Resume Mekanika Struktur I · PDF fileResume Materi Mata Kuliah Mekanika Struktur I Oleh :...
-
Upload
truongliem -
Category
Documents
-
view
235 -
download
0
Transcript of Resume Mekanika Struktur I · PDF fileResume Materi Mata Kuliah Mekanika Struktur I Oleh :...
Resume Mekanika Struktur I
Disusun Oleh :
ANDHIKA PRAMADI
(NIM : 14/369981/SV/07488)
Kelas D1
Untuk memenuhi tugas dari Bapak Ir. Tarmono, MT
(NIP : 195401041987031001)
Universitas Gadjah Mada
Yogyakarta
Daftar Isi
Momen Inersia Penampang…………………………………….1
Contoh soal...............................................................................5
Mencari momen inersia benda dengan bidang tak simetris
menggunakan aplikasi titik berat…………………………..….………...5
Mencari momen inersia pada penampang bentuk I (Simetris).....….7
Mencari momen inersia pada penampang bentuk T………....………8
Macam- macam Tegangan………………..……….……………9
Tekanan Tarik dan Tegangan Tekan…….……….……………9
Contoh Soal……………………………………………………….……..10
PR…………………………..…………………….……………………….11
Contoh Soal………………..………………….…………...………….....12
Tekanan Puntir…………..……..………………………………….14
Contoh Soal…………………………………………………………...….15
Resume Materi Mata Kuliah Mekanika Struktur I Oleh : Andhika Pramadi ( 25/D1 ) NIM : 14/369981/SV/07488/D
Momen Inersia Penampang
Bila suatu alat mengalami bending atau puntiran maka penampang alat tersebut akan
mengalami tegangan baik tegangan bending maupun tegangan geser puntir. Untuk menghitung
tegangan-tegangan tersebut maka harus mengetahui besarnya kelembaman (inersia) dari
penampang terhadap pengaruh momen. Kelebaman tersebut disebut momen inersia
penampang.
Momen inersia penampang dapat mengalami putaran terhadap berbagai sumbu, yakni
sumbu X-X dan sumbu Y-Y.
Bila garis gaya tidak pada sumbu X-X atau sumbu Y-Y (tidak menuju titik berat
penampang) maka gaya tersebut akan mengakibatkan puntiran seperti yang dijelaskan
pada penjelasan sebelumnya tentang macam-macam tegangan. Penampang akan
berputar pada sumbu aksial batang, sehingga momen inersia penampang yang
digunakan adalah momen inersia polar (sesuai arah puntiran).
Berikut ini berbagai macam bentuk penampang yang umum beserta persamaan momen inersia
penampangnya :
Rumus :
A = bh
IXX = IX = 1
12∙ bh3
IYY = IY = 1
12∙ hb3
J = IP = IX + IY
= 1
12∙ bh(b2 + h2)
Rumus :
A =𝜋
4D2
IXX = IX = 𝜋
64D4
IYY = IY = 𝜋
64D4
J = IP = IX + IY
= 𝜋
32D4
h
b
C X
Y
C X
Y
D
1
Resume Materi Mata Kuliah Mekanika Struktur I Oleh : Andhika Pramadi ( 25/D1 ) NIM : 14/369981/SV/07488/D
Rumus :
A = bh – b1h1
IXX = IX = 1
12∙ bh3 −
1
12∙ b1h1
3
= 1
12(bh3 − b1h1
3)
IYY = IY = 1
12∙ hb3 −
1
12∙ h1b1
3
= 1
12(hb3 − h1b1
3)
J = IP = IX + IY
= 1
12(bh3 − b1h1
3) +1
12(hb3 − h1b1
3)
Rumus :
A = bh – 𝜋
4D2
IXX = IX = 1
12∙ bh3 −
𝜋64
D4
IYY = IY = 1
12∙ hb3 −
𝜋64
D4
J = IP = IX + IY
= (1
12∙ bh3 −
𝜋64
D4) + (
1
12∙ hb3 −
𝜋64
D4)
Rumus :
A = 𝜋
4D2 –
𝜋
4d2
IX = IY = 𝜋
64(D4 − d4)
J = IP = IX + IY
= 𝜋
32(D4 − d4)
b
b1
h1 h
h
b
D
D
d
C X
Y
C X
Y
C X
Y
2
Resume Materi Mata Kuliah Mekanika Struktur I Oleh : Andhika Pramadi ( 25/D1 ) NIM : 14/369981/SV/07488/D
Rumus :
A = 𝜋
4D2 – s2
IX = IY = (𝜋
64D4 − 1
12s
4)
J = IP = IX + IY
= 2 (𝜋
64D4 − 1
12s
4)
= (𝜋
32D4 − 1
6s
4)
Apabila bentuk penampang tidak simetris/ merupakan batang yang tidak sederhana,
maka sebelum mencari momen inersia penampang harus dicari terlebih dahulu titik
berat penampang tersebut. Misal penampang berbentuk leter L yang ukurannya tidak
simetris.
