Resumen Complemento Mat022 USM

7/31/2019 Resumen Complemento Mat022 USM

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Coordinacin de Matemtica II (MAT022)Primer semestre de 2011

Semana 1: Lunes 07 viernes 11 de Marzo

COMPLEMENTO

Clase 1: Matrices. lgebra Bsica de Matrices

Clase 2: Tipos (bsicos) de matriz: Simtrica, antisimtrica. Transpuesta de una matriz.Caracterizacin.

Contenidos

CLASE 1

1.1 Matrices

Definicin 1.1. Una matriz de orden nm (se lee n filas por m columnas) es un arreglo rectangular de la forma

a11 a12 a13 a1ma21 a22 a23 a2ma31 a32 a33 a3m

......

......

...an1 an2 an3 anm

Cada uno de los elementos del arreglo ai j es llamada entrada, elemento o coeficiente de la matriz.

Observacin 1.1. Denotaremos las matrices por letras maysculas A, B,C o tambin en la forma

ai j

nm,

bi j

nm

Observacin 1.2. Los elementos de una matriz pueden pertenecer a cualquier conjunto numrico en particular a o. Denotaremos por nm () (nm,) al conjunto de todas las matrices de orden nm con coeficientes reales,de manera similar nm () (nm,) denota el conjunto de todas las matrices de orden nm con coeficientescomplejos.


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Universidad Tcnica Federico Santa Mara

Departamento de Matemtica

Ejemplo 1.1. Construir la matriz A=

ai j

33=

i+j

33

Ejemplo 1.2.

1 2 1 ii 0 3

23 ()

Definicin 1.2. Una matriz de orden n1 se llama matriz columna o vector columna, estos tienen la forma

a11a21

...an1

De manera similar una matriz de orden 1m es llamada matriz fila o vector fila y tiene la formaa11 a12 a13 a1m

Definicin 1.3. A la matriz

ai j

nmtal que ai j = 0 para todo i,j es llamada matriz nula de orden nm y es denotada

por [0]nm

[0]nm =

0 0 00 0 0...

......

...0 0 0

Observacin 1.3. A las matrices de orden nn (igual numero de filas y columnas) se les denomina matrices cuadradasde orden n.

Definicin 1.4. Sea A una matriz cuadrada A =

ai j

nn. Los coeficientes ai i para i = 1,2,..., n forman la diagonalprincipal de la matriz. La diagonal secundaria de Ason los elementos de la forma ai,n+1i para i = 1,2,..., n

Diagonal principal :

a11a22

...ann

Diagonal secundaria :

a1n

an1,2an1

Definicin 1.5. Una matriz cuadrada en la cual los elementos fuera de la diagonal son todos nulos es llamada matrizdiagonal (los elementos de la diagonal no necesariamente son distintos de cero)

Matriz diagonal:

a11 0 0 00 a22 0 0

0 0 a33 ...

......

...... 0

0 0 0 ann

MAT022 (Complemento) 2


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Un tipo muy importante de matriz diagonal, es aquella matriz cuadrada que tiene todos los elementos de la diagonalprincipal igual a 1, esta matriz es llamada Matriz identidad de orden n. Esta matriz es denotada por In.

Ejemplo 1.3.

I2 =1 0

0 1

I3 =

1 0 00 1 0

0 0 1

Definicin 1.6. Si una matriz cuadrada de orden n es tal que todos sus elementos que estan encima de su diagonalprincipal son todos ceros (no importan los dems) se denomina matriz triangular inferior; De manera similar, una matriztriangular superior es aquella en la cual todos los elementos que se encuentran bajo la diagonal principal son todos ceros.

Matriz triangular inferior:

a11 0 0 0

a21 a22 0... 0

... ... ... ... ...

......

...... 0

an1 an2 an3 ann

Matriz triangular superior:

a11 a12 a13 a1n

0 a22 a23... a2n

0 0...

......

......

......

...0 0 0 ann

Definicin 1.7. Dada una matriz cuadrada

A=

a11 a12 a13 a1na21 a22 a23 a2na31 a32 a33 a3n

......

......

...an1 an2 an3 ann

llamaremos traza deAa la suma de los elementos de la diagonal principal, es decir, t r(A) = a11 + a22 + + ann =n

i=1 ai i

Ejemplo 1.4. Calcular la traza de la matriz

An =

1 0 0 01 2 0 01 2 3 0...

......

......

1 2 3 n



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1.1.1 Operatoria con matrices

Igualdad de matrices: Dos matrices A yB son iguales si son del mismo orden y adems ai j = bi j.

Ejemplo 1.5. Encontrar los valores de las incgnitas si se tiene

x+ 1 0

x2 1

=

2 ab d

Suma de matrices: Si A=

ai j

nmyB=

bi j

nmse define A+ B =

ai j + bi j

nm

es decir:

a11 a12 a1ma21 a22 a2m

......

......

an1 an2 anm

+

b11 b12 b1mb21 b22 b2m

......

......

bn1 bn2 bnm

=

a11 + b11 a12 + b12 a1m + b1ma21 + b21 a22 + b22 a2m + b2m

......

......

an1 + bn1 an2 + bn2 anm + bnm

Ejemplo 1.6. 1 2 10 2 3

+

1 1 23 1 1

=

0 3 13 3 4

Observacin 1.4. t r(A+ B) = t r(A) + t r(B).

Multiplicacin por escalar: Si A=

ai j

nmy o entonces A=

ai j

nm=ai j

nm

es decir

a11 a12 a1ma21 a22 a2m

... ... ... ...an1 an2 anm

=

a11 a12 ama21 a22 a2m

... ... ... ...an a2n amn

Producto de matrices: Sea= . Sean A(nm,) yB

mp,

la matriz producto C =A B es lamatriz de orden np dada por

ci j

npdonde

ci j =

mk=1

ai kbk j

es decir para obtener el elemento ci j del producto se fija la fila i de A y la columna j de B y se forma el elementoanterior, se dice que el producto de matrices es filas por columnas.

1.1.2 Propiedades de las operaciones matriciales

Sean A, B,C matrices (con rdenes tales que las operaciones consideradas pueden ser aplicadas) ya, escalares:1. A+ B= B+A 8. 1A=A2. (A+ B) +C =A+ (B+ C) 9. (A B)C =A(BC)3. A+ [0] =A 10. A(B+ C) =A B+AC4. A+ (1)A= [0] 11. (A+ B)C =AC + BC5. (A+ B) =A+B 12. (A B) = (A) B=A(B)6.

+

A=A+A 13. Anm InA=A=AIm

7. A

=A



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Observacin 1.5. Es muy importante notar que el producto matricial no es conmutativo incluso uno de los productospuede no estar definido. Si consideramos A23 yB34 entonces A B esta definida y tiene orden 2 4,notar queBA no esta definido.

Ejemplo 1.7. 1 12 1

1 10 1

=

1 22 1

1 10 1

1 12 1

=

1 22 1

se sigue 1 12 1

1 10 1

=

1 10 1

1 12 1

Observacin 1.6. En matrices la ecuacin AX = B con A= [0] yB matrices dadas no siempre tiene solucin, considere1 10 0

X =

1 11 1

Si X tiene orden nm para que este bien definido el producto se ha de tener n= 2 el resultado seria de orden 2m perosabemos que es de orden 22 luego m = 2. Pongamos entonces

X =

a b

c d

entonces 1 10 0

a b

c d

=

a+ c b+ d

0 0

=

1 11 1

de inmediato esto no puede ser pues 0 = 1.

Observacin 1.7. En matrices no es verdad que A B = [0] implique A= [0] B= [0] en efecto

0 10 0

0 10 0

=

0 00 0

CLASE 2

2.1 Matriz transpuesta

Definicin2.1. SeaA(nm,),A=

ai j

con= . Lamatriz transpuesta deAes la matrizAT (mn,)obtenida intercambiando las filas y columnas de la matriz A. Es decir, la i-sima fila de Apasa a ser la i-sima columna deAT.

Esto significa:

A=

a11 a12 a13 a1ma21 a22 a23 a2m

......

......

...an1 an2 an3 anm

nm

AT =

a11 a21 an1a12 a22 an2a13 a23 an3

......

......

a1m a2m anm

mn



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Ejemplo 2.1. Si

A=

1 2 05 7 4

entonces

AT =1 2 05 7 4

T= 1 52 7

0 4

Observacin 2.1. De la definicin de transpuesta podemos concluir: Si A =

ai j

con i = 1,2,..., n y j = 1,2,..., m

entonces AT =

aTi j

con i = 1,2,..., m yj = 1,2,..., n donde

aTi j = aj i

para todo i = 1,2,..., m yj = 1,2,..., n.

Proposicin 2.1. Sea ,n,A y B matrices con rdenes apropiados para que las operaciones estn bien definidas, setiene:

1.ATT

=A

2. (A+ B)T =AT + BT

3. (A)T =AT

4. (A B)T = BTAT

5. (An)T =ATn

Observacin 2.2. Se sugiere intentar verificar algunas de las propiedades anteriores.

Definicin 2.2. Sea Auna matriz cuadrada:

Ase dice simtrica si AT =A

Ase dice antisimtrica si AT =A

Ejemplo 2.2. La matriz

A=

1 0 30 2 1

3 1 0

es simtrica y

B =

0 3 13 0 2

1 2 0

es antisimtrica.

Observacin 2.3. Por un asunto de orden de las matrices involucradas en las de nociones anteriores, vemos que tienensentido, slo si Aes cuadrada, y por ende, tambin AT es cuadrada.



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Proposicin 2.2. Sean A y B matrices simtricas del mismo orden:

1. A+ B es simtrica

2. Si entoncesA es simtrica

Proposicin 2.3. Si A es una matriz cuadrada entonces:

1. A+AT es simtrica

2. AATy ATA son matrices simtricas

3. AAT es antisimtrica

Observacin 2.4. De las proposiciones anteriores podemos mostrar que una toda matriz cuadrada se puede descom-poner en una parte simtrica y otra antisimtrica en la forma

A=A+AT

2

+AAT

2

adems esta descomposicin es nica.

Proposicin 2.4. Si A es una matriz antisimtrica su diagonal principal tiene solamente ceros. En efecto, de AT +A = 0 sesigue

ai i + ai i = 0 ai i = 0 para cada i

2.1.1 Ejercicios de operatoria bsica

1. Considere la matriz B=

1 1 10 1 1

0 0 1

calcular B, B2, B4.

2. Sean A=

1 1 20 3 4

, B =

4 0 31 1 3

, C =

2 3 0 15 1 4 2

1 0 0 3

yD=

21

3

CalcularA+ B, 3A4B,AC, B D,AT,CTBT

3. Sean A=

1 2 01 1 0

1 4 0

, B =

1 2 31 1 1

2 2 2

yC =

1 2 31 1 1

1 1 1

verifique que A B =AC Qu concecuencia obtiene de esto?

4. Determine x tal que

x 4 1

2 1 01 0 20 2 4

x4

1

= 0

5. Qu condiciones deben verificar a,b,c yd para que las matrices

a b

c d

,

1 11 1

conmuten respecto al

producto?



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6. Determine 2A2 +A B si A= (i)33 yB=j

33.

