=Distribucin de Bernoulli y distribucin binominal= SIMBOLO SIGNIFICADOnNmero total de ensayosxNumero de xitospProbabilidad de xitoqProbabilidad de fracasoMedia de la distribucin binominal2Varianza Desviacin estndar6IV22Domnguez Hernndez AlbertoMendoza Gaona Camila IlianaMariscal Vargas Allan IsraelE xposicin2doMARCO TEORICOExperimento de Bernoulli: Si un experimento tiene dos resultados posibles, acierto y falso, y sus probabilidades son, respectivamente, y 1 -, entonces el nmero de aciertos, 0 o 1, tiene una distribucin de Bernoulli; en forma simblica se tiene: Una variable aleatoria x tiene una distribucin de Bernoulli, si y solo si su distribucin est dada por: .Un tpico experimento de Bernoulli es el lanzamiento de una moneda con probabilidad p para cara y (1-p) para cruz.Ejemplo Un jugador de bsquetbol est punto de tirar hacia la parte superior del tablero. La probabilidad de que anote el tiro es de 0.55Sea X=1 si anota el tiro, si no lo hace X=0 determine la media y la varianza de X. Distribucin binomial: Es til para experimentos aleatorios en los que solo hay dos resultados mutuamente excluyentes en cada ensayo y sirve para calcular la probabilidad de que un evento A suceda un nmero x de veces al efectuar n veces el experimento; es necesario que cada ensayo sea independiente. Como ejemplos de este tipo de distribucin tenemos; lanzar una moneda, tirar al blanco, presentar un examen, etc. Se puede aplicar esta distribucin con buenos resultados si la muestra es infinita .Si la muestra es finita, pero cumple que la poblacin tenga al menos 10 veces el tamao de la muestra.Un experimento se puede modelar con una distribucin binomial si cumple que: Slo hay dos posibles sucesos resultantes del experimento: A,A (xito y fracaso). Las probabilidades de cada suceso A,A son las mismas en cualquier realizacin del experimento (p y q=1p, respectivamente). Es decir, si se tira una moneda varias veces, no cambia la probabilidad de obtener cara.Toda realizacin del experimento es independiente del resto.Binominal: Son experimentos aleatorios con 2 resultados mutuamente excluyentes en cada ensayo.Variable aleatoria binomial: La variable aleatoria binomial, X, expresa el nmero de xitos obtenidos en cada prueba del experimento.La variable binomial es una variable aleatoria discreta, slo puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4, ..., n suponiendo que se han realizado n pruebas.Ejemplo: k = 6, al lanzar una moneda 10 veces y obtener 6 caras.Media de la distribucin binominal: La media de esta distribucin a valor central se define as: =np La varianza de la distribucin binominal se define: 2 =npq La desviacin estndar: = Funcin de probabilidad de una variable aleatoria binomialLa funcin de probabilidad de la distribucin binomial, tambin denominada funcin de la distribucin de Bernoulli, es: n=es el nmero de pruebas.k=es el nmero de xitos.p=es la probabilidad de xito.q= es la probabilidad de fracaso.Problemas1.-Si 9 de cada 10 odontlogos recomiendan Colgate Cul es la probabilidad de que al consultar 1 al azar?a) Te recomiende Colgateb) Te recomiende otra pastaSolucin:-Se obtiene la probabilidad de xito y fracaso:P(C)=9/10P(O)=1-9/10=1/10-Se sustituye y resuelve para ambos casosa) P(1)=(9/10)(1/10)=9/10b) P(0)=(9/10)(1/10)=1/102.-Se lanzan 2 dados (6 caras). Usar distribucin de Bernoulli para calcular la probabilidad de que la suma del resultado de los dados sea mltiplo de 3.Solucin:-Se saca espacio muestra S={}n(S)=36-Se determinan la cantidad de eventos deseadosE={1,21,52,12,43,33,64,24,55,15,46,36,6}n(E)=12-Se obtiene la probabilidad de xito y fracasoP=P(E)=12/36= 1/3q=1-p=1-1/3=2/3-Se sustituyen los valores en la formula con 1 como xito y se resuelveP(x=1)=(1/3)(2/3)=1/33.-En este problema se tienen 3 eventos 'X'(los estudiantes han entendido los temas bsicos de probabilidad), 'Y'(los estudiantes han entendido el tema de distribucin de Bernoulli) y 'Z'(los estudiantes han entendido ambos temas y podrn resolver este problema), si las probabilidades de dichos eventos son 65%, 80% y 45% respectivamente, obtener:a)Probabilidad de resolver correctamente este problema.b)Probabilidad de no poder resolver el problema.c)Probabilidad de solo entender la probabilidad bsica o distribucin de Bernoulli pero de algn modo resolver el problema.Solucin:-Se resuelve 'a)' y 'b)' con la misma formulaa)P(Z=1)=(45%)(100%-45%)=45%b)P(Z=0)=(45%)(100%-45%)=55%-Para obtener 'c)' se necesitaran 'X', 'Y', 'Z' y 'P(XY)'P(X=1)=(65%)(100%-65%)=65%P(Y=1)=(80%)(100%-80%)=80%P (Z=1)= (45%)(100%-45%)=45%P (XY)=65%*80%=52%-Ahora se calcula la probabilidad del eventoc) P(E)=[P(X=1)+P(Y=1)-2P(XY)]P(Z=1)=(65%+80%-52%)(80%)=78.4%4.