ELEMENTOSREVISTA DE MATEMÁTICA

wMU)SEÑAN7A MEDIA

Año II Julio - Agosto 1964 Número 7

La formación del profesor

Temas de nuestro tiempo: Las estructuras matemáticas y

las estructuras operatorias de la inteligencia.

por Jean PIAGET

La Reunión de Bogotá.Panorama:

El álgebra de Boole (cont).por Florencio D. JAIME

Orientación:

Transformaciones y matrices

por Roberto G. OVEJERO

Bibliografía - Miscelánea - Noticias - Correo

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La Formación del Profesori

Los conocimientos matemáticos del profesor tienen hoy una Impor* tanda primordial. En cada uno de los temas del programa, no solamente deben extenderse mucho más allá de lo que él tiene que enseñar, sino también armonizar con el pensamiento contemporáneo de la disciplina.

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SU BASE MATEMATICA

La cuestión que abordamos es bastante espinosa, pero es ineludible. No pretendemos agotar su tratamiento sino aportar modestamente una opinión. Otros están sin duda más capacitados para encarar resueltamente su solución y no deben, por cierto, demorar en hacerlo.

El tema se trató en recientes reuniones internacionales y las conclusiones fueron coincidentes: necesidad de una preparación matemática de nivel superior — dicen universitario— para el futuro profesor. Para nosotros esto no es novedoso; bastaría remitimos a los considerandos del decreto de creación del actual Instituto Superior del Profesorado, hace sesenta años.

• En primer lugar, creemos —como se expresó en Bogotá— que “la prepa­ración básica mínima de cualquier aspirante a profesor de matemática en la escue­la secundaria debe comprender fundamentalmente aquellos temas que luego tendrá que enseñar; además debe darle una buena comprensión de aquellos conceptos que sus alumnos han de estudiar eventualmente en cursos más adelantados”.

Tal como van las cosas, cada vez se hará más difícil prescindir de los cur- de álgebra que comprendan el estudio de las estructuras algebraicas y del álge

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bra lineal Y de los de álgebra de conjuntos y de cálculo proposicional, incluyendo álgebra de Boole. Y de los de probabilidad y estadística. Para no citar sino aque­llos cuya inclusión se ha hecho inevitable en los últimos tiempos. TEMAS DE NUESTRO TIEMPO—

Las estructuras matemáticas y las

estructuras operatorias de la inteligencia' ’

En segundo lugar, la preparación no debe perder de vista la activididad do­cente ulterior y hacia ella debe orientarse; pero asimismo tiene que tratar de faci­litar la prosecución de los estudios por parte del aspirante, aun con miras a la licenciatura o el doctorado. (En este sentido, es impostergable eliminar la discon­tinuidad existente entre ambas carreras, la docente y la científica pura, acordando las equivalencias necesarias.) Debe ser, pues, lo suficientemente sólida como para permitir sin dificultades, posteriores extensiones o profundizaciones de la misma.

Coincidimos así —y nos place consignarlo— con lo expresado hace apenas unos meses en un decreto del Poder Ejecutivo, al reconocer la necesidad de “ase­gurar una preparación docente seria y actualizada en los conocimientos, a la que capacitar para estudiar por sí lo que eventualmente sea necesario en el futu­ro . En ese futuro en el que debemos pensar sin demora y sin remedio.

JEAN PIAGET(Ginebra, Sii'za)

I de las matemáticas y por el papel fun­damental atribuido en estos trabajos a la noción de estructura.

En la base del edificio de las matemá­ticas se han buscado durante mucho tiempo algunas naturalezas simples, ima­ginadas en un mundo más o menos atomístico. Eran ios números enteros, que Kronecker atribuía al mismo Dios, por oposición a todas las demás categorías numéricas, debidas al artificio humano. Eran el punto, la línea, etcétera, cuyas combinaciones engendran el espacio. Pero eran siempre seres dados en sí mismos, que el espíritu podía, ya contem­plar, ya manipular, según que la refle­xión no hubiera tomado aún conciencia del papel de las operaciones o que las superpusiera a las naturalezas simples, como las herramientas de un albañil uti­liza para cimentar los materiales dados previamente para la construcción de un muro o de una csaa.

Pero si los fundamentos consisten en estructuras y si la construcción procede, gracias a ellas, a la vez de lo simple a lo complejo y de lo general a lo particu­lar, las perspectivas son muy otras. Una estructura tal como, por ejemplo, un gru- po, es un sistema operatorio: la cuestión estriba en saber si los| elementos de diversa naturaleza a los que se aplica la estructura existen previamente a ésta,(*) Este artículo constituye el Capítulo I del libro 'la

enseñanza de las matemáticas", que comentamos en nuestro número anterior (p. 15S). Agradecemos a M. AGUILAR su autorización para publicarlo en ELEMENTOS. Es el resumen de la conferencia del Autor en la reunión de la CIEMEM celebrada en La Rochette par Melun (Francia), en abril de 1952, y dedicada a tratar las estructuras matemáticas y las estructuras mentales. (N. de los E.).

vezSi nos situamos en el punto de vista

práctico del pedagogo encargado de en­señar las verdades matemáticas o en el punto de vista teórico del epistemólogo que reflexiona sobre la naturaleza de los seres matemáticos, el problema central parece ser, en ambos casos, saber si las conexiones matemáticas son engendra­das por la actividad de la inteligencia o si ésta las descubre como una realidad exterior y completa. Ahora bien: este pro­blema, tan antiguo como la filosofía oc­cidental, puede hoy plantearse en fun­ción de la psicología y aun de la psico­logía infantil; entre otros, el estudio del desarrollo mental puede mostramos si el despliegue de las acciones del sujeto, después de las operaciones del pensa­miento, basta para explicar la construc­ción de los seres matemáticos o si éstos son descubiertos fuera, como lo son los seres físicos con sus propiedades objeti­vas, y como lo son también estas especies de seres ideales constituidos por los sin­tagmas del lenguaje impuesto al indi­viduo por el grupo social del que forma parte (y ya se sabe que la comparación entre los seres lógico-matemáticos y las conexiones lingüísticas es sostenida por un gran número de lógicos, sea su preo­cupación última de naturaleza conven- cionalista o de índole platónica).

Ahora bien: si los métodos de estudio y aproximación a este problema eterno pueden rejuvenecerse recurriendo a la psicología genética, los términos mismos del problema han sido renovados recien­temente por las perspectivas abiertas, gracias a los Bourbaki, en la arquitectura

LOS EDITORES

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"... la sociedad está hoy en día bajo la obligación ineludible de reexaminar su concepto de la profesión pedagógica, con especial atención a las ramas científica y matemática, y de dictar nuevas disposiciones para entrenar profesores calificados, para regular las condiciones d empleo y para estimularlos a hacer esfuerzos adecuados para su propio mejoramiento. La sociedad necesita más y mejores profesores que los que ahora ocupa en los campos de la ciencia y de la matemática, y sólo mejorando su situación profesional será posible obtener para las escuelas y universidades del futuro el número y la calidad necesitarán”.

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que se

MARSHALL H. STONE iReforma en educación matemática” (Bol. N9 29

de la Universidad de Chile, mayo 1962) i- 2 - - 3 -

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general a lo particular, y combinarlas entre sí, de lo simple a lo complejo: de donde existe una jerarquía que sustituye a los antiguas campos yuxtapuestos por una serie de planos superpuestos según estos dos modos de generación. De aquí se sigue de nuevo un principio de tota­lidad, que subordina los elementos o las clases de elementos al dinamismo de construcción propiamente dicha.

Observemos también el gran interés que tiene para la psicología del pensa­miento matemático el modo de descubri­miento de las estructuras, y esto nos lle­va a nuestra alternativa inicial sobre la continuidad entre el trabajo de la inteli­gencia y la construcción matemática, o sobre la exterioridad de los seres ideales que el espíritu aprehendería como tales. En principio, el examen del camino que siguen los matemáticos para alcanzar las estructuras fundamentales parece hablar en favor de la segunda de estas tesis: lejos de deducirlas de una vez, parte de analogías descubiertas después entre las formas de rozamiento en juego en domi­nios sin afinidad aparente; luego, en al­gún modo inductivamente, como se pro­cede er. presencia de hechos experimen­tales, reconstituye los mecanismos comu­nes hasta obtener las leyes más genera­les de la estructura investigada; sólo en­tonces interviene la axiomatización y des­pués la explotación, es decir, la aplica­ción de estas leyes generales a las teo­rías particulares por diferenciación pro­gresiva. Además, el paso de las estruc­turas madres á las estructuras secunda­rias se hace mediante combinación de estructuras múltiples; tampoco aquí es una deducción esta combinación, porque hay que hacer intervenir, a propósito de cada nueva estructura, axiomas nuevos para poder integrar en ella nuevos ele­mentos.

Pero esta marcha de algún modo in­ductiva del descubrimiento de las estruc­turas es, por el contrario, muy reveladora de las relaciones que sostienen las es­tructuras con los elementos diversos que ordenan. Si, históricamente, estos elemen­tos parecen dados con anterioridad al descubrimiento de la estductura, y si ésta desempeña así esencialmente el papel de un instrumento reflexivo destinado a des­cubrir sus caracteres más generales, no

es decir, poseen una significación sufi­cientemente independiente respecto de ella, o si, por el contrario, es la acción de la estructura-acción no explícita al principio, porque el orden de la toma de conciencia invierte el orden de la gé­nesis, la que confiere a los elementos sus propiedades esenciales. Más preci­samente: el problema psicológico (y es el único de que vamos a tratar) consiste en establecer si los seres que sirven de elementos a las estructuras son el resul­tado de operaciones que los engendran o si preexisten a dichas operaciones aplicándose a ellos fuera del tiempo.

Pero las modificaciones que entraña la idea de estructura en el juego de las definiciones y de las demostraciones significativas a este respecto. En vez de definir los elementos aisladamente, por convenio o por construcción, la definición estructural consiste en caracterizarlos por las relaciones operatorias que mantienen entre sí, en función del sistema. Y la de­finición estructural de un elemento. hará las veces de demostración de la necesi­dad de este elemento, en cuanto está con­cebido como perteneciente a un sistema cuyas partes son interdepéndientes. Así, un principio de totalidad se da desde el comienzo, y esta totalidad es necesaria­mente de naturaleza operatoria. Hasta en un sistema de puras relaciones como las estructuras de orden, si el producto de dos relaciones es también una relación, es que las relaciones están coordinadas entre sí por las operaciones de la ló­gica de las relaciones.

No menos reveladoras son las trans­formaciones introducidas gracias a la no­ción de estructura en la arquitectura de las matemáticas, lo que equivale a decir en el orden de construcción o de filia­ción de las innumerables clases que pue­den distinguirse en estos seres abstrac­tos. Cabe decir a este respecto que la in­troducción de las estructuras represen­ta un progreso análogo al que la Anato­mía comparada ha representado en Bio­logía, sustituyendo una clasificación que se contentaba con caracteres exteriores, en sus discontinuidades estáticas, por una clasificación fundada en las conexiones intemas y genéticas. Partiendo de algu­nas estructuras fundamentales, la marcha seguida consiste en diferenciarlas, de lo

hay que olvidar que, psicológicamente, el orden de la toma de conciencia tras­torna el de la génesis: lo que es primero en el orden de la construcción general aparece después en el análisis reflexivo, porque el sujeto toma conciencia de los resultados de la construcción mental antes de alcanzar sus mecanismos ín­timos 0).. Lejos de constituir un argu­mento decisivo en favor de la indepen­dencia de las estructuras con relación al trabajo de la inteligencia, su descubri­miento tardío y casi inductivo nos haría, por el contrario, sospechar su carácter primitivo y generador. Pero si lo que es íundamental aparece al término del aná­lisis. la recíproca no es necesariamente cierta, y sigue abierto el problema rela­tivo a esclarecer las conexiones eventua­les existentes entre las estructuras madres del edificio matemático y las estructuras operatorias que el estudio del desarrollo mental permite considerar como consti­tutivas de la construcción lógico-matemá­tica. Es lo que se trata de examinar ahora en el terreno de la psicogénesis.

Las tres estructuras fundamentales so­bre las cuales reposa el edificio matemá­tico, según los Bourbaki, (2) serían las estructuras algébricas, cuyo prototipo es el grupo, las estructuras de orden, de las cuales una variedad, corrientemente uti­lizada hoy (por otra parte, con exceso, en ciertos casos), es la red, y las estructuras topológicas. Este número no es, por otro lado, exhaustivo, y el desarroLo de las matemáticas podría conducir a aumentar­lo. Pero en el estado actual de nuestros conocimientos, estas tres estructuras son las únicas irreductibles entre sí y des­empeñan por ello el papel de estructuras madres.

