APLIKASI TEORI HIMPUNAN FUZZY (SAMAR) PADA MESIN CUCI

a. Latar Belakang

Kesuksesan terbesar dari teori himpunan samar adalah pada sistem kontrol

mesin. Pengontrol fuzzy sangat berhasil dalam mengatasi masalah-masalah kontrol

dari sebuah spektrum yang luas, baik dalam hal penampilan ataupun biaya.

Penampilan yang prima dan biaya yang rendah sering melebihi harapan-harapan

yang diinginkan.

Salah satu bidang dimana pengontrol fuzzy secara cepat dibangun dalam

reputasi yang bagus di awal tahun 1990 adalah bidang pembuatan produk-produk

konsumen. Produk konsumen yang dilengkapi dengan pengontrol fuzzy pada awal

kemunculannya adalah mesin cuci. Sebagai contoh, akan kami jelaskan ide dasar

penggunaan pengontrol fuzzy pada aplikasi khusus ini. Kami hanya

mempertimbangkan satu variabel kontrol yaitu waktu operasi dari mesin cuci

untuk masing-masing baju yang akan dicuci, selain itu kami abaikan detail mesin

cuci dan persoalan pokok penerapannya.

b. Pembahasan

Pada mesin cuci konvensional (biasa), waktu mencuci untuk setiap proses

mencuci ditentukan atau diatur oleh pengguna. Walaupun hal ini merupakan salah

satu kefleksibelan namun malah menyulitkan bahkan bagi pengguna yang cukup

berpengalaman dalam menggunakan mesin cuci untuk menentukan waktu

mencuci yang tepat. Apabila waktu yang diatur tidak cukup untuk mencuci

pakaian yang akan dicuci, maka pakaian tersebut tidak akan dicuci dengan bersih.

Atau apabila waktu mencuci yang diatur terlalu lama, maka akan membuang

waktu dan energi serta mesin dan pakaian-pakaian tersebut akan menjadi aus dan

lusuh.

Untuk mengatasi kelemahan-kelemahan dari mesin cuci konvensional ini,

pengontrol fuzzy cukup sesuai untuk digunakan. Jenis yang berbeda untuk mesin

cuci yang menerapkan pengontrol fuzzy, yang sering dihubungkan dengan mesin

cuci fuzzy yang telah tersedia untuk dijual kepada konsumen. Pada hakekatnya,

kemampuan kontrolnya dapat berubah-ubah. Sekarang kami akan menjelaskan

operasi dari pengontrol fuzzy yang sangat sederhana, yang bertujuan untuk

menentukan waktu mencuci yang tepat dari mesin cuci untuk setiap pakaian yang

aka dicuci.

Waktu mencuci dari mesin cuci bergantung pada dua hal dari setiap

pakaian yang akan dicuci. Yang pertama, bergantung pada seberapa kotor

pakaian-pakaian tersebut. Yang kedua, bergantung pada jenis noda atau

kekotorannya. Pada mesin cuci fuzzy, derajat kekotoran diukur oleh sensor khusus

melalui derajat kejernihan air. Semakin berkurang kejernihan air maka semakin

kotor pakaian tersebut. Jenis noda ditentukan dengan mengukur waktu mencuci

yang dibutuhkan, mulai dari menyalakan mesin sampai kondisi air benar-benar

jernih secara konstan. Waktu ini disebut dengan waktu penjenuhan yang berbeda

untuk setiap jenis noda. Sebagai contoh, waktu penjenuhan akan lebih singkat

untuk pakaian yang berlumpur (terkena tanah) daripada pakaian yang terkena

minyak.

Asumsikan bahwa derajat kekotoran, d, diukur oleh berkurangnya

kejernihan akhir yang dinyatakan dengan sebuah bilangan pada interval [0, dmax],

dimana dmax adalah beberapa bilangan positif yang bergantung satuan ukuran yang

dipilih. Asumsikan pula bahwa pengontrol fuzzy hanya berhubungan dengan tiga

derajat kekotoran, apabila dinyatakan dengan bahasa sehari-hari sebagai tinggi,

sedang, dan rendah. Kemudian ungkapan-ungkapan linguistik ini

direpresentasikan dengan bilangan fuzzy trapesium yang ditunjukkan dalam

gambar 10.1. Bilangan-bilangan ini menyatakan kondisi dari variabel-variabel

linguistik yang menunjukkan kekotoran pakaian, yang variabel dasarnya adalah d

(menyatakan dengan berkurangnya kejernihan air). Misal kami simbolkan variabel

linguistik ini dengan D.

