RETTE E PIANI NELLO SPAZIO- Differenza tra piano e spazio Posizione di una retta rispetto ad un pianoPosizione di due rette nello spazioRette e piani perpendicolari nello spazioRette e piani paralleli nello spazioAngoloidiPOLIEDRI : Prismi ,parallelepipedo,cubo,piramide,poliedri regolari CORPI ROTONDI : cilindro,cono,tronco di cono,sfera

SPAZIO (insieme di punti )

PIANO (ente primitivo) 1 POSTULATO Per 3 punti dello spazio non allineati passa un solo piano

2 POSTULATO Una retta passante per 2 punti di un piano, giace interamente in quel piano.

3 POSTULATO Una retta che giace in un piano lo divide in due semipiani . Ogni segmento che congiunge 2 punti appartenenti ad uno stesso semipiano giace in tale semipiano ; se congiunge due punti appartenenti a semipiani diversi incontra la retta in un punto.IN BASE A CHE COSSA??

Lo spazio, definito dai tre precedenti postulati + un quarto postulato chiamato ASSIOMA DI PARTIZIONE DELLO SPAZIO.Esso dice che,se un piano A divide lo spazio in due regioni diverse, ogni segmento che congiunge 2 punti appartenenti alla stessa regione giace interamente in essa e se congiunge 2 punti situati in regioni diverse incontra il piano A in un suo punto.SEMISPAZIO = figura costituita dal piano A (origine o contorno) + una delle due parti in cui divide lo spazio.SEMISPAZI OPPOSTI = due semispazi diversi aventi stesso origine

POSIZIONE DI UNA RETTA RISPETTO AD UN PIANOSe una retta ha in comune con un piano un solo punto,essa viene divisa in due semirette giacenti in semispazi opposti. La retta interseca il piano nel punto dintersezione.NB: se piano e retta sono privi di punti in comune allora sono paralleli tra di loroPOSIZIONE DI DUE RETTE NELLO SPAZIO

Due rette giacenti nello stesso piano si dicono complanari (incidenti o parallele). Consideriamo due rette nello spazio che non hanno punti in comune: - se il piano le contiene entrambe,esse sono parallele; - se non esiste alcun piano capace di contenerle entrambe le rette sono sghembeRette sghembers

POSIZIONE DI DUE PIANI NELLO SPAZIODue piani distinti aventi in comune un punto,hanno in comune una ed una sola retta passante per quel punto.Siano e due piani aventi in comune P. Nel piano tracciamo due semirette qualunque a, b aventi per origine P, situate da parti opposte rispetto ad . Si congiunga un punto A di a con un punto B di b: si trovano in semispazi opposti rispetto ad , il segmento AB taglier il piano in un punto C, comune ad e . Cos la retta PC (per il 2 postulato del piano) appartiene ad entrambi i piani; oltre i punti della retta PC i due piani e non possono avere altri punti in comune, altrimenti essi coinciderebbero (per il 1 postulato), il che contro l'ipotesi secondo la quale e erano distinti.

Oh mamma!!E Quuiiindiii ????Quindi : se due piani hanno in comune una retta (piani incidenti) si dice che essi si intersecano lungo quella retta.Da tutto ci si deduce che se due piani non hanno punti in comune,allora sono paralleli.Per una retta nello spazio passano infiniti piani,che costituiscono un fascio di piani,di cui la retta detta fascio o sostegno.

RETTA E PIANO PERPENDICOLARINello spazio,per un punto di una retta si possono condurre infinite perpendicolari per ognuno degli infiniti piani dello spazio, di cui la retta funge da sostegno.TEOREMA 1 : se una retta perpendicolare in un suo punto a due rette che passano entrambe per quel punto,essa perpendicolare per qualunque altra retta condotta per quello stesso punto e giacente nel piano delle prime due.

TEOREMA 2 : il luogo delle rette perpendicolari a una retta in un suo punto un piano

Una retta si dice perpendicolare (normale o ortogonale) ad un piano quando lo incontra ed perpendicolare a tutte le rette del piano che passano per il suo punto dintersezione con il piano,detto piede della perpendicolare.Una retta che incontra un piano senza essergli perpendicolare dicesi obliqua rispetto al piano. TEOREMA 3 : per un punto dato si pu condurre un piano perpendicolare ad una retta data e uno solo.TEOREMA 4 : dato un piano A e un punto p qualunque, esiste sempre una sola retta passante per p perpendicolare al piano A.