Ahora bien: es del mayor interes com­probar que si se quiere analizar hasta sus raíces el desarrollo psicológico^ de las operaciones aritméticas y geométri­cas espontáneas del niño, y, sobre todo, las operaciones lógicas que constituyen

sus necesarias condiciones previas, se encuentra en todas las etapas, primero, una tendencia fundamental a la organi­zación de totalidades o sistemas, fuera de los cuales los elementos carecen de significado y aun de existencia, y en se­guida, una distribución de estos sistemas de conjunto según tres especies de pro­piedades que corresponden precisamente a las de las estructuras algébricas, las estructuras de orden y las estructuras to­pológicas. Es lo que intentaremos explicar examinándolas una por una, para dedu­cir seguidamente la elección general que implica esta convergencia.

una

IIson

Conviene, en primer término, recordar la noción de estructura se ha con­que

vertido desde hace unas décadas, e in­dependientemente de la evolución recien­te de las matemáticas, en una de las ro­ciones corrientes de la psicología de las funciones cognoscitivas (percepción e in­teligencia). En los campos más diversos, los psicólogos se han visto obligados a admitir que la marcha natural del espí­ritu, que consiste en buscar los elementos antes que las totalidades, engendrando éstas mediante la composición de aqué­llos, se apoyaba en analogías engaño­sas con la fabricación material. En el dominio de la percepción, en particular, donde las acciones de campo son fáciles de analizar experimentalmente, se ha llegado a comprobar que los pretendidos elementos son siempre el producto de una disociación o de una segregación en e! interior de una totalidad previa, y que no puede deducirse ninguna relación par­ticular sin proceder a la separación de los caracteres estructurales del conjunto.

En el terreno especial de la inteligen­cia, el único que nos interesa aquí, este papel de las totalidades es también cons­tante, pero ofrecen una forma distinta que en' el campo perceptivo. La inteligencia aparece esencialmente, en efecto, como una coordinación de las acciones. Estas últimas, en principio, son sólo materiales senso-motrices (es decir, sin intervención de la función simbólica ni de la repre­sentación); pero, ya entonces, se organi­zan en esquemas que comportan ciertas estructuras de totalidad. Después, con

(1) Piénsese, p, ej., en la introducción tardía, con Cantor, de las operaciones de correspondencia unf-

trata de una de las del número ontero en el

voca y recíproca cuando se operaciones generatrices 1 niño y en el primitivo.

(2) Véase ELEMENTOS, año I, pp. 1H/5 y 139/43. (N. de los E.).

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La aparición de las primeras operacio- sistemáticas, hacia los 7-8 años, se­

ñala, pues, la llegada al estado de equi­librio hacia el que tendía el pensamiento durante la fase incoativa precedente, y es necesario comprender bien esta rela­ción de equilibrio progresivo entre la íase preoperatoria y el primer período operatorio (de 7-8 años a 11-12 años) para no considerar aquélla como especie de comienzo absoluto. Las raciones nacientes, peraparadas así por las coordinaciones senso-motrices y por las regulaciones representativas preope­ratoria, ofrecen entonces los siguientes caracteres: son acciones propiamente di­chas, que prolongan las acciones mate­riales anteriores, pero interiorizadas talmente gracias a la función simbólica. Son esencialmente reversibles, es decir, que la operación es una acción que pue­de desarrollarse en los dos sentidos, y que la comprensión de uno implica ipso facto la comprensión del otro. Y, sobre todo, son desde el principio solidarias de un sistema: no existe operación aislada porque una acción aislada es de sentido único y, por tanto, no es una operación- Una operación es así necesariamente so­lidaria de otras, y su misma naturaleza depende de esta capacidad de composi­ción móvil y reversible en el interior de un sistema. Hay, por consiguiente, estruc- tu:a operatoria desde que hay opera­ción, y la estructura del conjunto no es

producto que resulte de composiciones entre operaciones previas, ya que la ac­ción sólo

ayuda de la función simboúca, y en par ticular de las imágenes mentales del len­guaje, las acciones se interiorizan pro­gresivamente, y después de una fase más o menos larga de transición entre el acto material y la representación (período que llamaremos del pensamiento preopera­torio, entre los 2 y los 7-8 años) se cons­tituyen en operaciones propiamente di­chas y ofrecen entonces bajo una forma típica las estructuras de conjunto carac­terísticas de la inteligencia.

Para comprender la naturaleza de estas estructuras operatorias hay que partir del hecho fundamental de que, contraria­mente a los procesos perceptivos, que son irreversibles porque se fundan en un modo de composición probabilista, la inteligencia se orienta desde el principio hacia una reversibilidad que aumenta sin cesar en importancia en el curso dei desarrollo. Sin duda, las acciones motrices iniciales son todavía irreversi­bles, porque se dirigen en un sentido úni­co hacia el fin práctico que se trata de conseguir. Pero desde que se coordinan los esquemas senso-motrices, la inteligen­cia es capaz de cierta movilidad, distin­guiéndose por rodeos y retornos, y enton­ces se ve asomar un comienzo de rever­sibilidad más o menos sistemática que volverá a encontrarse en el plono de las representaciones. En este nuevo plano la reversibilidad no se impone inmediata­mente. Durante toda la fase preoperato­ria, el sujeto razona más sobre las con­figuraciones que sobre las transforma­ciones, y se trata para él de aprender a pensar lo que ha llegado a ejecutar mediante acciones (p. ej, a representarse

sistema de movimientos cuando ya ha aprendido a efectuarlos materialmente). De la misma manera, la representación naciente ofrece todavía, durante toda es­ta importante fase de la pequeña infan­cia, una dificultad sistemática para la reversibilidad y, por consiguiente, para la conservación de los invariantes ele­mentales (longitudes, distancias, conjun­tos discontinuos, cantidades físicas, etc.). Pero desde esta fase preoperatoria, juego cada vez más denso de regulado nes conduce a una compensación pro­gresiva de los errores debidos a la irre­versibilidad del comienzo, y anuncia así la reversibilidad operatoria.

cuatro de las propiedades elementales del grupo: que el producto de dos ele­mentos del grupo da también un ele­mento del grupo; que toda operación directa corresponde a una y sólo una operación inversa; que existe así una operación idéntica, y que las composi­ciones sucesivas sean asociativas. Expre­sadas en lenguaje de acciones inteligen­tes, estas cuatro propiedades significan: 1) que la coordinación de dos esquemas de acción constituye un nuevo esquema que se añade a los anteriores; 2) que una coordinación puede, a voluntad, realizar­se o suprimirse, y, dicho más simple­mente, que una acción inteligente (ope­ración) puede desarrollarse en los dos sentidos; 3) que el retorno ol punto de pariida permite volver a encontrar éste sin cambio, y 4) que puede alcanzarse e! mismo punto de llegada por diferen­tes caminos sin que dicho punto cambie cucIquiera sea el camino elegido. De

manera general, el grupo es, por consiguiente, la traducción simbólica de alguno de estos caracteres fundamenta­les del acto de inteligencia: la posibili­dad de una coordinación de las acciones, la posibilidad de los retornos y la de los giros.

Pero hay más: las transformaciones propias de un grupo son siempre soli­darias de algunos invariantes, de donde resulta que la constitución de un grupo está en correspondencia con la cons­trucción de invarianttes que se relacio-

con él. Ahora bien: ocurre exacta-

resumen, equivale a un movimiento nulo. Pero también puede dejar el objeto en B y desplazarse él mismo de A a B, lo que reproducirá una situación inicial, cuando el objeto estaba frente a su pro­pio cuerpo, en este caso, el movimiento del objeto no ha sido anulado, sino sim­plemente compensado mediante un mo­vimiento recíproco de su propio cuerpo, lo que constituye una transformación dis­tinta. Sin querer poner en fórmulas logís­ticas las acciones del bebé, advirtamos, sin embargo, que esta diferencia esencial entre la negación o inversión y la reci-

• procidad o compensación constituye así, desde el principio, dos formas esenciales de la reversibilidad, que encontraremos de nuevo juntas a lo largo de todo el desarrollo y qüe sólo llegarán a una sn- tesis en un sistema único cuando, al nivei de las operaciones formales, después de los 11-12 años, se constituya el grupo de las cuatro transformacinoes interproposi- cionales (que, para volver a este ejemplo de los desplazamientos, permitirá d niño, pero solamente entonces, coordinar

mismo todos los desplazamientos según dos sistemas de referencia a la

móvil y otro fijo).Henos aquí en condiciones de precisar

en qué sentido las tres estructuras fun­damentes de los Bourbaki corresponden a estructuras elementales de la inteli­gencia, de las cuales constituyen la pro longación formalizada y no, naturalmen­te, la expresión directa.

nes

unaope-

men-

senso-

una:

en uno

vez: uno

unnanmente lo mismo en lo que se relaciona con las formas de organización espon­táneas que se procura la inteligencia en el curso de su desarrollo: a la irreversibili­dad inicial de las acciones corresponde

ausencia de conservación, y a la

se convierte en operatoria y reversible en el interior de una estructura y bajo el efecto de su organziación.

Advirtamos todavía, antes de detallar los tipos de estructura, que la reversibi­lidad, que constituye sin duda la ley fundamental de las composiciones pro­pias de la inteligencia, se presenta desde el comienzo (por tanto, desde los

senso-motrices) bajo dos formas com­plementarias e irreducibles: la inversión o negación y la reciprocidad. Cuando un bebé de 10 a 12 meses, que comienza a organizar de manera sistemática los des­plazamientos en su espacio próximo, ha desplazado un objeto de A a B, puede anular esta transformación median­te la transformcaión inversa, volviendo a colocar el objeto de B en A, lo que, en

III

Las estructuras algébricas, y principal-___ _ la de grupo, corresponden a losmecanismos operatorios de la inteligen­cia regidos por la primera de las dos for­mas de reversiiblidad, que hemos llama­do inversión o negación (el producto de una operación por su inversa es, pues, la operación idéntica o transformación nula).

Conviene insistir, a este respecto, en el hecho de que, por tardío que haya sido el descubrimiento de la nación de

matemático (siglo XIX),

unmente

unaconstrucción de estructuras reversibles corresponde la elaboración de nociones de conservación relativas al dominio as» estructurado.

Tales procesos pueden observarse des­de el campo senso-motor por una espe­cie de prefiguración práctica (y ligada al espacio próximo) de lo que serán las operaciones en el plano de la represen­tación o del pensamiento. Así ocurre que durante los primeros meses de existencia los desplazamientos todavía no pueden

organizados en grupo porque están

esque­mas

i

un

grupo como ser tal estructura expresa, en realidad, al-

de los mecanismos más caracte-gunosrísticos de la inteligencia. Destaquemos, en esta perspectiva, la significación de ser

- 6 - - 7 -

I

sñt' centrados en el propio cuerpo y com- L puestos con arreglo a ciertos errores sis- ••• temáticos en función de ese egocentns-

mo (3); a este nivel tampoco hay todavía ■ objetos permanentes de trayectoria inde­

pendiente de la acción propia. Hacia el fin del primera año, por el contrario, se da simultáneamente la constitución de este grupo experimental de los despla­zamientos, ya invocado por Henri Poin- caré (pero que él creía innato, siendo así que constituye una forma de equili­brio final de la organización senso-mo- triz), y la elaboración del esquema del objeto permanente (en función de las lo­calizaciones sucesivas, así como de los giros y retomos).

El desarrollo del pensamiento represen­tativo, en el curso de la fase preopera­toria y al nivel de las primeras opera­ciones concretos (de 7 a 11 años), origina un cuadro análogo. Mientras supone irie- versibilidad del pensamiento, no pueden existir en él nociones de conservación ni siquiera en los campos más simples de la observación (conservación de /unto en caso de modificación en la con­figuración de los elementos; conservación de la equivalencia entre dos conjuntos correspondientes cuando los elementos, después de haber estado unos frente a otros, no ofrecen ya correspondencia óp­tica; conservación de la igualdad de lon­gitudes de dos palos cuando encuentra ligeramente desplazado pecto del otro; conservación de la dis­tancia entre dos elementos inmóviles cuando se intercalan nuevos objetos en­tre ellos, etc.). Por el contrario, la trucción de las primeras estructuras re­presen etativas reversibles, hacia los 7-8 ños, lleva consigo necesariamente la elaboración de las correspondientes ciones de conservación.

Es inútil reproducir aquí la descripción de las numerosas estructuras reversibles de tipo algébrico que hemos señalado en otro lugar en la elaboración, por el niño de 6-8 años, de las nociones de número entero, de rectas proyecliva o euclidiana, de medida geométrica, de tiempo, etc. Lo importante es recordar que cada de estas construcciones supone una ela­

boración lógica previa, participando en­tre otras de la lógica de clases, y que las primeras operaciones de esta lógica ac­cesibles al niño exigen también, para constituirse, ciertas estructuras de tipo algébrico no idénticas al grupo todavía, pero con alguno de sus caracteres.

Tomemos como ejemplo la inclusión de una clase parcial A en una clase total B. Nada parece de comprensión más cilla que tal encaje, cuando todos los elementos se dan simultáneamente en el mismo campo perceptivo (así, cuando B = una colección visible de

formas del pensamiento científico perte­necen a estructuras de este tipo: p. ej., la clasificación zoológica, en la que se en­cuentran todos estos caracteres, incluso la contigüidad (no pueden disociarse dos clases cualesquiera, tales como el came­llo y la lombriz, para formar con ellas una nueva clase, sin pasar por una serie de dislocaciones del tipo: A' -f- C' == = D — B'; etc.).