Sekarang asumsikan bahwa waktu penjenuhan, s, ditaksir oleh rata-rata

kenaikan derajat kekotoran yang dinyatakan dengan sebuah bilangan pada interval

[0, smax]. Kami asumsikan juga bahwa pengontrol fuzzy hanya berhubungan

dengan tiga level, yang menyatakan waktu penjenuhan pendek, menengah, dan

lama. Asumsikan lebih jauh bahwa ungkapan linguistik ini direpresentasikan

dengan bilangan fuzzy segitiga yang ditunjukkan pada gambar 10.2. Bilangan-

bilangan ini merupakan kondisi dari variabel linguistik yang merepresentasikan

waktu penjenuhan dengan variabel dasarnya adalah s (menyatakan waktu

penjenuhan dalam bilangan real). Misal kami simbolkan variabel linguistik ini

dengan S.

Gambar 10.1 Bilangan-bilangan fuzzy yang merepresentasikan derajat

kekotoran : rendah (Ld), menengah (Md), tinggi (Hd). Ini adalah keadaan dari

variabel linguistik D.

d

1

.75

0

.25

.5

dmax

Low (Ld) Medium (Md) High (Hd)

Secara intuitif, waktu yang dibutuhkan untuk mencuci seharusnya

dinyatakan dalam fungsi matematika dari derajat kekotoran dan waktu kejenuhan.

Namun, hampir tidak mungkin untuk menentukan fungsi ini secara tepat. Dengan

menggunakan suatu pengontrol fuzzy kami dapat mendekati fungsi ini dengan

relatif mudah berdasarkan intuisi dan pengalaman manusia. Untuk melakukan itu

kami perlu mendefinisikan variabel lingustik lain yang merepresentasikan waktu

yang diperlukan untuk mencuci. Misal kami simbolkan dengan T, dan variabel

basis dengan t.

Gambar 10.2 Bilangan fuzzy yang merepresentasikan waktu penjenuhan short

(Sd), medium (Ms), long (Ld) waktu kejenuhan. Ini adalah kondisi dari variabel

linguistik S.

1

.75

.5

.25

0

Short (Ss) Medium (Ms) Long (Ls)

.7

.3

smaxs¿

Gambar 10.3 Bilangan-bilangan fuzzy yang merepresentasikan waktu yang

diperlukan untuk mencuci. Ini adalah kondisi-kondisi dari variabel linguistik τ

Asumsikan bahwa t ∈[0, tmax] dan kami ingin pengontrol fuzzy untuk

berhubungan dengan lima perbedaan karakteristik waktu yang diperlukan untuk

mencuci yang dinyatakan dalam bahasa natural sebagai very short (sangat

pendek), short (pendek), medium (menengah), long (panjang), dan very long

(sangat panjang). Definisi yang tepat dari bilangan-bilangan fuzzy yang

merepresentasikan pernyataan linguistik ditunjukkan pada Gambar. 10.3.

Sehingga menjadi hal mudah untuk menyatakan pengetahuan bagi

pengguna mesin cuci yang telah berpengalaman dalam menggunakannya dengan

proposisi fuzzy conditional dengan bentuk :

Jika D = dan S = maka T =

yang kondisi yang sesuai dari ketiga variabel linguistik tersebut ditempatkan ke

dalam kotak kosong untuk setiap proposisinya. Karena variabel D dan S masing-

masing memiliki tiga kondisi, maka banyaknya pasangan urutan yang mungkin

dari kondisi-kondisi tersebut adalah sembilan. Untuk masing-masing pasangan

kondisi terurut, kami harus menentukan (menggunakan pengetahuan yang

tersedia) suatu kondisi yang sesuai dari variabel T. Hasil dari kesembilan

proposisi fuzzy conditional yang berbeda ditunjukkan diatas. Proposisi-proposisi

1

.75

.5

.25

0

Short (St) Medium (Mt) Long (Lt)Very Short

(VSt)Very Long (Lt)

tmax

ini biasanya disebut aturan inferensi fuzzy atau aturan jika-maka fuzzy. Tiga

contoh dari aturan ini adalah :

Jika D = Ld dan S = Ss, maka T = VSt

Jika D = Md dan S = Ms, maka T = Mt

Jika D = H d dan S = Ls, maka T = VLt

Gambar 10.4

aturan inferensi

untuk mesin cuci fuzzy

Dalam setiap aturan, bagian

D dan S disebut

anteseden dan bagian T

disebut konsekuen.

