GEOMETRIA PLANA - FUVEST · 1 GEOMETRIA PLANA - FUVEST Triângulos .....1
Revisao geometria-plana-1º ano
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EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 1. ÂNGULO
38o 29’ 51’’ + 15o 45’ 24’’
1) OPERAÇÃO COM ÂNGULOS
38o 29’ 51’’+ 15o 45’ 24’’
53º 74’ 75’’54º 15’ 15’’
EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 1. ÂNGULO
Ângulo agudo:
Ângulo obtuso:
Ângulo raso:
Ângulo reto:
2) CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS
α < 90º
α = 90º
α > 90º
α = 180º
EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 1. ÂNGULO
Ângulo nulo:
Ângulos adjacentes:
Ângulos consecutivos:
Ângulo de 1 volta:
2) CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS
(lados coincidentes)α = 0o
α = 360o
Mesmo vértice e um lado comum entre os lados não comuns
Mesmo vértice e, dois a dois, um lado comum.
EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 1. ÂNGULO
Ângulos complementares:
Ângulos replementares:
Ângulos suplementares:
2) CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS
α + β = 90º αβ
αβ
αβ
α + β = 180º
α + β = 360º
EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 1. ÂNGULO
3) ÂNGULOS FORMADOS POR DUAS PARALELAS E UMA TRANSVERSAL.
r
s
ab
cd
ef
gh
t
Correspondentes: a e e; d e h; b e f; c e g.Opostos pelo vértice: a e c; b e d; e e g; f e h.Alternos internos: d e f; c e e.Alternos externos: a e g; b e h.Colaterais internos: d e e; c e f.Colaterais externos: a e h; b e g.
EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 1. ÂNGULO
Questão 3:(UFES) O triplo do complemento de um ângulo é igual à terça parte do suplemento deste ângulo. Este ângulo mede:a) 45o
b) 48o 30’c) 56o 15’d) 60o e) 78o 45’
EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 1. ÂNGULO
Questão 3:
O triplo do complemento de um ângulo é igual à terça parte do suplemento deste ângulo.
Solução:
'4578
6308
1809810
)180.(3
13270
)180.(3
1)90.(3
ox
x
xx
xx
xx
=
=−=−
−=−
−=−630º 8 6º 78º
360º 8 0 45’
x 60’
EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 1. ÂNGULO
Questão 13:
(UF-ES) Se as retas r e s da figura abaixo são paralelas então 3α + β vale:a)225o
b)195o c)215o d)1750 e)1850
EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 1. ÂNGULO
Questão 13:
Solução:
15º
60º
60º 30º
30º β = 60º
α= 45º
o1953
6045.33
=++=+
βαβα
EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 1. ÂNGULO
Questão 16:
(UF-MG) Na figura, AC = CB = BD e A = 25o. O ângulo x mede:a)50o b)60o c)70o d)75o e)80o
EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 1. ÂNGULO
Questão 16:
AC = CB = BD
Solução:
25º
130º 50º
50º
80º 75º
COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 2. POLÍGONOS
1) POLÍGONOS CONVEXOS E NÃO-CONVEXOS
CONVEXO NÃO-CONVEXO
COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 2. POLÍGONOS
2) SOMA DOS ÂNGULOS
Si = (n – 2).180o
n = 4
1 x 180º Si = 180º n = 3
2 x 180º Si = 360º
n = 5 3 x 180º Si = 540º
COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 2. POLÍGONOS
2) SOMA DOS ÂNGULOS
Se = 360o
α
βγ
αβγ
COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 2. POLÍGONOS
3) NÚMERO DE DIAGONAIS
no de diagonais de um polígono c/ n lados:
no de diagonais determinadas a partir de 1 vértice: (n – 3)
2
)3.( −= nnd
EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA
2. POLÍGONOS
Questão 2:(CESCEM-adaptada) Se ABCDE é um polígono regular, então a soma dos ângulos assinalados na figura é: a) 90o b)120o c)144o d)154o e)180o
EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA
2. POLÍGONOS
Questão 2:
Solução:
180º – A – C
180º – B – D 180º – C – E
180º – A – D
180º – B – E
oi
oi
oi
S
S
nS
540
180).25(
180).2(
=
−=
−=
180 – A – C + 180 – B – D + 180 – C – E + 180 – A – D + 180 – B – E = 540 2A + 2B + 2C + 2D + 2E = 360 2.(A + B + C + D + E) = 360 (A + B + C + D + E) = 180º
EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA
2. POLÍGONOS
Questão 4:(ESAF/2006) Em um polígono de n lados, o número de diagonais determinadas a partir de um de seus vértices é igual ao número de diagonais de um hexágono. Desse modo, n é igual a:a) 11b)12c)10d)15e)18
EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA
2. POLÍGONOS
Questão 4:
O número de diagonais determinadas a partir de um de seus vértices é igual ao número de diagonais de um hexágono.