7. Hallar una matriz A de orden 22 tal que A2 =I

8. Hallar una matriz A de orden 22,A= 0 tal que A2 = 0

9. Hallar una matriz A no nula, tal que A2 = 0 yA3 = 0

10. Probar que t r(A B) = t r(B A)

11. Sean AyB matrices simtricas. Determine si las siguientes son o no simtricas

(a) A2 + B2

(b) A2 B2

(c) A B A

(d) A B A B

12. Sea

S=

0 1 0 0 0

0 0 1 0 00 0 0 1 0...

......

......

...0 0 0 0 10 0 0 0 0

nn

(a) Determinar Sn para n

(b) Si A es una matriz de orden nn encontrar una regla para calcular SA yAS.



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Semana 2: Lunes 14 viernes 18 de Marzo

COMPLEMENTO

Clase 1: Matrices y operaciones elementales. Rango.

Clase 2: Notacin matricial de sistemas de ecuaciones lineales. Resolucin de sistemas de

ecuaciones lineales por eliminacin Gaussiana.

Contenidos

CLASE 1

1.1 Operaciones elementales y Matrices elementales

Definicin 1.1. En una matriz podemos realizar tres tipos de operaciones elementales por fila:

(1) Intercambiar (permutar) dos de sus filas.

(2) Multiplicar una fila (es decir cada coeficiente de la correspondiente fila) por una constante distinta de cero.

(3) Sumar el mltiplo de una fila a otra fila

Ejemplo 1.1. Ejemplos de operaciones elementales:

Intercambio entre dos filas: las filas 1 y 3

2 0 1

5 4 37 6 9

7 6 9

5 4 32 0 1

Multiplicacin de una fila por un escalar: la fila 2, se multiplica por 3

4 0 1

5 4 3

2 8 9

4 0 1

15 12 9

2 8 9


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Adicin del mltiplo de una fila a otra fila: Multiplicamos la fila 2 por 2 y se la sumamos a la fila 3

1 0 1

1 0 2

3 8 9

1 0 1

1 0 2

5 8 5

1.2 Matrices elementales

Definicin 1.2. Una matriz elemental es una matriz que resulta al efectuar una operacin elemental sobre la matriz

identidad In

Dado que existen tres tipos de operaciones elementales, existirn entonces tres tipos de matrices elementales; usare-

mos la notacin siguiente:

Ei j Es la matriz elemental obtenida intercambiando (en la matriz identidad) la fila i con la fila j

Ei() Es la matriz obtenida multiplicando (en la matriz identidad) la fila i por = 0

Ei j() Es la matriz obtenida sumndole a la fila i, la fila j multiplicada por

Ejemplo 1.2. Para la matriz I4:

1. E24 =

1 0 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 0

2. E3(2) =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 2 0

0 0 0 1

3. E31

(4) =

1 0 0 0

0 1 0 0

4 0 1 0

0 0 0 1

Considere ahora la matriz

A=

1 2 1 0

2 5 6 4

3 1 0 5

0 2 3 4

Note que si multiplicamos esta matriz por la matriz elemental E24 por la izquierda, esto es, efectuamos el producto

E24A, obtenemos la matriz

E24

A=

1 0 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 0

1 2 1 0

2 5 6 4

3 1 0 5

0 2 3 4

=

1 2 1 0

0 2 3 4

3 1 0 5

2 5 6 4

que es lo mismo que haber efectuado sobre la matriz A la operacin elemental, intercambiar la fila 2 con la fila 4.



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Si efectuamos el producto E3(2)A, obtenemos

E3(2)A=

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 2 0

0 0 0 1

1 2 1 0

2 5 6 4

3 1 0 5

0 2 3 4

=

1 2 1 0

2 5 6 4

6 2 0 10

0 2 3 4

que es lo mismo que se obtiene al realizar sobre la matriz A la operacin elemental, la fila 3 la multiplicamos por -2.

Si efectuamos el producto E31

(4)A, obtenemos el mismo resultado de la operacin elemental sobre A, la fila 1 la

multiplicamos por -4 y se la sumamos a la fila 3.

E31

(4)A=

1 0 0 0

0 1 0 0

4 0 1 0

0 0 0 1

1 2 1 0

2 5 6 4

3 1 0 5

0 2 3 4

=

1 2 1 0

2 5 6 4

7 9 4 5

0 2 3 4

Se tiene al respecto el siguiente teorema.

Teorema 1.1. Sea E la matriz elemental obtenida al efectuar una operacin elemental por fila sobre la matriz In. Si la

misma operacin elemental se realiza sobre una matriz A de orden nm, el resultado es el mismo que el del producto E A.

Definicin 1.3. Diremos que las matrices A yB son equivalentes por filas si existe una sucesin de operaciones elemen-

tales por filas que convierte la matriz Aen la matriz B. En tal caso pondremos A B

Como hemos visto, realizar una operacin elemental sobre una matrizes equivalente a multiplicar por la izquierda esa

matriz por una matriz elemental; para efectos de nuestros clculos haremos directamente la operacin elemental sobre

la correspondiente matriz, y la anotamos de la manera que muestra el ejemplo siguiente:

Ejemplo 1.3.

1 0 1

2 4 0

3 4 6

E

21(2)

1 0 1

0 4 2

3 4 6

E

31(3)

1 0 1

0 4 2

0 4 9

E

32(1)

1 0 1

0 4 2

0 0 7

En este caso las matrices

1 0 1

2 4 0

3 4 6

y

1 0 1

0 4 2

0 0 7

son equivalentes (por fila).

Observacin 1.1. Un desarrollo anlogo permite definir operaciones elementales columna.

Definicin 1.4. Una matriz se encuentra en forma escalonada por filas si satisface las siguientes propiedades:

Cualquier fila que se componga enteramente de ceros se ubica en la parte inferior de la matriz.

En cada fila i distinta de cero, la primera entrada o coeficiente no nulo (contado desde la izquierda), denominadopivote, se localiza en una columna j i.

Si adems se cumple las siguinetes propiedades:

sus pivotes son todos iguales a 1; y

en cada fila el pivote es el nico elemento no nulo de su columna,

entonces decimos que la matriz se encuentra en forma escalonada reducida.



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Ejemplo 1.4. Son matrices escalonadas

A=

1 2 4 5 2 9

0 0 2 6 0 1

0 0 0 3 4 1

0 0 0 0 1 1

yB=

1 2 0 0

0 0 2 0

0 0 0 0

0 0 0 0

pero la matriz

C =

1 2 0 1 1 3

0 1 4 5 7 0

2 0 0 1 1 1

0 0 0 0 0 1

no es escalonada.

Ejemplo 1.5. Las siguientes matrices estn en forma escalonada reducida:

A=

1 2 0 0 0 583

0 0 1 0 0 92

0 0 0 1 0 530 0 0 0 1 1

, B=

1 0 0 12

12

0

0 1 0 14

34

0

0 0 1 1916 3116 00 0 0 0 0 1

Definicin 1.5. Un algoritmo es una secuencia finita de operaciones realizables, no ambiguas, cuya ejecucin da una

solucin de un problema en un tiempo finito.

El algoritmo de reduccin de Gauss escalona una matriz por las por medio de operaciones elementales fila. Aqu esta

la descripcin del algoritmo de reduccin de Gauss:

Sea A=

ai j

mnuna matriz dada.

Para cada k(ndice defila)tomandolos valores 1,2,. .. , m1, denotamospor Mk a submatriz Mk delas filas k, (k+ 1) , , m

1. Si la submatriz Mk solo tiene coeficientes nulos no hacer nada.

2. Si la submatriz Mk tiene al menos un coeficiente no nulo, buscar el ndice j0 ms pequeo tal que la columna j0tenga por lo menos un coeficiente distinto de cero en Mk. Hallar el i0 ms pequeo tal que ai0j0 = 0 e i0 k. Si

i0 > k operar en la matriz permutando filas k e i0 de la matriz A.

3. Para i de k+ 1 a m, si ai j0 = 0 cambiar la fila i por la fila i menosai j0ak j0

la fila k en A.

Ejemplo 1.6. Consideremos la matriz

2 0 3

1 3 6

0 6 15

encontrar su forma escalonada:

2 0 3

1 3 6

0 6 15

E12

1 3 6

2 0 3

0 6 15

E21(2)

1 3 6

0 6 15

0 6 15

E32(1)

1 3 6

0 6 15

0 0 0

esta es su forma escalonada.



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Observacin 1.2. Verificar que mediante ejemplos el algoritmo de Gauss-Jordan se puede llevar a la forma escalonada

reducida.

Definicin 1.6. Sea A una matriz. Se denomina rango de la matriz A al nmero de filas no nulas de la matriz escalonada

equivalente a la matriz A original obtenida por ejemplo mediante el algoritmo de reduccin de Gauss. Se denota el rangode la matriz A por (A) o bin rango (A).

Ejemplo 1.7. Determinar el rango de la matriz

A=

1 2 3

4 1 0

2 1 1

0 0 0

3 1 2

Proposicin 1.1. Si A

Mnm entonces(A

)min

{n, m

}.

CLASE 2

2.1 Sistemas de ecuaciones lineales

Consideremos el sistema de m ecuaciones yn incgnitas

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2

......

...

am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm

Usando matrices, el sistema se escribe como la ecuacin matricial AX = B, donde

A=

a11 a12 a1na21 a22 a2n

......

......

am1 am2 amn

mn

, X =

x1x2...

xn

n1

, B =

b1b2

...

bm

m1

Definicin 2.1. Considere un sistema AX = B con Amn (), Bm1 (). Diremos que X0 n1 () es solucin

del sistema si

AX0 = B

Definicin 2.2. Un sistema se llama compatible si tiene al menos una solucin. Si el sistema no tiene solucin, diremos

que es incompatible.

Definicin 2.3. Sea AMmn(). El sistema AX = 0 se llama homogneo.

Ejercicio 2.1. Si un sistema de ecuaciones tiene dos soluciones distintas entonces tiene infinitas soluciones distintas



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2.1.1 Propiedades de los sistemas homogneos

1. Un sistema homogneo es siempre compatible, porque X = 0 es solucin.

2. Si CMmn() es tal que CA, entonces AX = 0 yC X = 0 tienen las mismas soluciones.

para ver esto, note lo siguiente sobre las matrices elementales, Ei jEi j = I, Ei () Ei1

= I adems Ei j () Ei j () =

I. De esta forma Si E es una matriz formada por un producto de matrices elemetales entonces existe una matriz

E1 (llamada matriz inversa de E) tal que

E1E = I

Como AC existe una sucesin de matrices elementales E1, E2, . . . , Ek tales que

E1 E2 EkA= C.

Pongamos E = E1E2 Ek.

Si X0 es tal que AX0 = 0, entonces se sigue C X0 = E AX0 = E0 = 0.

Recprocamente si C X1 = 0, entonces AX1 = E1C X1 = 0.

Todo lo anterior nos asegura que los dos sistemas homogneos AX = 0 yC X = 0 tienen las mismas soluciones.

2.1.2 Sistemas no homogneos

Con el mismo mtodo de la seccin anterior es posible mostrar que si (A) = E A es la matriz escalonada equivalente por

filas con Aentonces

AX = B

y

(A) X = E B

tienen las mismas soluciones. El segundo sistema es mucho ms fcil de resolver.

