RESPOSTA EM FREQUÊNCIA: CONTROLADOR AVANÇO E … · •A parte do avanço de fase altera a curva...
Transcript of RESPOSTA EM FREQUÊNCIA: CONTROLADOR AVANÇO E … · •A parte do avanço de fase altera a curva...
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA: CONTROLADOR AVANÇO
E ATRASO DE FASE (LEAD-LAG) – OGATA
CCL
Profa. Mariana Cavalca
Retirado de OGATA, Katsuhiko. Engenharia de controle moderno. 1. ed. Rio
de Janeiro: Prentice Hall, c1982.
Compensação Avanço-Atraso
• Compensação Avanço – Melhora o transitório.
• Compensação Atraso – Melhora o regime permanente.
Compensação Avanço-Atraso – União das duas
características.
• Questão: Como projetar????
Compensação Avanço-Atraso
• Duas principais formas:
1. Quebrar em dois problemas separados: projetar uma
malha primeiro e depois projetar a segunda malha;
2. Projetar uma estrutura conjunta (método proposto no
Ogata) – mais econômico!
Redes Avanço-Atraso
𝐸𝑜(𝑠)
𝐸𝑖(𝑠)=
𝑍2
𝑍1 + 𝑍2=
(𝑅1𝐶1𝑠 + 1)(𝑅2𝐶2𝑠 + 1)
𝑅1𝐶1𝑠 + 1 𝑅2𝐶2𝑠 + 1 + 𝑅1𝐶2𝑠
𝐸𝑜(𝑠)
𝐸𝑖(𝑠)=
(𝑇1𝑠 + 1)(𝑇2𝑠 + 1)
(𝑇1𝛽
𝑠 + 1)(𝑇2𝛽𝑠 + 1)=
(𝑠 +1𝑇1
)(𝑠 +1𝑇2
)
(𝑠 +𝛽𝑇1
)(𝑠 +1
𝛽𝑇2)
(𝛽 > 1)
Redes Avanço-Atraso • Exemplo com 𝛽 = 10, 𝑇2 = 10𝑇1
• 0 < 𝜔 < 𝜔1 – Rede Atraso
• 𝜔1 < 𝜔 – Rede Avanço
• 𝜔1 =1
𝑇1𝑇2
Projeto baseado em resposta em frequência
• A parte do avanço de fase altera a curva de resposta em
frequência, adicionando um ângulo de fase e
aumentando a margem de fase na frequência de
cruzamento do ganho;
• A parte do atraso de fase acarreta atenuação, próximo e
acima da frequência de cruzamento do ganho, além de
permitir um aumento do ganho na faixa de baixas
frequências e, consequentemente, melhorar o
desempenho em regime estacionário.
Exemplo 10.7 (Ogata, 1982, página 585)
Considere o sistema com realimentação unitária negativa,
cuja função de transferência em malha aberta é:
𝐺 𝑠 =𝐾
𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)
Deseja-se que o coeficiente de erro de velocidade estático
seja 10, margem de fase de 50º e a margem de ganho de
10 db ou mais.
Resolução • Primeiro calculamos o ganho 𝐾 necessário para atender o
requisito de 𝐾𝑣 = 10:
𝐾𝑣 = lim𝑠→0
𝑠𝐾
𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)=
𝐾
2= 10 ∴ 𝐾 = 20
• Em seguida, traçamos o diagrama de Bode de Malha
aberta para tal ganho.
-100
-50
0
50
100
Magnitu
de (
dB
)
10-2
10-1
100
101
102
-270
-225
-180
-135
-90
Phase (
deg)
Bode Diagram
Gm = -10.5 dB (at 1.41 rad/sec) , Pm = -28.1 deg (at 2.43 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
Resolução • Nota-se que as margens são negativas, logo o sistema é
instável sem compensação.
• O próximo passo é escolher uma nova frequência para
cruzamento de ganho (ou seja, a nova frequência na qual
determinaremos a margem de fase, ou seja, a frequência
que cruza o 0 𝑑𝑏). Segundo Ogata (1982), é razoável
verificar um ponto em que o avanço necessário seja
cerca de 50°.
Resolução • Neste caso, é sugerido fazer com que a nova frequência de
cruzamento de ganho seja em 1,4 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑐, ou seja, no ponto
onde a FT sem compensação cruza o −180°. Neste caso será
necessário avançar 50º para atender o requisito de projeto.
-100
-50
0
50
100
Magnitu
de (
dB
)
10-2
10-1
100
101
102
-270
-225
-180
-135
-90
System: untitled1
Frequency (rad/sec): 1.41
Phase (deg): -180
Phase (
deg)
Bode Diagram
Gm = -10.5 dB (at 1.41 rad/sec) , Pm = -28.1 deg (at 2.43 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
Resolução
• Logo desejamos mover a frequência onde cruza o 0𝑑𝑏
para a esquerda (diminuir o valor). Logo iremos
primeiramente projetar o controlador atraso de fase.
