Solucin 1 Solucin 2

Lenguajes Verbal Explicacin de la situacin

x x

Grfico Diagrama en rbolOpcional Opcional

Simblico Expresar sucesos, probabilidadesx X

Numrico Valor de la probabilidadx X


Conceptos

Experimento aleatorio Sexo del niox X

Sucesos; espacio muestral Nio o niax X

Experimento compuesto Sexo de dos niosx x

Sucesos en el experimentocompuesto

Nio-nio, nio-nia, nia-nio,nia-nia

x x

Interseccin de sucesos Conjunto comn de sucesos.x x

Probabilidad clsica Proporcin de casos favorables aposibles.

x x

Probabilidad condicional Proporcin de ocurrencia sucesodada una condicin

x x

Procedimientos Clculo probabilidades

intuitivo Aplicar reglas intuitivas

x

Clculo probabilidadesformal

Aplicar reglas de clculo formalx

Reduccin de espaciomuestral

Aplicar condicionesx x

Representacin grfica Diagrama; esquemax x

Propiedades Diferencia probabilidad

condicionada y simple Restriccin del espacio muestral

x x

Regla del producto P (A R)= P (A)P (R/A)x

Teorema probabilidad to-tal

Aplicar a la situacinx

T. Bayes Aplicar a la situacinx


Argumento Razonamiento deductivo Demostracin de la solucin

x x

Tabla 1.3: Objetos matemticos implcitos en la solucin

Observamos que el trabajo con este problema, es abordable en la educacin secundaria o en la univer-sidad, ya que es en estos niveles educativos donde se estudia la probabilidad condicional y el teoremade Bayes. Tambin puede ser til en cursos de formacin de profesores, sobre todo si se realiza con losprofesores el anlisis de las diferentes soluciones posibles y de los objetos matemticos involucrados.No slo permite a los profesores trabajar con los objetos matemticos ligados a la probabilidad condi-cional, sino mejorar su conocimiento didctico. Por tanto, esta sencilla pero contra-intuitiva paradojapuede ser utilizada en el aula, ya que ilustra algunos principios bsicos de la enseanza de la teora deprobabilidades. Por supuesto es posible tambin un trabajo con mayor nivel de formalizacin, lo queimplicara un conjunto diferente de objetos matemticos usados.

1.3.2 Posibles dificultades a la hora de interpretar la paradoja

Esta paradoja tiene valor pedaggico, ya que ilustra una aplicacin interesante del comportamiento dela probabilidad condicional (Contreras, 2011). Fox y Levav (2004) utilizaron el problema para analizarcomo los alumnos estiman las probabilidades condicionales. El estudio encontr que el 85% de losparticipantes respondieron correctamente al primer problema, mientras que slo el 39% respondicorrectamente a la segunda pregunta. Los autores alegaron que la razn se debe a una utilizaciningenua de la heurstica de equiprobabilidad, ya que no se define exactamente el nmero de resultadosposibles. Tambin puede deberse a confusin entre probabilidad condicional y conjunta.Otro razonamiento errneo es suponer que la familia fuese seleccionada al azar entre todas las familiasde dos hijos y se pidiese calcular la probabilidad de que los dos hijos fuesen nios, sin tener en cuentala informacin de que uno de los hijos es nio. Como observamos en la Figura 1, la probabilidad deque el primer hijo fuese nio y el segundo tambin lo sea es de 1/4, ya que:

P(1oNio 2oNio) = P(2oNio/1oNio) P(1oNio) = 12 1

2=

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La paradoja surge porque el segundo enunciado (al menos uno de los dos hijos de una familia con doshijos es nio) es difcil de comprender, y podra llevar a contradicciones si utilizamos el teorema deBayes para su resolucin. Por ejemplo, una interpretacin posible es suponer que se trata de un prob-lema de muestreo sin reposicin, donde hemos tomado un elemento (un nio) y deseamos averiguarla probabilidad de que el segundo tambin sea nio.

Se hara el siguiente razonamiento. Sea o el suceso el elemento obtenido en la muestra es un nio.Entonces:

P ((Nio-Nio)/o) =P((Nio-Nio) o)

P(o)

=P (o/(Nio-Nio)) P (Nio-Nio)

P(o)=

1 1/41/2

= 1/2.

La diferencia de este razonamiento con la solucin dada anteriormente, es que aqu P(o) es la proba-bilidad simple de seleccionar un nio al azar que es 0,5, mientras el enunciado indica al menos unnio en una muestra de dos. Es decir en este caso se puede tener un nio o dos nios.