Ejemplo 2.1. Resolver

1 2 0

0 1 20 0 2

x

yz

=1

23

note que este sistema es

x+ 2y = 1

y + 2z = 2

2z = 3

de la ltima ecuacin obtenemos z = 32

reemplazamos este valor en la segunda ecuacin y despejamos para obtenery = 1

teneiendo estos dos valores reemplazamos en la primera ecuacin y obtenemos el valor x =1.

Vemos que un mtodo para resolver sistemas seria obtener el sistema escalonado equivalente.

Definicin 2.4. Sea A Mmn() y B Mm1(). Consideremos el sistema AX = B con B = 0. Llamaremos matriz

ampliada del sistema a la matriz

(A, B) =

a11 a12 a1n b1a21 a22 a2n b2

......

......

...

am1 am2 am n bm



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Mtodo de solucin mediante el algoritmo de Gauss: Como sabemos,AX = B y(A) X = E B, donde (A) = E A, tienen

las mismas soluciones, note que la matrices (A) yE B aparcen al aplicar las operaciones elementales que escalonan la

matriz A entonces, si aplicamos el mtodo de Gauss para obtener la escalonada de matriz ampliada del sistema (A, B)

estaremos obteniendo la matriz ((A) , E B).

Ejemplo 2.2. Resolver el sistema

1 2 1

3 0 1

1 1 2

x

y

z

=

1

2

0

Formamos la matriz ampliada del sistema

(A, B) =

1 2 1 1

3 0 1 2

1 1 2 0

aplicamos el algoritmo de Gauss para obtener la escalonada

1 2 1 1

3 0 1 21 1 2 0

1 2 1 1

0 6 2 10 0 2 1

2

y ahora resolvemos el sistema

1 2 1

0 6 2

0 0 2

x

y

z

=

1

1

12

que tiene las mismas soluciones.

Teorema 2.1. Sea AMmn() y BMm1():

1. El sistema AX= B es compatible si y solo si(A) =(A, B)

2. Sea AX = B un sistema compatible.

(a) Si(A) =(A, B) = n (nmero de incgnitas) entonces el sistema tiene solucin nica.

(b) Si(A) =(A, B)


16/119



2.

2xy + 3z = 4

3x+ 2y z = 3

x+ 3y4z = 1

x = 117 5

7z, y = 11

7z 6

7(infinitas soluciones)

3.

x+y + zw = 2

2x+y + w = 5

3x+ z+ w = 1

3x+ 2y + z = 3

(No hay solucin)



17/119


Semana 3: Lunes 28 de marzo Viernes 01 de abril

COMPLEMENTO

Clase 1: Inversa. Clculo de inversa por operaciones elementales.

Clase 2: Determinantes, propiedades. Inversa por menores. Regla de Cramer.

Contenidos

CLASE 1

MATRI Z INVERSA Y OPERACIONES ELEMENTALES

Definicin 1.1. Sea Auna matriz cuadrada de orden n. Se dice que Aes invertible si existe una matriz cuadrada de orden

n, que denotaremos por A1 tal que AA1 =A1A= In

Observacin 1.1. Si una matriz es invertible, tambin se suele decir que es no singular.

Observacin 1.2. Si la inversa existe es nica. Tarea: Verificar esta observacin.

Observacin 1.3. No todas las matrices son invertibles. Por ejemplo, si consideramos las matrices

A=

1 3

1 1

B=

2 2

1 1

entonces Aes invertible yB no lo es. (Verificar directamente suponiendo la existencia y resolviendo ecuaciones)

Proposicin 1.1. Sean A, B matrices cuadradas del mismo tamao e invertibles, entonces:


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1. (A B)1 = B1A1

2.A1

1=A

3.AT1

=A1

T4. (A)1 = 1

A1, para todo= 0

5. (An)1 =A1

npara todo entero no negativo n.

No disponemos aun de un criterio para decidir si una matriz es o no invertible. El siguiente teorema nos provee un

mtodo para calcular la matriz inversa (en caso de existir) de una matriz cualquiera.

Teorema 1.1. Sea A una matriz cuadrada de orden n invertible. Si una sucesin de operaciones elementales por filas

transforma la matriz A en la matriz identidad In, entonces la misma sucesin de operaciones elementales convierte la

matriz In en A1.

Demostracin. En efecto, si A es equivalente por filas a la matriz In, entonces existe una sucesin de operaciones ele-mentales que convierte a la matriz A en la matriz In; esto quiere decir que existe una sucesin de matrices elementales

E1, E2, . . . , Ek tales que Ek Ek1 E2 E1 A= In. Si anotamos B = Ek Ek1 E2 E1 , entonces B A= In, es decir B=A1.

Mtodo de Gauss-Jordan para calcular la inversa de una matriz

SeaAuna matriz cuadrada de orden ne invertible. Si queremos calcular su inversa, entonces (gracias al Teorema anterior)

podemos proceder como sigue.

Construmos una nueva matriz, denominadamatriz aumentada, de la forma (A, In). Sobreesta matriz aumentada (que

tiene orden n2n), realizamos operaciones elementales hasta obtener en el lado izquierdo de esta matriz aumentada (es

decir en el lado donde esta la matriz A), la matriz identidad; al conclur este proceso en el lado derecho de la matriz

aumentada (es decir en el lado donde originalmente se encontraba la matriz identidad), aparece la inversa que estamos

buscando.

Ejemplo 1.1. Calcule la inversa, en caso de existir, de la matriz A=

2 1 11 2 0

0 1 2

Desarrollo: Formamos la matriz aumentada 2 1 1 1 0 01 2 0 0 1 0

0 1 2 0 0 1

y calculamos mediante operaciones elementales:

2 1 1 1 0 01 2 0 0 1 00 1 2 0 0 1

E12 1 2 0 0 1 0

2 1 1 1 0 00 1 2 0 0 1

E21(2) 1 2 0 0 1 0

0 3 1 1 2 00 1 2 0 0 1

E32

1 2 0 0 1 00 1 2 0 0 1

0 3 1 1 2 0

E32(3)

1 2 0 0 1 00 1 2 0 0 1

0 0 5 1 2 3

E3( 15 )

1 2 0 0 1 0

0 1 2 0 0 1

0 0 1 15

25

35

E23(2)

1 2 0 0 1 0

0 1 0 25

45

15

0 0 1 15

2

5

3

5

E12(2)

1 0 0 45

3

5

2

5

0 1 0 25

45

15

0 0 1 15

25

35



19/119



se sigue que

A1 =

45

35

25

25

45

15

15

25

35

Se puede verificar fcilmente que AA1 =A1A= I3.

Teorema 1.2. Una matriz cuadrada de orden n es invertible si, y solo si, su rango es n, es decir, (A) = n.

Ejercicio 1.1. Suponga que A3 = [0] Muestre que IA es invertible.

CLASE 2

DETERMINANTES

Sea A una matriz cuadrada de tamao n. El determinante de A (se usa la notacin det(A) = |A|) es un cierto nmero

complejo asociado a A el cual podemos definir de manera inductiva como sigue.

Para n = 1, det(a) = a

Para n = 2, det

a b

c d

= a db c

Si n 3, entonces necesitamos las siguientes definiciones.

Definicin 2.1. La menor de orden i j de A, denotada por Mi j, es el determinante de orden n1 obtenido eliminando la

i-sima fila y la j-sima columna de la matriz A.

Definicin 2.2. Se llama cofactor de orden i j de A, denotado por Ci j, al nmero Ci j = (1)i+jMi j

Ejemplo 2.1. Consideremos la matriz A=

2 4 10 3 25 1 6

. Eliminemos la primera fila y la tercera columna de A

A=

2 4 10 3 2

5 1 6

obteniendo el menor M13 =

0 35 1= 15

Si eliminamos la segunda fila y la primera columna

A=

2 4 10 3 2

5 1 6

obtenemos el menor M21 =

4 11 6= 25

Calculemos los cofactores

C13 = (1)1+3M13 = 15, C21 = (1)

2+1M21 =25



20/119



Definicin 2.3. El determinante de A= (ai j)nn es el nmero dado por

det(A) =

ni=1

(1)i+jai jMi j =

ni=1

ai jCi j, para 1jn (con j fijo)

nj=1

(1)i+j

ai jMi j =

nj=1

ai jCi j, para 1 i n (con i fijo)

Ejemplo 2.2. Calculemos el determinante de la matriz A=

2 4 10 3 25 1 6

Fijemos una fila i = 1, entonces

det(A) =

3j=1

(1)i+ja1jM1j = a11M11 a12M12 + a13M13

det(A) = 2 3 21 6 4 0 25 6 1 0 35 1 =23

Si fijamos una columna, por ejemplo j = 1, se tiene

det(A) =

3i=1

(1)i+jai1Mi1 = a11M11 a21M21 + a31M31

det(A) = 2

3 21 60

4 11 65

4 13 2=23

2.1 Propiedades de los determinantes

Proposicin 2.1. Sean A y B matrices cuadradas del mismo tamao n. Entonces las siguieetes propiedades valen.

1. det(A) = det(AT)

2. Si todos los elementos de una fila o columna de una matriz son cero, entonces el valor del determinante es cero.

3. det(In) = 1

4. El determinante de una matriz diagonal o triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal.

5. Si , entoncesdet(A) = n det(A)

6. det(A B) = det(A) det(B)

7. Si A tiene dos filas( o columnas) iguales o proporcionales, entoncesdet(A) = 0.

8. Si se intercambian dos filas (o columnas) en una matriz su determinante cambia de signo.

9. Si B se obtiene a partir de A multiplicando una fila (o columna) de A por un nmero, entoncesdet(B) = det(A).

10. Si B se obtiene a partir de A, sumando a una fila (o columna) otra fila (o columna) amplificada por un factor,

entoncesdet(B) = det(A).



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Ejemplo 2.3. SeaA=

1 2

3 4

, entonces el det(A) =2. Sila primera fila deAse multiplica por 3, obtenemos B=

3 6

3 4

y det(B) =6 = 3det(A). Si la primera fila de A la multiplicamos por -3 y se la sumamos a la segunda fila de A, obtenemos

la matriz B =

1 2

0 2

y det(B) =2 = det(A).

Ejemplo 2.4. Calculemos el siguiente determinante usando la propiedad 101 3 4

2 5 1

3 1 0

=

1 3 4

0 1 7

0 10 12

= 1 M11 = 1 710 12

=58

Definicin 2.4. La adjunta de una matriz A, denotada por adj(A), es definida por

adj(A) = CT

donde C = (Ci j) es la matriz de cofactores. Es decir, la matriz adjunta es la traspuesta de la matriz de los cofactores.

Ejemplo 2.5. Sea A=

a b

c d

. La matriz de cofactores es C =

d c

b a

. Por lo tanto,

adj(A) =

d b

c a

Consideremos la matriz A=

2 3 14 0 5

2 1 1

, la matriz de cofactores es C =

5 14 42 4 8

15 6 12

. Por lo tanto,

adj(A) =

5 2 15

14 4 6

4 8 12

Teorema 2.1.