Untuk mencari titik berat penampang tersebut, penampang harus dipecah terlebih
dahulu menjadi beberapa bagian sehingga setiap bagian merupakan bentuk yang
mudah dicari memon inersia penampangnya.
d
s
C X
Y
C2
C1
C
Y2
f2 f1
X1
X1
Y1
X
Y
d1
d2
0 X0
Y0
Xc1
Yc1
Xc2
Yc2
XC
YC
3
Resume Materi Mata Kuliah Mekanika Struktur I Oleh : Andhika Pramadi ( 25/D1 ) NIM : 14/369981/SV/07488/D
Keterangan :
A1 = b1h1
A2 = b2h2
X1 = YC1 —— Y0
X2 = YC1 —— Y0
Y1 = XC1 —— X0
Y2 = XC1 —— X0
= YC ——Y0
= XC ——X0
d1 = XC1 —— XC
d2 = XC—— XC2
f1 = YC —— YC1
f2 = YC2 —— YC
Rumus :
= X1∙A1+X2∙A2
A1+A2
= Y1∙A1+Y2∙A2
A1+A2
IXC1 = 1
12∙ b1 ∙ h1
3
IXC2 = 1
12∙ b2 ∙ h2
3
IYC1 = 1
12∙ h1 ∙ b1
3
IYC2 = 1
12∙ h2 ∙ b2
3
IXC = (IXC1 + A1∙d12) + (IXC2 + A2∙d2
2 )
IYC = (IYC1 + A1∙f12) + (IYC2 + A2∙f2
2 )
X
Y
X
Y
4
Resume Materi Mata Kuliah Mekanika Struktur I Oleh : Andhika Pramadi ( 25/D1 ) NIM : 14/369981/SV/07488/D Contoh Soal!
Mencari momen inersia benda dengan bidang tak simetris menggunakan aplikasi titik berat.
A1 = 5020 = 1000 mm2
A2 = 3530 = 1050 mm2
X1 = 25 mm
X2 = 65 mm
Y1 = 10 mm
Y2 = 17.5 mm
=X1 ∙ A1 + X2 ∙ A2
A1 + A2
=25 ∙ 1000 + 65 ∙ 1050
1000 + 1050
= 45.49 mm
=Y1 ∙ A1 + Y2 ∙ A2
A1 + A2
=10 ∙ 1000 + 17.5 ∙ 1050
1000 + 1050
= 13.84 mm
Xc1
Yc1
Xc2
Yc2
XC
YC Y0
X0
C2
C
C1
80
20
30
35
d2
d1
Y1
Y2
Y
X
X1
X2
f2 f1
0
X
Y
5
Resume Materi Mata Kuliah Mekanika Struktur I Oleh : Andhika Pramadi ( 25/D1 ) NIM : 14/369981/SV/07488/D d1 = 13.84 – 10 = 3.84 mm
d2 = 17.5 – 13.84 = 3.66 mm
f1 = 45.49 – 25 = 20.49 mm
f2 = 65 – 45.49 = 19.51 mm
IXC1 = 1
12∙ 50 ∙ 203= 33.3∙103 mm4
IXC2 = 1
12∙ 30 ∙ 353= 107.1875∙103 mm4
IYC1 = 1
12∙ 20 ∙ 503
= 208.3∙103 mm4
IYC2 = 1
12∙ 35 ∙ 303
= 78.750∙103 mm4
IXC = (IXC1 + A1∙d12) + (IXC2 + A2∙d2
2 )
= (33.3 ∙ 103 + 1000 ∙ 3.842) + (107.1875 ∙ 103 + 1050 ∙ 3.662 )
= 169.2∙103 mm4
IYC = (IYC1 + A1∙f12) + (IYC2 + A2∙f2
2 )
= (208.3 ∙ 103 + 1000 ∙ 20.492) + (78.750 ∙ 103 + 1050 ∙ 19.512 )
= 1106.6∙103 mm4
6
Resume Materi Mata Kuliah Mekanika Struktur I Oleh : Andhika Pramadi ( 25/D1 ) NIM : 14/369981/SV/07488/D
Mencari momen inersia pada penampang bentuk I (Simetris).