Veremos, por otra parte, que tales es­tructuras constituyen igualmente, desde el punto de vista de las estructuras de or­den, redes incompletas, ya que todos los límites inferiores entre clases del mis­mo orden son nulos. Pero con el criterio que nos interesa aquí, que es el de la filiación de las estructuras a partir de los mecanismos del desarrollo espontáneo de la inteligencia, es tanto más precioso encontrar así, antes de llegar a las estruc­turas de alcance general, algunas formas incoativas de organización que, precisa­mente porque han escapado a la formu­lación de lógicos y matemáticos, atesti­guan su carácter primitivo.

(2) — A — A' = — B, de donde A' = B — A; etc.

(3) A — A = 0.(4) A f- A ~ A (tautología).(5) Asociatividad limitada a las opera­

ciones no tautológicas: (A + A') -f- + B' = A 4- (A' + B') pero A + + (A — A) 4 (A + A) — A.

Se observan en esta estructura algunas transformaciones comunes con él grupo, tales como -j- A, — A y 0. Pero, por una parte, la asociatividad es restringida. Por otra parte, las transformaciones solo se efectúan de manera contigua, es de­cir, pasando por la complementaridad con la clase inmediata superior. Estas dos limitaciones disminuyen considera­blemente, como es natural, la generali­dad de esta estructura. Pero, desde el punto de vista genético, no ofrece menos interés, porque atestigua sin duda la ne­cesidad de pasar por una estructura al­gébrica para llegar a las más sencidas construcciones lógicas.

Advirtamos, por otra parte, que algunas

sen-

cuen­tas de madera, A = una parte de B formada por 20 cuentas oscuras y A' = otra parte formada por 2 ó 3 cuentas claras). Sin embargo, basta preguntar al niño si el todo B es más o menos nume­roso que la parte mayor A (“¿Hay aquí más cuentas de madera o más cuentas oscuras?", etc.) para percibir la comple­jidad operatoria de este encaje inclusivo. Antes de los 7 años, por término medio, el niño responde que A supera a B, y ello porque tan pronto como el todo B es disociado en partes, ese todo no existe ya como tal, y lo que queda de B no es entonces más que la otra parte A'. (“Hay más cuentas oscuras que cuentas de madera, porque quedan solamente dos claras", dirá el niño sabiendo que las oscuras son también de madera.) Para establecer la relación A < B, el niño debe pasar por la operación reversible A + A' = B, de donde A = B — A' y R = B — A. Sólo cuando se ha adqui­rido el dominio de esta reversibilidad de la adición y la sustracción lógicas de las clases, el todo B se conserva in­dependientemente de las subdivisiones que puedan introducirse en él. En otros términos, la inclusión de la parte en el todo

un con- (Continuará)

ooo

ALGO SOBRE LA HISTORIA DE LA PROGRAMACION LINEAL

A la programación lineal suele asignársele un progenitor: George B. Dantzig, estadounidense, y una jecha de nacimiento: 1947. Pero un aspecto inesperado de la “guerra ¡ría" ha traído a colación la prioridad de paternidad en la figura del eminente matemático ruso L. V. Kantorovich, y retrotraído la fecha del nacimiento al año 1939. Y en reciente disertación académica, Rey Pastor nos informaba que el primer problema de programación lineal fue presentado en 1776 por Monge, y que Fourier estudió ya en 1823 los sistemas de inecuaciones lineales. Son antece­dentes reconocidos los trabajos de F. I. Hitchcock en un “problema de transporte99 (1941) y de G. J. Stigler en un “problema de dieta de costo mínimo” (1945). Des­pués de Fourier, los matemáticos siguieron interesándose por la teoría de las inecua­ciones lineales y de los poliedros convexos (íntimamente relacionados con la teoría de la programación lineal) como lo indican los trabajos de J. Farkas (1902), T. S. Motzkin (1933) y H. Weyl (1935).

Estas aclaraciones históricas no modifican el hecho germinal que representa la publicación, en 1951, del artículo “Maximinización de una junción lineal de va­riables sujetas a inecuaciones lineales”, en que Dantzig presenta un método general de resolución numérica de los problemas de programación lin-eal (el “método sim- plex'). El interés y las aplicaciones, numerosas y diferentes, empezaron inmediata­mente. Y aun hoy día puede decirse —después de la participación y las colaboracio­nes de tantos y tan valiosos autores—que Dantzig es el principal creador de métodosy de nuevos desarrollos en programación lineal.

(De la exposición de E. CANSADO en la reunión de Bogotá, en diciembre de

1961).

uno se res-

cons-

no-supone una estructura algébrica

previa.¿En qué consiste esta estructura? Su

forma más simple, a la cual llamamos estructura de los agrupamientos elemen­tales, puede aclararse mediante el ejem­plo de la clasificación o agrupamiento aditivo de las clases. Sus operaciones constitutivas son:(1) A + A' = B; B + B' = C; C + C =

D, etc., donde todas las clases del mismo orden son disjuntas (A X A' = 0;BXB' = 0, etc.).

ii

una

(3) Véase PIAGET: La construction du réel chez l'enfant Caps. I y II.

- 9 -- 8 -

la secundaria parece haberse estanca­do en el pantano de la geometría de Euáides", agregó. Afortunadamente, en un nivel superior, los geómetras de tipo moderno están evolucionando, al menos en EE.UU. Un desarrollo notorio —que la integra más estrechamente con la totali­dad de la matemática— es el del em­pleo de los vectores como estructura pa­ra el estudio del espacio, que en los úl­timos tiempos ha estado apareciendo con el nombre de "espacio vectorial". (2) Pero "su introducción no ha tenido gran éxito" y "hay fuertes razones para creer que la dificultad se halla en la falta de preparación de los estudiantes para es­tudiar el espacio en una forma que no sea el desarrollo sintético de la geometría de Eucltdes".

Pasó luego a considerar concretamen­te la reforma de la enseñanza y expresó:

“En lo que sigue me referiré a la geo­metría de Euclides como a la presenta­ción sintética de los Elementos de Eucli­des junto con cualquier refinamiento moderno tal como los hechos por Hilbert, Forder, Birkhoff y otros, y me referiré a la geometría euclidiana como el espacio concebido como un conjunto de elemen­tos llamados puntos, en el que se intro­duce una estructura y una métrica que da distancias y conserva las relaciones que se encuentran en la geometría de Euclides. Este espacio euclidiano se halla en el corazón de la matemática y sus propiedades nos ofrecen el medio de ex­tender y generalizar muchas de las otras

(la relatividad, la geometría dife­rencial, los grupos, los espacios métricos y la topología, por ejemplo). La geome­tría de Euclides, en cambio, no tiene na­da que ve: con estos temas; es hoy esté­ril, se halla fuera del camino principal de los adelantos matemáticos y puede

relegada, sin temor, a los archivos uso de los historiadores del mañana.

PANORAMA to completo de axiomas (basta mencio­nar únicamente a Hilbert y sus "Funda­mentos" o a Huntington y sus 27 postu­lados de álgebra compleja, como ejem­plos de esta interpretación). El tema que­daba entonces completo, con excepción del desarrollo tautológico de los teore­mas de la estructura.

"Hoy se parte de un conjunto básico cuyos elementos, o no están definidos o se construyen a partir de conjuntos más fundamentales. En geometría nos referi­mos al conjunto como a un "espacio" y a sus elementos como "puntos". Introdu­cimos luego una estructura en el conjun­to y desarrollamos aquellas propiedades posibles bajo esa estructura —por ejem­plo, un espacio vectorial afín. Sobre esta estructura, y en formas muy diversas, po­demos introducir una estructura adicio­nal, obteniendo así un nuevo espacio— por ejemplo, al introducir una norma en el espacio vectorial afín se obtiene un espacio vectorial normado. Podemos de­sarrollar aun más la estructura introdu­ciendo una métrica —una función de la distancia— en nuestro espacio normado y, de acuerdo con la función que defina la distancia, obtendremos diferentes es­pacios; si se utiliza la función euclidia­na, se obtendrá el espacio vectorial eu­clidiano. Y. según cuál sea la descrio- ción de nuestros "puntos", podremos ob­tener 1, 2, 3,... o infinitas dimensiones en nuestro espacio.

"Si el método —antes descripto— de emplear un par ordenado (conjunto, es­tructura) para definir un sistema mate­mático está de acuerdo con el espíritu de la época, y si la posibilidad de in­traducir diferentes estructuras en un con­junto proporciona flexibilidad a dicho sistema, debemos captar algo de ese es­píritu en el estudio de la geometría en la escuela secundaria. Necesitamos al­gunas ideas geométricas nuevas y auda­ces que nos inviten a separamos de Eucli­des. Esta fue la tesis de Dieudonné en la conferencia de Royaumont, (3) en donde señaló el rumbo por el que podría con­ducirse la reforma. Utilizando sus obser­vaciones y las ideas de algunos de los que participaron en el seminario de Du-

La Reunión de Bogotá

H. F. Fehr (EE. UU.) —secretario del comité organizador y observador de la OCDE— se refirió luego a "la reforma de la enseñanza de la geometría'.', dan­do por sentado que constituye uno de los problemas actualmente más discutidos, el del estudio de esta rama de la mate­mática, tanto en la escuela secundario como en la universidad. Expuso el desa- nollo histórico de la asignatura, que en la última parte del siglo XIX se carac­teriza por dos tendencias: la del arras­tre hacia el análisis (geometría diferen­cial) y la de su organización rigurosa (axiomática), coronada con la obra de Hilbert. En las primeras décadas del si­glo actual, la repercusión didáctica de los avances en la axiomatización fue, a su juicio, escasa; esta "situación de in­actividad" cambia hacia 1930 con el aporte de G. D. Birkhoff, modificado por E. C. Moise, consistente en un sistema de axiomas apropiado para la escuela secundaria, siguiendo las normas hilber- tianas. (i) Otra tendencia, bastante ge-

• neralizada en Alemania, sigue las hue­llas del programa de Erlangen, de Klein, y desarrolla la geometría basándose en el grupo de transformaciones caracterís­tico (rotaciones, reflexiones y traslaciones), precedido por la congruencia de trián­gulos establecida axiomáticamente.

Según Fehr, "la supervivencia de la geometría de Euclides se debe principal­mente a la creencia de que es el único tema disponible y apropiado para iniciar a las mentes jóvenes en la naturaleza de una estructura matemática axiomati- zada , olvidando la existencia de otros desarrollos, aritméticos o algebraicos, que pueden, hacerlo con igual o mayor pro­vecho. El progreso al nivel de la escue­

to Los textos de geometría —vol. I y II- del School Mathematics Study Group (SMSG) de la Universidad de Yole (EE.UU.), emplea

La 1? Conferencia Interamericana so­bre Educación Matemática se celebró en Bogotá (Colombia) a principios de diciem­bre de 1961, con los auspicios de la CIEM y la OEA. Representantes de veinte paí­ses americanos se reunieron para escu­char disertaciones sobre la matemática moderna y los problemas de su divulga­ción, y para cambiar ideas que conduje­ran a un programa de cooperación para su enseñanza adecuada en los niveles secundario y universitario.

Después de los discursos inaugurales del ministro colombiano de educación — Dr. Jaime Posada— y del presidente del comité organizador —Dr. Marshall H. Stone—, la Conferencia comenzó sus ta­reas con las exposiciones de A. Gonzá­lez Domínguez (Argentina) sobre "la ma­temática y nuestra sociedad tecnológica" y E. Cansado (Chile) —invitado especial— sobre "modernas aplicaciones de la ma­temática". González Domínguez desarro­lló su tesis de que "la matemática está en la base de nuestro desarrollo tecnoló­gico actual" mostrando las aplicaciones a la física cuántica, la automatización, el cómputo electrónico, las disciplinas nómicas. Más específicamente se refirió Cansado a estas últimas aplicaciones tratando, en síntesis apretada y erudita, las programaciones lineal, no-lineal y di­námica y la teoría de juegos, y mencio­nando, como cierre de su disertación, las teorías de inventarios, de las colas y de la decisión. A través de la discusión ul­terior de los temas tratados por Cansado, cuya inclusión urgente en la escuela se­cundaria sostuvo, pudo advertirse una resistencia por parte de los asistentes a hacerlo así; "Quizás pudieran incluirse en la enseñanza secundaria; Creo, sin embargo, que hay otros más interesantes y que tienen prioridad"- expresó G. Choquet (Francia) invitado especial.

$

ramaseco-

serpara

"La forma de contemplar la geometría o cualquier otra rama matemática es muy diferente hoy de lo que era a comienzos de este sialo. Entonces se partía de un conjunto de objetos cuya existencia se suponía generalmente, pero sin descri­birlos, y al cual se le imponía una es­tructura total en la forma de un conjun-

ii

f

(2) Véase ELEMENTOS, año I, pp. 153/7. (3) Véase ELEMENTOS, año 1, p. 61.sistema axiomático.n ese

- 11- 10 -

b) V = k V' implica que V y V' se Junto con el estudio de los conjuntos, las operaciones entre ellos y las "aplicacio­nes", y el uso de los sistemas de coorde­nadas, ésta es la mejor preparación geo­métrica para el estudio del análisis de que podemos disponer actualmente".