Aadj(A) = det(A) In

adj(A) A= det(A) In

Note que, s det(A)= 0, entonces A es invertible y adems

A1 =1

det(A)adj(A)

Notemos que si A es no singular, entonces

1 = det(In) = det(AA1) = det(A) det(A1) = det(A)= 0

con lo que concluimos que

det(A1) =1

det(A)



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Teorema 2.2. Si A es una matriz cuadrada, entonces A es no singular s y solo sdet(A)= 0

Ejercicio 2.1. Calcular el determinante

a a a a

a b b b

a b c c

a b c d

Desarrollo:

a a a a

a b b b

a b c c

a b c d

=

a a a a

0 ba ba ba

0 ba ca ca

0 ba ca da

= a(ba)

1 ba ba

1 ca ca

1 ca da

= a(ba)

1 ba ba

0 cb cb

0 cb db

= a(ba) (cb) 1 cb1 db

= a(ba) (cb) (db (cb)) = a(ba) (cb) (d c)

Ejercicio 2.2. Resolver la ecuacin xab a b

c xb c b

c a xa c

= 0xab a b

c xb c b

c a xa c

=

xab a+ b b

c x c b

c x c xa c

=

x a+ b b

x x c b

x x c xa c

= x

1 a+ b b

1 x c b

1 x c xa c

= x

1 a+ b b

0 x cab 0

0 x cab xa cb

= x

x cab 0

x cab xa cb

= x(x (a+ b+ c))2

las soluciones son x = 0 yx = a+ b+ c.

Ejercicio 2.3. Muestre que y1 + z1 z1 + x1 x1 +y1y2 + z2 z2 + x2 x2 +y2y3 + z3 z3 + x3 x3 +y3

= 2

x1 y1 z1x2 y2 z2x3 y3 z3

Desarrollo:

y1 + z1 z1 + x1 x1 +y1y2 + z2 z2 + x2 x2 +y2y3 + z3 z3 + x3 x3 +y3

=

y1 x1 z1 + x1 x1 +y1y2 x2 z2 + x2 x2 +y2y3 x2 z3 + x3 x3 +y3

=

2y1 z1 + x1 x1 +y12y2 z2 + x2 x2 +y22y3 z3 + x3 x3 +y3

=

2

y1 z1 + x1 x1 +y1y2 z2 + x2 x2 +y2y3 z3 + x3 x3 +y3

= 2

y1 z1 + x1 x1y2 z2 + x2 x2y3 z3 + x3 x3

= 2

y1 z1 x1y2 z2 x2y3 z3 x3

=2

x1 z1 y1x2 z2 y2x3 z3 y3

= 2

x1 y1 z1x2 y2 z2x3 y3 z3



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2.2 Regla de Cramer

La regla de Cramer es un mtodo para resolver sistemas lineales de ecuaciones. Este mtodo radica en poder expresar las

soluciones en trminos de determinantes, lo que bajo condiciones de simetra adecuadas permite concluir propiedades

de las soluciones.

Desafortunadamente, si bien este mtodo es til tericamente hablando, su implementacin computacionnal para

resolver sistemas especficos es muy malo (ver al final de estas notas una comparacin entre los mtodos de Gauss y

Cramer)

Sea

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2

......

an1x1 + an2x2 + . . . + annxn = bn

un sistema lineal con n ecuaciones yn incgnitas.

Resolver este sistema es equivalente a resolver la ecuacin matricial AX = B, donde

A=

a11 a12 a1n

a21 a22 a2n......

......

an1 an2 ann

, X =

x1

x2...

xn

, B=

b1

b2...

bn

Si det(A)= 0, entonces el sistema tiene una nica solucin dada por:

x1 =|A1|

|A|, x2 =

|A2|

|A|, x3 =

|A3|

|A|, . . . , xn =

|An|

|A|

donde Ai es la matriz obtenida a partir de Aal reemplazar su i-sima columna por la matriz B.

La demostracin se basa en escribir

X =A1 B =1

det(A)adj(A)B

e identificar los elementos de adj(A)B como los determinantes sealados.

Ejemplo 2.6. Resolvamos el sistema 2 3 11 2 12 1 1

x1x2

x3

=

143

Como det(A) =2, obtenemos

x1 =

1 3 1

4 2 1

3 1 1

|A|

=4

2= 2

x2 =

2 1 1

1 4 1

2 3 1

|A|=6

2= 3

x3 =

2 3 1

1 2 4

2 1 3

|A|

=8

2= 4



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2.2.1 Una observacin para solucin de sistemas

Los sistemas que aparecen en muchas aplicaciones son de gran tamao. Un sistema de 10001000 hoy se considera

de tamao moderado y en algunas aplicaciones deben resolverse sistemas de ecuaciones con cientos de miles de

incgnitas.

El tiempo de clculo del computador necesario para resolver el sistema debe ser lo menor posible. Una medidastandard del costo operacional es la cantidad de operaciones aritmticas (+,, ,/) que requiere un mtodo. Este

usualmente se expresa en flop (floating point operations) por segundos.

Hay mtodos que en teora permiten resolver cualquier sistema de ecuaciones lineales, pero que en la prctica

requieren tiempos de clculo prohibitivos. Por lo tanto slo sirven para sistemas de orden pequeo.

Mal ejemplo: Regla de Cramer. Permite calcular explcitamente la solucin de un sistema Ax = b mediante:

xi =det (Ai)

det (A)para i = 1,2, , n

donde Ai se obtiene a partir de A reemplazando en sta su columna i-sima por el segundo miembro (o lado dere-

cho) del sistema, b. Si los determinantes se calculan mediante la frmula recursiva usual de desarrollo por fila (o

por columna), el costo operacional de la Regla de Cramer es de aproximadamente (n+ 1)! flop.

Buen ejemplo: Mtodo de Eliminacin Gaussiana. Este procedimiento se basa en el mtodo algebraico de trans-

formaciones elementales. Su costo operacional es de aproximadamente 23

n3 flop.

Comparacin: Una calculadora opera en un rango entre 10 y 100 flop. Un ejemplo comparativo en un computador

de 1 Gflop (109 flop) por segundo (que corresponde a un Pentium 4 o Athlon 64) sera:

n 10 15 20 100 1000 2000

Regla de Cramer

flop 4107 21013 51019 10160

tiempo 0.04 s 5.5 horas 1500 aos

Eliminacin Gaussiana

flop 666 2250 5333 7105 7108 5109

tiempo 0.s 0.s 0.s 0.s 0.73s 4.88s



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Semana 4: Lunes 04 viernes 08 de abril

COMPLEMENTO

Clase 1: Vectores en el plano y espacio, definiciones, operaciones bsicas, producto punto.

Clase 2: Proyecciones, producto cruz.

Contenidos

CLASE 1

1.1 Vectores

A partir de la representacin de, como una recta numrica, los elementos (a,b)2 se asocian con puntos de un plano

definido por dos rectas perpendiculares que al mismo tiempo definen un sistema de coordenadas rectangulares donde

la interseccn representa a (0, 0) y cada (a,b) se asocia con un punto de coordenada a en la recta horizontal (eje X) y la

coordenada b en la recta vertical (eje Y).

Analgamente, los elementos (a,b, c)3 se asocian con puntos en el espacio tridimensional definido con tres rectas

mutuamente perpendiculares. Estas rectas forman los ejes del sistema de coordenadas rectangulares (ejes X, Y y Z).

Representaciones similares se puede hacer para los elementos de n para todo entero positivo n.

El orgen de n es el elemento (0, n. . . ,0).

Los vectores en n se pueden representar mediante segmentos de recta dirigidos, o flechas, que salen desde el orgen

y que llegan a un punto de n. De esta manera, cada punto de n determina un vector en ny viceversa cada vector en

n determina un punto en n. La direccin de la flecha indica la direccin del vector y la longitud de la flecha determina

su magnitud.


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Denotaremos los vectores con letras minsculas con un flecha arriba tales comov ,w ,z . Los puntos se denotarn

con letras maysculas tales como A, B,C. En el contexto de los vectores, los nmeros reales sern llamados escalares y se

denotarn con letras minsculas tales como , ,.

El vector determinado por el orgen (0, n. . . ,0) es el vector nulo que denotamos por0 .

Un vector en el n es una enetupla (x1, x2, . . . ,xn) con cada xi . Axi se le llama componente i-sima del vector.

En3 utilizaremos la notacin especiali = (1,0,0),

j = (0,1,0) y

k = (0,0,1) y les llamaremos vectores cannicos.

En las tpicas aplicaciones uno en general considera vectores en el plano n o en el espacio 3, pero en mucho prob-

lemas uno debe usar vectores en mayores dimensiones.

1.1.1 Operaciones bsicas de vectores

Definicin 1.1 (Igualdad de vectores). Dos vectores son iguales si tienen, en el mismo orden, los mismos componentes.

Es decir, si v = (v1, v2, . . . ,vn) yw = (w1, w2, . . . ,wn) entoncesv =w si y solo si i = 1,.. .n vi = wi.

Definicin 1.2 (Suma de vectores). Sean v = (v1, v2, . . . ,vn) yw = (w1, w2, . . . ,wn) vectores en n. Se define la suma de

vectores comov +

w = (v1 + w1, v2 + w2, . . . ,vn + wn)

Definicin 1.3 (Producto por escalar). Si v = (v1, v2, . . . ,vn) n y k entonces se define el producto escalar (oamplificacin) como

kv = (k v1, k v2, . . . ,k vn)

Observacin 1.1. Siv = (v1, v2, v3)3 entonces

v = v1

i + v2

j + v3

k

Ejercicio 1.1. Buscar una interpretacin geomtrica de suma, resta de vectores y multiplicacin por escalar en el plano.

Proposicin 1.1. Seanv ,w ,u n vectores y, entonces:

1.

v+

0=

v 4. 1

v=

v 7.

v+

w=

v+

w2.

v +

v

=0 5.

v +

w =

w +

v 8.

+

v =

v +

v

3. 0v =

0 6.

v +

w

+u =

v +

w +

u

9. v

=

v



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1.1.2 Producto punto y norma

El producto punto (o escalar) es una operacin entre vectores que devuelve un escalar. Esta operacin es introducida para

expresar algebraicamente la idea geomtrica de magnitud.

Definicin 1.4 (Producto punto). Sean v = (v1, v2, . . . ,vn) yw = (w1, w2, . . . ,wn) vectores en n. El producto punto (oescalar)

v

w o en otra notacin

v ,w

se define como

v

w

v ,w

ni=1

viwi

Teorema 1.1. Considere vectoresv ,w ,u n vectores y entonces:

1.v

v 0

2.v

v = 0 s y slo si

v =

0 .

3. v w =w v

4.v

w +

u

=v

w +

v

u

5.vw =

v

w

=v

w

Observacin 1.2. No tiene sentido preguntarse por asociatividad ni neutro. Por qu?

1.1.3 Norma

Definicin 1.5. Consideremos el vector v = (v1, v2, . . . ,vn)n. La norma o magnitud de v denotada porv es dada

por v =v v =

ni=1

v2i

1/2

La distancia entre dos vectores es definida por d

v ,w

=v w.