Penyelesaian :
IX = {(1
12b ∙ h2) − 2 (
1
12b′ ∙ h′2)}
= {(1
12100 ∙ 1502) + 2 (
1
1245 ∙ 1302)}
= ((28125000) + 2(8238750))
= 11.65∙106 mm4
IY = {(1
12h ∙ b2) − 2 (
1
12h′ ∙ b′2)}
= {(1
12150 ∙ 1002) + 2 (
1
12130 ∙ 452)}
= {(12500000) + 2(1974375)}
= 10.53∙106 mm4
Xc1
Yc1, Yc2, Yc3, Yc
Xc2 XC
Y0
X0
100
150
10
0
C1
C3
C2
10
C
Xc3
X1
X2
X3
Y1
Y2
Y3
7
Resume Materi Mata Kuliah Mekanika Struktur I Oleh : Andhika Pramadi ( 25/D1 ) NIM : 14/369981/SV/07488/D Mencari momen inersia pada penampang
bentuk T.
Penyelesaian : Y1 = 25 mm Y2 = 87.5 mm
Y3 = 25 mm
A1 = 75 50
= 3750 mm2
A2 = 50 175
= 8750 mm2
A3 = 75 50
= 3750 mm2
ATotal = 16.25 103 mm2
= 0
=Y1 ∙ A1 + Y2 ∙ A2 + Y3 ∙ A3
A1 + A2 + A3
=25 ∙ 3750 + 87.5 ∙ 8750 + 25 ∙ 3750
3750 + 8750 + 3750
= 58.7 mm
IX0 = 2 (1
3∙ 75 ∙ 503) + (
1
3∙ 50 ∙ 753)
= 6250000 + 89322916.67
= 95.6 ∙ 106 mm4 ≈ 96∙106 mm4
IY0 = 2 ((1
3∙ 50 ∙ 1003) + (
1
3∙ 125 ∙ 253))
= 2(16666666.67 + 651041.6667)
= 34.63 ∙ 106 mm4
IX0 = IXC + ATotal( )2
IXC = I0 – ATotal( )2
= 96 ∙ 106 – 16.25 103(58.7)2
= 96 ∙ 106 − 56 ∙ 106
= 40 ∙ 106 mm4
IY0 = IYC + A( )2
IYC = IY0 – A(0)2
= IY0
= 34.63 ∙ 106 mm4 ≈ 35 ∙106 mm4
Y
X0
XC
C2
C1
C3
Y0
C
50
Y2
175
125
75
75
200
25
50
X
Y
Y
Y
X
*Catatan : Pada tipe soal seperti ini bentuk
penampang T memiliki hasil yang sama
dengan bentuk penampang ⊥(pada sumbu
putar yang sama).