TEOREMA DELLE TRE PERPENDICOLARISe per il piede di una perpendicolare ad un piano si conduce una retta perpendicolare a unaltra retta del piano stesso,questultima risulta perpendicolare al piano individuato dalle prime due.Aiutoooooo non ho capito la dimostrazione !!

RETTE PARALLELE NELLO SPAZIOTEOREMA 1 : due rette perpendicolari ad uno stesso piano sono parallele.TEOREMA 2 : Se due rette sono parallele,ogni piano perpendicolare alluna pure perpendicolare allaltra.TEOREMA 3 : due rette parallele a una terza sono parallele tra loroDhoo.. un incubo !!r//sTeorema 3

RETTA E PIANO PARALLELIUna retta e un piano si dicono paralleli quando non hanno nessun punto in comune.TEOREMA 1: se una retta passante per un punto esterno a un piano parallela ad una retta del piano essa parallela al piano.

TEOREMA 3 : se per una retta parallela ad un piano si conduce un piano qualunque che interseca il primo,la retta di intersezione dei due piani parallela alla retta data.

TEOREMA 2:una retta e un piano perpendicolari a una medesima retta,in punti distinti,sono paralleli.

TEOREMA 4 : se per due rette parallele di conducono due piani che si tagliano,la loro intersezione parallela alle due rette.

TEOREMA 5: una retta ed un piano paralleli determinano su due rette parallele segmenti congruenti.

&ABABrABAB&TEOREMA 6: se una retta ed un piano sono paralleli,i punti della retta sono equidistanti dal piano

PIANI PARALLELIDue piani distinti si dicono paralleli quando non hanno alcun quando in comune.T1 :due piani perpendicolari ad una stessa retta,in punti distinti,sono paralleli.

T3: le intersezioni di due piani paralleli con un terzo sono rette parallele.T2:se due rette che si intersecano sono parallele ad un piano,il piano individuato dalle due rette parallelo al piano dato.

Continua..

T4 : se due piani sono paralleli,ogni retta che incontra uno dei due piani incontra anche laltro.

Zzz..dopo tanti teoremi almeno uno alla mia altezza!!

RELAZIONE DI EQUIVALENZA DEI PIANI PARALLELIDue piani paralleli a un terzo sono paralleli tra loro.T5:se due piani sono paralleli ogni retta perpendicolare al primo pure perpendicolare al secondo.

ANGOLOIDILangoloide una figura solida formata da una superficie piramidale + tutti i suoi punti interni.Prendiamo nello spazio delle semiretteaventi origine in comune; due semirette consecutive determinano un piano e la figura che deriva dagli angoli di queste coppie di semirette detta superficie piramidale.

O Verticea,b,c,d SpigoliAngoli = faccePunti interniLinsieme delle facce costituisce la superficie o contorno dellangoloide.Lintersezione di un angoloide con un piano che ne tagli tutti gli spigoli e non passi per il vertice un poligono

Un angoloide detto triedro,tetraedro,pentaedro.. In base al numero di facce che lo compongono.TEOREMA 1 : ogni faccia di un triedro minore della somma delle altre dueTEOREMA 2 :ogni faccia di un angoloide minore della somma di tutte le altreTEOREMA 3: la somma delle facce di un triedro minore di quattro angoli rettiTEOREMA 4 : la somma delle facce di un angoloide minore di quattro angoli retti

Due figure solide,pur avendo elementi corrispondenti congruenti possono non essere sovrapponibili .Come possibile ?Due figure solide sono direttamente congruenti se esiste un movimento rigido che permetta di farle coincidere.Sono inversamente congruenti se non sono sovrapponibili,ma luna sovrapponibile alla simmetria dellaltra rispetto ad un piano.

POLIEDRISi dice superficie poliedrica la figura formata da pi poligoni convessi situati in piani diversi e disposti in modo che ciascun lato sia comune a due di essi e che il piano di ogni poligono lasci tutti gli altri da una medesima parte.Si dice poliedro la figura formata da una superficie poliedrica e da tutti i suoi punti interni.I poligoni, i loro vertici e i loro lati si dicono rispettivamente facce, vertici, spigoli della superficie poliedrica.Le facce, i vertici, gli spigoli della superficie si dicono pure facce, vertici, spigoli del poliedro.