Solução:
Diagonais a partir de um dos vértices: (n – 3)
Diagonais de um hexágono:
92
)36.(62
)3.(
=
−=
−=
d
d
nnd Então:
n – 3 = 9n = 12
EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA
2. POLÍGONOS
Questão 6:No hexágono ABCDEF abaixo, a medida do ângulo ABC é o quádruplo da medida do ângulo EFA. Calcule a medida de um ângulo obtuso formado pelas bissetrizes de ABC e EFA.a)100o
b)110o c)120o d)130o e)140o
EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA
2. POLÍGONOS
Questão 6:
A medida do ângulo ABC é o quádruplo da medida do ângulo EFA. Calcule a medida de um ângulo obtuso formado pelas bissetrizes de ABC e EFA.
x
4x
5x + 160 + 120 + 90 + 150 = (6 – 2).180 5x + 520 = 720 5x = 200 x = 40
Solução:
EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA
2. POLÍGONOS
Questão 6:
A medida do ângulo ABC é o quádruplo da medida do ângulo EFA. Calcule a medida de um ângulo obtuso formado pelas bissetrizes de ABC e EFA.
5x + 160 + 120 + 90 + 150 = (6 – 2).180 5x + 520 = 720 5x = 200 x = 40α20º
80º
α + 20 + 160 + 80 = 360α = 100º
Solução:
EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA
2. POLÍGONOS
Questão 8:
Solução:
75º
110º
EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA
2. POLÍGONOS
Questão 8:
Na figura seguinte, o valor de α é:a) 90o b) 95o c) 100o d) 110o e) 120o
EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS
1) CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA
Em todo triângulo, qualquer lado é menor que a soma e maior que a diferença entre os outros dois.
a
b c
|b - c| < a < b + c
EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS
2) ELEMENTOS
Altura: é o segmento de reta que liga um vértice ao lado oposto, perpendicularmente.
Bissetriz interna: é a semi-reta que divide o ângulo em dois ângulos de medidas iguais.
EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS
2) ELEMENTOS
Observação: Teorema da Bissetriz Interna.
A bissetriz interna de um triângulo determina sobre o lado oposto dois segmentos proporcionais aos outros dois lados.
A
B CP
PC
AC
BP
AB =
PC
AC
BP
AB =
EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS
2) ELEMENTOS
Mediana: é o segmento de reta que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto.
Mediatriz: é a reta perpendicular a um lado, que o divide em dois segmentos de mesma medida.
EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS
2) ELEMENTOS
Baricentro: é o ponto de interseção das medianas.
OBSERVAÇÃO: O baricentro divide cada mediana na razão 2/3 a partir do vértice.
EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS
2) ELEMENTOS
Incentro: é o ponto de interseção das bissetrizes.
OBSERVAÇÃO: O incentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo. Assim, o incentro é eqüidistante dos lados do triângulo.
EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS
2) ELEMENTOS
Circuncentro: é o ponto de interseção das mediatrizes.
OBSERVAÇÃO: O circuncentro é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo. Assim o circuncentro é eqüidistante dos vértices do triângulo.
EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS
2) ELEMENTOS
Ortocentro: é o ponto de interseção das alturas.
EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS
2) ELEMENTOS
OBSERVAÇÃO: Os três pontos de interseções, baricentro, circuncentro e ortocentro, de uma maneira geral são pontos distintos. Mas em qualquer triângulo, eles estão alinhados (Reta de Euller).Se o triângulo for eqüilátero, os quatro pontos (baricentro, incentro, ortocentro e circuncentro) são coincidentes.
EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS
2) ELEMENTOS
EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS
3) SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Dois triângulos são semelhantes quando possuem lados homólogos* proporcionais e ângulos respectivamente de mesmas medidas. * lados homólogos: são lados opostos a ângulos iguais.
EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS
3) SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
45o 45o 60o 60o 50o 50o
2 cm
3 cm
3 cm
4,5 cm
2 cm
3 cm4 cm
4 cm
8 cm 6 cm
EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS
4) RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
A
BCa
b c
m n
h
b2 = a.m c2 = a.n
h2 = m.n
a.h = b.c
a2 = b2 + c2
EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS
5) RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRIÂNGULO QUALQUER
A B
C
b a
cm n
ha2 = b2 + c2 - 2c.m
Triângulo Acutângulo: Num triângulo acutângulo qualquer, o quadrado do lado oposto a um ângulo agudo é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos duas vezes o produto de um deles pela projeção do outro sobre ele.
EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS
5) RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRIÂNGULO QUALQUER
Triângulo Obtusângulo: Num triângulo obtusângulo qualquer, o quadrado do lado oposto a um ângulo agudo é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, mais duas vezes o produto de um deles pela projeção do outro sobre ele.
a2 = b2 + c2 + 2c.n
m
C
A B
ab
c
h
n
EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS
6) RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
AB
C
hipotenusa cateto oposto
cateto adjacenteθ
adjacentecateto
opostocatetotg
hipotenusa
adjacentecateto
hipotenusa
opostocatetosen
=
=
=
θ
θ
θ
cos
EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS
6) RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
sen cos tg
30o
45o
60o
2
1
2
1
2
22
2
2
3
2
3
3
3
1
3
EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS
7) LEI DOS SENOS
Num triângulo qualquer, as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos.
r.2senC
c
senB
b
senA
a ===
EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS
8) LEI DOS COSSENOS
Num triângulo, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois, menos o dobro do produto das medidas desses dois lados pelo cosseno do ângulo oposto ao primeiro lado.
a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cosA
EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS
Questão 3
(COVEST 2003) Um triângulo com lados medindo 2.1050, 10100 – 1 e 10100 + 1:a) é isóscelesb) é retânguloc) tem área 10150 – 1d) tem perímetro 4.10150
e) é acutângulo
EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS
Solução:
100100200100200
25021002100
10.4110.210110.210
)10.2()110()110(
++−=+++−=+
O triângulo é retângulo.
EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS
Questão 4
(COVEST 2006) A ilustração a seguir representa uma escada de comprimento 2,5m apoiada em uma parede vertical. A extremidade inferior da escada está a uma distância de 0,70m da parede. Determine a aresta da maior caixa cúbica que pode ser transportada pela região limitada pela escada e pela parede vertical. (Aproxime seu resultado até os centésimos)
EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS
Questão 4
2,5m
0,70m
x
x
myy
y
y
4,276,5
25,649,0
5,27,0
2
2
222
=∴==+=+
2,4 – x
mxx
xx
xx
54,068,1.1,3
.4,2.7,068,1
7,04,2
4,2
≅∴==−
=−
EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS
Questão 8
(COVEST 2001 – 2ª fase) Na ilustração a seguir, CD é um diâmetro da circunferência com centro em O e raio 8. AC e BD são perpendiculares a AB, e AB é tangente à circunferência em T. Se AB = 12, calcule AO.