8
Resume Materi Mata Kuliah Mekanika Struktur I Oleh : Andhika Pramadi ( 25/D1 ) NIM : 14/369981/SV/07488/D
Macam- Macam Tegangan
Tegangan Tarik dan Tegangan Tekan
Rumus:
𝜎+ =M∙y
I
𝜎− =M∙(−y)
I
ρ=R
P M M
o
garis sumbu
σ- Tekanan
σ+ Tarikan
h
b
garis netral
h/2
h/2
y–
y+
9
Resume Materi Mata Kuliah Mekanika Struktur I Oleh : Andhika Pramadi ( 25/D1 ) NIM : 14/369981/SV/07488/D Contoh Soal!
1. Hitunglah tegangan tekan dan tegangan
tarik pada penampang berikut! (Diketahui
momen pada batang yang bekerja sebesar
1 kNm).
Penyelesaian :
M = 1 kNm = 106 Nmm
y = 25 mm
IX = 1
12∙ 25 ∙ 503
= 260416,67 mm4
≈ 26 ∙ 104 mm4
𝜎+ =M ∙ y
I
=106 ∙ 25
26 ∙ 104
= 96.1 MPa
𝜎− =M ∙ (−y)
I
=106 ∙ 25
26 ∙ 104
= -96.1 N/mm2
= -96.1 MPa
2. Hitunglah tegangan tarik 10 mm dari
bawah benda berikut! (Diketahui momen
pada batang yang bekerja sebesar 1 kNm).
Penyelesaian :
M = 1 kNm = 106 Nmm
y = 15 mm
IX = 1
12∙ 25 ∙ 503
= 260416,67 mm4
≈ 26 ∙ 104 mm4
𝜎+ =M ∙ y
I
=106 ∙ 15
26 ∙ 104
= 57.6 N/mm2
= 57.6 MPa
50
25
50
25
10
10
Resume Materi Mata Kuliah Mekanika Struktur I Oleh : Andhika Pramadi ( 25/D1 ) NIM : 14/369981/SV/07488/D 3. Hitunglah tegangan tarik pada benda
batang dan penampang berikut!
Penyelesaian :
M = RA ∙ 200
= 100 ∙ 200
= 20000 kNmm
M = 20 ∙ 106 Nmm
y = 100 mm
I = 𝜋
64∙ d4
= 𝜋
64∙ 2004
= 78.5 ∙ 106 mm4
𝜎+ =M ∙ y
I
=20 ∙ 106 ∙ 100
26 ∙ 104
= 25.47 N/mm2
≈ 25.5 MPa
PR!
1. Hitunglah tegangan tekan dan tegangan
tarik maksimum!
Penyelesaian :
M = RA ∙ 5
= 1 ∙ 5
= 5 kNm
M = 5 ∙ 106 Nmm
y = 75 mm
*Momen Inersia didapat dari soal sebelumnya
I = 11.65 ∙ 106 mm4
𝜎+ =M ∙ y
I
=5 ∙ 106 ∙ 75
11.65 ∙ 106
= 32.1889 N/mm2
≈ 32 MPa
𝜎− = -32 MPa
P2 = 100 kN
D C
P1 = 100 kN
A B
RA RB
200 200
100 kN 100 kN
d = 200 mm
5 m
A B
RA
1 kN
P = 1 kN
10
150
100
10
11
Resume Materi Mata Kuliah Mekanika Struktur I Oleh : Andhika Pramadi ( 25/D1 ) NIM : 14/369981/SV/07488/D 2. Hitunglah tegangan tarik maksimum dan
tegangan tekan pada jarak 25 mm dari
permukaan atas!
Penyelesaian :
Q = q ∙ L
= 10 ∙ 3
= 30 kN
Menghitung Momen :
MA = MB = 0 kNm
MC = 1
8∙ q ∙ L2
= 1
8∙ 10 ∙ 32
= 11.25 kNm
Maka, M = 1125 ∙ 104 Nmm
y = 75 mm (Maksimum)
-y = 50 mm (Untuk Tegangan pada
jarak 25 mm dari permukaan atas bidang)
IX = 1
12∙ 75 ∙ 1503
= 21093750 mm4
≈ 21 ∙ 106 mm4
𝜎+ =M ∙ y
I
= 1125∙104∙75
21 ∙ 106
= 40.18 N/mm2
≈ 40 MPa
𝜎− =M ∙ (−y)
I
= 1125 ∙ 104 ∙ 50
21 ∙ 106
= 26.79 N/mm2
≈ 27 MPa
Contoh Soal!