Sebuah cara mudah untuk mendefinisikan semua aturan yang dibutuhkan

adalah matriks yang ditunjukkan pada Gambar 10.4. Baris dalam matriks sesuai

dengan kondisi variable D, sedangkan kolom dalam matriks sesuai dengan bagian

variabel S, dan entri dalam matriks sesuai dengan kondisi variable T . Amati

bahwa dengan mendefinisikan aturan inferensi fuzzy oleh matriks ini selaras

dengan akal sehat kami.

Kesembilan aturan inferensi fuzzy merupakan pengetahuan berdasarkan

operasi pengontrol fuzzy. Pengontrol dihubungkan dengan mesin cuci seperti yang

ditunjukkan pada gambar 10.5. Untuk nilai variabel d dan s yang diberikan,

pengontrol akan menentukan nilai yang tepat dari variabel t (waktu mencuci)

dengan menjalankan langkah-langkah sebagai berikut.

Langkah 1. Ketika nilai khusus yang telah diukur dari variabel input d

dan s, dinotasikan dengan d dan s, diterima oleh pengontrol pada beberapa waktu

yang telah ditetapkan, kompatibilitas mereka dengan anteseden yang sesuai dari

S

t Ss Ms Ls

D

Ld VSt St Mt

Md St Mt Lt

Hd Mt Lt VLt

semua aturan inferensi akan ditentukan. Sebagai contoh, nilai diukur d

ditunjukkan gambar 10.1 cocok dengan D = Ld, Md, Hd secara berurutan dengan

derajat 0.75, 0.25, 0. Demikian pula, nilai yang diukur ditunjukkan dalam gambar

10.2 cocok dengan S = Ss, Ms, Ls secara berurutan dengan derajat 0, 0.7, 0.3.

Hanya aturan-aturan dimana kesesuaian dari nilai-nilai yang diukur dengan kedua

antesedennya bernilai positif, akan menentukan nilai dari variabel yang dikontrol.

Aturan-aturan ini biasanya disebut sebagai rules that fire. Dalam contoh kami,

empat aturan yang fire diidentifikasikan pada gambar 10.4 dengan elemen-elemen

yang dilingkari. Aturan-aturan ini yang akan ditunjukkan lebih eksplisit dalam

gambar 10.6, bersama dengan nilai yang terukur d dan s dari contoh.

d t

s

Gambar 10.5 kontrol fuzzy dari waktu mencuci

Langkah 2. Sebuah kesimpulan yang dibuat oleh masing-masing rules

that fire. Untuk memahami bagaimana hal ini dilakukan, harus kami sadari bahwa

aturan untuk perkiraan fungsi f, yang hampir mustahil untuk ditentukan dengan

tepat, dengan bilangan-bilangan fuzzy yang sesuai.

1 1 1

Pengontrol fuzzy timerMesin cuci

LdMS St

0 0 0

1 1 1

0 0 0

1 1 1

0 0 0

1 1 1

0 0 0

Gambar 10.6 inference rules that fire untuk d= d dan s= s.

Dalam contoh kami, fungsi memiliki bentuk:

t=f (d , s)

Aproksimasi fungsi dengan bilangan fuzzy secara implisit melibatkan prinsip

ekstensi (perluasan). Mengingat aturan inferensi fuzzy tertentu dengan dua

anteseden, kombinasi mereka adalah sebuah himpunan fuzzy pada R2 (Himpunan

fuzzy dua dimensi). Jika antesedent adalah independen, seperti pada contoh kami,

kombinasinya didefinisikan sebagai perpotongan dari peluasan silindriknya.

Himpunan fuzzy dua dimensi diperoleh dengan cara ini kemudian dipetakan ke

dalam consequent dari aturan. Setiap antecedent yang derajat kompatibilitas

Ld

Md

Md

LS

MS

LS

Mt

Mt

Lt

dmax

dmax

dmax

smax

smax

smax

tmax

tmax

tmax

tmaxsmaxdmaxd

d

s

s

d

d

s

s

dengan ukuran yang diberikan kurang dari 1 adalah terpotong oleh derajat ini.

Perpotongan perluasan silindrik dari antecedent ini dipotong kemudian dipotong

oleh derajat minimum dari kompatibilitas (dengan asumsi perpotongan fuzzy

standar) dan pemotongan ini diwariskan dalam consequent dari aturan dengan

prinsip perluasan. Prosedur ini digambarkan untuk contoh kami dalam gambar

10.6. Kesimpulan yang diperoleh oleh masing-masing aturan inferensi individu

untuk nilai yang terukur d dan s adalah himpunan fuzzy yang fungsi

keanggotaannya digambarkan oleh daerah yang diarsir.