Esta paradoja es un ejemplo de cmo los enunciados de problemas relacionados con la probabilidadcondicional pueden inducir a errores de interpretacin. Pollatsek, Well, Konold y Hardiman (1987)coinciden en que muchas de las dificultades que las personas tienen con la comprensin de la prob-abilidad condicional pueden deberse a la redaccin de los enunciados. Su hiptesis se basa en losresultados de Einhorn y Hogarth (1986), quienes sugieren que los enunciados que usan la conjunciny pueden llevar a confundir la probabilidad conjunta y la probabilidad condicional.

1.4 Variantes de la paradoja

Paradoja del Seor Smith. A raz de la popularizacin de la paradoja de Gardner se presentaron y dis-cutieron diferentes variantes. La primera de ellas, Bar-Hillel y Falk (1982), tiene el siguiente enunciado:

El Sr. Smith es el padre de dos hijos. Nos encontramos con l caminando por la calle con un nio, a quien seenorgullece en presentar como su hijo. Cul es la probabilidad de que otro hijo del Sr. Smith sea tambin unnio?

Bar-Hillel y Falk (1982) utilizan esta variante para resaltar la importancia de considerar los supuestossubyacentes. La respuesta intuitiva es 1/2 y, cuando se hacen las suposiciones ms naturales, esto escorrecto. Sin embargo, alguien puede argumentar que ... antes de que el Sr. Smith identifica al niocomo su hijo, slo sabemos que l es o bien el padre de dos nios (Nio-Nio), o de dos nias(Nia-Nia), o de uno de cada sexo en cualquiera orden de nacimiento(Nia-Nio,Nio-Nia). Suponiendo denuevo independencia y equiprobabilidad, tenemos una probabilidad de 1/4 de que Smith es el padrede dos nios. Al descubrir que l tiene por lo menos un nio, descartamos el suceso Nia-Nia. Dadoque los restantes tres eventos son equiprobables, se obtiene una probabilidad de 1/3 para Nio-Nio.

Paradoja de los cachorros beagles. Otras variantes de esta paradoja fue popularizada por Savant (1991,1996). La primera versin del problema planteado por Savant tiene el siguiente planteamiento:

Un tendero dice que tiene dos cachorros beagles, pero que no sabe si son machos, hembras o parejas. Usted ledice que quiere un macho, y el tendero llama por telfono a un compaero que les est dando un bao. Hay porlo menos un macho? S! se le informa el compaero. Cul es la probabilidad de que el otro sea un macho?

Savant (1991) dio como respuesta uno de cada tres. Defendi su conclusin, observando que haycuatro parejas posibles en tres de las cuales al menos uno es macho, pero slo en una ambos sonmachos.

La confusin de algunas personas que piensan que la respuesta es 1/2 surge porque al compaerodel tendero no se le pregunta si el cachorro al que est lavando es un macho, sino que se le preguntasi alguno de ellos es macho. El orden de nacimiento de los cachorros es irrelevante. Si se pudieradiferenciar el orden; por ejemplo, si los cachorros estuvieran etiquetados (A y B), cada uno tendrauna probabilidad del 50% de ser macho, independientemente del sexo del otro. Esta independencia serestringe cuando se establece que al menos uno de los dos A o B es macho. Con dicha informacin,si A no es macho, B debe serlo y viceversa. Esta restriccin se introduce por la forma en que estestructurada la pregunta y se pasa por alto fcilmente, llevando a la respuesta errnea del 50%.


Debido al gran nmero de conclusiones errneas que la autora recibi, Savant (1996) vuelve al plantearel problema de forma diferente:

Un cliente y un tendero, que no estn relacionados, tienen dos hijos cada uno. Sabemos que por lo menos unode los hijos del tendero es un nio y que el hijo mayor del cliente es un nio. Puede explicar por qu lasprobabilidades de que el tendero tenga dos nios no son iguales a las probabilidades de que el cliente tenga dosnios?

Siguiendo razonamientos similares a los ya expuestos, Savant concluye que la probabilidad de que eltendero tenga dos nios es 1/3, mientras que la probabilidad de que el cliente tenga dos nios es 1/2;en el primer caso no se dice cul de los hijos es el nio, mientras que en el segundo se dice que es elmayor. Para corroborar los resultados el autor realiz una encuesta entre sus lectores, pidi a aquelloscon exactamente dos hijos, de los cules al menos uno fuese nio le escribiesen indicando el sexo deambos hijos. Con casi 18000 respuestas, los resultados mostraron que un 35,9% de los que cumplanla condicin tenan dos nios. Carlton y Stansfield (2005) afirman que los resultados de esta encuestavalidan empricamente las soluciones de Savant a este problema; las probabilidades de que el tenderoy el cliente tengan dos nios son diferentes y en el caso del tendero, esta probabilidad es ms cercanade 1 de cada 3 que a 1 de cada 2.