Observacin 1.3. La norma mide la distancia del punto al origen. Note que al considerar la interpretacin geomtrica dela resta de vectores, la expresin para distancia entre dos puntos es de forma natural la magnitud del vector resta.

Proposicin 1.2. Consideremos los vectoresv ,w ny entonces:

1.v 0

2.v = 0v =0 .

3.v = ||v

4.v w= w v es decir dv ,w= dw ,v .



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5.v +w v +w (Desigualdad triangular)

6.v w v w (Desigualdad de Cauchy-Schwartz)

De las propiedad 1. arriba obtenemos que dv ,w 0.De la propiedad 2. obtenemos que d

v ,w

= 0v =w .

Definicin 1.6. Un vector se dice unitario si su norma es 1.

Ejemplo 1.1. 1. Si v =0 entonces

w =

v /

v es unitario.2. Si , entonces

v = (cos,sen) es unitario.

1.1.4 ngulo entre vectores

Considerev y

w vectores en 2 que no sean paralelos (es decir, que ninguno de ellos es una amplificacin del otro).

En particular, estamos asumiendo que ninguno de ellos es el vector nulo. Entonces,

v ,

w determinan un tringulo conlados de magnitudesv ,wyv w respectivamente.

Por el teorema del coseno para tringulos se sigue quev w2 = v 2 +w2 2v wcosPor otro lado v w2 = v w v w

=v 2 +w2 2v w

De las dos igualdades anteriores se obtiene

v

w =

v

wcos

En el caso general, siv y

w vectores en n, ambos no nulos, entonces la desigualdad de Cauchy-Schwarz (C-S) nos

dice que:

1

v

wv w 1

Luego, existe un nico [0,] tal que

cos=v

wv w

Definicin 1.7. Siv yw son vectores en n no nulos, entonces el ngulo entrev yw es el nico [0,] tal que

v

w =

v

wcos

denotaremos tal ngulo por (v ,w).

Definicin 1.8. Sean v yw son vectores enn no nulos. Diremos que:

1.v y

w son perpendiculares si(

v ,w) =

2, esto es equivalente a

v

w = 0

2.v y

w son paralelos si(

v ,w) = 0 (

v ,w) =, esto es equivalente a

v =

w para lgn .



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CLASE 2

2.1 Proyecciones

Geomtricamente lo que queremos es determinar un vector que se obtiene al proyectar ortogonalmente un vectoru

sobre el vector w =0 .Si denotamos a este vector como proy

uw

entonces, se debe cumplir

proyuw

= tw

w

u t

w

= 0

para cierto nmero real t.

Entonces, la segunda igualdad nos da que

w

u t

w2 = 0 t = w u

w

2

Lo anterior, usando la primera igualdad, nos permite ver que

proyuw

=

w uw2w

Definicin 2.1. Sean u yw son vectores enn, w =0 . Se define el vector proyeccin de

u sobre

w como el vector

proyuw

=

w uw

2

w

Observacin 2.1. El vector u proyuw (representar grficamente) es llamado componente de u ortogonal a w .

Ejemplo 2.1. Considere un tringulo en 3 determinado por los vrtices en los puntos A, B,C. Encuentre su rea.Solucin:

Lo que debemos darnos cuenta es que podemos trasladar el tringulo sin cambiar su rea. Trasladamos de manera de

llevar C al orgen 0. Esto se realiza por la funcin:

T :3 3 :A AC.

Seanu = BA,

w = CAentonces la altura del tringulo (trasladado) es

h= u proyuw

se sigue que

rea =1

2

wu proyuw

Notar que los clculos anteriores son vlidos en n para todo n 2.



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2.2 Producto cruz en3

En la seccin anterior resolvimos el problema de proyectar un vector sobre otro de manera perpendicular, en esta seccin

definiremos un vector que es perpendicular a dos vectores dados del espacio 3.

Definicin 2.2. Seanu = (u1, u2, u3)y

v = (v1, v2, v3) vectores en3. Definimos el producto cruz

u

v como el vector

u

v = (u2v3 u3v2)

i (u1v3u3v1)

j + (u1v2 u2v1)

k

Comoi = (1,0,0),

j = (0,1,0),

k = (0,0,1), entonces

u

v = (u2v3 u3v2,u1v3 + u3v1, u1v2 u2v1)

Observacin 2.2. La definicin de producto cruz se puede recordar y trabajar como un determinante

u

v =i

j

k

u1 u2 u3v1 v2 v3

Observacin 2.3. El vector u v es perpendicular a u yv . Note que en dos dimensiones esto no tiene sentido. Porqu?

Ejemplo 2.2. Sean u = (1,2,1) yu = (1,0,1) calcularu v .Notemos que

u

v =

i

j

k

1 2 1

1 0 1=

i 2 1

0 1j 1 1

1 1+k 1 2

1 0

= 2i

j (0) +

k (2) =2

i 2

k = (2,0,2)

Proposicin 2.1. Seanu = (u1, u2, u3) ,v = (v1, v2, v3) y

w = (w1, w2, w3) vectores en3 entonces

u

v

w

=

u1 u2 u3v1 v2 v3w1 w2 w3

En efecto: Sabemos que

v

w = v2 v3

w2 w3

, v1 v3

w1 w3

, v1 v2

w1 w2

y siu = (u1, u2, u3) entonces

u

v

w

= u1

v2 v3w2 w3u2

v1 v3w1 w3+ u3

v1 v2w1 w2

=

u1 u2 u3v1 v2 v3w1 w2 w3



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(es el desarrollo del determinante por la primera fila en cofactores).

Note adems que

u

v

w

=

u1 u2 u3v1 v2 v3w1 w2 w3

=

u vw

Teorema 2.1. El producto vectorial cumple las siguientes propiedades

1.u 3

u

u =

0

2.u ,

v 3

u

u

v

yv

u

v

3.u ,

v 3

u

v

=

v u

4.u ,

v ,w 3

u +

vw =

u

w +

v

w

5. u ,

v ,w 3

u

v +

w=

u

v +

u

w

6.u ,v 3

()

u v

=u

v =u

v

Observacin 2.4. Demostrar algunas utilizando propiedades de los determinantes y la proposicin anterior

Ejemplo 2.3. Simplificar u +

v

2u

vu

Desarrollo: Por las propiedades recin enunciadas

u +v 2u v =

u +v

2u

+u +v

v

=

u

2u

+v

2u

+u

v

+v

v

= 2

u u

+ 2

v u

u v

v v

= 0 + 2

v u

u v

+ 0

= 3

u v

luego u +

v

2u

vu

=

3

u

v

u = 0

Teorema 2.2 (Identidad de Lagrange). Para cadav , w en3 se tiene

v

w2

+v w2 = v 2 w2



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Gracias a la identidad de Lagrange, podemos mostrar lo siguiente. Comov

w =

v wcos se sigue quev wcos2 +v w2 = v 2 w2 .

Luego,

v w2 = v 2 w2 v 2 w2 cos2 =

v 2 w2 1 cos2 =

v 2 w2 sin2esto nos lleva a la siguiente:

Proposicin 2.2. Siv yw son vectores no nulos en3, entonces se cumple

v

w

=

v

w

|sin|

donde [0,] es el ngulo que formanv ew .

Ejercicio 2.1. Considere un paralelgramo determinado por dos vectores u yv en3.Si (

u ,

v ) = , entonces el rea del paralelgramo es A =

u v sen = u v |sen| = u v . Estoltimo debido a que [0,] y luego sin 0.

Notar que de esta forma se puede calcular el rea de un tringulo por

A=

u v 2

Ejercicio 2.2. Considere un paralelepipedo en el espacio determinado por tres vectores no coplanares u ,v ,w 3

entonces el volmen del paraleleppedo esta dado por

V =

w u v =det

u1 u2 u3v1 v2 v3w1 w2 w3



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Semana 5: Lunes 11 viernes 15 de Abril

COMPLEMENTO

Clase 1: Rectas y planos.

Clase 2: Espacios vectoriales: Definicin y ejemplos.

Contenidos

CLASE 1

1.1 Rectas en el espacion, con n 2

Definicin 1.1 (rectas enn). Seanp un punto dado y

d un vector no nulo, ambos en n. Definimos la recta que pasa

porp y es paralela a

d como el conjunto de puntos

L=

p +d :

n

Esta forma de escribir la ecuacin de la recta se llama forma paramtrica, de parmetro .

Observacin 1.1.

1. El vectord se llama vector director de la recta L. En general, uno lo considera de norma igual a 1.

2. Una misma recta puede escribirse usando multiplos no nulos del vector direccind como nuevo vector direccin

y tambin reemplazando el puntop por otros puntos en la recta.

3. En general nos concentraremos en rectas el el plano o bien en el espacio, es decir, n {2, 3}.


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1.2 Rectas en el espacio3

Consideremos una recta Len el espacio3. En trminos de coordenadas, seap = (x0,y0, z0),

d = (d1, d2, d3).

El punto (x,y, z) est en la recta Lsi tenemos la ecuacin paramtrica (de parmetro ) dada por

x=

x0+d1y = y0 +d2

z = z0 +d3

Si en cada ecuacin anterior, despejamos el parmetro obtenemos

=xx0

d1

=yy0

d2

=z z0

d3

De donde obtenemos las ecuaciones simtricas de la rectaLdadas por

xx0d1

=yy0

d2=

z z0d3

1.2.1 Ecuacin de la recta en trminos de dos puntos

Si conocemos dos puntos diferentes de la recta L, digamos los puntosp1 = (x1,y1, z1) y

p2 = (x2,y2, z2), entonces la

ecuacin de la recta Les

L= (x1,y1, z1) + t(x2 x1,y2 y1, z2 z1), t.

Ejercicio 1.1. Verificar la afirmacin anterior. Determine un vector direccin.

Notemos, en la descripcin anterior de la recta, que para t = 0 estamos en el puntop1 y que para t = 1 estamos sobre

el pruntop2 .

La forma paramtrica de la ecuacin de la recta que pasa por dos punto es:

x = x1 + t(x2 x1)y = y1 + t(y2 y1)z = z1 + t(z2 z1)

y la forma simtrica es:xx1x2 x1

=yy1

y2 y1=

z z1z2 z1

Definicin 1.2. Dos rectas

L1 =p1 + t

d1 , t

y

L2 =p2 + r

d2 , r

son llamads paralelas si sus vectores directores son paralelos, es decir,d1 = a

d2 para cierto escalar a{0}.



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1.3 Planos en el espacio3

Definicin 1.3. Un conjunto 3 es un plano si existe un vector p y dos vectores u yv no paralelos tales que

=

p +u +

v :,

En trminos de coordenadas, sip = (x0,y0, z0),

u = (u1, u2, u3),

v = (v1, v2, v3), entonces

x = x0 +u1 +v1y = y0 +u2 +v2z = z0 +u3 +v3

Estas ecuaciones son las ecuaciones paramtricas del plano.

Notacin: Sip y

q son dos puntos de n, entonces denotaremos por

pq al vector

q p . Similarmente, s denotamos

puntos den por los smbolos AyB, entoncesA B denotar al puntos BA.