Langkah 3:

Mengingat kesimpulan yang diperoleh dengan aturan inferensi fuzzy

individu, kami memperoleh kesimpulan secara keseluruhan dengan mengambil

gabungan dari semua kesimpulan individu. Dalam contoh kami, diilustrasikan

dalam gambar 10.6, kesimpulan secara keseluruhan adalah himpunan fuzzy C d , s

yang fungsi keanggotaannya didefinisikan untuk setiap x∈ [0 , tmax ] dengan rumus:

C d , s (t )=max {min [ Ld ( d ) , M s ( s) , S t (t ) ] , min [ Ld (d ) , Ls ( s ) , M t (t ) ] ,min [ M d ( d ) , M s ( s ) ,M t (t ) ] ,min [ M d (d ) , Ls ( s ) , Lt (t ) ] }

Grafik dari fungsi ditunjukkan pada gambar 10.7.

Langkah 4:

Langkah terakhir dalam prosedur operasi dari pengendali fuzzy disebut

defuzzifikasi (proses perubahan samar). Tujuannya adalah untuk mengubah

himpunan fuzzy yang mewakili kesimpulan keseluruhan diperoleh pada langkah 3

menjadi bilangan real, dalam arti tertentu, yang terbaik mewakili himpunan fuzzy.

Meskipun ada berbagai metode defuzzifikasi, masing-masing dibenarkan dalam

beberapa cara, metode yang paling umum adalah untuk menentukan nilai yang di

bawah luas grafik fungsi keanggotaan dibagi sama rata. Metode ini disebut

metode pusat gravitasi defuzzifikasi. Secara umum, diberi sebuah himpunan fuzzy

0

1

A yang didefinisikan pada interval [a1 , a2], pusat gravitasi defuzzifikasi, a, dari

himpunan A didefinisikan dengan rumus :

a=∫a1

a2

xA ( x )dx

∫a1

a2

A ( x )dx

Dengan nenerapkan rumus ini pada contoh, kami peroleh:

t=∫

0

tmax

t Cd , s

( t ) dt

∫0

t max

Cd , s ( t ) dt

Nilai ini, yang ditunjukkan pada Gambar 10.7, adalah waktu operasi yang

dibutuhkan dari mesin cuci yang ditentukan oleh pengendali fuzzy untuk kondisi d

dan s. Waktu mencuci diatur ke nilai ini.

Gambar 10.7: Himpunan Fuzzy yang menjelaskan kesimpulan keseluruhan

untuk ukuran nilai d dan s dan nilai t

Contoh:

Setiap orang pasti memiliki penilaian masing – masing mengenai tingkat

kekotoran pakaian yang akan dicuci dan waktu penjenuhan (saturation time).

Untuk mewakili penilaian tingkat kekotoran (dalam %) dan waktu penjenuhan,

kami misalkan tingkat kekotorannya berada dalam interval [0,100] sedangkan

waktu penjenuhan berada pada interval [0,10].

1

0 80604020 100

Agak kotor (x1) Kotor

(x1)Sangat Kotor (x1)

Tingkat kekotoran tersebut telah didefinisikan pada 3 peubah bahasa (agak kotor,

kotor, sangat kotor) maka kami posisikan 3 peubah bahasa tersebut dalam interval

[0,100] dengan asumsi:

1. Setiap pakaian dianggap agak kotor bila tingkat kekotorannya 0% sampai

dengan 20% dan sebagian menggangap sampai dengan 40%.

2. Setiap pakaian dianggap kotor bila tingkat kekotorannya 40% sampai

dengan 60% dan sebagian mengganggap bila tingkat kekotorannya 20%

sampai dengan 80%.

3. Setiap pakaian dianggap sangat kotor bila tingkat kekotorannya lebih dari

80% dan sebagian menganggap bila tingkat kekotorannya lebih dari 60%.

Dan waktu penjenuhan juga didefinisikan 3 peubah bahasa ( cepat, sedang,

lambat) maka kami posisikan ketiga peubah bahasa tersebut dalam interval [0,10]

dengan asumsi:

1. Suatu operasi dianggap cepat bila waktu penjenuhannya bernilai 0 sampai

dengan 5.