Finalmente, Ferh reseñó así los princi­pales movimientos en el desarrollo del pensamiento matemático que deben dicionar la actitud docente ante la ense­ñanza de la geometría:

1) El descubrimiento de las geometrías no-euclidianas y su repercusión en la axiomatización de todas las ramas del estudio matemático.

2) Las clasificaciones de las geome­trías realizadas por Riemann, Klein y otros.

3) La aritmetización de la matemática efectuada, como se sabe, por Dedekind, Weierstrass, Cantor y otros.

4) El desarrollo de la geometría dife­rencial.

5) El perfeccionamiento de la geome­tría de Euclides a fines del siglo pasado.

6) El desarrollo de los conceptos de espacios vectorial, métrico y topológico.

7) La tendencia hacia las estructuras matemáticas y la unidad de la disciplina.

"La importancia de todos estos movi­mientos en el reconocimiento de lo que es posible y deseable en la enseñanza secundaria de la geometría —concluyó Fehr— indica que:

a) El tratamiento actual de la geome­tría de Euclides debe desaparecer. Con­tribuye poco a los estudios posteriores y se halla fuera de las corrientes principa­les de la matemática.

b) El espacio euclidiano es importante y debe hallarse en el centro de la ense­ñanza de la geometría. Debe desarrollar­se como espacio aritmético, con una es­tructura vectorial y una métrica eucli- diana.

c) Toda la geometría de Euclides —pla­na y del espacio— debe aprenderse in­formalmente en los primeros años de la escuela secundaria.

d) En los futuros programas universi­tarios de análisis, una parte importante se dedicará al estudio d© los espacios vectoriales y el álgebra lineal. La escue­la secundaria tiene la responsabilidad de preparar a los estudiantes para ver el

el siguien- encuen-tran sobre rectas paralelas, y recíprocamente.

c) s¡ k V = h V' y V y V' no se hallan so­bre rectas paralelas, entonces k = h = 0.

d) Si a V + b W =■- c V + d W, entonces: a = c y b = d.

III. — Introducción de las coordenadas y los vectores centrados; base del siste-

de coordenadas- la proyección

espacio desde este nuevo punto de vista."Para lograr todo esto necesitamos in­

vestigar y experimentar con el propósito de concretar un programa para la es­cuela secundaria que esté en estrecha armonía con el espíritu de la matemáti­ca contemporánea y tenga la suficiente flexibilidad para poder adaptarse a los nuevos procedimientos que puedan ir emergiendo en ella. Jamás deberemos permitir que una geometría dada domi­ne los programas escolares y el pensa­miento humano en forma tal que impida cualquier cambio, que es exactamente lo que ha hecho la de Euclides en los úl­timos cien años".

La discusión subsiguiente fue muy ilus­trativa. L. A. Santaló (Argentina) expre­só su deseo de que, una vez establecida la fundamentación que debe adoptarse —de tipo axiomático, o a la manera pro­pugnada en Royaumont, o del tipo vec­torial propuesto por Fehr— se pusiera bien en claro qué material deberá en­señarse. M. H. Stone (EE.UU.) previno so­bre el error de insistir demasiado en una orientación dada, que podría contrariar intereses diversos de los alumnos. L. R. Robinson (Indias Occidentales) requirió informes acerca de si lo propuesto se había experimentado y en tal caso qué dificultades se habían presentado. O. Ca- tunda (Brasil) estuvo de acuerdo en la vetustez de la geometría de Euclides, pe­ro no se mostró conforme con su supre­sión total porque "parece que la geome­tría sintética crea un hábito de raciocinio que la hace muy importante para la for­mación del ciudadano. 'A. J. Coleman (Canadá) se pronunció por el manteni­miento de Euclides porque según su ex­periencia "todo aquél que se ha interesa­do por la matemática encontró en Eucli­des su primer incentivo" y porque los problemas que se podrían presentar con un sistema axiomático como el propuesto serían triviales en comparación con los muy notables que se han desarrollado en dos mil años de enseñanza euclidiana". Fehr defendió su propuesta, aun recono­ciendo que acaso fuera el más entusias­ta partidario de la geometría de Euclides entre los concurrentes, pero que no se trataba de insistir en gustos personales. Fue apoyado especialmente por G. Cho-

brovnik, (4) quisiera proponer te programa de enseñanza de la geome tría, a partir de los 11 años y hasta1 e- gar a los estudios universitarios. (El i po sólo me permitirá presentar el esque- ma principal de este programa, aunque es relativamente fácil completar sus de­talles). ,

"Antes de ingresar en la escuela se­cundaria, a la edad de 11 años o poco más, el niño ha adquirido gran cantidad de ideas geométricas, todas de naturale­za física. Aprovechando estos conocimien­tos y utilizando métodos de laboratorio, tales como los de medir, doblar, dibujar y construir modelos, el alumno puede ad­quirir y emplear, entre los 12 y los 15 años, toda la información contenida en los Elementos de Euclides sobre geome­tría plana y del espacio. Durante este lapso, poco a poco, puede abstraer los elementos conceptuales esenciales, tales como punto, figura, recta, plano, espacio, como construcciones puramente mentales, y generalizar las relaciones entre estos elementos hasta el punto de poder esta­blecer cortas cadenas deductivas de teo­remas sobre algo menos que una base axiomática.

¡

i

. Para­lela y los componentes de un vector. En­tonces se podrá establecer la ecuación de una recta en el plano afín y estudiar sus propiedades.

IV — Introducción de la noción de pendicularidad y de producto escalar. Definir: a 1 b si a -f- b = a — b. En­tonces podremos desarrollar el teorema de Pitáaoras, el del coseno v toda la geometría plana euclidiana. Además po­dremos ligar el álgebra con la geometría dando una solución vectorial a un par de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

"Todo este trabajo es geometría ele­mental real y preparatoria del uso que se le dará en la física y en la geometría analítica. Puede tomarse como ejemplo de un desarrollo axiomático. Posee es-

ma con-

per-

1*

tructura. Sigue las sugerencias que Dieu- donné y Choquet hicieron en Royaumont y Aarhus, (5) respectivamente y está completamente de acuerdo con los pun­tos de vista expresados por Henri Cortan en Bolonia al pedir que se llevara al es­tudiante tan directamente como fuera po­sible al estudio de la geometría afín y de los espacios vectoriales. Al abogar por este método, no fue su intención que se excluyera ninguno de los pasos pe­dagógicos necesarios para hacer posible la transición entre la geometría intuitiva y este material; pidió que todos los te­mas innecesarios, por atractivos que fue­ran (geometría proyectiva, geometrías fi­nitas, etc.) se postergaran.

"A la edad de 17 y 18 años, esta geo­metría puede ser desarrollada aun mas con la introducción del espacio euclidia­no, primero de una, dos y tres dimensio­nes y, luego, extendido a n dimensiones.

"Entre los 14 y los 15 años, el alumno encontrará trabajo deductivo adicional en el álgebra, al estudiar nuevos siste­mas numéricos y la estructura algebrai­ca; a los 15 y 16 años deberá ser capazde combinar el álgebra con la geometría, en un estudio de la geometría plana afín. A: continuación, y como sugerencia, se esboza lo que podría hacerse:

I. Introducción de las clases de equi­valencia de vectores libres; la suma de dos vectores (como una operación dife­rente de la numérica); el grupo aditivo de los vectores; teoremas y ejercicios.

II. El producto de un vector por un numero -producto por un escalar— v suq propiedades. Estas propiedades permiti­

da demostración de todos los teore-»pl““ °fin-L»

a) Dado un punto P y un vector V

SL“m r¡T * “ r»° lo.

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ranmas

son:una

(•') En esta reunión, celebrada a principios de ¡u^ de 1960, en esa ciudad danesa, se trató en t ñanza de la geometría. Sobre las ideas de C o

«La enseñanzaMadrid, año b

(*) ta citada programas de PP. ¡16/120.

reunión es !a que formuló los conocidos 10 0ECE; véo* ELEMENTOS, año |,

acerca del tema puede consultarse de las matemáticas", cap. V (Ed. Aguilar; 1963), obra comentada en ELEMENTOS, p. 158. - 13 -

~ 12 -

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ción suiiciente; formación universitaria; perfeccionamiento continuado; provisión de programas completos y de textos apro­piados en el nivel del profesor y el del alumno; supresión de materias de "cul­tura general" en los planes del profeso­rado.

Al mismo tema se refirió posteriormen­te O. Catunda (Brasil). En primer término expuso la situación actual de su país en materia de enseñanza secundaria, admi­tiendo que sería desastrosa la introauc- ción prematura de la enseñanza del ál­gebra y que en lugar de "¡Abajo Eucli- des!" de Dieudonné, reclamaría para su país un "¡Al menos Euclidesl". Entranao concretamente al tema planteado, señaló que pese a las exigencias legales vigen­tes, apenas un 20 % del profesorado se' cundario tiene formación superior adecua­da a sus funciones. Además, mientras la provisión de cátedras se hace por oposi­ciones en las escuelas oficiales, no hay exigencia semejante en las escuelas pri­vadas, a pesar del reconocimiento guber­nativo de que gozan. Uno de los facto­res preponderantes del estado lastimoso de la enseñanza resulta ser así el bajo nivel de valorización del profesor; se en­cuentran algunos profesores convertidos en "verdaderas máquinas de enseñar" a costa de la calidad de sus lecciones, pa­ra lograr incrementar sus ingresos. A su entender, para ser realmente eficiente, el docente secundario debería contar con tres horas de trabajo cada hora de clase efectivamente dictada; podría así dedicar­se debidamente a tareas de preparación y corrección, a reuniones con padres y colegas y a su propia incesante capaci­tación. Cuadro tan sombrío no lo hace sentir pesimista con respetco al futuro; vislumbra una reacción a través de re­uniones en coloquios y congresos, riéndose al problema de la formación de docentes, expuso la manera en que lo encaran las facultades de ciencias a car­go de esa misión, en especial la de San Pablo. Concluyó su exposición abogan­do por: la preparación en tres o cuatro años, de nivel universitario; con los dos primeros años comunes a futuros docen- les Y a futuros matemáticos, sin preten­er alcanzar conocimientos profundos y

muy abstractos, pero insistiendo sí en las asignaturas básicas además de otras

quet (Francia) y L. Pauli (Suiza), quien adelantándose a su disertación posterior, señaló el "notable éxito" obtenido en Neucháiel siguiendo las lír.eas generales propuestas por Fehr.

La Conferencia se abocó luego al pro­blema de la formación de los profeso­res de matemática. L. A. Santaló (Argen­tina) leyó el trabajo sobre el tema pre­parado en colaboración con A. Valeiras ¡Argentina). Al tratar las consideraciones generales expuso que:

Todo profesor de matemática debe te­ner conocimientos adecuados sobre:

I. Qué enseñar (Es decir, conocimiento claro y extenso de la matemática); II. Cómo enseñar (Es decir, conocimientos de didáctica); III. A quiénes enseñar (Es decir, conocimiento del sujeto a quien la enseñanza va dirigida: psicología de los alumnos) IV. Por qué y para qué enseñar. (Es decir, conocimientos sobre los proble­mas generales de la educación como, por ejemplo, los fines y los medios de la edu­cación, la formación moral y de la per­sonalidad, las relaciones entre la escue­la y la sociedad, los sistemas de ense­ñanza en los distintos países y en las distintas épocas). Los cuatro puntos pre­sentan a primera vista importancia simi­lar? pero en épocas como la actual, en que el avance científico se hace impe­tuoso, la preparación no puede ser está­tica y definitiva, y el conocimiento mate­mático actualizado pasa a primer plano entre las exigencias mencionadas". Se­ñaló luego que el tremendo incremento de la educación secundaria ha tropezado con la doble falta de locales adecuados y personal docente capacitado: "la sificación de la enseñanza ha obrado en contra de la evolución de la misma". Al analizar las condiciones actuales del pro­fesorado, admitió que son poco satisfac­torias desde el punto de vista económico, lo que redunda en perjuicio de su pres­tigio social y repercute necesariamente sobre su labor. Criticó el sistema de re­gulación de los ingresos en función lineal de las horas de cátedra, como asimismo su fundamento en una uniformidad t no estimula el afán de perfeccionamiento ni la contracción a las tareas docentes.

Indicó, finalmente, posibles reformas, a saber: dedicación exclusiva y retribu-

materias que puedan dar una visión de conjunto de la matemática moderna sin gran esfuerzo de preparación; la institu­ción de cursos de revisión de la mate­mática elemental; la posible inclusión de algún curso de matemática aplicada; el mantenimiento de un contacto constante entre la universidad y los docentes en ejercicio para levantar su nivel de cono­cimientos; la preparación y difusión de una publicación periódica de carácter elemental.