Un plano en3

se puede determinar especificando un punto p = (x0,y0, z0) y un vector n = (n1, n2, n3) que esnormal al plano , es decir, un vector perpendicular a l. En efecto, un punto q = (x,y, z) s y slo si pqn , dondeel vector

n es un vector normal a los vectores

u y

v . As,

q pqn

pq n = 0 (xx0,yy0, z z0) (n1, n2, n3) = 0 (xx0)n1 + (yy0)n2 + (z z0)n3 = 0 n1x+ n2y + n3zx0n1 y0n2 z0n3 = 0

Por lo tanto, la ecuacin general de un plano en 3 es de la forma

a x+ b y + c z+ d = 0

donde el vector (a,b, c)3 {(0,0,0)} es normal al plano.

Observacin 1.2. Un plano puede ser determinado conociendo 3 puntos no colineales. En efecto, seanp 1,

p 2,

p 3

los puntos dados del plano, los cuales no son colineales. A continuacin formamos los vectoresp1p2 y

p1p3. El vector

n =p1p2 p1p3 es perpendicular a p1p2 y a p1p3. Luego, n es normal al plano. Si usamos cualquiera de los 3 puntos

p i y el vectorn , podemos obtener la ecuacin del plano.

Ejemplo 1.1. Determine la ecuacin del plano que pasa por los puntos

p 1 = (2,2, 1), p 2 = (1,0,3), p 3 = (5,3, 4)

Notamos que esos tres puntos son no colineales (tarea).

Formemos los vectores

p1p2 =

p 2 p 1 = (3,2,2) y p1p3 =p 3 p 1 = (3,1, 3)

ahora el vector normal n =

p1p2 p1p3 = (8,15,3)

Por lo tanto, la ecuacin del plano es dada por:

(x2,y + 2, z1) (8,15,3) = 0 8x+ 15y3z + 17 = 0



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Teorema 1.1. Dados dos planos

1 = a1x+ b1y + c1z+ d1 = 0 y 2 = a2x+ b2y + c2z+ d2 = 0

se tiene:

1. 1 2 a1 = k a2, b1 = k b2, c1 = k c2 con ky k= 0

2. 1 2 (a1,b1, c1) (a2,b2, c2) = 0

3. 1 = 2 a1 = k a2, b1 = k b2, c1 = k c2, d1 = k d2 con ky k= 0.

Teorema 1.2. Consideremos la recta L=p +

d y el plano =x+y +z+ = 0. Se tiene

1. L (, ,) d = 0

2. L d (, ,)= k d1, = k d2, = k d3, donde k= 0 y(d1, d2, d3) =d .

Definicin 1.4. Llamaremos haz de planos coaxiales a aquellos planos que pasan por una misma recta L, llamada eje del

haz.

Dados dos planos 1 y2 tal que 1 2 = L, la ecuacin del haz de planos est dada por

1 +2 = 0

1.4 Distancia entre puntos y rectas en el espacio

Teorema 1.3 (Distancia punto recta en el espacio). Consideremos la recta L que pasa por el puntop 0 = (x0,y0, z0) y tienecomo vector director

d . Sea

p = (x,y, z) un punto que no pertenece a L. La distancia de

p a L est dada por:

d(p , L) =

||d p0p ||||d ||

1.5 Distancia entre puntos y planos en el espacio

Teorema 1.4 (Distancia punto plano). Dado un puntop 0 = (x0,y0, z0) y un plano = a x+ b y + c z + d = 0. La distancia

entrep 0 y est dada por:

d(p 0, ) =

|a x0 + b y0 + c z0 + d|a2 + b2 + c2



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1.6 Distancia entre rectas en el espacio

Teorema 1.5 (Distancia entre rectas). Sea L1 la recta que pasa por el puntop 1 y tiene direccin

d1. Sea L2 la recta que

pasa por el puntop 2 y tiene direccin

d2 . Si ambas rectas no estn sobre un mismo plano (es decir, los vectores direcciones

no son paralelos), entonces la distancia mnima entre L1 y L2 esta dada por:

dmi n(L1, L2) =|p1p2 n |||n ||

, donden =

d1

d2

Ejercicio 1.2. Determinar la distanciaentre dos rectas del espacio que tengan vectores direccin paralelos. Analize el caso

cuando ambas rectas estn en2.

1.6.1 Ejercicios propuestos

1. Determine si las rectas

L1 : x = 2t3, y = 3t2, z =4t + 6 y L2 : x = r + 5, y =4r1, z = r4se cortan.

Solucin. Si existe un puntop tal que

p = L1 L2, debe existir t1 yr1 tales que

2t1 3 = r1 + 5, 3t1 2 =4r1 1, 4t1 + 6 = r14La solucin de este sistema de 3 ecuaciones y dos incgnitas es:

t1 = 3 y r1 =2Reemplazamos el valor del parmetro t1 en L1 o reemplazamos el valor del parmetro r1 en L2, para obtener el

punto donde se intersectan:p = (3,7,6).

2. Determinar la ecuacin de la recta que pasa porp = (1,4,0) y es perpendicular a las rectas

L1 :

x = 3 + t

y = 4 + t

z = 1 + t, L2 : x+ 4

6= 2y1

3, z = 1

2

Solucin. Sea L: (1,4,0)+d , con, la recta buscada y seand 1 = (1,1,1)y

d 2 = (4,1,0) los vectores directores

de L1 yL2 respectivamente. Como

LL1 LL2 =dd 1

dd 2 =

d //

d 1

d 2 = (1,4,3)

Por lo tanto, la ecuacin de la recta Les

L: (1,4,0) +(1,4,3), con

3. Hallar la ecuacin del plano que pasa por (3,1, 2) y es paralelo al plano 2x+ 4y3z+ 10 = 0

Solucin. El plano buscado tiene por ecuacin 2x + 4y 3z + d = 0. Para determinar d, usamos que el punto(3,1, 2) debe pertenecer al plano, entonces debe satisfacer la ecuacin

2(3) + 4(1)3(2) + d = 0 = d = 4Por lo tanto, el plano pedido es

2x+ 4y3z+ 4 = 0



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4. Hallar la ecuacin del plano determinado por el punto (1,0,2) y la recta L:x+ 3

3=

y53 =

z11

Solucin. Vamos a escribir la recta como interseccin de 2 planos. Para esto, consideramos las igualdades sigu-

ientes: x+ 3

3=

y53 y

y53 =

z11

De la primera igualdad, se tiene

x+ 3

3=

y53 3x9 = 3y15 x+y2 = 0

De la segunda igualdad , obtenemos

y53 =

z11

y5 =3z+ 3y + 3z8 = 0

La ecuacin del haz de planos que tiene a Lcomo eje del haz es:

(x+y2) +(y + 3z8) = 0

Necesitamos el plano de este haz que pasa por el punto dado (1,0,2). Para esto, reemplazamos el punto en la

ecuacin del haz, obteniendo

(1 + 02) +(0 + 3(2)8) = 0 ==12

El plano buscado es:

(x+y2) 12

(y + 3z8) = 0 2x+y3z+ 4 = 0

5. Considere

el puntoA= (1,0,1), el plano : 2x+y z7 = 0 y la recta L: (1,1,0) + t(0,1,5)

(a) Determine el punto B, que es la interseccin del plano con la recta que pasa por Ay es perpendicular a .

(b) Determine el punto D, punto de interseccin de la recta Lcon el plano

(c) Hallar un punto C Ltal que el volumen del tetraedro de vrtices A, B,C, Dsea 4.

Solucin. Denotemos por LA : (1,0,1) + r(2,1,1) la recta que pasa por Ae intersecta perpendicularmente a

(a) Como B LA

= B LA B = B= (1 + 2r, r, 1 r) y debe satisfacer la ecuacin del plano, es decir,

2(1 + 2r) + r (1 r)7 = 0 = r = 1 = B = (3,1,0)

(b) Analogamente, si D L

=D= (1, 1 + t, 5t) y

2(1) + (1 + t)5t7 = 0 = t =2 =D= (1,1,10)



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(c) Si C L=C = (1, 1 + t, 5t), entoncesBC = (4, t, 5t), B D= (4,2,10), B A= (2,1, 1)

El volumen deltetraedro de vrticesA, B,C, Desdado por V =1

6 |

BC

B D

B A

|. Como se quiereque el volumen

sea 4, tenemos:

4 =1

6|(4, t, 5t) (4,2,10) (2,1, 1)|

Calculemos

(4, t, 5t) (4,2,10) (2,1, 1) =

4 t 5t4 2 102 1 1

= 48 + 24t

Por lo tanto, 24 = |48 + 24t|, es decir, tenemos dos soluciones

24 = 48 + 24t = t =1 24 =(48 + 24t) = t =3

Luego, C1 = (1,0,5), C2 = (1,2,15).

6. Hallar la ecuacin del plano que contiene a la recta L : x = 2y = 3z 1, sabiendo que dicho plano est a unadistancia de 2

7unidades del origen.

Solucin. El haz de planos que contiene a la recta Ltiene por ecuacin

(x2y) +(x3z + 1) = 0 x(1 +)2y3z+= 0

La distancia del origen (0,0,0) al haz de planos est dada por

d(O,haz) =||

(1 +)2 + (2)2 + (

3)2

Pero el plano pedido debe estar a 27

del origen, entonces

||(1 +)2 + (2)2 + (3)2

=2

7

Esta ecuacin cuadrtica tiene 2 soluciones:

= 2 =109

Por lo tanto, tenemos 2 soluciones

1 : (x2y) + 2(x3z+ 1) = 0 3x2y6z+ 12 = 0y

2 : (x2y)10

9(x3z+ 1) = 0 x+ 18y30z + 10 = 0

7. Hallar la distancia mnima entre las rectas

L1 : (1,1,4) + t(0,1,3) y L2 : x = 4 +, y = 5, z =3 + 2



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Solucin. El vector director de L1 esd1 = (0,1,3) y el vector director de L2 es

d2 = (1,0,2). Entonces

n =

d1

d2 = (2,31)

Ahora, sea P1 = (1,1,4) yP2 = (4,5,3), entoncesP1P2 = P2 P1 = (3,4,7)

Reemplazando en la frmula, obtenemos

dmi n(L1, L2) =|P1P2 n |||n ||

=|(3,4,7) (2,31)|

||(2,31)|| =114

CLASE 2

2.1 Espacios vectoriales

Definicin 2.1. Sea V un conjunto no vaco y sea un cuerpo (los cuerpos que consideraremos en este curso sern el

cuerpo de los nmeros reales el cuerpo de los nmeros complejos inclusive el cuerpo de los nmeros racionales

).

Supongamos que en V se han definido dos operaciones, que llamaremos adicin (que denotaremos or el smbolo +)

y producto por escalar (qu denotaremos por el smbolo ), de la siguiente manera:

I. La adicin toma dos elementos de V, llamsmoslos u y v, y mediante la operacin los lleva a un elemento w V:denotado por w = u + v.

II. El producto por escalar toma un elemento del cuerpoy un uV, y mediante la operacin los lleva a un elementow

V: denotado por w =

u

Entonces diremos que (V, +, ) es un espacio vectorial sobre si y solamente si las operaciones anteriores satisfacenlas siguientes 8 propiedades:

1. u, vV , u + v = v+ u

2. u, v, wV, u + (v + w) = (u + v) + w

3. 0V V tal que u + 0V = u, uV

4. uV, (u)V tal que u + (u) = 0V5. u, vV, , (u + v) = u + v

6.

u

V,,

, (+ )

u =

u +

u

7. uV, , , ( ) u = ( u)

8. uV, 1 u = u

Los elementos de V se llaman vectores y los del cuerpo se llaman escalares.