2. Suatu operasi dianggap sedang bila waktu penjenuhannya berniali 5 atau

dalam interval [0,10].

3. Suatu operasi dianggap lambat waktu penjenuhannya bernilai 5 sampai

dengan 10.

Dari asumsi tersebut tiga peubah bahasa tingkat kekotoran (x1) dapat

dinyatakan dengan kurva sebagai berikut:

Gambar 1: Fungsi keanggotaan peubah Tingkat Kekotoran (d)

1

0 5 10

Sedang (x2)

Cepat (x2) Lambat (x2)

Dari definisi fungsi keanggotaan trapezoid tersebut maka fungsi keanggotaan

masing-masing peubah bahasa adalah:

μAgak kotor ( x1 )={ 1 , untuk x1<2040−x1

20,untuk 20< x1<40

0 , untuk x1>40

μKotor ( x1 )={0 , untuk x1<20 dan x1>80x1−20

20,untuk 20<x1<40

1 ,untuk 40<x1<6080−x1

20, untuk 60<x1<80

μSangat kotor ( x1 )={ 0 , untuk x1<60x1−60

20, untuk 60< x1<80

1 , untuk x1>80

Selanjutnya, dari asumsi ketiga peubah bahasa waktu penjenuhan (x2)

dapat dinyatakan dengan kurva sebagai berikut:

Gambar 2: Fungsi keanggotaan peubah waktu penjenuhan (s)

Dari definisi fungsi keanggotaan triangular tersebut maka fungsi keanggotaan

masing-masing peubah bahasa adalah:

μcepat ( x2 )={5−x2

5,untuk x2<5

0 ,untuk x2>5

μsedang ( x2 )={ x2

5,untuk 0<x2<55

10−x2

5,untuk 5< x2<10

μlambat ( x2 )={ 0 ,untuk x2<5x2−5

5, untuk 5<x2<10

Langkah 1:

Misal derajat kekotoran (x1) = 35 % diperoleh:

μagak kotor (35 )=40−3520

=0,25

μkotor (35 )=35−2020

=0,75

μsangat kotor (35 )=0

Misal waktu penjenuhan (x2) = 3 sehingga:

μcepat (3 )=5−35

=25=0,4

μsedang (3 )=35=0,6

μsedang (3 )=0

Langkah 2:

Diperoleh proposisi fuzzy conditional sebagai berikut :

Jika D = 0,25 dan S = 0,4, maka T = 0,25

1

0 100

Jika D = 0,25 dan S = 0,6, maka T = 0,25

Jika D = 0,75 dan S = 0,4, maka T = 0,4

Jika D = 0,75 dan S = 0,6, maka T = 0,6

S

D

t 0,4 0,6 0

0,25 0,25 0,25 0

0,75 0,4 0,6 0

0 0 0 0

Gambar 3: Aturan Inferensi Fuzzy Mesin Cuci

Langkah 3:

C35,3 ( t )=max {min [ 0,25 ;0,4 ;0,25 ] ,min [ 0,25; 0,6 ;0,25 ] ,

min [ 0,75 ;0,4 ;0,4 ] ,min [ 0,75 ;0,6 ;0,6 ]}

= max {0,25 ;0,25 ;0,4 ;0,6 }

Gambar 4: Himpunan Fuzzy yang menjelaskan kesimpulan keseluruhan untuk

ukuran nilai d dan s dan nilai t

Langkah 4:

Misal waktu operasi mesin cuci (t) berada dalam (menit) interval [0,60], sehingga

diperoleh:

t=∫

0

tmax

t Cd , s

( t ) dt

∫0

t max

Cd , s ( t ) dt

¿∫

0

60

t(0,6 )dt

∫0

60

0,6 dt

¿

12

t 2(0,6)

(0,6 ) t ]0

60

¿30

Jadi waktu operasi mesin cuci tersebut 30 menit.

APLIKASI TEORI HIMPUNAN FUZZY (SAMAR)

PADA MESIN CUCI

Guna memenuhi tugas pada Mata Kuliah Teori Himpunan samar

Disusun oleh :

KELOMPOK 5

Anggota :

1. Yanika Gunarwatiningsih (07305144002)2. Yashinta (07305144008)

3. Aisyah Mirnawati (07305144009)4. Erlina Kurniasih Widyaningrum (07305144040)

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA

2010

DAFTAR PUSTAKA

J.Klir, George. 1997. Fuzzy Set Theory Foundations and Application. New York: Prentice-Hall, Inc.