El problema de la formación docente fue ampliamente debatido. M. Balanzat (Venezuela) reclamó para los institutos de formación de profesores el nivel uni­versitario. B. Alfaro S. (Costa Rica) reco­noció que en su país sería imposible cumplir exigencias como las preconiza­das; que el propósito de perfeccionar a los docentes en ejercicio se ha frustrado y que corresponde estimular a los concu­rrentes a los cursos respectivos y apre­miar a los indolentes o indiferentes. F. Garriga (Puerto Rico) señaló dificultades surgidas en su país para el perfecciona­miento docente, por falta de estímulo adecuado. O. Catunda (Brasil) aclaró que en su país se reconoce el esfuerzo de quienes asisten a esos cursos y los aprueban. M. Santaló (México) advirtió que el problema mexicano está simpli­ficado en cuanto a la formación y el perfeccionamiento ulterior; exhortó a "que los hombres que más saben de matemática en cada país dediquen par­te de su tiempo, de manera regular, a la divulgación de la matemática moderna con artículos en revistas, las cuales de­berían tener una publicación periódica. R. Laguardia (Uruguay) expuso aspectos del problema en su país y recomendó el estímulo al docente con iniciativas y con preocupación por su labor; advirtió un inconveniente desequilibrio entre erudi­

ción e investigación en todos los niveles docentes. G. Choquet (Francia) achacó a los profesores secundarios debilidad en su cultura matemática y abogó por su mayor rigor. A. Pereira Gómez (Bra­sil) concordó con su colega Catunda en la falta de aliciente para el profesor co­mo factor del estancamiento educativo en su país. A. Hernández A. (Nicaragua) manifestó que los problemas en Centro- américa son el fruto de la pobreza es­tatal y que la iniciativa privada que trata de resolverlos tropieza, en el caso particular de su país, con el egoísmo del Consejo Superior Universitario Cen­troamericano, al que debiera exhortarse a colaborar. E. Sevilla I. (Honduras) pi­dió recomendaciones generales por par­te de la Conferencia, que tendría que decidirse entre el perfeccionamiento de los docentes en ejercicio o su sustitu­ción paulatina por nuevos elementos mejor preparados. A. J. Coleman (Cana­dá) declaró que la situación en Ontario es "tranquilizadora" y que los profeso­res, agrupados en sindicatos, han logra­do "sensibles mejoras en los últimos diez años", de tal modo que actualmente (1961) "un profesor con diez o doce años de antigüedad percibe un sueldo de hasta 9300 u$s." L. R. Robinson (Indias Occidentales) consideró que "nuestra profesión es tan digna como cualquier otra y merece el mismo trato" y que la Conferencia debía recomendar "que los profesores sean considerados en un nivel más alto y que se les asignen mejores remuneraciones''.

El intercambio de ideas y experien­cias sirvió de base para una discusión de "mesa redonda" que fue iniciada por R. Laguardia (Uruguay). La discusión se concretó en la adopción de las resolu­ciones de la Conferencia que se expo­nen al final de esta reseña.

ma-

Refi-(Continuará)

ooo

NORMAS PARA UN PROGRAMA DE ENSEÑANZA<*quePera hacer un programa no basta solamente tener en cuenta la estructura del

pensamiento y la de la matemática; también hay que atender al objeto que se persigue con la enseñanza.

CALEB GATTEGNO

- 15 -- 14 -

I1 i/

ORIENTACION Todas estas proposiciones son verda­deras, según lo prueban las correspon­dientes demostraciones que se hacen en la Lógica Matemática.

Los teoremas del Algebra de Boole se traducen en leyes del cálculo de clases cuya demostración resulta innecesaria porque la de aquellos teoremas tiene validez general para todas las interpre­taciones de los entes primitivos que sa­tisfagan los axiomas.

Una aplicación importante del Algebra de Boole, dentro de este primer modelo interpretativo, es la justificación de la validez de los silogismos clásicos, tema que desarrollaremos más adelante.

Segunda interpretación. — Convenga­mos en atribuir a los entes primitivos los significados siguientes:

K significa el conjunto de los divi­sores de un número compuesto n cuya descomposición en factores primos no contenga factores repe­tidos. De modo que n podrá ser uno cualquiera de los números: 6, 10, 14, 15, 22, 26, 30, ... etc.

+, colocado entre dos números de K, significa el máximo común di­visor de esos dos números. Por ejemplo:2 + 6 . = . M.C.D. (2,6) = 2. colocado entre dos números de K, significa el mínimo común múltiplo de esos dos números. Por ejemplo: 2.6. = . M.C.M. (2,6) = 6.

Si elegimos n = 6, el conjunto K es:K = -j 1, 2, 3, 6 }■

Como el número de elementos de K es finito, podemos expresar los resulta­dos de todas las operaciones posibles de adición y multiplicación, así interpreta­das, en sendas tablas, a saber:+ 112 3 6

1 «1 1 1 1 12 12 123 113 36 12 3 6Estas tablas ponen de manifiesto que: l9) Tanto el Ax.I.l como el Ax.1.2 se ve­

rifican, puesto que en ellas no existen casillas en blanco. Todos los casos posi­bles de adición y sustracción tienen re­sultado único y perteneciente a K.

2°) El número 6 hace las veces del 0 de Boole, ya que actúa como elemento neutro de la adición. Así lo revela la cuarta fila de la tabla correspondiente. El número 1, a su vez, hace las veces del 1 de Boole, ya que actúa como elemento neutro de la multiplicación. Así lo revela la primrea fila de la tabla respectiva. Lue­go se verifican el Ax.II.l y el Ax.II.2.

3P) La adición y la multiplicación son operaciones conmutativas, como lo prue­ba el hecho de que los resultados que en las respectivas tablas ocupan lugares simétricos, con respecto a la diagonal descendente de izquierda a derecha, son iguales. Luego, se verifican el Ax.III.l v el Ax.III.2.

49) El elemento complementario del 1 es el 6, el del 2 es el 3, el del 3 es el 2 y el del 6 es el 1, puesto que cada uno de estos pares de elementos —que en K ocu­pan lugares equidistantes de los extre­mos— satisfacen las condiciones:

a.a' = 0

El Algebra de Bode'*’

FLORENCIO D. JAIME(Instituto Superior del Profesorado - Bs. As.)

dicon concretamente clases. Entre estas ciases figurarán, también, la clase vacía A y la clase universal V, que tienen las propiedades del 0 y del 1 de Boole Para que la precedente interpretación consti­tuya un modelo de Algebra de Boole, habrá que demostrar que ella satisface las condiciones impuestas por los axio­mas.

APLICACIONES DEL ALGEBRA DE BOOLE

El Algebra de Boole, desarrollada con método axiomático, como teoría abstrac­ta, tal como lo hemos venido haciendo, ofrece la ventaja, sobre el tartamiento del cálculo específico de clases, de que, además de traducirse en este cálculo me­diante una adecuada interpretación de los entes primitivos K, + y tibie, también, de muchas otras aplica­ciones correspondientes a los múltiples sistemas de significados que se pueden atribuir a los mencionados entes. Aquí, por razones de espacio, sólo expondre­mos algunas de esas interpretaciones (')

Piimera interpretación. — Convenga­mos en atribuir a los entes primitivos los siguientes significados:

K significa conjunto de todas las clases de individuos (-).

+ significa U (unión o adición lógica de clases).

. significa D (integración o multipli­cación lógica de clases.

A los elementos de K, que antes de­signábamos por a, b, c, etc., los repre­sentaremos ahora por A, B, C, etc. para recordar que, en esta interpretación, in-

>

iEfectivamente, dadas dos clases cua­lesquiera A y B, de K, existe siempre una clase C, de K, tal que: A U B = C Dicha clase es

a + a' = 1 impuestas por el Ax.V, cuya traducción en términos de la interpretación que estamos considerando es la siguiente:M.C.D. (a,a') = 1 y M.C.M. (a,a') = 6.

La validez de estas afirmaciones se comprueba observando las diagonales ascendentes de izquierda a derecha en las respectivas tablas. Luego, se verifica el Ax.V.

La verificación del Ax.VI es inmediata, ya que el conjunto K tiene cuatro ele­mentos.

En cuanto a los axiomas IV. 1 y IV.2, en esta interpretación se traducen en las proposiciones siguientes:

Para todo a, todo b y todo c, de K, se verifica que

Yes suscep-• #

C = -jx: x e A V x 8 Blr Existe, también, una clase C, de K, tal

que: A O B = C.Dicha clase es

C = -¡x: x e A A x e Bi- Se verifican, pues el Ax. I 1 y el Ax 1 2 Los restantes axiomas se traducen en

las proposiciones siguientes:Existen un elemento A y un elemento V

de K, tales que, para todo A, de K, se verifica que:

A U A = A y V O A = A Para todo A y todo B, de K, se veri­

fica que:

* t

AuB=BuAyAnB=BnA Para todo A, todo B y todo C, de K, se

verifica que:A U (B O C) = (A U B) n (A U C)

M.C.D. [cx,M.C.M. (b,c)] == M.C.M. [M.C.D. (a.b), M.C.D. (a,c) ]

M.C.M. [a, M.C.D. (b.c)] == M.C.D. [M.C.M. (a,b), M.C.M. (a,c)]

proposiciones, éstas, que se pueden de­mostrar con los recursos de la Aritmética ordinaria. También se pueden comprobar considerando uno a uno los 64 casos par­ticulares que originan cada uno de los 4 valores de a con cada uno de los 16 re­sultados consignados en la tabla corres­pondiente. ^

Los teoremas del Algebra de Boole se

12 3 612 3 6 2 2 6 6 3 6 3 6 6 6 6 6

(*} Véase ELEMENTOS W 6, pp. 148-152.

O Quienes se interesen por les aplicaciones técnicas podrán consultar: DENIS PAPIN - KAUFMAN - FAURE, "Cours de Calcul Booléien Apliqué"; Ed. A. Michel, París, 1963.

(2) Bastaría atribuir a K el significado de conjunto de las partes de un conjunto dado cualquiera V, no vacío (llamado conjunto referencial) e interpretar + como U. y . como fl. para obtener un modelo reducido del Algebra de Boolo con todas las pro­piedades del Cálculo de Clases.

1..2Y *A O (B UC) = A O B) U (A n C).

Para todo A, de K, existe otro elemen­to A', de K, tal que:

A U A' = V El elemento A' es la clase A' igual a

A' = jx: x 6 V A x no e A| Existen, por lo menos, dos elementos

en K.

3\ 6

■

A U A' = AY

i

- 16 - 17 -

I¡

interrumpir y restablecer la circulación de corriente. A estas llaves las designa- remo por A, B, C, . .. etc. Convendre­mos, asimismo, en designar con una mis­ma letra a dos o más llaves cuando estén vinculadas por medio de un mecanismo tal que cuando una de ellas esté abierta o cerrada, la otra u otras estén abiertas o cerradas respectivamente. Diremos, además, que dos llaves A y A' son com­plementarias cuando estén vinculadas por un mecanismo tal que, cuando una de ellas esté abierta o cerrada, la otra esté cerrada o abierta respectivamente.

Todo circuito deberá encontra*se, pues, en uno de los siguientes estados: abierto, en cuyo caso no circula corriente (estado, éste, que indicaremos con 0) o cerrado, en cuyo caso circula corriente (estado, éste, que indicaremos con 1).

Para designar los circuitos utilizaremos las mismas letras de sus llaves.

Convengamos, por último, en atribuir a los entes primitivos del Algebra de Boole bivalente los siguientes significa­dos:

El elemento complementario del A es el V y el de'i V es el A.

Esta interpretación satisface todas las condiciones impuestas por los axiomas, por ser un caso particular del cálculo re­ducido de clases (véase nota (2)).

Cuarta interpretación. — Sean p, q, r, variables proposicionales, o sea, va­

riables susceptibles de recibir como sig­nificados proposiciones cualesquiera. Con

i p |, | q |, | r |, ... representaremos sus respectivos valores de verdad, los cuales podrán ser, como se sabe, el verdadero (que indicaremos con v) y el falso (que indicaremos con f).

En esta interpretación:

traducen en propiedades del M.C.D. y el M.C.M. cuya vclidez está asegurada por la de aquellos teoremas, sin necesidad de nuevas demostraciones.

Agebras de Boole bivalentes. En todo modelo interpretativo del Algebra de Bo­ole, el 0 y el 1 de Boole deben figurar entre los elementos del conjunto K y ser distintos entre sí.

En efecto, dado un modelo interpretati­vo cualquiera y hechas las traducciones correspondientes de los axiomas, deben verificarse las condiciones impuestas por estos últimos. En virtud de los axiomas II. 1 y II 2 deben existir en K los elementos0 y 1. Vamos a probar ahora que 0 j 1.

Supongamos que fuera 0 = 1.En tal caso debería existir en K, por lo

menos un elemento a distinto del 0 y del1 (en virtud del Ax.VI). Pero, por ser 0=1, debería ser también

al del ejemplo anterior, se consignan en las tablas siguientes:

A | B j| A + B A | B || A.B

1 I 1 '! 11 | 0 |i 1o i i l! io I o II o

1 1 II 10 ¡i 011 II oo

o o II oObsérvese la similitud de estas tablas

las de la adición o disyunción y de la multiplicación o conjunción, del Cálcu­lo Proposicional.