Problema del nacimiento en martes. La siguiente versin de la paradoja fue descrita por Foshee (2010)en un congreso en homenaje a Gardner.

Supongamos que nos dijeron no slo que el seor Smith tiene dos hijos, y uno de ellos es un nio, sino tambinque el nio naci en un martes cul es la probabilidad de que haya dos nios?

La cuestin que nos planteamos es la siguiente: Cambia esto nuestros anlisis anteriores? Si tiene doshijos, y uno es un nio, entonces la probabilidad de tener dos hijos es significativamente diferente sise proporciona la informacin adicional de que el nio naci en un martes? Una solucin intuitiva aeste problema sera contar las diferentes combinaciones de gneros y das de la semana, y calcular elresultado aplicando la ley de Laplace, que da el valor 13/27:

(nmero de combinaciones con dos nios de los que al menos uno naci un martes)(nmero de combinaciones con al menos un nio nacido en martes)

La explicacin es la siguiente: supongamos que tenemos una poblacin de familias con dos hijos, siendoel sexo de los dos hijos independiente, nio o nia igualmente probables, y que el da que nace cadahijo es independiente del da que nace el otro; cada da de la semana tiene la misma probabilidad 1/7.En la Figura 1.3 se muestran todas las parejas posibles de hijo, teniendo en cuenta su sexo as comolos das de la semana posibles en los que se puede nacer (X significa Mircoles). El verde representael suceso {dos nios, al menos uno de los cuales naci un martes}. El rojo representa el suceso {al menos unnio nacido en martes}. Por lo tanto la respuesta es:

P =verde

verde + rojo=

1313 + 14

=1327

.



Nuestra intuicin sugiere que los nios nacidos en martes no tienen mayor probabilidad de tener unhermano que los nios nacidos en otros das. Por lo tanto, el resultado 13/27 parece absurdo porquepodramos repetir con todos los das de la semana y llegar a la conclusin de que la respuesta alproblema original es 13/27 y no 1/3. La paradoja aparece porque en realidad no estamos calculando loque pensamos. El problema no es mi primognito es un nio nacido en martes o tengo exactamenteun nio nacido en martes, sino uno, o ms de uno, es un nio nacido en martes. El error viene delhecho de pensar que se ha partido el espacio muestral (2 gneros, 7 das de la semana) en 7 partesiguales.

La moraleja de la historia es que estas probabilidades no slo dependen de la informacin que tenemosdelante de nosotros, sino de cmo llegamos a esa informacin.

La paradoja de los cuatro hijos. Otra versin es una adaptacin de la primera parte del primer problemade Gardner (1951), suponiendo cuatro hijos en la familia. El enunciado es el siguiente:

Supongamos que un matrimonio tiene cuatro hijos. Cul es la probabilidad de que dos de ellos sean nias y dosnios?

Si suponemos como en las variantes anteriores la equiprobabilidad del nacimiento de varones y demujeres, el sentido comn nos impulsa a creer que en un caso como este la familia tendr dos hijos ydos hijas o pensamos que existe una alta probabilidad de que dos de ellos sern nios, y dos nias. Laforma de abordar este problema es simple, bastara con calcular el conjunto de posibles combinaciones,ver tabla 1.4, del espacio muestral tener cuatro hijos, teniendo en cuenta el orden de nacimiento,siendo O el suceso ser nio y A el suceso ser nia.


1 OOOO2 OOOA3 OOAO4 OOAA5 OAOO6 OAOA7 OAAO8 OAAA9 AOOO10 AOOA11 AOAO12 AOAA13 AAOO14 AAOA15 AAAO16 AAAA

Tabla 1.4: Espacio muestral paradoja de los cuatro hijos

Dado que solo hay dos sexos posibles, la cantidad de combinaciones existente para cuatro nacimientosson las 16 que se ven en la tabla anterior. Recordemos que todo nuestro anlisis es vlido porqueestamos considerando que la probabilidad de que sea nio es igual a la de que sea nia (50% cada uno).Como indicamos anteriormente, en el mundo real dicha proporcin no es exacta, pero se aproxima losuficiente como para que los resultados que vamos a mostrar prcticamente no varen.