PRISMIUn prisma un poliedro le cui basi sono due poligoni congruenti di n lati poste su piani paralleli e connesse da un ciclo di parallelogrammi (le facce laterali). Se il poligono che forma le basi un particolare poligono, ad esempio un triangolo, quadrato, pentagono, etc. si parla di prisma triangolare, prisma quadrato, prisma pentagonale, etc. In generale, si parla di prisma n-gonale. Se le facce laterali sono tutte dei rettangoli il poliedro un prisma retto: in questo caso infatti le facce laterali formano degli angoli retti con entrambe le basi. In caso contrario si parla di prisma obliquo.

Volume Il volume di un prisma dato dal prodotto dell'area di una delle sue basi per la distanza tra i piani (paralleli) ai quali appartengono. Se il prisma retto, questa distanza pari alla lunghezza di uno spigolo verticale (altrimenti no).ecco la formula:V = sb (area di base)x h

PARALLELEPIPEDOSi dice parallelepipedo un prisma le cui basi sono due parallelogrammi.Le due facce opposte sono quelle che non hanno alcun vertice in comune. I due vertici opposti sono quelli che non appartengono ad una medesima faccia.1122Un parallelepipedo si dice retto se i suoi spigoli sono perpendicolari ai piani delle basi; se ha per base un rettangolo detto parallelepipedo rettangolo.

T1 : le facce opposte di un parallelepipedo sono parallele e congruentiT2:le diagonali di un parallelepipedo si incontrano in un punto che le divide tutte per metT3 : in un parallelepipedo rettangolo le diagonali sono congruentiLegenda: SL= Superficie Laterale ST =Superficie Totale V= Volume h=altezza a, b=Lati di base d=Diagonale d'=Diagonale della base

CUBOUn cubo un parallelepipedo rettangolo avente le dimensioni congruenti.Le facce e le basi di un cubo sono quadrati tutti congruenti.Legenda: SL=Superficie laterale, ST=Superficie totale, l=Spigolo, d=Diagonale, V=Volume

Ho ragione quando dico che la geometria ti manda a male !!!

PIRAMIDEConsideriamo un angoloide e un piano non passante per il vertice e non // ad alcuno degli spigoli,che taglia langoloide in due parti. La parte cos formata che contiene il vertice detta piramide.La sezione dellangoloide con il piano un poligono che si dice base della piramide. La distanza del vertice dal piano della base si chiama altezza della piramide. Il piano della sezione determina sulle facce dellangoloide dei triangoli = facce laterali ,la cui unione costituisce la superficie laterale.Lunione delle facce laterali e della base costituisce la superficie totale.Le piramidi sono particolari poliedri che prendono il nome proprio dal numero di lati della base (piramidi triangolari,quadrangolari..) SL=Superficie laterale, ST=Superficie totale, h=Altezza, a=Apotema, SB=Superficie di base

Una piramide si dice retta se ha per base un poligono circoscrivibile ad un cerchio il cui centro coincide con la proiezione del vertice sul punto di baseTEOREMA1 : in una piramide retta i segmenti che congiungono il vertice con i punti di contatto dei lati della base con la circonferenza iscritta sono le altezze delle facce laterali e sono congruenti tra loro. Una piramide retta avente per base un poligono regolare si dice piramide regolare.

Se si taglia una piramide con un piano parallelo alla base: la base e la sezione sono poligoni simili ,i lati e i perimetri di questi poligoni sono proporzionali alle distanze del loro piano dal vertice e le aree ai quadrati di queste distanze.

Se due piramidi hanno basi equivalenti ed altezze congruenti, le sezioni parallele alle basi e da esse equidistanti sono equivalenti.Se si taglia una piramide con un piano parallelo alla base e non passante per il vertice, si divide la piramide in due parti,una delle quali ancora una piramide e laltra si dice tronco di piramide. Un tronco di piramide si dice retto se retta la piramide a cui esso appartiene.TRONCO DI PIRAMIDESL=Superficie laterale, ST=Superficie totale, V=Volume, h=Altezza, a=Apotema, PBm=Perimetro base minore, PBM=Perimetro base maggiore, SBm=Superficie base minore, SBM=Superficie base maggiore

Poliedri regolariUn poliedro si dice regolare quando le sue facce sono poligoni regolari tutti congruenti tra loro e i suoi angoloidi sono pure tutti congruenti tra loro.RELAZIONE DI EULERO : in un poliedro la somma del numero F delle facce e del numero V dei vertici supera di due il numero S degli spigoli : F +V = S +2