Les tablas precedentes ponen de ma­nifiesto que se verifican los axiomas 1.1, 1.2, II. 1, II.2, III. 1 y III.2. Los diagramas anteriores muestran que se verifica el Ax.V, con sólo cambiar B por A':

A J-A'= 1; A . A' — 0 Dos circuitos se consideran equivalen­

tes cuando, colocadas les llaves homó­nimas en igualdad de condiciones, si uno de ellos está abierto o cerrado, el otro está abierto o cerrado respectivamente. Si consideramos como únicas propieda­des de los circuitos, las de estar abiertos o cerrados podemos considerar a los cir­cuitos equivalentes como circuitos idén­ticos, ya que toda propiedad del uno re­sulta propiedad del otro y recíproca­mente.

con

10. 1} = ÍÍP. |q|, |r|, ...yK0 . = . f1 . = . v

|p| -f |q| —. |p V q|Ip! • |q| •=• Ip a q|

Las tablas de la adición y multiplica­ción son las siguientes:

(por unicidad de a -r 0 = o t 1 ia suma/ Ax.I.l)a — 1

)o seapor T.II 1, T.VI 1 y regla de sustitución. Pero esta conclusión es absurda por opo­nerse a otra anterior según la cual a ^ 1. Este absurdo proviene de suponer que 0=1; luego, lo cierto será que

0¿1.Como corolario de la proposición pre­

cedente se deduce que, cuando el con­junto K consta de dos elementos (lo que es posible en virtud del Ax.VI), esos ele­mentos son el 0 y el 1 de Boole.

Las interpretaciones del Algebra de Bo­ole en las que el conjunto K = *¡0,1 \ se llaman álgebras de Boole bivalentes. Ellas difieren, unas de otras, en los dis­tintos significados atribuidos a 0, 1,

k .=. -¡o, íy0 .=. circuito abierto1 .=. circuito cerradoA + B =. es’ado del circuito que se

obtiene conectando los cir­cuitos dados A y B en paralelo.

A . B . = . estado del circuito que se obtiene conectando los cir­cuitos dados A y B en serie.

ipj 1 [q! li ípI - i- lq! IpI ! Iql II ípI !q|V | V V VV V

fV | f fV Vf I V f fV V

Los diagramas siguientes muestran que se verifican los axiomas IV 1 y IV.2, res­pectivamente:

* I < f ff

de acuerdo con ias tablas de verdad de las respectivas operaciones del Cálculo Proposicional. (:i)

El elemento complementario del v es el f y el del f es el v, puesto que satis­facen las condiciones del Ax.V, según lo prueba la siguiente tabla:

a I a ii a 4- a' = 1

Por ejemplo;

A + (B.C) = (A + B) . (A + C)Aa. a' = 0y • •

Tercera interpretación (llamada "inter­pretación del todo o nada").

k .=. <¡o,iy0 . = . A (dase vacía)1 . = . V (clase universal)+ .==. U

. . = . n

A BV | f I! V . f = ff.v = f

V + f = V f -1- V = V JBf I V II

í A BA + BLos axiomas se traducen en proposicio­nes cuya verificación puede hacerse em­pleando el conocido método de las ta­blas de verdad.

Quinta interpretación (aplicable a los circuitos eléctricos).

Consideremos distintos circuitos eléctri­cos conectados a sus respectivos genera­dores y provistos de llaves capaces de

A . (B + C) = (A . B) + (A . C)En este caso, en que A = 0 y B = 1, los resultados son:A + B = 0 + 1 = 1 y A.B = 0.1 = 0 como lo revelan los respectivos diagra­mas.

Trazando los diagramas correspondien­tes a los restantes casos a que dan lugar los distintas posiciones do las llaves, se obtienen los resultados que, agregados

Con diagramas análogos, correspon­dientes a los restantes casos, se comprue­ba que el Ax.IV.l y el Ax.IV.2 se ve­rifican para todo A. todo B y todo C. En Cuanto al Ax.VI, su verificación es obvia, ya que K tiene dos elementos.

Las tablas de la adición y la multiplica­ción son las siguientes:

+ ¡ A V . | A V

A | Y Vy ! V A7

A I A A V i A V

(Concluirá)(’) Véase ELEMENTOS, año I, p. 74 (N. de los T.).

- 19 -18 -

i

Transformaciones y Matrices pació de una dimensión, un plano lo será de dos, y el espacio ordinario será de tres dimensiones.

Una simplificación notable se obtiene cuando se eligen los ejes perpendicula­res entre sí, y los segmentos unidad, so­bre cada eje, de igual longitud. En este caso, la distancia entre dos puntos A (cii, a*, a*) y B (bj, b2l b3), queda deter­minado por la fórmula pitagórica:

donde ai y 02 son números reales lla­mados componentes del vector. Si elegi- mos ex y e2 en forma tal que sus rectas sostén sean perpendiculares, vectorial- mente este hecho se expresará por la relación

ROBERTO G. OVEJERO(Univ, Nac. tfe Tucumán)

(1) ei e2 — 0donde el punto (.) indica producto lar; en este caso la base se dice oitogo- nal. Si edemás, las longitudes de los segmentos ei y e2 (módulos de los vec­tores et y e2) son iguales a la unidad, la base se llama ortonormal, y se cumplen que: ei . et = e_. . e2 = 1. Un sistema de coordenadas cartesiano rectangular puede superponerse con una base or- tonormcl, y si el segmento unidad sobre sus ejes se elige de modo tal que su longitud sea igual a los módulos de los vectores ei (i = 1,2), tendremos que los mismos números que expresan las co­ordenadas de un punto P en ese sistema de coordenadas, serán los que expresan las componentes del vector P = OP, ten­dido entre el origen y el punto P.

La ventaja de considerar el plano vec­torial, estriba en la posibilidad de usar el producto escalar para determinar las componentes de los vectores y las dis­tancias entre los distintos puntos del pla­no vectorial. En efecto, sobre una base ortonormal, las componentes de un vec­tor x resultan:X| = x . ei =xei eos (x,e,) = x eos (x,e,) x 2 = x . e2 = xe2 eos (x,e2) = x eos (x.e2) y, dados dos puntos A y B, la distancia entre los mismos (puntos del plano vecto­rial, será:

a puntos tales como el P sobre la semi­rrecta positiva y el Q sobre la negativa (Fig. 1), corresponderán los números p y q tales que:

En un artículo anterior de esta misma Revista, ('), se han tratado las transfor­maciones geométricas, particularizando su estudio en aquéllas que transforman el plano en sí mismo. Allí también apa-

el concepto de vector a propósito de las traslaciones. En ese articulo, las transformaciones son tratadas por mé­todos geométricos, de "regla y compás', los cuales, si bien son los adecuados para introducir al alumno en el concepto de transformación y de estructura alge­braica a través de los grupos de trans­formaciones, carecen de la precisión, po­tencia y generalidad de los métodos ana­líticos. Los programas propuestos pre­vén para tercer año la introducción del análisis en la geometría, y en su parte final retoman las transformaciones, vis­tas en primer año, desde un punto de vista analítico-vectorial. Este será el en- íoaue del presente artículo.

La comprensión cabal del método ana­lítico, y su posibilidad de generalización a espacios matemáticos de cualquier nú­mero de dimensiones, reposa en los su­puestos esenciales de la coordinación del conjunto de los puntos de una recta, con el conjunto de los números reales. Vea­mos cómo se realiza esta cordinación; para ello, se postula la existencia de una correspondencia biunívoca entre los ele­mentos del conjunto de puntos de la recta y los del de números reales. Hecho esto, se elige sobre la recta un punto O llamado origen, que divide a la recta en dos semirrectas. A una de ellas se le asigna el sentido positivo, y sobre la misma se determina un punto U. Llama­remos unidad de longitud a la longiiud del segmento OU. Al punto O hacemos corresponder el número cero, al punto U hacemos corresponder el número 1, y

esca-

J (bi-aj)2 + (bo-a2)- -|-d = +OQOPy q =p = Nos restringiremos al estudio de estos

sistemas de coordenadas, que se llaman cartesianas rectangulares.

rece OUOUdonde OP y OQ son las longitudes de los segmentos que tienen por extremos dichos puntos. El conjunto de los núme-

reales asociados con los puntos de la recta en la manera precedentemente expuesta, constituye un sistema de co­ordenadas en la recta. Los números p

llaman las coordenadas de P y Q,

ESPACIOS VECTORIALES PLANO VECTORIALros

De la misma manera que podemos establecer una coordinación entre los puntos de un espacio y los conjuntos or­denados de números reales, es posible hallar una correspondencia biunívoca en­tre los puntos de ese espacio y un cierto conjunto de vectores. Dado en ese es­pacio un sistema de coordenadas de ori­gen O, todo punto P del mismo tendrá por correspondiente al vector constituido por el segmento orientado OP; viceversa, dado un vector, el punto correspondiente será el extremo del segmento orientado paralelo al vector dado y que tiene por origen el punto O. El conjunto de todos los vectores que parten de O, recibe el nombre de espacio vectorial, y sus ele­mentos s e denominan indistintamente vectores o puntos del espacio vectorial. La dimensión del espacio vectorial está dada por el número máximo de vectores linealmente independientes que admite ese espacio. (2)

Cuando un espacio vectorial admite sólo dos vectores linealmente indepen­dientes, recibe el nombre de plano vec­torial. En un plano vectorial, todo vector x es expresable en función de otros dos, ei Y e2, cuyo conjunto recibe el nombre de base del espacio vectorial, mediante una expresión del tipo:

x = di et + a2 e2

C) Recordemos que n vectores x; son linealmento in­dependientes si la combinación lineal

alxi + a2x,2 + vale si y sólo si: a, = a2

y q se respectivamente.

Los puntos de un plano se coordinan el conjunto de pares ordenados de

números reales tomando sobre el plano

i¡con

dos rectas Xt y x2 que se corten en un punto O que es el origen de coordena­das, mientras que las rectas elegidas

los ejes coordenados. Sobre cada eje se toman puntos U y V que deter­minan los segmentos unidad OU y OV. Dado un punto P del plano, la paralela a Xo trazada por P corta a Xj en un pun­to M, que tendrá sobre ese eje una co­ordenada m, y la paralela por P a Xi cortará a x2 en el punto N, de coorde­nada n. Hacemos corresponder así a cada punto P un par ordenado (m,n); recíprocamente, a cada par ordenado le corresponde un punto que se obtiene trazando por los puntos ubicados sobre cada eje, de abeisas iguales a los nú­meros del par, rectas paralelas al otro eje. El punto buscado está en la inter­sección de estas rectas. Un procedimien­to similar, nos permite coordinar los pun­tos del espacio, con las ternas de nú­meros reales. En general, llamaremos espacio a todo conjunto de puntos, y di­mensión de un espacio, al número de números reales necesario para poder es­tablecer la coordinación entre los puntos de ese espacio y los conjuntos de nú­meros reales. Así, la recta será un es-

son

dist. (A,B) = ¡B-A| =. + V (B-A) (B-A)

Otra ventaja de considerar espacios vectoriales, estriba en que, al introducir el concepto de distancia como derivado del de producto escalar, permite exten­der este concepto a "espacios" (mate­máticamente hablando) de más de tres dimensiones, en los cuales es necesaria una n-upla ordenada de números reales

(xj, x2, x3, ... x») para definir un punto, y son necesarios n vectores linealmente independientes para poder expresar cual­quier otro vector de ese espacio. Estos espacios se dicen de n dimensiones, pu- diendo ser n cualquiera, y es obvio que el concepto intuitivo usual de distancia

1

Figura 1

-f a„x,. = 0 .... = a„ = 0.

O "Elementos" - Año 1, pp. 39/44 - 66/70.

- 20 - - 21:i

i

i

finalmente, expresando el cuadro totalidad.dimensiones. En estos espacios, un vec­

tor tendrá n componentes, y la primera componente del vector transformado es­tará dada por la ecuación: x'i = anXi + auíXo -f- 013X3 —di iX| —f— . . ai„x,„

en suextraído del espacio físico no resulta ya aplicable a estos espacios más ge­nerales.

En lo que sigue, consideraremos trans­formaciones de planos vectoriales en sí mismos, esto es, correspondencias biuní- vocas entre vectores del mismo plano. Recordemos (véase ELEMENTOS, año I, pág. 39), que “transformación es sinóni-

de correspondencia, operación, fun­ción, etc." y que de todos estos vocablos, se prefiere el primero en geometría y el último en análisis. El empleo de sistemas de coordenadas introduce el análisis den­tro de la geometría, y por tanto, a cada transformación de los vectores del plano, corresponderá una o varias funciones en­tre sus componentes. Así, en e'1 caso más general, si x es un vector (punto del pla­no vectorial) será x' su transformado me­diante T: x -*• x'

En un determinado sistema de dimen­sión 2, x tendrá componentes Xi y x2, mientras que las de x' serán x’i y x'2. La relación que existe entre x y x', se traducirá en otra que existirá entre sus componentes, que podrá ser expresada en la siguiente forma:

x'i = F, (xi,x2) x'o = F2 (xi,x2)

donde Fi y F2 serán funciones cuales­quiera. Un caso de particular importan­cia, y al cual limitaremos nuestro estu­dio es aauél en que las funciones Fj y Fo son polinomios homogéneos de primer grado en las componentes del vector ori­ginal; así, pues, las fórmulas anteriores se transformarán en

x\ = aux! + ai2Xo

x'o = a2l xi + a22 x2 donde las au son coeficientes numéricos (i,j toman en este caso los valores 1 y 2).