-Calcular la probabilidad de que al tirar 2 dados un resultado se 3Solucin:-Se resuelve directamente por formulaP(x=1)5.-Si 8 de cada 10 gatos prefieren whiskas Cul es la probabilidad de que al tomar 3 gatos al azar:?a) ninguno quiera whiskasb) uno quiera whiskasSolucin:-Se obtienen las probabilidades de xito y fracasop=8/10q=1-8/10=2/10-Sustituyendo valores se resuelve directamentea) P(x=0)=()(8/10)(2/10)=8/1000b) P(x=1)=()(8/10)(2/10)=96/10006.-Se lanza una moneda 4 veces, Calcular la probabilidad de que caigan ms cruces que carasSolucin: -La probabilidad de que caigan ms cruces que caras cubre los eventos 'x=3' y 'x=4' por lo que se deben obtener dichas probabilidades.P(x=4)=P(x=3)=Respuesta:P(X>2)=1/16+1/4=5/167.-Si la probabilidad de cursar la universidad es de 80%, al tomar una muestra de 10 estudiantes Cul es la probabilidad de que?a) Terminen de cursar menos de 2b) Al menos 2 terminen de cursarSolucin:-La probabilidad de que terminen de cursar menos de 2 cubre los eventos=0' y 'x=1'P(x=0)=()(80%)(20%)=1024x10P(x=1)=()(80%)(20%)=10(80/100)(512/10)=4096x10P(x=2)=1-8.-Si en tu muro de facebook el 5% del contenido son cosas que te interesan 5% son publicaciones de amigos que no conoces, 10% son selfies y 80% son publicaciones de dale like si..., Al ver las primeras 5 publicaciones en tu muro y considerndolos eventos mutuamente excluyentes cul es la probabilidad de que:?a) Una de las publicaciones no sea una peticin de likeb) Ninguna te interesec) Haya al menos una selfie o publicacin de amigos que no conocesSolucin:-Para 'a)' se busca que solo un resultado de 5 no sea exitoso por lo que:a) P(x=4)=-Para 'b)' se usara p=5% y x=0 y se calculara directob) P(x=0)= 77%-Para 'c)' se suman los complementos de las probabilidades de ningn xito de ambos eventosP(X>0)=1-P(x=0)= 1- 23%P(X>0)=1-P(x=0)= 1- 41%b) P(E)=23%+41%=64%Cuestionario1.-Se lanzan 1000 proyectiles paralelos y equidistantes entre si dirigidos hacia un blanco de 1m a travs de una reja, si 700 proyectiles dieron en el blanco y 300 se detuvieron en la reja usar distribucin de Bernoulli para determinar.a) Cul era la probabilidad de fallar?b) Qu rea en el rango de 1m del blanco cubran las rejas?Datos: p=700/1000=7/10; q=300/1000=3/10;Solucion:a)P(x=0)=(7/10)(3/10)=3/10b)A=1m(3/10)=0.3m2.-Para los eventos 'x', 'y' y 'z' de los cuales 'y' y 'z' son mutuamente excluyentes y cuyas probabilidades son de 20%(x), 4/5(y) y 0.25(z)Calcular la probabilidad de que:En 5 observaciones:a) suceda una vez 'x' y 2 veces 'y'b) suceda 2 veces 'x' y 'z' al menos 1 vezEn 6 observaciones:c) suceda 'x' o que 'z' suceda ms de 3 vecesDatos:P(x)=20%=1/5; P(y)=4/5; P(z)=0.25=1/4; n=5Solucion:a)P(x=1)= P(y=2)= P(a)=P(x=1)*P(y=2)=0.4096*0.15=0.01258b)P(x=2)= P(00)=0.2048*0.763=0.156c)n=6;P(03)=P(z=4)+P(z=5)+P(z=6)==0.01536+0.0015+0.000064=0.017P(c)=P(z>3)+P(00)= 1-=1-0.58=0.42n=10;P(y>5)==0.205+0.117+0.044+0.01+0.001=0.377n=6;P(z=3)==0.293b)P()=0.42*0.377=0.15834;P()=0.377*0.293=0.110461;P()= 0.42*0.293=0.12306;P(()= 0.42*0.377*0.293=0.046n=2; p=0.46; P(()>0)=1-=1-0.910116=0.09P(b)=[ 0.15834+ 0.110461+ 0.12306]+[0.09]=(0.391861)+(0.09)=0.481861c)P(x>0)>P(y>5)>P(z=3)x, y, z4.-En un proceso de fusin nuclear hay un 80% de probabilidades de que un protn le d al ncleo de un isotopo por cada haz de protones dirigido, la energa de los protones varia uniformemente entre el 70% y 130% de la energa necesaria para iniciar la reaccin. Calcular:a) Probabilidad de que lanzando 6 veces un haz de protones se inicie la fusinb) Probabilidad de que al poner un segundo bloque de isotopos (igual al primero) detrs del primero se inicie la fusin con 7 lanzamientos de hazc) Probabilidades de que un protn con energa suficiente no choque contra un isotopo en 6 lanzamientos.Datos:p(Acertar)=P(A)=80%=4/5; p(Energia suficiente)=p(E)=(130%-100%)/(130%-70%)=1/2;Solucion:a)P(A>0)=1-=1-0.000064=0.999936P(E>0)=1-=1-0.015625=0.984375P(a)=0.999936*0.984375=0.984312b)n=7(2)=14; P(A>0)=1-=1-16384x10=0.999...P(E>0)=1-=1-0.00006=0.99994P(b)=0.9999*0.999940.999840006c)P(c)= P(A=0)*P(E>0)=(0.000064)*(0.984375)=0.000063