-100
-50
0
50
100
Magnitu
de (
dB
)
10-2
10-1
100
101
102
-270
-225
-180
-135
-90
System: untitled1
Frequency (rad/sec): 1.41
Phase (deg): -180
Phase (
deg)
Bode Diagram
Gm = -10.5 dB (at 1.41 rad/sec) , Pm = -28.1 deg (at 2.43 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
Resolução
• Podemos então ajustar o zero do atraso uma década
abaixo da frequência de cruzamento de ganho desejada,
ou seja em 𝜔𝑧 = 0,15 𝑟𝑎𝑑 = 1
𝑇2.
-100
-50
0
50
100
Magnitu
de (
dB
)
10-2
10-1
100
101
102
-270
-225
-180
-135
-90
System: untitled1
Frequency (rad/sec): 1.41
Phase (deg): -180
Phase (
deg)
Bode Diagram
Gm = -10.5 dB (at 1.41 rad/sec) , Pm = -28.1 deg (at 2.43 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
Resolução
• O polo da rede atraso 𝜔𝑝 =1
𝛽𝑇2< 𝜔𝑧. Neste ponto,
devemos escolher o valor de 𝛽. Ogata (1982) sugere
𝛽 = 10 > 1. Tal variável está relacionada com a inclinação
da curva de módulo.
• Portanto, a parte atraso do compensador será dada por:
𝑠 + 0,14
𝑠 + 0,014= 10
7,143𝑠 + 1
71,429𝑠 + 1
Resolução
• Para o projeto do avanço, devemos verificar qual é a
atenuação necessária em 𝐺(𝑠) para que a nova frequência
de cruzamento de ganho seja 1,4 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑐.
-100
-50
0
50
100
Magnitu
de (
dB
)
System: untitled1
Frequency (rad/sec): 1.41
Magnitude (dB): 10.5
10-2
10-1
100
101
102
-270
-225
-180
-135
-90
System: untitled1
Frequency (rad/sec): 1.41
Phase (deg): -180
Phase (
deg)
Bode Diagram
Gm = -10.5 dB (at 1.41 rad/sec) , Pm = -28.1 deg (at 2.43 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
Resolução
• Nesta situação é necessário atenuar 10,5 𝑑𝑏 para que a
nova frequência de cruzamento seja atendida.
• Portanto, devemos adicionar um polo e zero ao redor de
1,4 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑐 de maneira que a atenuação em 1,4 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑐 seja de 10,5 𝑑𝑏. Lembrando ainda que 𝛽 = 10 > 1.
Resolução
Ogata (1982) sugere um
método para solução de tal
problema:
1. Marque o ponto
1,4 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑐, −10,5 𝑑𝑏
2. Você deve forçar que
uma reta com
inclinação de 20db/𝑑é𝑐𝑎𝑑𝑎 passa nesse
ponto.
3. Neste caso, tal reta
cruza com a reta em
− 20 db e termina na
reta de 0 db.
Resolução
Os dois pontos de
cruzamento definem o zero
e o polo da parte avanço
do compensador.
Neste caso,
aproximadamente:
𝑠 + 0,7
𝑠 + 7=
1
10
1,43𝑠 + 1
0,143𝑠 + 1
Resolução
Combinando as duas
componentes, temos o
controlador Avanço-Atraso:
𝐶 𝑠 =𝑠 + 0,7
𝑠 + 7×
𝑠 + 0,14
𝑠 + 0,014
𝐶(𝑠) =7,143𝑠 + 1
71,429𝑠 + 1×
1,43𝑠 + 1
0,143𝑠 + 1
Resolução
Diagrama de Bode de Malha Aberta do Sistema Resultante: 20 ∗ 𝐶 𝑠 ∗ 𝐺(𝑠)
-150
-100
-50
0
50
100
150
Magnitu
de (
dB
)
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
-270
-225
-180
-135
-90
Phase (
deg)
Bode Diagram
Gm = 17 dB (at 3.93 rad/sec) , Pm = 55.7 deg (at 1.09 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
Resolução
• Resposta da malha fechada para uma entrada do tipo
rampa:
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA: CONTROLADOR AVANÇO
E ATRASO DE FASE (LEAD-LAG) – OGATA
Bom estudo!
Profa. Mariana Cavalca
Retirado de OGATA, Katsuhiko. Engenharia de controle moderno. 1. ed. Rio
de Janeiro: Prentice Hall, c1982.