Las transformaciones definidas en un determinado sistema de base por las fun­ciones entre componentes anteriormente consideradas, reciben el nombre de trans­formaciones lineales homogéneas, o sim- simplemente transformaciones lineales.

Vemos pues, que fijada la base del plano vectorial, es posible encontrar el transformado de cualquier vector una vez que se conozcan los números a¡J# co­eficientes de la transformación. Estos con­ceptos son fácilmente generalizables a espacios de un número n cualquiera de

j!a 0|!E= ¡I

• Qn a„.¡¡a-1 a22 .. aLM ... a2„i

l¡0 a||Definición 5. Matriz unidad es la ma­

triz escalar con elementos no nulos igua­les a 1. ¡II 011A = ¡MI =

|au a,= ... a,i .I...............................|aml Ctjn2 * * • • • ^mn|

|—nx’i = 2 a,jXj HO 1||

Definición 6. Matriz traspuesta de otra dada es la que se obtiene cambiando filas por columnas. Si M es la matriz dada tal que M = l|au|!, la matriz tras­puesta de M se denotará MT y será MT = l|ajil|. Esto es:

lian a12||

o sea:

y en general, la i-ésima componente del vector transformado será

i=nx'i = 2 auxj

1=1Las matrices con m £ n se llaman rec­

tangulares, mientras que si m = n, re­ciben el nombre de matrices cuadradas. Una matriz con una sola fila (m = 1), se llama matriz fila, mientras que la que posee una sola columna (n=l) se llama matriz columna. Utilizaremos las matrices columna para representar vectores refe­ridos a una determinada base. Para ello escribiremos la matriz columna elementos sean las componentes del ior en esa base, correspondiendo la pri­mera fila (que para matrices columna coincide con el primer elemento) al pri­mer vector de base, la segunda al segun­do, y osí sucesivamente. Así, un vector x del plano referido a la base et e2, y cuyas componentes son Xt y x2, se ex­presará

mo

(3)1=1

lian a2i||Es de hacer notar que el vector trans­formado no tiene necesariamente el mis-

número de componentes que el vector original, sino que estará dado por el nú-

de ecuaciones que se establezcan en la transformación Dicho de otro modo, en la expresión (3) j varía de 1 a n, mien­tras que i puede tener otro campo de variación, digamos de 1 a m, y m no será necesariamente igual a n. Si m es me­nor que n, el vector transformado per­tenecerá a un espacio de menor núme­ro de dimensiones que el vector primi­tivo. Un ejemplo de este caso se pre­senta en la operación “nrovección de un vector, sobre el eje Xi", transformación definida por las ecuaciones

x'i = 1 .Xi + 0.x2 = Xi

x'o = O.xi + O.xo = 0 en la cual el vector original x pertenece al clono (espacio de dos dimensiones), mientras que el vector x' pertenece a la recta xx (espacio de una dimensión).

El conjunto de los m.n números au (1 < i m; 1 ^ j < n) que define la trans­formación lineal en el caso más general, dispuesto en forma de cuadro de m filas y n columnas, da lugar a la introduc­ción de un nuevo ente matemático, que recibe el nombre de “matriz de orden m. n".

M = || 'U* = ||||a2i ao2|j ||aio a22||

Las operaciones entre matrices son las siguientes:

Suma de dos matrices A = |lci|j|| y B = ¡lb|j||, ambas del mismo orden, es otra matriz también de igual orden, cu­yos elementos son las sumas de los ele­mentos igualmente dispuestos en las ma­trices, sumandos, esto es A + B = S si S = l|a,j -f- bi|||. Para matrices cuadra­das de orden dos, se tiene:

lian a,o||

mo

merocuyos

vec-!

i

libn bio||II

||boi bo2|[ ai2 + bi2l|

A = || B = ||II X! ||||a2l a22ll

lian + buA + Bll

||a2i + b-ji Producto de una matriz por un número

es otra matriz cuyos elementos son los productos de los elementos correspon­dientes de la matriz dada por ese nú-

ü!l x2 ||

Entre las matrices se establece una clasificación y un álgebra perfectamente definidas. A continuación daremos las de­finiciones correspondientes.

a22 + b22||(4)

Definición 1. Una matriz se dice dia­gonal si sus elementos son nulos, salvo aquellos para los cuales i = j. Esto es:

mero:m A = m ||au|| = ||ma,j||,

|lmau majoll!! 11 ||ma2i ma22||

Producto de una matriz m.n por otra matriz n. p es una nueva matriz de orden m. p, cuyo elemento aik se obtiene como suma de los productos de cada elemento de la i-ésima fila de la primera matriz por la k-ésima columna de la segunda ma-

Si A = ||a„|| (i < m; j «S n) y B = ||bjk|| (j ^ n; k ^ p), entonces:

j=nA.B = C, si C = ||c,k|; cllt = i au.bjk

j=lEn particular, para matrices cuadradas

el producto es siempre posible y el re­

lian a12l|lian 0||m ||(2) D = || o sea:

||aai a22||||0 as2||Definición 2,. Matriz simétrica es aque­

lla para la cual ajj = ají. Esto es llan a12l!

S = || || donde a 21 = ai2||a2i a22||1

Definición 3. Matriz nula es la que tiene todos sus elementos nu¿os:

MATRICES triz.

Según lo que antecede, se puede de­finir matriz de orden m.n como un cua­dro ordenado de números, con m filas y n columnas.

Designaremos las matrices con letras mayúsculas, o bien encerrando el ele­mento genérico entre dos barras, o bien

110 0||0 = II II

lio 0||Definición 4. Matriz escalar es la ma­

triz diagonal cuyos elementos no nulos son todos iguales.

- 23 -- 22 -

Veamos ahora el empleo de la nota­ción matricial para representar las trans­formaciones del plano vectorial en sí mismo. Sea X la matriz columna de las componentes del vector x y A la matriz de una transformación lineal en el plano. Si hacemos el producto A. X, su resultado será una matriz columna que, explícita­mente, resulta:

||au cti;.

sultado es otra matriz cuadrada del mis- orden. Si éste es dos, se tiene.

bu bis

boi boo

aii.bia + ai2.bo2

moau au

| <321 <*22

j|au.bn -f- ajo.boiElbridge P. VANCE, Algebra y trigonometría

modernas. Addison-Wesley; Reading, Mass.,1964.

Esta prestigiosa editorial estadounidense introduce una interesante y plausible novedad en materia de bibliografía escolar: se trata de una edición bilingüe, española-inglesa, de la conocida obra de Vanee. Sin duda, el sis­tema será muy provechoso para aquellos es­tudiantes —y aun para profesores— de habla española que deseen familiarizarse con la ter­minología matemática inglesa. Podrán hacerlo simultáneamente con el estudio o la revisión de los temas expuestos, ahorrando considera­ble tiempo.

El texto de Vanee está dirigido —como es sabido— a cursos secundarios avanzados y universitarios preparatorios; su objetivo fun­damental es "educar al estudiante en la na­turaleza de la matemática como un sistema ló­gico". Para mejor ubicarse en su contenido, vale la pena reproducir de su prólogo:

"La noción de conjunto se introduce al prin­cipio y se utiliza en seguida; se enuncian explí­citamente los axiomas de un cuerpo (conmu­tativo) y, ¡unto con ellos, los axiomas de or­den, la propiedad de plenitud y todas las pro­piedades importantes de los números reales, que se enuncian claramente y se demuestran. También se incluye una presentación bastante detallada de números complejos y se hace una diferencia precisa entre funciones y rela­ciones, definiéndolas en términos de conjun­tos. Basándose en una breve discusión del sis­tema de coordenadas unidimensional se llega en forma natural al sistema de coordenadas rectangulares corriente. La definición de las funciones circulares en términos de este siste- rna constituyen el vínculo unificador entre la trigonometría y la geometría analítica y hace posible la utilización de métodos más simples y directos. Estas funciones se definen primera­mente para un número real cualquiera y pos­teriormente se aplican al caso en que el nú­mero real es considerado como la medida de un ángulo. En trigonometría se ha dado más importarcia al aspecto analítico que al del

cálculo, pero éste no se ha descuidado. Otros rasgos distintivos están constituidos por la im­portancia asignada a la representación grá­fica, la penetración en algunas de las aplica­ciones de las funciones circulares a la des­cripción de fenómenos periódicos, el estudio detallado de los determinantes, el material sobre la función inversa, la introducción y el frecuente uso de la inducción matemática". Agreguemos que se tratan también las opera­ciones con expresiones algebraicas y con ra­dicales, inecuaciones, el cálcuío de raíces de un polinomio, nociones de combinatoria y el teorema del binomio, las funciones exponen­cial y logarítmica.

Además, al final de cada sección del libro se proponen ejercicios, de la mitad de los cua­les se consigna la respuesta correspondiente, y como apéndice se incluyen tablas numéricas —las de logaritmos y de valores naturales con cuatro decimales—. Todo en la esmerada pre­sentación que caracteriza a los textos de la mencionada editorial. En síntesis, este libro es una buena muestra de presentación moderna del álgebra y la trigonometría elementales, según la tendencia estadounidense.

Z. P. DIENES, La mathématique moderne dansl'enseignement primaire. O.C.D.L.; París,1964.

En el Seminario de Royaumont (Véase ELE­MENTOS, año I, p.60/65) se recomendó "no perder de vista el mejoramiento de la ense­ñanza de la matemática en la escuela prima­ria", sobre todo en lo que respecta a la arit­mética. Esta es ¡a posición adoptada por un nutrido núcleo de educadores de distintas par­tes del mundo agrupados, a través de sus res­pectivos centros experimentales, en el ISGML (International Study Group for Mathematics Learning). Al grupo australiano, Adelaide Ma- thematic Project, pertenece Zoltan P. Dienes, del Departamento de Psicología de la Uni­versidad de Adelaida.

Con tal enfoque didáctico se ha compuesto este pequeño volumen en el que se exponen ideas generales y sugestiones prácticas para

Ct2l • hi2 ~i“ <*22-b22[¡<*21. bu + CT22-b2lDe las definiciones que anteceden, sur­

gen las siguientes propiedades para las operaciones con matrices:

Xi

X2¡!¡a2i CI22|ctn x, + aI2 x2||Con respecto a la suma:

a) es asociativa;b) la matriz nula 0 es el elemento

neutro de la operación;c) existe un elemento inverso, la ma­

triz opuesta — A = ||—au||d) es conmutativa.De aquí se despiende que las matrices

forman grupo abeliano aditivo.Con respecto al producto por un nú­

mero:a) es asociativo con respecto a las

matrices;b) es distributivo con respecto a la su­

ma de números y de matrices;c) el producto por uno reproduce a la

matriz.Con respecto al producto de matrices:a) no es en general, conmutativo;b) el producto puede ser nulo sin ser­

lo ninguno de los factores;c) la matriz unitaria es el elemento

neutro de la operación.En lo que sigue, salvo las excepciones

de matrices fila y matrices columna, con­sideraremos solamente matriceá cuadra­das, y en particular, matrices cuadradas de orden 2, que son las que determinan las transformaciones lineales del plano en sí mismo. (3) Los resultados se ex­tienden sin inconvenientes a matrices de cualquier orden.

(4')

¡<*21 Xj + CÍ22 X2¡¡

Esta matriz columna puede a su vez considerarse como lá matriz de las com­ponentes de un vector, y si comparamos con la (2) vemos que sus elementos son justamente x\ y x’2, transformados, por A, de Xi y x2, respectivamente, y la ma­triz producto representará al vector x'f transformado de x por la matriz A.

Si a un vector x aplicamos una trans­formación Ti, definida por una matriz A, que lo convierte en x', y a éste a su vez, le aplicamos una matriz T2, dada por otra matriz B, su resultado será x" = T2.T1 x; y la matriz representativa de x" será X" = B.(A.X). Pero, para matrices cuadradas, el producto resulta asociativo, y, en consecuencia,'X" = (B.A.).X. Esto nos dice que al producto de transforma­ciones T2.Tj corresponde la matriz pro­ducto B.A de las matrices correspondien­tes a cada transformación. Luego, pode­mos identificar totalmente a las transfor­maciones con las matrices que las repre­sentan, y operar directamente con estas últimas.(3) Sí son matrices regulares. Sobre este concepto, con­

sultar más adelante.(Continuará)

OOO

¿LO PODEMOS DISCULPAR?

Pido excusas por pensar que no me inspira confianza una enseñanza de tipo histórico. Me inclino a creer que nuestra enseñanza es actualmente, en amplia me­dida, demasiada histórica, y que de hecho la concepción de la matemática que comunica es precisamente la que fue contemporánea de los conocimientos que pre­tende enseñar. ANDRÉ LICHNEROWICZ

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caciones científicas y técnicas (a la matemá­tica, la ingeniería, las industrias química y pe­trolera, las construcciones navales, la estadís­tica, la economía, la filología, etc.); el segun­do se refiere más explícitamente al proceso de preparación de programas de labor para las calculadoras digitales (organización gene­ral de una computadora, representación de la información, nociones sobre organigramas, programación, subprogramas, autoprograma- ción, el lenguaje universal, etc.).