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Ejemplo 2.1. (2, +, ) es un espacio vectorial sobre , con las siguientes operaciones: Si u,v 2, con u = (u1, u2), v=(v1, v2) y definimos

u +v= (u1 + v1, u2 + v2) y u = (u1,u2)Este espacio vectorial se identifica, geomtricamente, con el plano cartesiano, y sus elementos son los vectores en

(2, +, ).

Ejemplo 2.2. (3, +, ) es un espacio vectorial sobre, con las siguientes operaciones: si u,v3, con u = (u1, u2, u3), v=(v1, v2, v3) y definimos

u +v= (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3) y u = (u1,u2,u3)Este espacio vectorial se identifica, geomtricamente, con el espacio cartesiano, y sus elementos son los vectores en

(3, +, ).

Ejemplo 2.3. De manerams general, (n, +,) es un espacio vectorial sobre, con las siguientes operaciones: Si u,v

n,

con u = (u1, u2, . . . ,un), v= (v1, v2, . . . ,vn) y definimos

u +v= (u1 + v1, u2 + v2, . . . ,un + vn)

y

u = (u1,u2, . . . ,un)


u +v= (u1 + v1, u2 + v2) y u = (u1,u2)

Debe tenerse presente que, en este caso, todos los nmeros involucrados son nmeros complejos, por lo cual las opera-ciones mencionadas son entre elementos en.

Ejemplo 2.5. (3, +, ) es un espacio vectorial sobre , con las siguientes operaciones: Si u,v3, con u = (u1, u2, u3), v=(v1, v2, v3) y definimos

u +v= (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3) y u = (u1,u2,u3)Anlogamente, las operaciones se realizan entre nmeros complejos.

Ejemplo 2.6. De manerams general, (n, +, ) es un espacio vectorial sobre, con las siguientes operaciones: Si u,vn,con u = (u1, u2, . . . ,un), v= (v1, v2, . . . ,vn) y definimos

u +v= (u1 + v1, u2 + v2, . . . ,un + vn)

y

u = (u1,u2, . . . ,un)Notemos que (n, +, ) es tambin un espacio vectorial sobre el cuerpo .



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u +v= (u1 + v1, u2 + v2) y u = (u1,u2)Debe tenerse presente que, en este caso, todos los nmeros involucrados son nmeros complejos, por lo cual las opera-

ciones mencionadas son entre elementos en.

Ejemplo 2.8. (3, +, ) es un espacio vectorial sobre, con las siguientes operaciones: Si u,v3, con u = (u1, u2, u3), v=(v1, v2, v3) y definimos

u +v= (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3) y u = (u1,u2,u3)Anlogamente, las operaciones se realizan entre nmeros racionales.

Ejemplo 2.9. De manera ms general, (n, +, ) es un espacio vectorial sobre , con las siguientes operaciones: Si u,v

n

, con u = (u1, u2, . . . ,un), v= (v1, v2, . . . ,vn) y definimosu +v= (u1 + v1, u2 + v2, . . . ,un + vn)

y

u = (u1,u2, . . . ,un)Notemos que (n, +, ) es tambin un espacio vectorial sobre el cuerpo .

Observacin 2.1.

1. Observemos que (, +, ) es un espacio vectorial sobre , que (, +, ) es un espacio vectorial sobre y que (, +, )es un espacio vectorial sobre. De esta forma, notamos que tanto comoy como tienen estructura de cuerpo

y de espacio vectorial sobre si mismos.

2. (n, +, ) y(n, +, ) son tambin espacios vectoriales sobre .

3. (n, +, ) es tambin un espacio vectorial sobre .

Ejemplo 2.10. Sea n {0,1,2,...}. Consideremos el conjunto

n[x] = {p(x) = a0 + a1x+ a2x2 + . . . + anxn, ai , i = 0,.. . , n}es decir, n[x] es el conjunto de los polinomios con coeficientes reales en una variable real de grado menor o igual a

n (incluyendo al polinomio nulo). (n[x], +, ) es un espacio vectorial sobre con la adicin y el producto por escalar

habitual de polinomios, vale decir, si p(x

) =a0

+a1x

+a2x

2 +. . .

+anx

n

yq(x

) =b0

+b1x

+b2x

2 +. . .

+bnx

n

entonces

(p+ q)(x) = p(x) +q(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x+ (a2 + b2)x2 + . . . + (an + bn)xn

(p)(x) = p(x) = a0 +a1x+a2x2 + . . . +anxn,



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Ejemplo 2.11. Consideremos el conjunto de las funciones a valores reales definidas sobre un conjunto A=

= {f:A}

premunido de la adicin usual de funciones y del producto por escalar usual:

(f+ g)(x) = f(x) + g(x)

( f)(x) =(f(x))f, g, xA, . Con estas operaciones, (, +, ) es un espacio vectorial sobre .

Ejemplo 2.12. El espacio de las funciones continuas definidas en un intervalo [a,b], que denotamos por (C[a,b], +, ) conlas operaciones recin definidas para las funciones, es un espacio vectorial sobre .

Ejemplo 2.13. El espacio de las funciones n veces derivables (funciones de clase Cn) definidas en un intervalo ]a,b[, que

denotamos por (Cn (]a,b[) , +,

) con las mismas operaciones anteriores, es un espacio vectorial sobre .

Ejemplo 2.14. Consideremos el conjunto de las matrices de orden mncon entradas reales, que denotaremos Mmn().Recordemos que una matriz real es un arreglo de nmeros reales: Si A, BMmn(), definimos la suma de matrices:

A+ B= (ai j)mn + (bi j)mn = (ai j + bi j)mn

El producto por escalar queda definido por:

A= (ai j)mn = ( ai j)mn

De esta manera, (Mmn(), +, ) es un espacio vectorial sobre .

Ejemplo 2.15. Anlogamente, las matrices con entradas complejas (Mmn(), +, ) con las operaciones anlogas a lasdescritas arriba, forman un espacio vectorial sobre .

Ejemplo 2.16. El conjunto de todos los polinomios de grado menor o igual a n {0,1,2,...} con coeficientes complejos,i.e.

n[x] = {p(x) = a0 + a1x+ a2x2 + . . . + anxn, ai , i {0,1,2,..., n}}dotado de la suma y el producto habitual de polinomios, es un espacio vectorial sobre .

Ejercicio 2.1. Sea V un espacio vectorial y sea X un conjunto. Considere (X, V) el conjunto de todas las funcionesde X es V. Se definen

f+ g

(x) = f(x) + g(x)

f (x) = f(x)

muestre que ((X, V) , +, ) es un espacio vectorial sobre el cuerpo.



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Observacin 2.2. Probar que alguno de los ejemplos anteriores es un espacio vectorial

Proposicin 2.1. Sea V un-espacio vectorial:

1. El neutro aditivo0V es nico.

2. Para cada vV el inverso aditivov es nico.

3. Es vlida la ley de cancelacin para la adicin de vectores.

4. vV , 0 v = 0V5. , vV , () v = (v)

2.1.1 Ejercicios

1. Determine si (, +, ) es un espacio vectorial sobre . Justifique.

2. Determine si (, +, ) es un espacio vectorial sobre . Justifique.3. Determine si (Mmn(), +, ) es un espacio vectorial sobre . Justifique.

4. Determine si (Mmn(), +, ) es un espacio vectorial sobre . Justifique.



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Semana 6: Lunes 18 viernes 22 de Abril

COMPLEMENTO

Clase 1: Subespacios Vectoriales: Concepto y criterio. Combinacin lineal.

Clase 2: Ejercicios y repaso.

Contenidos

CLASE 1

1.1 Subespacios vectoriales

Definicin 1.1.

1. Sea (V, +, ) un espacio vectorial sobre un cuerpo , S V, S = . Se dice que S es un subespacio vectorial de V si

(S, +, ) es un espacio vectorial sobre .

2. Si las operaciones + y estn claramente definidas, entonces escribiremos V en lugar de (V, +, ) para un espacio

vectorial sobre.

3. Si (S, +, ) es un subespacio vectorial de (V, +, ) usaremos la notacin S V.

Observacin 1.1. La definicin anterior no permite averiguar, de manera simple, si un determinado subconjunto es o no

subespacio de un espacio vectorial dado. El siguiente teorema nos brinda un mtodo sencillo para este efecto.

Teorema 1.1. Sea(V, +, ) un espacio vectorial sobre el cuerpo y sea S V, S = . (S, +, ) es un subespacio vectorial de

(V, +, ) si y solo si se satisfacen las siguientes dos condiciones:

1. Siu,v S entoncesu +v S.


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2. Si , u S entonces u S.

Ejercicio 1.1. Si S V entonces 0V S.

Todo espacio vectorial tiene, de manera natural, dos subespacios vectoriales, llamados subespacios vectoriales triv-

iales del espacio vectorial V. Estos son: el mismo espacio vectorial V, vale decir, V V y el espacio vectorial nulo, vale

decir el espacio vectorial cuyo nico elemento es el neutro aditivo de V: {0V} V.

Ejemplo 1.1. Considere W = {(x,y) 2 : y = 0}. Probemos que W es un subespacio vectorial de 2. Para ello, debemos

verificar:

1. W = , lo cual es cierto pues (0, 0) W.

2. (x,y), (u, v) W (x,y) + (u, v) W.

En efecto: (x,y), (u, v) W y = 0 v = 0. Por lo tanto, (x,y)+(u, v) = (x, 0)+(u, 0) = (x+u, 0). Es decir, la segunda

componente de la suma de dos vectores en W da como resultado un vector que tambin pertenece a W.

3. , (x,y) W (x,y) W.

En efecto: (x,y) W y = 0. Por lo tanto, (x,y) = (x, 0) = (x, 0) W.

Como las tres condiciones se satisfacen, hemos probado que W 2.

Ejemplo 1.2. Considere W = {(x1,x2, , xn) n : xn = 0}. Probemos que W es un subespacio vectorial de n. Para ello,

debemos verificar:

1. W = , lo cual es cierto pues (0,0, , 0) W.

2. (x1, x2, , xn), (u1, u2, , un) W (x1,x2, , xn) + (u1, u2, , un) W.

En efecto: (x1, x2, , xn), (u1, u2, , un) W xn = 0 un = 0. Por lo tanto, (x1, x2, , xn) + (u1, u2, , un) =

(x1, x2, , 0) + (u1, u2, , 0) = (x1 + u1,x2 + u2, , 0). Es decir, la nsima componente de la suma de dos vectoresen W da como resultado un vector que tambin pertenece a W.

3. , (x1, x2, ,xn) W (x1, x2, ,xn) W.

En efecto: (x1, x2, , xn) W xn = 0. Por lo tanto, (x1, x2, , xn) = (x1, x2, , 0) = (x1,x2, , 0) W.

Como las tres condiciones se satisfacen, hemos probado que W n.