El paso siguiente consiste en contar cada uno de los casos mostrados en la tabla. Vemos que, de los 16,solo hay dos casos en que el sexo de todos los hijos es el mismo (el 1 y el 16). Eso significa que tenemosuna probabilidad de 2/16 de que nuestros cuatro hijos tengan el mismo sexo. Si contamos los casos enque los nacimientos incluyen un hijo de un sexo y tres del otro, encontramos ocho casos (en las filas2,3,5,8,9,12,14 y 15). Eso implica que en la mitad de los casos, un matrimonio que tenga cuatro hijostendr o bien una nia y tres nios, o bien un nio y tres nias. Por ltimo, si contamos los casos quenos interesan, aquellos en que hay dos nios de cada sexo, vemos que solo los casos 4, 6, 7, 10, 11 y 13cumplen con la condicin dos nios y dos nias.

Esto demuestra que solo 6 de cada 16 veces se da realmente la situacin que nuestro sentido comndeca era la ms probable. Es decir slo el 37,5% de las familias con cuatro hijos tendr dos de cadasexo, y que es mucho ms probable tener 3 hijos de un sexo y uno del otro que cualquiera de las otrasposibilidades por separado.

1.5 Conclusiones.

En el artculo hemos presentado un ejemplo de una paradoja que permite introducir una situacin deinters para el estudiante y motivarle en el estudio de la probabilidad. Adems de trabajar diversosobjetos matemticos el alumno adquiere competencia para considerar con cuidado las condiciones decada problema e identificar los sucesos de inters.


Es necesario tambin advertir al profesor de las posibles dificultades de los estudiantes al resolver losproblemas, como se ha mostrado en otras investigaciones que hicieron uso de paradojas en la forma-cin de profesores. As Contreras (2011) informa que en un taller en el que participaron 166 profesoresen servicio y en formacin, slo el 24,7% resolvi correctamente el problema en la presentacin inicialde la paradoja de Bertrand (Contreras et al., 2011). Las soluciones incorrectas fueron debidas prin-cipalmente a confusiones entre probabilidad condicional y conjunta, heurstica de representatividad(donde algunos profesores esperaban una convergencia muy exacta de las frecuencias de resultados ala probabilidad en pocos ensayos) y sesgo de equiprobabilidad.

La discusin colectiva y simulacin de la situacin llev al 67% de los participantes a descubrir lasolucin correcta al final de la experiencia. Pero an as, el resto no lleg a cambiar su postura inicial; locual indica que sera necesario un mayor tiempo en la actividad o complementarla con otras similares.

Por otro lado, el uso de paradojas responde a un cambio metodolgico en la enseanza de la probabil-idad, que implica la necesidad de una mayor formacin del profesor, quien, adems de la formacincientfica, requiere un conocimiento profesional, en el cual Ball, Thames y Phelps (2005) incluyencuatro componentes: conocimiento comn del contenido, conocimiento especializado del contenido,conocimiento del contenido y la enseanza y conocimiento del contenido y los estudiantes. Por elloes tambin importante buscar actividades adecuadas para llevar a cabo esta formacin. En particular,estas situaciones deberan permitir la reflexin epistemolgica sobre la estadstica, el estudio de lasinvestigaciones didcticas sobre errores y dificultades de aprendizaje, y el anlisis y experimentacinde mtodos y recursos de enseanza.

Una de estas actividades pueden ser paradojas como la presentada en este trabajo, que, junto con lasactividades de anlisis didctico pueden contribuir a la adquisicin de los diferentes componentesdel conocimiento profesional, en el caso de la probabilidad. Asimismo ayuda a mejorar la formacindel profesor para llevar a cabo estos tipos de anlisis, que puede aplicar al diseo de secuencias deenseanza y el anlisis reflexivo sobre la propia prctica docente, con la finalidad de favorecer elaprendizaje de los estudiantes.

Agradecimientos: Proyecto EDU2010-14947 (MCINN-FEDER) y al grupo FQM126 (Junta de Andaluca).

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[24] Pollatsek, A.; Well, A. D.; Konold, C.; Hardiman, P. Understanding conditional probabilities. Organita-tion, Behavior and Human Decision Processes, 40, 255269.1987.

IntroduccinInters didctico de las paradojasHistoria de la paradoja3.1. Algunas soluciones correctas y objetos matemticos que se trabajan Posibles dificultades a la hora de interpretar la paradoja

Variantes de la paradojaConclusiones.BibliografaBibliografa

RevistaDigital Batanero V14 n1 2013

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