TETRAEDRO REGOLARE4 facce triangolari; angoloidi triedriOTTAEDRO REGOLARE8 facce triangolari angoloidi tetraedriICOSAEDRO REGOLARE20 facce triangolari angoloidi pentaedri

DODECAEDRO12 facce pentagonali angoloidi triedriESAEDRO (o cubo)6 facce quadrate angoloidi triedri

SOLIDI DI ROTAZIONEUn solido di rotazione o di rivoluzione la figura ottenuta ruotando attorno ad un asse n una regione piana K, sul cui piano giace l'asse stesso. Se al di sopra della regione piana consideriamo unaltra retta g che ruota insieme ad esso allora lasse n detto asse di rotazione e la retta g detta generatrice della superficie di rotazione.La generatrice g descrive,durante la rotazione, una circonferenza che giace in un piano perpendicolare allasse di rotazione il cui centro O sta sul piano medesimo.

Cilindro La superficie cilindrica indefinita la superficie generata dalla rotazione di una retta r intorno a unaltra retta ad essa parallela detta ASSE DI ROTAZIONE.I punti dello spazio aventi dallasse distanza minore del raggio si dicono interni alla superficie,quelli che hanno distanza minore sono detti esterni.Un cilindro indefinito il solido formato dai punti di una superficie cilindrica e dai suoi punti interniUn cilindro circolare retto ,o semplicemente cilindro, la parte di cilindro indefinito limitata da due piani paralleli tra loro e perpendicolari allasse.

I due piani individuano due cerchi che si dicono basi del cilindro ,mentre il raggio si dice raggio di base del cilindro. La distanza tra i due piani laltezza. La parte di superficie cilindrica che appartiene al cilindro la superficie laterale ,mentre la somma della superficie laterale e di quelle delle due basi la superficie totale.Un cilindro equilatero ha unaltezza congruente al diametro delle basi ,ossia quando una sua sezione con un piano passante per lasse un quadrato

Legenda: SL=Superficie laterale ST=Superficie totale h=Altezza, r=Raggio

CONOUna superficie conica circolare la superficie generata dalla rotazione completa di una semiretta intorno a unaltra,detta asse,avente lorigine in comune (vertice della superficie conica).Un cono indefinito un solido formato dai punti di una superficie conica e dai suoi punti interni.Un cono circolare retto, o semplicemente cono, la parte di cono indefinito limitata da un piano perpendicolare allasse.Il piano individua un cerchio che la base del cono ,mentre il raggio di tale cerchio il raggio di base del cono. La distanza tra il vertice e il piano di base laltezza del cono. Il segmento che unisce il vertice a un qualunque punto della circonferenza di base lapotema del cono. La parte di superficie conica che appartiene al cono la superficie laterale ,mentre la somma della superficie laterale e di quella della base la superficie totale

Il cono equilatero il cono avente lapotema congruente al diametro di base.Legenda: SL=Superficie laterale, ST=Superficie totale, h=Altezza, r=Raggio, a=Apotema

Tagliando un cono con un piano parallelo alla base lo si divide in due parti, una delle quali un altro cono e laltra si dice tronco di cono.La base del cono primitivo e il cerchio sezione si dicono basi del tronco ;la distanza tra i piani delle basi si dice altezza del tronco.Teorema: La superficie laterale del tronco di cono e' uguale alla superficie di un trapezio che ha per basi le circonferenze di base rettificate e per altezza l'apotema del tronco di cono. Legenda: SL=Superficie laterale, ST=Superficie totale, h=Altezza, r, r'=Raggio, a=Apotema

Sfera La superficie sferica la superficie generata dalla rotazione completa di una semicirconferenza intorno alla retta del suo diametro. La superficie sferica il luogo dei punti dello spazio equidistanti da un punto fisso detto centro,mentre la distanza il raggio.La sfera il solido formato dai punti di una superficie sferica e dai suoi punti interni.La calotta sferica ciascuna delle due parti in cui un piano secante divide una superficie sferica.

Legenda: S = Superficie, V = Volume, r = raggio, O = centro della sfera

Legenda: SL=Superficie laterale, V=Volume, h=Altezza, r=raggio, R=Raggio della sfera

La zona sferica la parte di superficie sferica compresa tra due piani secanti e paralleli.Il segmento sferico a due basi la parte di sfera compresa tra due piani secanti e paralleli.

SPERIAMO DI NON AVER ANNOIATO TROPPO !!Lavoro di : Pavoncelli Nicklas e Mandelli Serena