Cuando pensamos en la fabulosa propaga­ción de este modernísimo instrumento de cálcu­lo, concordemos en la conveniencia de poner al alcance del lector general obritas como és­tas, redactadas por especialistas, que hacen accesibles muchos aspectos técnicos y disipan falsas apreciaciones. En especial, e! profesor de matemática podrá explicarse mejor el por­qué de la inclusión de ciertos temas nuevos en los programas de su asignatura. Y todos comprenderán que, como estas máquinas "no reemplazan al hombre", su mejor aprovecha­miento exige una mejor preparación "de los operadores que las manejen.

Héctor J. MEDICI-Emanuel S. CABRERA, 2.600ejercicios de aritmética y cálculo práctico.Librería del Colegio; Buenos Aires, 1964.

Los conocidos autores prosiguen con su cos­tumbre de incluir temas de matemática moder­na en sus colecciones de ejercicios. El esfuerzo es digno de ser destacado: teoría de conjun­tos (nociones generales, operaciones, particio­nes, relaciones de orden y de equivalencia), el número entero (definición por clases de equivalencia, igualdad, operaciones, isomor- fismo con los naturales, relaciones modulares) y el número racional (definición por clases de equivalencia, igualdad, operaciones, isomor- fismo con los enteros). A su redacción ha tribuido, con "inteligente y constructiva críti­ca", nuestro colaborador, el profesor Floren­cio D. Jaime. Es encomiable el trabajo que se han tomado los autores para difundir elemen­talmente estos temas.

iniciar a los niños en la comprensión de los conceptos básicos. Sus distintos capítulos abar­can temas como los conjuntos y las operado-

conjuntos, las operaciones lógicas atributos, mediante diagramas de Venn, el concepto de número, como propiedad de conjunto, las operaciones numéricas, el valor posicional.

Dienes se propone convencer de que la re­novación de la enseñanza debe comenzar con la escuela maternal, presentando el pensa­miento matemático moderno en la forma ade­cuada a la edad. El antiguo punto de vista considera como objetivo de la enseñanza el aprendizaje de procesos mecanizados; el nue­vo considera a estos procesos como entrelaza­miento de estructuras y se propone llevar a los niños a su descubrimiento mediante ilus­traciones concretas. Para llegar a esta forma de enseñanza —dice Dienes— el maestro debe cambiar la actitud. La respuesta correcta pasa a segundo plano; la aptitud esencial consiste en saber encontrar su camino a través de si­tuaciones cada vez más complejas,* "es nece­sario acentuar la actividad dinámica de la búsqueda más bien que el aspecto estático de la respuesta".

La obra que comentamos está dirigida fun­damentalmente a los maestros primarios; pero será útil su lectura para todo docente intere­sado en las nuevas formas didácticas y los nuevos contenidos, especialmente si interviene en la formación de nuevos docentes.

Bruno RENARD, El cálculo electrónico. EUDE-BA; Buenos Aires, 1963.

Jacques POYEN-Jeanne POYEN, El lenguajeelectrónico. EUDEBA; Buenos Aires, 1964.

Se trata de dos de los difundidos Cuadernos de EUDEBA. Su lectura permite a los no ini­ciados el acceso al mundo de las calculadoras electrónicas. Ambos, en cierto modo, se com­plementan: el primero ofrece las generalida­des del cálculo automático (historia suscinta, clases de computadoras universales, principios fundamentales de la resolución de problemas, métodos de cálculo, por e¡.) y detalla las apli-

ICIdSconnes con

un 1. EUDEBA informa que tiene en pre­paración el segundo tomo del "Algebra para escuelas secundarias" de Oscar Varsavsky y anuncia su aparición en breve.

2. En la Escuela Provincial de Co­mercio "Antártida Argentina", de San Luis, se está experimentando el progra­ma de primer año propuesto por la Sub­comisión Argentina de la CIEM.

Por su parte, la Universidad Nacional de La Plata ha autorizado el ensayo de dichos programas en todos las divisiones de primer año del Liceo "Víctor Mercan­te" y el desarrollo de un curso piloto en un segundo oño del mismo Liceo.

3. Dos concurrentes al último curso de perfeccionamiento de San Luis, los profesores Irma Bustos y Héctor Iervasi se han referido recientemente a la refor­ma de la enseñanza de la matemática. La señorita Bustos ha pronunciado una conferencia sobre el tema en la Escuela Normal de Maestros "luán P. Pringles", de San Luis; el señor Iervasi ha dictado un cursillo sobre matemática moderna en el Instituto Provincial del Profesorado de Santa Rosa (La Pampa) y otro similar en la ciudad de General Pico, de la misma provircia. Por su parte, la Dirección Ge­neral de Enseñanza Secundaria de la Na­ción se ha dirigido a los profesores de matemática concurrentes a dicho curso para que informen sobre la labor de ex­tensión realizada o por realizarse en el ámbito docente.

4. La OEA (Organización de los Es­tados Americanos) anuncia la realización de un Seminario Latinoamericano sobre enseñanza de ciencias, para representan­tes de los ministerios de educación, que se desarrollará entre el 16 de noviembre y el 10 de diciembre. En los fundamen- ios de la medida se reconoce que la falta de personal técnico capacitado es uno de los mayores obstáculos que se pre­sentan para el desarrollo de los países de América Latina y que la capacitación de este personal significa que hay que proveer mayores oportunidades de adies­

tramiento para un número creciente de jóvenes que hoy asisten a las escuelas primarias y secundarias. Se sostiene asi­mismo que la solución del problema sólo podrá acelerarse si ahora mismo se au­mentan las inversiones en el campo edu­cativo, para hacer posible el logro de los objetivos del desarrollo a largo plazo. Pero que estas inversiones no contribui­rán a ello si se destinan a mantener sis­temas educativos que no están a tono con .’as necesidades actuales, derivadas del progreso científico de las últimas déca­das y de su creciente influencia en todos los aspectos del quehacer humano. Y pa­ra evitarlo se hace necesario estudiar los actuales sistemas educativos en los países miembros, para considerar luego las posibles maneras de conseguir su mejoramiento.

5 En la Escuela Normal Mixta "EE. UU. del Brasil" de Posadas, se desarrolló un curso de actualización docente para profesores de matemática, auspiciado por el Ministerio de Educación de la provin­cia. Los profesores F. Toranzos, R. Ponzo­ñe y Luis A. Santaló dictaron, respectiva­mente, Algebra moderna, Análisis y Geo­metría. Actuó como coordinadora la pro­fesora Bertha A. Zarza de Valentino, con­currente al curso de Salta de 1963.

6. En nuestro número anterior nos re­ferimos al examen internacional sobre me temática auspiciado por la UNESCO. Participan en el estudio: Alemania Occi­dental, Bélgica, Escocia, Estados Unidos, Finlandia, Francia, Holanda, Inglaterra, Israel, Japón y Suecia. El objeto princi­pal de la encuesta es la evaluación de los rendimientos de los alumnos a dife­rentes niveles escolares en los distintos sistemas educaitvos. Se han previsto prue bas similares para la lengua materna, la literatura y las lenguas extranjeras.

7. El movimiento belga por la reno­vación de la enseñanza de la matemá­tica sigue siendo uno de los más impor­tantes. En este mes de agosto se ha re­alizado en Mons (Bélgica), un congreso de matemática moderna organizado por

con-

HEMOS RECIBIDO:Z. P. DIENES, La mathématique moderne dans l'enseignement primaire. O.C.D.L.; París, 1964. Francisco LA MENZA, Sobre los fundamentos do la aritmética. Separata de Mathematicae Notae* Rosario. 1964. 'Luis A. SANTALO, Vectores y tensores, con sus aplicaciones. EUDEBA; Bs. Aires, 1964 (3? edic.). Elbridge P. VANCE, Algebra y trigonometría modernas; Addison-V/esley; Reading, Mass., 1964. Varios autores, Matemática moderna para o ensino secundario. IBECC; Sao Paulo, 1962. '

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semigrupos y procesos estocásticos, fun­damentos de la teoría de probabilidades, gramáticas formales y lenguajes algorít­micos, etc., a cargo de especialistas bel­gas y extranjeros.

De este congreso participaron los pro­fesores argentinos José Banfi (coeditor de ELEMENTOS) y Cristina Verdaguer de Banfi.

el Ministerio de Educación Nacional de ese país, con la asistencia de profesores secundarios alemanes, holandeses, ita­lianos, luxemburgueses, suizos y belgas. Se dictaron conferencias sobre cuantifi- cadores lógicos, topología algebraica, álgebra topológica, combinatoria, méto­do de los coeficientes característicos, es­pacios de Galileo, álgebras proyectivas,

En el nivel de la ciencia, el pasaje entre la matemática llamada clásica y la matemática llamada moderna se ha extendido casi siglo y medio, pues creo que es a Cauchy, Gauss, Galois, para no citar más que a ellos, a quienes es legítimo hacer remontar la evo­lución que ha conducido de lo clásico a lo moderno y que fue mucho más lenta de lo que se imaginan quienes recibieron le revelación de un cambio en la matemática como el estallido de un cielo sereno.

un

un trueno en

"Esta evolución fue con frecuencia muy conscientemente ad­vertida por sus principales artesanos, y algunas veces perdida de vista por matemáticos capaces, sin embargo. No está terminada, pues el ardoroso trabajo de los matemáticos del mundo entero tinúa modificando el rostro de su ciencia; empero ha llegado a etapa de suficiente madurez como para que un matemático policéfalo, Bourbaki, haya podido emprender, en medio del siglo XX, un gi­gantesco trabajo de puesta a punto y difusión, emparentado con el que hizo la gloria de Euclides en el siglo III, antes de J. C.".

Correo de ELEMENTOScon-

Editores

José Banfi — Alfredo B. Besio

una

Buenos Aires (Argentina)Fernández Blanco 2045

es un párrafo del capítulo II deQuizás nos hayan engañado las voces de estímulo incesante; nos hace falta advertir crí­ticas para corregirnos y no seguir errando. Estamos en una brega de la que no queremos desertar, ni tampoco en ello perdonarnos las fallas

Iniciamos el segundo año de vida de ELE MENTOS ratificando los propósitos expresa­dos en el primer número. Seguimos pensando en "una revista que sea realmente un símbolo de mutua colaboración en pro de una escuela siempre mejorada, espiritual, intelectual y, por qué no, materialmente".

Creemos, como entonces, que, "si en todas las latitudes se clama por una urgente y drás­tica renovación en los contenidos y métodos de enseñanza, debemos meditar esa exigen­cia y capacitarnos para enfrentarla". Y conti­nuamos con ese rumbo en esta tarea.

En esta tarea que, en cierto aspecto, re­sulta ingrata. Nos parece estar cumpliéndola con honestidad y decoro. Por eso no atinamos a explicarnos la falta de apoyo por parte de un núcleo considerable de suscriptores inicia­les. Nuestros reclamos, primero individuales y luego generales, no han dado resultado y comenzamos este nuevo año con una merma considerable. No podemos ocultarlo, porque valoriza.aún más la adhesión de los entusias­tas que nos acompañan y nos alientan. Mu­chas gracias: esa adhesión no regateada es la única razón de la subsistencia de ELEMEN­TOS en el reducido mundo del periodismo es­colar argentino. Mucho nos dolería, como edi­tores, su desaparición; pero como docentes nos sentiríamos mucho más afligidos.

'i

MATEMATICA MODERNA

MATEMATICA VIVAAnillo poliedral (Srta. Josefina Torrejón, Trelew). En efecto, esa figura de la pág. 63 de la Guía está incompleta. Las caras del po­liedro deben ser polígonos convexos; faltan pues cuatro aristas en cada base. Entonces sí la característica de la superficie resulta ser cero: el anillo poliedral es homomorfo con el toro. Para más detalles es aconsejable la consulta de M. Fréchet y Ky Fan, Introducción a la topología combinatoria (Eudeba).

Matemática moderna, matemática, viva (Sra. Elda Constantini de Alberto, Santiago del Es­tero, y otros). Inconvenientes diversos están demorando la aparición de esta obra de Ándré Revuz que venimos anunciando desde tiempo atrás. Confiamos en resolverlos satisfactoria­mente en poco tiempo. Pedimos disculpas.

Temas de geometría intuitiva (Sr. Ricardo M. Dupleich, Concordia). Recogemos su suges­tión y procuraremos abordar esos temas.

Crucinúmero (Sr. Rosario Russo (h), Santia­go del Estero). Lo publicaremos pronto; espe­ramos los otros aportes prometidos.

por ANDRÉ REVUZ

(Profesor de la Facultad de Ciencias de P'oitiers, Francia)

con el siguiente

SUMARIO

I. Desconocimiento de la matemática.

II. La elaboración de la matemática contemporánea.

III. El porvenir.I

en una edición de ELEMENTOS

- 28 -'

-

Lector:iPara que ELEMENTOS

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ELLMENTOS debe continuarapareciendo.

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Y TECNICAS anuncia la organización de un CURSO DE ACTUALIZA­CION PARA PROFESORES DE MATEMATICA que se realizará en lo provincia de Salta en enero de 1965.

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