8
88
6 6 Solução:
10100
862
222
=∴=
+=
xx
xx
EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS
Questão 12
(Vunesp-adaptada) No triângulo ABC da figura, BD é bissetriz do ângulo interno B, e CD é bissetriz do ângulo externo relativo ao vértice C. Determine a medida do ângulo interno Â.a) 60o b) 70o c) 800 d) 90o e) 100o
EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS
OBSERVAÇÃO:
θ
x
ββ α α
γ γ
x + β = θ + α α = θ + β
x + β = θ + θ + β
x = 2.θ
EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS
Questão 12
(Vunesp-adaptada) No triângulo ABC da figura, BD é bissetriz do ângulo interno B, e CD é bissetriz do ângulo externo relativo ao vértice C. Determine a medida do ângulo interno Â.a) 60o b) 70o c) 800 d) 90o e) 100o X
EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS
Questão 13
(COVEST 2001) Na figura abaixo, BC e AC são bissetrizes dos ângulos DBE e DAB, respectivamente. Se o ângulo ACB mede 21o 30’, qual é a medida, em graus, do ângulo ADB?a) 43b) 41c) 40d) 44e) 42
X
EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS
Questão 17
(UCSal/93-adaptada) Na figura abaixo têm-se o triângulo ABC, cujo perímetro é 26cm. O losango ADEF, cujos lados medem 4cm. Se BC mede 8cm, os outros dois lados do triângulo ABC medem:a) 5 e 13b) 6 e 12c) 7 e 11d) 8 e 10e) 9 e 9
EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS
Solução:
44
44
8
xy
x + y = 10
16.
.416..4
4
4
4
=+=+
=++
yx
yyxy
yy
x
x = 8 e y = 2Os lados valem 6cm e 12cm
EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS
Questão 18
(Vunesp) Do quadrilátero ABCD de figura, sabe-se que os ângulos internos de vértices A e C são retos; os ângulos CDB e ADB medem, respectivamente, 45º e 30º; o lado CD mede 2dm. Então, os lados AD e AB medem, respectivamente, em dm:
5e3)e
5e6)d
2e6)c
3e5)b
3e6)a
EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS
OBSERVAÇÃO:
30o
cat. opostohipotenusa
cat. adjacente
opostocatadjacentecatopostocat
adjacentecat
adjacentecat
opostocattg
hipotenusaopostocathipotenusa
opostocatsen
o
o
..3.3
..3.
3
3
.
.30
.2
1.
2
1.30
=∴=
==
=∴==
EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS
OBSERVAÇÃO:
30o
48
4.√ 330o
510
5.√ 3
30o
612
6.√ 3
30o
714
7.√ 3
EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS
Solução:
45o
30o
2.√ 2
√2
√2 .√3 √6=
EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS
Questão 19
(UFBA/93-adaptada) Considere o triângulo eqüilátero ABC, com lado medindo 6cm. Seja M o ponto médio do lado AC, e seja P o ponto do lado BC tal que PB = 2cm. Sendo x cm2 a área de um quadrado de lado MP, determine x.
EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS
Solução:
A C
B
M
6
3 3
2
4
P
60o
x13
2
1.24169
60cos.4.3.243
2
2
222
=
−+=
−+=
x
x
x o
EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS
Questão 20
(UnB-DF/adaptado) Na figura abaixo, calcule a medida do ângulo AMD, sabendo que M é o ponto médio de BC.
a) 15o b) 20o c) 30o d) 40o e) 50o
EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS
OBSERVAÇÃO:
⁄⁄ ⁄ ⁄
⁄ ⁄
EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS
Solução:
20o 20o
50o
80o
60o
60o
40o