Artículo:

Aprendiendo un mundo con Algebra

Autor: Albert Bello

¿Qué es Álgebra?

Hoy entendemos como álgebra al área

matemática que se centra en las relaciones, estructuras y cantidades. La disciplina que se conoce como álgebra elemental, en este marco, sirve para llevar a cabo operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación, división) pero que, a diferencia de la aritmética, se vale de símbolos (a, x, y) en lugar de utilizar números. Esto permite formular leyes generales y hacer referencia a números desconocidos (incógnitas), lo que posibilita el desarrollo de ecuaciones y el análisis correspondiente a su resolución.

1

Este origen etimológico permitió que, en tiempos pasados, se conociera como álgebra al arte focalizado

en la reducción de huesos que estaban dislocados o quebrados. Este significado, de todas maneras, ha

caído en desuso.

2

El término tiene su origen en el latín algebra, el cual, a su vez, proviene de un vocablo

árabe que se traduce al español

como “reducción” o “cotejo”.

¿Que es la Base y Dimensión?

Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a

un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente.

Todas las bases de un mismo espacio o subespacio tienen el mismo número de vectores.

Se llama dimensión de dicho espacio o subespacio por tanto, la dimensión es el máximo número de vectores independientes que podemos tener en el espacio o subespacio. En otras palabras, es el máximo rango que puede tener un conjunto de vectores de dicho espacio.

3

Espacio Vectorial

Un espacio vectorial es una estructura algebraica

creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y un cuerpo matemático), con 8 propiedades fundamentales.

4

Las primeras ideas que condujeron a los espacios vectoriales modernos se

remontan al siglo XVII: geometría analítica,

matrices y sistemas de ecuaciones.

Dependencia e Independencia Lineal

Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente

dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es

igual al vector cero, sin que sean cero todos los

coeficientes de la combinación lineal.

También se cumple el reciproco: si un vector es combinación

lineal de otros, entonces todos los vectores son linealmente

dependientes. Dos vectores del plano son linealmente

dependientes si, y sólo si, son paralelos. Dos vectores

libres del plano = (u1, u2) y = (v1, v2) son linealmente

dependientes si sus componentes son proporcionales.

5

Ejercicios Propuestos

Determinar si el siguiente conjunto es ortogonal:

Se debe satisfacer la expresión:

Se realiza el producto interno:

El producto entre el primer y el segundo vector es diferente

de 0, por lo tanto el conjunto no es ortogonal. 6

Ejercicios Propuestos

Determinar si el siguiente conjunto de vectores es

ortonormal:

Se debe satisfacer la expresión:

Calculo del producto interno:

Calculo de la norma:

Como el producto interno es diferente de 0, el conjunto no

es ortonormal.

7

Dada la base, construir su respectiva base ortonormal por el

procedimiento de Gram-Schmidt.

Vector auxiliar:

Vector unitario:

8

Ejercicios Propuestos

Vector auxiliar:

9

Ejercicios Propuestos

Vector unitario:

Vector unitario:

La base ortonormal es:

10

Ejercicios Propuestos

Vector unitario:

Determine si el siguiente conjunto forma una base para R3.

Y verifique al conjunto base, si genera al vector (2, 1,3)

Para ser el conjunto dado una base ellos deben ser Li, es

decir, linealmente independiente y además generar el

espacio. Ahora si el vector (2, 1, 3) no es combinación

lineal de los vectores que forman el conjunto ya que el

mismo forma parte del conjunto, lo cual no hace a los 4

vectores dados linealmente independientes por lo tanto

sobre dependencia lineal, Dimensión de espacio vectorial

podemos afirmar que la dimensión de R3 debe ser 3, es

decir, que hay 3 vectores Li y capaces de generar todo R3

en caso de ser Li entonces el vector (2,1,3) es igual al vector

nulo ya que por lo tanto

Así podemos afirmar que el conjunto (2, 1, 3); (1, 2, 1); (1,

1, 4); (-1, 1, 5) no forma una base para R3.

11

Ejercicios Propuestos

Vector unitario:

Por otra parte es decir, si probamos que los vectores Fm Li.

Debemos hacer la combinación lineal de estos e iguala a

cero y si conseguimos L1=L2=L3=L4=L0 Fm Li así:

Resolviendo el sistema tenemos:

Aplicando el método de Gaus

Jordan tenemos:

12

Ejercicios Propuestos

Vector unitario:

Así el sistema reducido queda:

13

Ejercicios Propuestos

Vector unitario:

Utilizando el método de los mínimos cuadrados, calcular la

solución aproximada del sistema de ecuaciones:

Se debe aplicar la formula:

Donde:

14

Ejercicios Propuestos

Vector unitario:

Calculo de At *A

15

Ejercicios Propuestos

Vector unitario:

Calculo de: La solución aproximada del sistema es:

16

Ejercicios Propuestos

Vector unitario:

ALGEBRA LINEAL

DIMENSION DEPENDENCIA

INDEPENDENCIA VECTORES

17

Aprende un mundo con Álgebra

Vector unitario:

Se buscó varias opiniones de participantes en la web en general sobre la materia.

18

¿Qué opina usted sobre Álgebra Lineal?

Parte de las matemáticas en la cual las operaciones aritméticas son generalizadas empleando números, signos, letras. Cada signo, letra representan un número . Alguno de los signos representan un valor desconocido llamado ICÓGNITA .

¿Un buen libro sobre Álgebra?

Álgebra de lehmann, viene desde números naturales hasta ... Bueno, abarca bastantes temas, operaciones algebraicas, ecuaciones, sistemas de ecuaciones lineales, cuadráticos, números complejos, inducción matemática, polinomios, gráfica de un polinomio, raíces aproximadas, determinantes, propiedades de determinantes, entre otros.

19

¿El Álgebra que se estudia en secundaria en muy

antigua? Desde el siglo XVII aC los

matemáticos de Mesopotamia y de Babilonia ya sabían resolver ecuaciones de

primero y segundo grado. Además resolvían también,

algunos sistemas de ecuaciones con dos

ecuaciones y dos incógnitas.

Revistas Relacionadas