Ejemplo 1.3. Sea (1, 2) 2 y consideremos W = {(x,y) 2 : (x,y) = (1, 2), }. Probemos que W es un

subespacio vectorial de 2.

1. W = , lo cual es cierto pues (0, 0) = 0 (1, 2) W.

2. Debemos probar ahora que (x1, x2), (u1, u2) W (x1, x2) + (u1, u2) W.

En efecto: (x1, x2), (u1, u2) W , : (x1, x2) = (1, 2),

(u1, u2) = (1, 2). Por lo tanto, (x1, x2) + (u1, u2) = (1, 2) + (1, 2) = (+ ) (1, 2) W, pues + .

3. Probemos ahora que, (x1, x2) W (x1, x2) W.

En efecto: (x1, x2) W (x1, x2) = ( (1, 2)) = () (1, 2) W, pues .

Grficamente, este subespacio vectorial se representa por una recta en el plano, en la misma direccin que el vector

(1, 2).



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Ejemplo 1.4. Como en el ejemplo anterior, sea V un espacio vectorial real, y sea u0 V, con

u0 = 0V. Consideremos W = {v V : v= u0, }. Probemos que W es un subespacio vectorial de V.

1. W = , lo cual es cierto pues tomando 0 , obtenemos que 0 u0 = 0V W.

2. Probemos que v1,v2 W v1 +v2 V. En efecto: v1,v2 V nos asegura que existen , de manera que

v1 = u0 y que v2 = u0. Luego, v1 +v2 = u0 + u0 = (+ ) u0 V

3. Probemos ahora que, v W v W. En efecto: v W nos asegura que existe tal que v = u0. Luego,

v= u0 = () u0 W.

Debido a la analoga con el ejemplo anterior (4.-), este espacio vectorial recin descrito se denomina recta vectorial,

con direccin u0.

Ejemplo 1.5. Sea E = {(x,y, z) 3 : 2x+y = 0}. Probemos que E 3.

1. E = , lo cual es cierto pues (0,0,0) E.

2. Probemos que:(x,y, z), (u, v, w) E (x,y, z) + (u, v, w) = (x + u,y + v, z + w) E. Este ltimo vector pertenece a E

2(x+ u) +y+ v = 0, condicin que se cumple pues como (x,y, z), (u, v, w) E 2x+y = 2u+v = 0 de donde

2x+y + 2u + v = 2(x+ u) +y + v = 0. Luego, la suma de los vectores pertenece a E.

3. Anlogamente para el producto por escalar.

Ejercicio 1.2. Verificar que si S=

a b

c d

22 () : a = b yc = d

, entonces S 22 ().

Ejercicio 1.3. Verificar que si T =

a bc d

22 () : a = 1

, entonces T no es subespacio vectorial de 22 ().

Proposicin 1.1. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo, W1, W2 V . Luego:

1. W1 W2 V.

2. W1 + W2 V, donde elconjunto sumade W1 + W2 se define como:

W1 + W2 = {u +v : u W1,v W2}

Definicin 1.2. Si W1, W2

V yW1

W2= {

0V}

entonces el subespacio suma W1+

W2 es llamado suma directa y se escribeW1 W2.

Observacin 1.2. La unin de subespacios no es necesariamente un subespacio vectorial. Considere por ejemplo V1 =x,y

2 : x = 0

yV1 =

x,y

2 :y = 0

.



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1.1.1 Ejercicios

1. Sea S= {A Mnn :At =A} Probar que S Mnn.

2. Sea T = {A Mnn :At = A} Probar que T Mnn.

3. Muestre que S T = Mn

n

()

4. n m Cn[a,b] Cm[a,b].

5. Considere los siguientes subespacios vectoriales de3:

E = {(x,y, 0) : x,y }, F = {(0,0, z) : z }, G = {(0,y, z) : y, z }.

Determine: E F, E G, G F, E + F, E+ G, G + F. Haga una descripcin geomtrica y dibuje cada uno de estos

subespacios.

1.2 Combinaciones lineales

Definicin 1.3. Sean 1,2, ,n y sean u1, u2, , un V, donde V es un espacio vectorial real. La expresin

ni=1

iui es una combinacin lineal de los vectores u1, u2, , un.

Observacin 1.3. 0v es combinacin lineal de cualquier conjunto de vectores.

Ejemplo 1.6. El vector de 3, (0,2, 3) es una combinacin lineal de los vectores (1,0,0), (1,1,0), (1,1,1). Para probarlo,

escribimos

(0,2, 3) = (1,0,0) + (1,1,0) + (1,1,1)

luego, debemos encontrar , , que satisfagan las siguientes ecuaciones:

0 = + +

2 = +

3 =

Resolviendo, determinamos que = 3, = 5, = 2.Notar que (0,2, 3) no es combinacin lineal de los vectores (1,1,0), (1,1,1), pues, usando el mismo razonamiento, si

(0,2,3) = (1,1,0) + (1,1,1) entonces

0 = +

2 = +

3 =

lo cual es obviamente contradictorio.

1.2.1 Ejercicios

1. Considere los vectores u = (2,1, 2), v = (1, 1, 1) 3. Escriba, si es posible, los vectores a = (4, 5, 8) y b =

(4,1, 5) como combinacin lineal de u y v. Determine los valores de x para los cuales el vector (x, 4, 7) es una

combinacin lineal de u yv.

2. Dados u1 = (1,2,, 1), u2 = (,1,2,3), u3 = (0,1, , 0) 4, determine los valores de y para que uno de los

vectores sea combinacin lineal de los otros dos.

3. Decidir si p(t) = t2 t + 1 es combinacin lineal de p1 (t) = (t 1)2 yp2 (t) = t

4. Decidir si

1 2

1 0

es combinacin lineal de

0 1

1 1

y

1 1

1 0

.



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CLASE 2

Puede realizar ejercicios o adelantar contenidos (paralelos sin clases por feriado)



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Semana 7: Lunes 25 viernes 29 de Abril.

COMPLEMENTO

Clase 1: Espacio generado. Dependencia e independencia lineal. Ejemplos.

Clase 2: Bases y bases cannicas. Dimensin.

Contenidos

CLASE 1

1.1 Espacio generado

Recordemos que para los propsitos de estas notas, los cuerpos que estamos considerando son: el cuerpo de los nmeros

reales, el cuerpo de los nmeros complejos y el cuerpo de los nmeros racionales. Pero las definiciones aqu dadas

funcionan para cualquier cuerpo.

Ejercicio 1.1. Verificar que la interseccin de una coleccin de subespacios de un espacio vectorial V es tambin un

subespacio vectorial de V.

El propsito del ejercicio anterior es poder justificar la siguiente definicin.

Definicin 1.1. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo y sea X V, X = . El espacio generado por X, denotado

por X por G(X), es dado por la interseccin de todos los subespacios de V que contienen al conjunto X.


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Teorema 1.1. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo.

Los elementos de G(X) son los elementos del espacio vectorial formado por todas las combinaciones lineales posibles de

elementos de X .

Si X es finito, digamos X = {x1,x2, ,xk}, entonces

X = k

i=1

ixi, i

Observacin 1.1. Si W = v1, v2, . . . ,vn decimos que v1, v2, . . . ,vn generan a W o que es un conjunto generador de W.

Ejemplo 1.1. Si W = {(x,y) 2 : (x,y) = (1, 2), } entonces W = (1, 2), es decir, (1, 2) genera a W.

Observemos que (2, 4) tambin genera a W y, de manera ms general, si = 0, entonces (, 2) genera W.

Los vectores (0, 0) y(1, 2) tambin forman un conjunto generador de W.

Ejemplo 1.2. Si W = {v V : v= u0, } entonces W = G(u0) = u0.

Ejemplo 1.3. En2 considere los vectores u = (2, 1), v= (1, 1), w= (1, 4). Probemos que 2 = G(u,v) = G(u,v,w) y que

2 = G(u).

Para probar que 2 = G(u,v), debemos demostrar que dado cualquier (x,y) 2, existen , tal que (x,y) =

(2, 1) + (1, 1). La igualdad implica

x = 2

y = +

de donde =x+y

3, =

2y x

3.

Esto significa que dado cualquier vector (x,y) 2 podemos determinar explcitamente, en funcin de x e y, los

valores de y .

Ya que {u, v} {u, v, w}, se puede fcilmente concluir que 2 = G(u, v, ) G(u, v, w), de donde concluimos que

G(u, v, w) =2.

Otra manera de concluir lo mismo es proceder de mana anloga al caso anterior. Para probar que 2 = G(u,v,w),

debemos demostrar que dado cualquier (x,y) 2, existen , , tal que

(x,y) = (2, 1) + (1, 1) + (1, 4). Notar que si tomamos, arbitrariamente, = 0, los valores de y obtenidos arriba

demuestran la afirmacin. Si asignamos otro valor a , tambin podemos resolver el sistema para y . En general,

entonces, podemos decir que:

=x+y 5

3, =

2y x 7

3

donde es un parmetro real. Por lo tanto, en este caso tambin es posible determinar explcitamente los valores de ,

y.

Para probar que 2

= G(u) basta encontrar un vector en 2

que no sea combinacin lineal de u. Por ejemplo, sitomamos el vector (1, 0) 2 vemos que no existe : (1, 0) = (2, 1).

Ejemplo 1.4. Claramente

G((1, 0), (0, 1)) = (1, 0), (0, 1)

= (1, 2), (3, 2)

= G((1, 0), (1, 2), (5, 3)) = 2



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Anlogamente,

2[x] = G(1, x, x2)

= 2, 1 + x, x x2

= 1, 1 + x, 1 + x+ x2

Ejemplo 1.5. n[x] = G(1, x, x2, , xn)

Ejemplo 1.6. sin(x),cos(x) = {f(x) C() : f(x) =sin(x) + cos(x), , }.

Ejemplo 1.7. M22() = G

1 0

0 0

,

0 1

0 0

,

0 0

1 0

,

0 0

0 1

Ejercicio 1.2. Caracterizar el espacio generado por los vectores (0,1,2) , (1,3, 1) y(2, 11/2, 3)

Ejercicio 1.3. Encontrar un conjunto generador del subespacioa b

b c

: a,b, c

22 ()

1.2 Dependencia e independencia lineal

Definicin 1.2. Sean u1, u2, , un V. Diremos que {u1, u2, , un} es un conjunto:

1. linealmente independiente (l.i.) ssi

ni=i

i ui = 0V i = 0 i = 1, , n.

Tambin se dice que los vectores anteriores son linealmente independientes (l.i.).

2. linealmente dependiente (l.d.) ssi

1, ,n , no todos nulos :

n

i=ii ui = 0V

Tambin se dice que los vectores anteriores son linealmente dependientes (l.d.).

Ejemplo 1.8. El conjunto {(1, 0), (0, 1)} 2 es un conjunto l.i. En efecto, si consideramos

(0, 0) =1(1, 0) +2(0, 1) = (1,2)

entonces obtenemos que 1 = 0, 2 = 0.



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Ejemplo 1.9. El conjunto {(1, 2), (3, 1)} 2 es un conjunto l.i. En efecto, si consideramos

(0, 0) =1(1, 2) +2(3, 1) = (1 + 32, 21 2)

entonces, tenemos el sistema lineal a re

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