4. Hitunglah tegangan tarik benda berikut!
Penyelesaian :
M = 5 kNm = 5 ∙ 106 Nmm
y = 37.5 mm
IX = 1
12∙ 50 ∙ 753
= 1.76 ∙ 106 mm4
Q = 30
kN
FAC=1/2Q
C
D
q =10 kN/m
A B
L = 3 m
RA RB
150
75
5 m
A B
RA
1 kN
P = 1 kN
75
50
12
Resume Materi Mata Kuliah Mekanika Struktur I Oleh : Andhika Pramadi ( 25/D1 ) NIM : 14/369981/SV/07488/D
𝜎+ =M∙y
I
=5 ∙ 106 ∙ 37.5
1.76 ∙ 106
= 106.5 N/mm2 MPa
= 106.5 MPa
13
Resume Materi Mata Kuliah Mekanika Struktur I Oleh : Andhika Pramadi ( 25/D1 ) NIM : 14/369981/SV/07488/D Tegangan Puntir
-Rumus Tegangan Puntir-
𝜏 = T ∙ r
J
T = Ft d
2
J = π
32 d4
J = π
32∙ (d0
4 − d𝑖 4)
J = IP = 1
12∙ b ∙ h(b2 + h2)
r = √(b
2)
2+ (
h
2)
2
Keterangan :
T = Torsi/ Twisting Moment/ Torque/ Momen Puntir….(Nmm)
J = IP = Ix + IY ……………………………………………...(mm4)
r = Jarak dari Sumbu……………………………………..(mm)
r = d/2, Untuk Lingkaran…………………………………..(mm)
τ = Tegangan Puntir…………………………………..(N/mm2)
d
Ft
Solid Shaft
Hollow Shaft
do
di
r
h
b
14
Resume Materi Mata Kuliah Mekanika Struktur I Oleh : Andhika Pramadi ( 25/D1 ) NIM : 14/369981/SV/07488/D
do
di
Contoh Soal!
1. Hitunglah tegangan puntir dengan torsi
sebesar 9.55 kNm dengan penampang
berikut!
Penyelesaian :
T = 9.55 kNm = 9.55 106 Nmm
d = 48.7 mm
𝜏 = T ∙ r
J
𝜏 = T ∙
d2
π32 ∙ d4
𝜏 = 16 ∙ T
π ∙ d3
𝜏 = 16 ∙ T
π ∙ d3
𝜏 = 16 ∙ 9.55 ∙ 106
π ∙ 48.73
𝜏 = 421.1 N/mm2
𝜏 = 421.1 MPa
2. Hitunglah tegangan puntir dengan torsi
9.55 kNm dengan penampang yang
memiliki dua buah diameter dengan
perbandingan diameter dalam dan luar
yakni 1 : 2! (d0 = 48.6 mm)
Penyelesaian :
T = 9.55 kNm = 9.55 106 Nmm
d0 = 48.6 mm
di = 24.3 mm
𝜏 = T ∙ r
J
𝜏 = T ∙ (
d0 − di
2 )
π32 ∙ (d0
4 − di4)
𝜏 = 16 ∙ T ∙ (d0 − di)
π ∙ (d02 + di
2) ∙ (d02 − di
2)
𝜏 = 16 ∙ T ∙ (d0 − di)
π ∙ (d02 + di
2) ∙ (d0 + di) ∙ (d0 − di)
𝜏 = 16 ∙ T
π ∙ (d02 + di
2) ∙ (d0 + di)
𝜏 = 16 ∙ 9.55 ∙ 106
π ∙ (48.62 + 24.32) ∙ (48.6 + 24.3)
𝜏 = 225.98 N/mm2
𝜏 = 225.98 MPa
48.7 mm
T
do
di
15